空间图形的基本关系与公理导学案1北师大版必修2

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4.1空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案

4.1 空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案一、课时目标1.了解 3D 空间图形的基本概念和特点。

2.掌握空间图形常见的细分法。

3.学会如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形。

二、课堂导入空间图形，在我们的生活中到处可见，例如建筑物、飞船、汽车等。

在开展此课程的时候，老师可以先引导学生们想象身边的物品，来提高他们对于空间图形的认知。

然后，老师可以以一个球体为例子，介绍球体这种空间图形的特点和一些基本概念，比如半径、直径、球心等，来引出本节课的主题。

三、教学内容1. 3D 空间图形的基本概念和特点3D 空间图形指的是三维立体空间中的图形，在此，我们以球体为例说明。

球体是一种最常见的球面几何体，具有以下几个特点：•独立性：球体内任意一点与外界没有直接连接，极大地增加了其独立性。

•球心：球体内任意一点到球心的距离都是相等的，球心是球体中心点的名词统称。

•半径：球体中心点到球体表面上某一点的距离，通常用字母 r 表示，我们也可以通过半径来确定一个球体的大小和表面积。

•直径：穿过球心，线段两端恰好在球面上的直线段，直径长度等于 2r。

•球面：球体表面。

•球缺：截取球体的一个样本后，保留的部分形成的空间图形。

2. 空间图形常见的细分法为了更好的理解和分析空间图形，我们通常可以采用以下两种细分方法:1) 沿截面分离将一些图形按截平面，如水平面、垂直面等截断，然后分离能识别的简单几何图形，如：圆、矩形等。

2) 穿切法穿切一个图形可以使其表面展开，让三维形状变成二维图形，如纸片穿过一个球体后展开为圆形。

3. 如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形我们可以使用二维平面的图形来描述空间中的球体、圆锥面和圆柱面等图形。

其中，球体可以使用等高线图来描述，圆锥面和圆柱面则可以使用矩形来进行表达。

同样以球体为例，我们可以使用等高线图来描绘它的模样。

具体来说，我们可以使用颜色的深浅区分球体表面上不同的高度区间。

【K12教育学习资料】高中数学 1.3.1空间图形的基本关系与公理同步教案北师大版必修2

第六课时§1.3.1空间图形的基本关系与公理一、教学目标：1、知识与技能：（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法：（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值：使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教法1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教法：思考交流讨论法四、教学过程（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）D CαAB平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

高中数学第一章立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)学案北师大版必修2

4．1 空间图形基本关系的认识4．2 空间图形的公理(一)学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．知识点一空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面．思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案相交，平行，既不平行也不相交．思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3 六个面之间有哪几种位置关系．答案平行和相交．梳理位置关系图形表示符号表示空间点与直线的位置关系点A在直线a外A∉a 点B在直线a上B∈a空间点与平面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α空间两条直线的位置关系平行a∥b相交a∩b＝O 异面a与b异面空间直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A 线面平行a∥α空间平面与平面面平行α∥β面的位置关系面面相交α∩β＝a 异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识点二空间图形的公理思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案不在同一直线上的三点确定一个平面．思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案直尺在桌面上．思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案这些公共点在同一直线上．梳理(1)空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα用来证明直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( ×)2．空间不同三点确定一个平面．( ×)3．一条直线和一个点确定一个平面．( ×)类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形．(1)直线l经过平面α内两点A，B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．(2)l⊈α，P∈l，P∈α.如图(3)lα，lβ.如图．(4)α∩β＝l，mα，m∥l.如图．类型二平面的基本性质的应用命题角度1 点线共面问题例2 如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQα.考点平面的基本性质题点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，P∉α，所以α与β重合，所以PQα.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练2 如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．考点平面的基本性质题点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A ∈l 2，l 2β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．命题角度2 点共线、线共点问题例3 如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点．求证：FE ，HG ，DC 三线共点．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图所示，连接C 1B ，GF ，HE ，由题意知HC 1∥EB ，且HC 1＝EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形， ∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， ∴GF ∥C 1B ，且GF ＝12C 1B .∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ， ∴HG 与EF 相交．设交点为K ， ∴K ∈HG ，HG 平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF 平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD ， ∴K ∈(平面D 1C 1CD ∩平面ABCD )＝DC ， ∴EF ，HG ，DC 三线共点．反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊈αC．A l，l∉αD．A l，l⊈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析∵点A在直线l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l⊈α.故选B.2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是( )考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 D3．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊈α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 C解析当l⊈α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，所以γ与β的交线必通过点C和点M.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1．下列有关平面的说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面考点平面的概念、画法及表示题点平面概念的应用答案 D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．2.如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A. 3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．4．空间中四点可确定的平面有( )A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 D解析当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．6．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．可能有三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确．7．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析由题意知GH平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．二、填空题9．已知点A，直线a，平面α.①A∈a，a∈α⇒A∈α；②A∉a，aα⇒A∉α；③A∈a，aα⇒Aα.其中说法正确的个数是________．考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案0解析①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可在α外，故不正确；③中“Aα”符号错．10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．①直线l上至少有一个点在平面α外；②直线l上有无穷多个点在平面α外；③直线l上所有点都在平面α内；④直线l上至多有两个点在平面α内考点平面的基本性质题点线共面问题答案③11．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．考点平面的基本性质题点确定平面问题答案1或3解析若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面．12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案三点共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α，又∵O∈AB，ABβ，∴O∈β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．三、解答题13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．考点平面的基本性质题点线共面问题证明(1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα，同理cα，∴a，b，c，d共面．(2)有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β，∴NKβ，即bβ，同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面，由(1)(2)可知a，b，c，d共面．四、探究与拓展14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．15．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P，Q，R三点共线．。

高中数学第一章立体几何初步 1234 空间图形的基本关系与公理导学案(无答案)北师大版必修2 学

4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理学案北师大版必修2

第1课时空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理表，则[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答] 证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答] 证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCDA′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解] ∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因] 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解] A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 3．下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD 相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( )A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβ D．A b，b∈β解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M 一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为线段A 1B ，B 1D 1，A 1B 1上的点，若B 1N B 1D 1＝BM BA 1＝13，且PN ∥A 1D 1.求证：PM ∥AA 1.[尝试解答] 证明：∵PN ∥A 1D 1，B 1N B 1D 1＝13，得B 1P B 1A 1＝13，又BM BA 1＝13，∴PM ∥BB 1. 而BB 1∥AA 1，∴PM ∥AA 1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行． (2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．练一练1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′的位置重合，G ，H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点，求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解] 如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因] 错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解] 构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案] D1．下列结论正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③解析：选B ①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．2．已知直线a ，b ，c ，下列三个命题： ①若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；②若a ∥b ，a 和c 相交，则b 和c 也相交； ③若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c . 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B ①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面 D ．平行解析：选C 如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB ，CD 交于点O ，已知AO ＝4，BO ＝2，CD ＝9.则线段CO ，DO 的长分别为________，________.解析：∵AB ，CD 相交于O 点，∴AC ，BD 共面．又AC 与BD 不相交，∴AC ∥BD .∴CO DO ＝AO BO，又DC ＝9，AO ＝4，BO ＝2.∴CO ＝6，DO ＝3. 答案：6 35．已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，且E ，F ，G ，H 不共面，则直线EF 和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E ，F ，G ，H 共面，与已知矛盾， ∴EF 与GH 不共面，即异面．答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC . 证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB，∴A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A．3条B．4条C．5条 D．6条解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )A．5 B．10C．12 D．不能确定解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D 若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EM C 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点．证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ，故EHλBD .同理FG μBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交．设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。

1.4 空间图形的基本关系与公理第1课时教案高中数学必修2北师大版

§4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～公理3 问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面( )．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个 D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点 (或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．A．P l，lα B．P∈l，l∈αC．P l，l∈α D．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．3．下列说法正确的是( )．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．A．AD上 B．B1C1上C．A1D1上 D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A 的交点．求证：O1，M，A三点共线．答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC 在平面α内．活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D 2．D 3． D 4．B。

高中数学《空间图形公理》导学案1北师大版必修2

空间图形的公理导学案年级科目：高一数学审核：【学习目标】了解异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用【重点难点】公理4、及等角定理的理解及应用【知识链接】公理1公理 2公理 31．提出问题：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？2. 按符号画出图形：aα，b∩α＝A，A a3. 探究：教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？【学法指导】归纳推理【学习过程】一. 教学两条直线的位置关系：实例探究→定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.→以长方体为例，寻找一些异面直线？→性质：既不平行，又不相交。

→举例：教室内，日常生活中…→画法：以辅助平面衬托：（三种）→讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.二、平行公理：①提出问题：平行于同一条直线的两条直线互相平行？结论：用数学符号表示为例1：在空间四边形AB CD中,E,F,G,H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

练习:空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝13，求证：EFGH是梯形。

三、等角定理：①讨论：平面几何中，两角对边分别平行，则两角有何关系？到立体几何中呢？②定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别对应平行，那么这两角。

改写成:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角。

③推广：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

→图形表示→讨论：与点O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？什么叫两条直线垂直→探究：给出正方体和几条面、体的对角线，找出几对异面直线，并指出所成角四、练习：P26页1.，2，3【回顾小结】这节课学习了异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用【课堂检测】1若直线a//b, bcA ,则a 与c 的位置关系是（）A 异面B 相交C 平行D 异面平行2在空间中下列说法中正确的个数为（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②两角的两边分别平行，那么这两角相等③有一组对边平行的四边形平行四边形；④异面直线所成的角的范围是0,2A 1B 2C 3D 4 3．已知AB // MQ ，BC // QN ，若ABC150则MQN （）A 150B 30C 30或150D 以上结论都不对4在正方体1111ABCDA B C D 中，面对角线中与A 1D 成60的有条5在正方体1111ABCD A B C D 中，,,,,,E F G H M M 分别是所在边的中点，求证：EFG MNH【作业布置】P26页4，5【自我反思】。

高中数学解析几何初步(空间图形的基本关系与公理)参考教案北师大版必修2 教案

空间图形的基本关系与公理一. 教学内容：空间图形的基本关系与公理二. 学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

（二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

（三）平面的基本性质公理1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。

2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。

3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

4、平面的基本性质公理的三个推论经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面思考：公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。

（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

高中数学第一章空间图形的基本关系与公理第2课时目标导学北师大版必修2推荐

第2课时公理4(平行公理)与异面直线所成的角问题导学1．公理4的应用活动与探究1在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点且23 AE CFEB FB==，请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G，H满足什么条件时，四边形EFGH，(1)为平行四边形？(2)为菱形？迁移与应用如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD．空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．2．等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.迁移与应用如图，空间图形A－BCD的四个面分别为△ABC，△ACD，△ADB和△BCD，E，F，G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD．求证：△EFG∽△BCD．1．要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可．2．空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等．在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系．3．异面直线及其所成的角活动与探究3如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(2)求异面直线AD′与B′C、A′C与AB所成角的正切值．迁移与应用已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求：(1)BC′与CD′所成的角；(2)AD与BC′所成的角．由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移→构造三角形→解三角形→作答．在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两异面直线中一条上的一点，或几何体顶点、棱的中点等特殊点．当堂检测1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝50°，则β等于( )．A．50° B．130° C．40° D．50°或130°2．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是( )．A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B 1D 1所成的角为________．(第3题图)4．如图所示，在三棱锥P －ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．(第4题图)答案：课前预习导学预习导引1．平行 a ∥c预习交流1 提示：(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性．(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法．它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础．(3)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键． 2．相等或互补预习交流2 提示：相等；互补． 3．不在预习交流3 提示：一定不相交．若对角线相交，则四个顶点共面，这与定义中四个顶点不共面相矛盾．4．锐角直角互相垂直预习交流4 提示：两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由AE EB ＝CF FB ＝23，可想到证明EF ∥AC ；为使四边形EFGH 为平行四边形，需证明GH ＝EF ，且GH ∥AC ；为使四边形EFGH 为菱形，在(1)成立的情况下，还需证明EH ＝EF ，进一步可得AC ，BD 的关系．解：(1)当AH HD ＝CG GD ＝23时，四边形EFGH 为平行四边形．理由：∵AE EB ＝CF FB ＝23，∴EF ∥AC 且EF ＝35AC .若AH HD ＝CG GD ＝23，则HG ∥AC 且HG ＝35AC .∴EF ∥HG ，EF ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．(2)当AH HD ＝CG GD ＝23且AC ＝23BD 时，四边形EFGH 为菱形．理由：由(1)知，若AH HD ＝CG GD ＝23，则四边形EFGH 为平行四边形，且EF ＝35AC ，EH ＝25BD .若AC ＝23BD ，则EF ＝35AC ＝25BD ＝EH .∴平行四边形EFGH 为菱形．迁移与应用证明：(1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥EH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．又FG ＝EH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . ∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .∴AC ⊥BD .活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB 1M 1M 是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点， ∴MM 1＝AA 1，MM 1∥AA 1. 又∵AA 1＝BB 1，AA 1∥BB 1， ∴MM 1∥BB 1，且MM 1＝BB 1，∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形．(2)方法一：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1∥BM .同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形， ∴C 1M 1∥CM .由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角， ∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.方法二：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1＝BM .同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形． ∴C 1M 1＝CM .又∵B 1C 1＝BC ，∴△BCM ≌△B 1C 1M 1. ∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.迁移与应用证明：在△ABD 中，∵AE∶AB＝AG∶AD，∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.又∠GEF与∠DBC两组对边方向分别相同，∴∠GEF＝∠DBC.同理，∠EGF＝∠BDC.∴△EFG∽△BCD.活动与探究3 思路分析：(1)按照异面直线的定义进行判断；(2)根据异面直线所成角的定义进行求解．解：(1)所在直线与BC′是异面直线的棱有：AA′，DD′，A′B′，DC，AD，A′D′.(2)因为A D′∥BC′，所以AD′与B′C所成的角就是BC′与B′C所成的角，而BC′⊥B′C，所以AD′与B′C所成的角等于90°，其正切值不存在．因为AB∥CD，所以∠A′CD就是异面直线A′C与AB所成的角．在△A′CD中，若设正方体棱长为a，则CD＝a，A′D＝2a，A′C＝3a，因此△A′CD是直角三角形，于是tan∠A′CD＝2aa＝ 2.迁移与应用解：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．连接A′C′，由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.即BC′与CD′所成的角为60°.(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.当堂检测1．D 2．C 3．60°4．3。

1.4.2空间图形的公理(一)学案(北师大版必修2)

4．2空间图形的公理(一)自主学习掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号：__________________________________________________________________．2．公理2：经过不在同一条直线上的三点，______________一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：__________________________________________________________________．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：______________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________．对点讲练点、线共面例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．点评证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．证明多点共线问题例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．点评证明多点共线的方法：一是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．二是P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．变式训练2如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R．求证：P、Q、R三点共线．证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3．求证：EF、GH、BD交于一点．点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．注意事项(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化．课时作业一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A．A∈l，l∈αB．A∈l，l⊂αC．A⊂l，l∈αD．A⊂l，l⊂α3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合二、填空题5．下列命题中，正确的是____________．(填序号)①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；④两条直线不能确定一个平面．6．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为________________________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________________________________________________．7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．(填序号)①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．三、解答题8．如图三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．9．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB α，CD β．求证：AB 、CD 、l 共点(相交于一点)．4．2 空间图形的公理(一) 答案自学导引1．两点 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l α 2．有且只有3．一个一条 P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l 4．(1)A ∈α，A ∉β (2)A ∈α，B ∉α且A ∈l ，B ∈l (3)l α且l β (4)m α，n α且m ∩n ＝A 对点讲练例1 证明方法一⎭⎪⎬⎪⎫直线a ∥b ⇒过a ，b 有且只有一个平面，设为αl ∩a ＝A ⇒A ∈a l ∩b ＝B ⇒B ∈b⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ∈α，B ∈α A ∈l ，B ∈l ⇒lα⇒a ，b ，l 共面．方法二 ∵a ∥b ， ∴a ，b 确定一个平面α．设a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β．设b∩l＝B又∵B∈α，B∈β，aα，aβ，∴平面α与β重合．故直线a，b，l共面．变式训练1已知如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证直线l1、l2、l3在同一平面内．证明方法一(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2α，∴B∈α．同理可证C∈α．又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α．∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α．∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β．∵A∈l2，l2α，∴A∈α．∵A∈l2，l2β，∴A∈β．同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．例2证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR．又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR．∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC面APR．∵Q∈BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．变式训练2 证明 ∵AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ， ∴AB ∩CD ＝P ．∴AB ，CD 可确定一个平面，设为β． ∵A ∈AB ，C ∈CD ，B ∈AB ，D ∈CD ， ∴A ∈β，C ∈β，B ∈β，D ∈β． ∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R ， ∴P ，Q ，R 三点是平面α与平面β的公共点．∴P ，Q ，R 都在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线．例3 证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ．又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，∴FH ∥AC 且HF ＝25AC ，从而FH ∥GE ．故E ，F ，H ，G 四点共面．又∵GE ≠FH 且GH ∥FH ．∴四边形EFHG 是一个梯形，则GH 和EF 延长后交于一点设为O ．又O ∈GG ，GH 平面ABD ，则O ∈平面ABD ，同理O ∈平面BCD ． ∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ＝BD ．则O 在直线BD 上．所以EF 、GH 、BD 交于一点．变式训练3 证明连接EF ，D 1C ，A 1B ． ∵E 为AB 的中点， F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B ．又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF 綊12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P ．又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD．∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．课时作业1．A[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．] 2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．①②③6．(1)α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B7．④解析连接AO，AO是平面AB1D1和平面AA1C1C的交线，∵M∈A1C，A1C面AA1C1C，∴M∈面AA1C1C，又M∈面AB1D1，∴M∈AO，即A1M1O三点共线，因此①②③均正确．只有④不正确．8．证明∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P．∴a、b、c三条直线相交于同一点．9．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β．又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．。

2021年高中数学第一章1-2空间图形基本关系的认识空间图形的公理学案北师大版必修2

§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．知识点二空间图形的公理[填一填][答一答]2．你对公理2及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．知识点三定理[填一填]空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．这个定理实质上是由如下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．知识点四异面直线所成的角[填一填]知识点五空间四边形[填一填]四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形．[答一答]3．如何理解异面直线？提示：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a、c可确定一个平面α，因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以ABα，即bα.所以a、b、c 共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面．公理1、公理2、公理3的意义和作用1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．3．公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.类型一公理、定理的考查【例1】判断下列命题是否正确：(1)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)空间任意一点和一条直线确定一个平面；(4)一组对边平行的四边形一定是平面图形．【思路探究】考查确定平面的条件．【解】命题(1)是错误的．如果三线共点，那么此三线可能不共面，仔细观察教室的墙角处，这是一个很好的反例模型；命题(2)是错误的．四边相等并不能保证此四边形是平面图形，也就不能保证它是菱形；命题(3)是错误的．若点在直线上，那么经过此点和这条直线的平面有无数多个；命题(4)是正确的．因为对边平行，可以确定一个平面α，又四个顶点都在平行的对边上，故都在平面α内，所以另两条边也在平面α内，故此四边形是平面图形．规律方法应准确掌握确定平面的条件．下列命题中正确的是(D)A．空间三点可以确定一个平面B．若两个平面α、β有一个公共点A，则α∩β＝AC．若A、B、C、D四点既在平面α内，又在平面β内，则平面α，β重合D．三角形一定是平面图形解析：A中：若三点在一条直线上，则三点所在的平面不唯一；B中：两个平面不可能只有一个公共点，两平面若不重合，则要么相交(此时有一条公共直线)，要么平行；C中：A、B、C、D四点共线时，平面α、β不一定重合；D中：不共线三点才能构成三角形，∴三角形为平面图形．故选D.类型二多线共面问题【例2】求证：两两相交且不共点的四条直线共面．【思路探究】可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内．【证明】①没有三线共点情况，如图(1)所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b ＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα.同理cα，∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．规律方法 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面．再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合．2．公理2是确定平面的依据，公理1是确定线在已确定的面上的依据．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα.又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．类型三线共点和点共线问题【例3】如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线．【思路探究】方法一，证明P，Q，R三点同时在平面ABC和平面α内，利用公理3即可得出结论．方法二，利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证明点Q在直线PR上即可．【证明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB平面ABC，∴P∈平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又∵Q∈α，∴Q∈直线PR，∴P，Q，R三点共线．规律方法点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．常用以下两种方法：方法一，首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；方法二，选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．在三棱锥S－ABC的棱SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH＝P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．证明：如图，∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC.∴EF平面SAC.∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，∴G∈平面ABC，H∈平面ABC，∴GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC交于一点P.类型四公理4与定理的应用【例4】已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等．【思路探究】由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．【证明】如图所示．由已知得EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD .在△BCD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，FG ＝23BD .根据公理4，知EH ∥FG ，又FG >EH ，所以四边形EFGH 有一组对边平行但不相等．规律方法 1.证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.证明：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连接BM ，F 1M ，则BF ＝A 1M .又∵BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形．∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1M 綊C 1B 1.而C 1B 1綊BC ，∴F 1M 綊BC ，∴四边形F 1MBC 为平行四边形．∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ，∴A 1F ∥CF 1.同理，取A 1D 1的中点N ，连接DN ，E 1N ，则有A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.类型五异面直线所成的角【例5】如右图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC 于点A ，DA ⊥AB 于点A ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．【思路探究】根据异面直线所成角的定义，可选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线．本题中BE 可不动，过点E 作CD 的平行线EF ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 与其补角中的锐角，在△EFB 中求解．【解】取AC 的中点F ，连接EF 和BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 或其补角中的锐角即为异面直线BE 和CD 所成的角．∵△ABC 为等腰直角三角形，且BC ＝2，在Rt △ABE 中，AB ＝1，AE ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. ∴△EBF 为等腰三角形．在△EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010.故异面直线BE与CD所成角的余弦值为10 10.规律方法解决异面直线所成角的问题，通常将空间角转化为平面角，在三角形中求解．如图，已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为P A和BC的中点．(1)求证：EF与PC是异面直线；(2)求EF与PC所成的角．解：(1)证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面α使得E，F，P，C∈α，从而直线PE与CF都在平面α内，∴A，B∈α，故点A，B，C，P都在α内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线．(2)如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥PC，FG∥AB，由PC⊥AB，得EG⊥FG，且EG＝FG＝1，∴EF与PC所成的角为45°.类型六交线的作法【例6】如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．【解】设法找出两个平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为M∈FD1，M∈DA，FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F∩平面ABCD＝M，又平面BED1F∩平面ABCD＝B.所以连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD.即直线MB为所求两平面的交线．规律方法求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题所求两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，利用公理1即可推出该点为两平面的公共点，此两点确定的直线即为所求．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1、BC两边的中点，画出平面D1FG 与平面ABCD的交线．解：如图，连接AD1，AG，BC1，则AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．证明如下：∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1，BC两边的中点，∴FG∥BC1.又BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∴A，G，F，D1四点共面于平面D1FG，∵AG平面ABCD，∴AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．————多维探究系列——三个平面划分空间问题讨论【例7】三个两两相交的平面可将空间分成几部分？请画出它们的直观图．【思路分析】设三个两两相交的平面分别为α，β，γ，由于它们相交的情况不同，可分三种情况讨论：(1)平面α，β，γ两两相交于同一条直线；(2)平面α，β，γ两两相交的三条直线交于一点；(3)平面α，β，γ两两相交的三条交线平行．【精解详析】(1)当平面α，平面β，平面γ两两相交，且三条交线重合(即α∩β＝l，α∩γ＝l且β∩γ＝l)时，将空间分成六部分，其图形如下图①所示．(2)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成八部分，其图形如下图②所示．(3)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线平行时，将空间分成七部分，其图形如下图③所示．【解后反思】首先确定两个平面在空间中的位置关系，再让第三个平面以不同形式介入，以此为分类依据即可解决问题．长方体的各个面延伸后能把空间分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下三部分，每部分分成9部分，所以共3×9＝27部分．一、选择题1．下列说法中正确的个数为(C)①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1B．2C．3 D．4解析：对于命题③，当圆心与圆上两点共线时，不能确定一个平面．2．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(A)A．lαB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：∵M∈a，aα，∴M∈α.∵N∈b，bα，∴N∈α.又M∈l，N∈l，∴lα.3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是(D)A．1 B．2C．3 D．1或3解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．二、填空题4．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝CR.解析：根据题意画出图形．如图所示．因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.三、解答题5．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．证明：∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．设a∩l＝A，b∩l＝B，则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴lα.∴直线a，b，l共面．。

空间图形的基本关系与公理导学案

§1.4.1空间图形的基本关系与公理学习目标1.理解空间中点、线、面之间的关系.2.掌握平面的基本性质、公理与推论.学习过程一、课前准备（知识回顾）复习1：平面中点、线有哪些关系？复习2：集合中元素、集合的一些关系如何表示?二、新课导学学习探究探究任务一：空间点与线的关系、空间点与平面的关系、空间直线与直线的位置关系、空间直线与平面的位置关系、空间平面与平面的位置关系？试一试1：以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．探究任务二：平面的基本性质公理与推论有哪些？试一试2：下列命题：①空间不同的三点可以确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必定重合；③空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。

其中正确的命题是。

试一试1：空间中三条直线可以确定几个平面？探究任务三：空间的平行直线是否具有传递性？随堂练习1.下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a 与c也是异面直线其中是正确的个数为()A．3B．2C．1D．02.在空间内，可以确定一个平面的条件是（） A. 两两相交的三条直线B. 三条直线，其中的一条与另两条分别相交C. 三个点D. 三条直线，它们两两相交，但不交于同一点3.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是 ( )A ．A 、M 、O 三点共线B ．A 、M 、O 、A 1不共面C ．A 、M 、C 、O 不共面D ．B 、B 1、O 、M 共面4.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（）A. 不存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条5.已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内且α∩β＝c ，那么c （）A. 至少与a ，b 中的一条相交；B. 至多与a ，b 中的一条相交；C. 至少与a ，b 中的一条平行；D. 与a ，b 中的一条平行，与另一条相交三、总结提升学习小结1.空间中点、线、面的关系.2.平面基本性质与公理.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差四、课后作业 1.给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；[来源:学。

北师大版高中数学必修二—学同步教学案立体几何初步§ 空间图形的基本关系与公理

§4 空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．三、解答题10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图1，直线a在平面α内．(2)如图2，直线a和平面α相交．(3)如图3，直线a和平面α平行．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．能力提升12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对．13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识答案知识梳理1．点在直线上和点在直线外2．点在平面内和点在平面外3．(1)平行(2)相交(3)异面作业设计1．D2．D3．B4．D5．C6．B7．38．bα，b∥α或b与α相交9．4,6,7,810．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：11．解如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；与AB异面的棱为棱A1D1，B1C1，D1D，C1C．12．3解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．13．解由α∩γ＝a知aα且aγ，由β∩γ＝b知bβ且bγ，∵α∥β，aα，bβ，∴a、b无公共点．又∵aγ且bγ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又aα，∴a与β无公共点，∴a∥β．4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈bβC．M bβ D．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有()A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD 交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C[根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1β，l2β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1β，P∈l2γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B＝12D1C．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F平面ADD1A1，P∈CE平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．4．2空间图形的公理(二)【课时目标】1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．3．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．一、选择题1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面3．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行 4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)二、填空题6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 7．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．4．2空间图形的公理(二) 答案知识梳理1．平行2．平行相等互补3．锐角(或直角)直角(0°，90°]作业设计1．D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．D3．D[等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]4．B[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]5．D[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD)．在△MNE 中，有ME ＋NE>MN ，所以MN<12(AC ＋BD)．]6．60°或120° 7．(1)60° (2)45° 解析连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形，知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC ．易知∠C ′BC ＝45°． 8．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．9．证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．10．解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．11．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．12．B[连接B1D1，则E为B1D1中点，连接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]。

北师大版高中数学高一必修2教学案第一章 4 空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3预习课本P22～25，思考并完成以下问题(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？(2)空间图形的公理1，公理2，公理3的内容是什么？各有什么作用？[新知初探]1．空间中点、线、面的位置关系(1)点与直线的位置关系①点B在直线l上：B∈l；②点B在直线l外：B∉l.(2)点与平面的位置关系①点A在平面α内：A∈α；②点B在平面α外：B∉α.[点睛]通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．2．空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα用来证明直线在平面内公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点公共直线[点睛]对公理1必须强调是不共线的三点．3．公理1的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．[点睛]公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两两相交的三条直线确定一个平面．()(2)经过一条直线和一个点确定一个平面．()(3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点．()答案：(1)×(2)×(3)×2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα答案：C3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在____________．答案：α与β的交线上4．根据右图，填入相应的符号：A______平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[典例]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．M a，aαD．M a，a∈α解析：选B根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．平面的基本性质的应用题点一：点线共面问题1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证lβ.于是bα，lα，bβ，lβ，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1及其推论、公理2.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．题点二：点共线问题2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题点三：三线共点问题3．已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l 3相交于一点．证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．层级一学业水平达标1．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．lαB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A∵M∈a，aα，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故lα.2．下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C.3．已知直线m平面α，P∉m，Q∈m，则()A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α解析：选D因为Q∈m，mα，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D根据公理3可知，两个平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个解析：选D当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或37．下列命题：①若直线a与平面α有公共点，则称aα；②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；③三条平行直线共面；④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；②正确．由公理3知该命题正确；③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；④如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．答案：②8．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．解析：若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知lα，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.答案：19．将下列符号语言转化为图形语言．(1)aα，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，aα，bβ，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)10．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．证明：延长AA 1，BB1，设AA1∩BB1＝P，又BB1平面BCC1B1，∴P∈平面BCC1B1，∵AA1平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1，∴P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，又∵平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合解析：选C当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．可能三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是________．解析：因为平面α∩平面β＝l，AB∩l＝D，所以D∈平面β.因为AB平面ABC，所以D∈平面ABC.又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，所以平面ABC∩平面β＝CD.答案：直线CD6．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是________．解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．答案：1或37．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．8．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．第二课时公理4及等角定理预习课本P25～27，思考并完成以下问题(1)公理4的内容是什么？(2)等角定理的内容是什么？有什么作用？(3)异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？1．公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内没有公共点．记法：直线m与直线n平行，记作m∥n.②相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．[点睛](1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．4．异面直线所成的角特殊当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b情况(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定义的，是研究空间两条直线位置关系的基础．(2)等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了理论依据，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中不相交的两条直线是异面直线．()(2)两条异面直线所成的角一定是锐角．()(3)和两条异面都相交的两直线必是异面直线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°答案：D3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°公理4及等角定理的应用[典例] 如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，E ′，F ′分别是AB ，BC ，A ′B ′，B ′C ′的中点，求证：EE ′∥FF ′.[证明] 因为E ，E ′分别是AB ，A ′B ′的中点，所以BE ∥B ′E ′，且BE ＝B ′E ′，所以四边形EBB ′E ′是平行四边形，所以EE ′∥BB ′，同理可证FF ′∥BB ′.所以EE ′∥FF ′.[一题多变]1．[变条件，变设问]在本例中，若M ，N 分别是A ′D ′，C ′D ′的中点，求证：四边形ACNM 是梯形．证明：如图所示，连接A ′C ′，∵M ，N 分别是A ′D ′，D ′C ′的中点，∴MN ∥A ′C ′且MN ＝12A ′C ′.由正方体的性质可知： A ′C ′∥AC ，且A ′C ′＝AC ，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC ， ∴四边形MNCA 是梯形．2．[变条件，变设问]将本例变为：已知E ，E 1分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点，求证：∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.证明：如图所示，连接EE 1.因为E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点，所以AE ∥A 1E 1，且AE ＝A 1E 1.所以四边形AEE 1A 1是平行四边形．所以AA 1∥EE 1，且AA 1＝EE 1.又因为AA 1∥BB 1，且EE 1＝BB 1.所以四边形BEE 1B 1是平行四边形．所以BE ∥B 1E 1.同理可证CE ∥C 1E 1.又∠BEC 与∠B 1E 1C 1的两边方向相同，所以∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.1．证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．异面直线及所成的角[典例] 如图所示，已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．[解] 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ； PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，(1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.(2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B′AB ＝45°.答案：45°层级一学业水平达标1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．相交或异面解析：选D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是()A．SB B．SCC．BC D．AB解析：选C 如图所示，SB ，SC ，AB ，AC 与SA 均是相交直线，BC 与SA 既不相交，又不平行，是异面直线．3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对解析：选B ∠ABC 的两边与 ∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR ＝30°或150°.4．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能解析：选D 当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A ．平行或异面B ．相交或异面C ．异面D ．相交解析：选B 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行．(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)c 与b 可能相交或异面．6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．答案：247．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG CD，则EH 与FG 的位置关系是________．解析：如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AH AD ，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD .∴EH ∥FG .答案：平行8．已知∠ABC ＝120°，异面直线MN ，PQ 其中MN ∥AB ，PQ ∥BC ，则异面直线MN 与PQ 所成的角为________．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN 与PQ 所成的角为60°.答案：60°9．如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，因为OA 1OA ＝OB 1OB，所以A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .所以∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .所以△A 1B 1C 1∽△ABC .10．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的平面A 1B 1C 1D 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解：如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .层级二应试能力达标1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是平行直线的图是________(填序号)．解析：结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS 和PQ 相交，只有③是异面直线．答案：①②6．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中．(1)AA 1与C 1D 1所成的角的度数为________；(2)AA 1与B 1C 所成的角的度数为________．解析：(1)∵AA 1∥DD 1，∴∠DD 1C 1即为所求的角．∵∠DD 1C 1＝90°，∴AA 1与C 1D 1所成的角为90°.(2)∵AA 1∥BB 1，∴∠BB 1C 即为所求的角．∵∠BB 1C ＝45°，∴AA 1与B 1C 所成的角为45°.答案：(1)90° (2)45°7．如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成的角的大小．解：如图，过E 作EO ∥AB ，交BD 于点O ，连接OF ，所以AE ED ＝BO OD ，所以BO OD ＝BF FC，所以OF ∥CD .所以∠EOF (或其补角)是AB 和CD 所成的角．在△EOF 中，OE ＝23AB ＝2，OF ＝13CD ＝1，又EF ＝5，所以EF 2＝OE 2＋OF 2，所以∠EOF ＝90°.即异面直线AB 和CD 所成的角为90°.8．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面ABCD 是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝23，所以△ACD1是等腰直角三角形．所以AD1＝22AC.又底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，所以AC＝23×sin 60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，所以AA1＝AD21－A1D21＝()322－()232＝ 6.。

空间图形的基本关系与公理导学案1北师大版必修2

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