不等关系.
不等式1：不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。
如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。
如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系
§3.1 不等关系教学目标一、知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法判断两实数或代数式大小二、过程与方法：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯三、情感态度与价值观：体会实际与建摸，关系比较的方法与思路教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学流程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。
等的情况常常成为等式与方程，不等的情况呢？引入主题：不等关系。
二．学生活动1、看书：P67~P682、思考1：如何刻画不等关系？（可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系.）3、如何建立不等关系？建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．练习1、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000, 3,,.x yx yx Ny N+≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系练习2、某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出,x y满足的条件．解：,x y 满足的条件为63847100x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．三．建构数学找出数值后，常常需要判断两个数的大小关系，如何判断呢？根据a-b>0⇔a>b,故常用作差比较法来比较两实数大小的方法；具体步骤是：作差——变形——判断四．数学运用例1、a m b m ++与a b（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a b m b +>+． 作差——变形——判断中，第一种常用的变形就是分解因式，根据各因式的符号判断整个符号。
八年级不等关系知识点总结
八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。
不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。
因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。
下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。
一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。
1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。
1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。
二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。
2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。
2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。
三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。
3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。
综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。
通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。
2.1.1不等关系与重要不等式课件(人教版)
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
不等关系与一元二次不等式 (优质课件,精校版)
由 16< x < 32 得 即 1/8 < y/x < 1/2
1/32 < 1/x < 1/16
又4 < y < 8 所以有 4/32 < y/x < 8/16
π π 练习1 . x y , 求y x, y - x的取值范围. 4 2
练习2.已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,求z=2x-3y的 取值范围.
不 等 式 的 性 质
可乘性— a>b, c>0 ac>bc c<0 ac<bc 同向正可乘—a>b>0，c>d>0 ac>bd 推 论 可乘方— a>b>0 an>bn (nR+)
可开方— a>b>0
n
a n b (nN)
课堂练习
若a、b、c R,b, 则下列不等式成立的是（ ） 1 1 a b 2 2 A. B.a b C. 2 2 D.a c b c a b c 1 c 1
比较f ( x)与g ( x)的大小关系.
小结： 作差——变形——定号——下结论
题型一：比较两个实数大小
(1)作差比较法：
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a、b R + : a (2)作商比较法： a b 1 b 作商——变形——与1比较大小． a a b 1 大多用于比较幂指式的大小． b a a b 1 b
（2）解不等式- x2+2x-3<0 原不等式的解集为R
再 见
2. 不等式的性质： ①不等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变。
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系观评课报告
不等关系观评课报告前言随着社会的不断发展和人们思想观念的逐渐更新，人们对于教育的态度也在发生着改变。
在以往的教学模式中，讲师通常会将学生视为相同的整体进行管理，忽略了每个学生的个体差异。
而不等关系理论的提出，为我们提供了一个更为全面的视角去理解教学中的差异，倡导在教育中注重个体的差异性和个性化需求。
不等关系理论的概念不等关系理论，是指在教学过程中学生之间以及学生和教师之间存在差异，即每个学生的学习能力、兴趣爱好、认知水平、家庭背景等方面存在差别。
在学习过程中，如果能够正确处理不同个体之间的关系，教师就能够发现并更好地发挥每个学生的优势，满足他们的需求，让每个学生都能发挥他们的最大潜力。
不等关系理论在教育中的应用根据不等关系理论，在教育中应用个性化教学法，为学生提供根据不同学生需求的教育方案。
在实际教学过程中，教师应该通过一系列方法去掌握每个学生的学习情况，了解每个学生的个体差异，以改善传统教学中以团体为单位的一贯做法。
同时，在课堂上，教师应该利用不等关系理论，将学生分为不同的层次，根据不同层次制定不同计划，以促进教学的成效。
例如，在学习语文时，教师应该先了解每个学生的语文基础知识水平，根据不同的水平制定有针对性的教学计划。
不等关系视野下的教育思考在以往的教学模式中，教育者往往会将学生视为一个群体，对所有学生进行相同的统一管理，而忽略了每个学生的个性差异。
这种教学模式的不谙，导致许多学生的个性差异无法得到发掘，限制了学生的发展。
正是在这种背景下，不等关系理论的提出，为我们提供了一种更加全面的视角。
在这种视野下，我们将能够更好地发掘每个学生的个性差异，根据每个学生的学习能力和个性需求做出不同的教育方案，提高教学的效果。
不等关系视野的限制虽然不等关系理论提出的是一种非常优秀的教学模式，但这种视野下的教学模式又不能完全包容所有的学生。
在实际教学中，我们也遇到过一些个体性差异非常大的学生，他们可能因为生理或心理等原因，难以满足不等关系视野的教学需求。
生活中的不等关系
⽣活中的不等关系【学习⽬标】1.会⽤不等号“＜，＞，≤，≥，≠”等不等号连结两个数.2.理解描述不等关系的词语，例如：⼤于，⼩于，不⼤于，不⼩于，⼤于或等于，⼩于或等于，不等于…理解正数，⾮负数，负数等等⽤不等式表⽰的⽅法.3.感受⽣活中的不等关系，理解⽣活中有⼀些描述不等关系的词语，例如：最⼤（⼩），最⾼（低），超过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于，打破某项记录，限速，限⾼…会由题意列出最简单的不等式.【学习重点】⽤不等式表⽰数量之间的不等关系【学习难点】准确运⽤符号“＜”与“≤”，“＞”与“≥”【学习过程】⼀、情境创设（体会⽣活中的不等关系）：1、⼩磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg. 春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，⼩磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若⼩磊和妈妈坐⼀头，爸爸坐在另⼀头时，谁会向上跷？这说明：因为30kg 55kg（填写不等号），所以会向上跷；⼜因为30kg＋55kg 75kg. （填写不等号），所以会向上跷.2、⼀只纸箱质量为1kg.当放⼊⼀些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱⼦和苹果的总质量不超过10kg.（1）填表：(2)估计这只纸箱内最多能装多少个苹果？⼆、学习新知：（⼀）认识不等号： > ⼤于； < ⼩于；≠ 不等于；≤ ⼩于或等于（不⼤于）；≥ ⼤于或等于（不⼩于）（⼆）认识不等式：⽤不等号．．．表⽰不等关系的式⼦叫做不等式.1. 下列式⼦中，哪些是不等式？哪些不是?(1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a；(3)3x+5； (4)≥0；(5) s = vt； (6)； (7) 3 > 5； (8) 5x≤4x-1.2. ⽤“<，>，≤，≥”填空：(1) －0.3___0； (2) x 2 0(3) - x 2 0 （4）x 2-1 （5）- x 2 23. ⽤不等式表⽰：（1）x⼩于-6 （2）x+1⼤于0 （3）x⼤于或等于5 （4）x⼩于或等于-8 （5）x不⼤于6 （6）x不⼩于-2（7）x是正数（8）x是负数（9）x是⾮负数(10) x与5的和⼤于2 （11）x与a 的差⼩于2 （12）x与y的差是负数（13）x与y的和是⾮负数（14）x的2倍与5的和是正数（15）x与3的差是负数（16）x的3倍与y的2倍的和是⾮负数（三）⽤不等式表⽰下列数量之间的关系（将⽂字语⾔转化为不等式）：1. 某种客车坐有x⼈，它的最⼤．．载客量为40⼈．2. ⼩明每天跑步x分钟，学校规定每位学⽣每天跑步时间不少于．．．30分钟．3. 某校男⼦跳⾼记录是1.75 ⽶，⼩强在今年的运动会上打破．．了校纪录．4. 我班⼀位学⽣的⾝⾼为x⽶，我班学⽣最⾼．．是1.70⽶．5. 快车⽕车时速不超过．．．150 km/h，某快车的速度为x km/h．6. 某品牌奶粉规定每千克奶粉中蛋⽩质的含量x不⼩于．．．2.9 克.7. 冲藕粉时规定⽔温x不低于．．．95℃.8. 选⾝⾼⾼于1.75⽶的学⽣组成学⽣跑步⽅阵，⼩明被选上了，他的⾝⾼为x⽶．9. 矩形周长20cm，宽x cm，写出宽x的取值范围．三、当堂检测1. ⽤不等式表⽰：（1）a与b的和⼤于3：；（2）x的平⽅是⾮负数：；（3）a不⼤于b：；（4）x的3倍与－2的差是负数：；（5）m是⼤于－1且不⼤于2的数：____________________.2. ⽤不等式表⽰下列数量之间的关系: (1)⼩明某天骑车上学花了x分钟,他每天骑车上学的时间不少于25分钟：(2)亮亮每天做作业的时间在2 h以上，昨天他做作业花了t h ：(3)设有500个座位的礼堂坐了y⼈：（4）长⽅形的长为x cm，宽为10cm，其⾯积不⼩于200cm2： .（5）某商品原来的价格为6元/件，涨价x%后价格不⾼于9元/件： .（第3题）四、拓展提⾼1．⽤不等式表⽰：（1）x⼤于2且⼩于5（2）x不⼩于3且不⼤于6(3) a是⼤于2且不⼤于9的数2.等腰三⾓形的周长为40 cm，底长为x cm，则x的范围：等腰三⾓形的周长为40 cm，腰长为x cm，则x的范围：3.某⽔果批发市场规定：批发苹果不少于1000千克时，可享受每千克2.2元的最优批发价，个体⽔果经营户⼩王携款x元到该批发市场除保留200元作⽣活费外，全部以最优惠批发价买进苹果．⽤不等式表⽰问题中x与已知数量间的不等关系．。
不等关系与不等式
a －b ＞0 ⇔ a ＞b a＞
思考4 如果两个实数的差等于零， 思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？ 数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语 言描述这个原理？ 言描述这个原理？
学生活动one 学生活动one
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 ℃ 雷电的温度大约是 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 倍还要高。 表面温度的 倍还要高 度为t 那么t应满足怎样的关系式 应满足怎样的关系式？ 度为 ℃，那么 应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
课堂评价：用不等式表示下面的不等关系： 课堂评价：用不等式表示下面的不等关系：
698 x + 518 y ≤ 4000 x ≥ 0 y≥0 x, y ∈N*
实际应用中建构数学
实际问题： 实际问题：不等关系
抽象 概括 刻 画
数学问题： 数学问题：不等式
三、不等式基本原理 思考1 实数可以比较大小，对于两个实数a 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，
1.a与b的和是非负数； 与 的和是非负数 的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高 某公路立交桥对通过车辆的高度h“ 某公路立交桥对通过车辆的高度 4m” ”
0<h≤4
数学应用
二、用不等式组来表示不等关系
学生活动two 学生活动two
这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量（ ） 脂肪含量（f） 不少于2.5％ ％ 不少于 蛋白质含量（ ） 蛋白质含量（p） 不少于2.3％ ％ 不少于
人教版高中数学第3章3.1不等关系
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
②关于 a≤b 或 a≥b 的含义． 不等式 a≤b 应读作“a 小于或者等于 b”，其含义是 指“或者 a＜b，或者 a＝b”，等价于“a 不大于 b”，即 若 a＜b 或者 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确． 如 2＜3 正确，则 2≤3 没有逻辑错误，因为 2、3 是 具体数值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
因为 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－b>0，所以 b－a<0.所以 ab<0. 又 a>b，所以 a>0，b<0.故该命题为真命题．
名师点评 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意 条件和结论之间的联系，利用不等式的性质进行不等式的 证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质， 并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．
[变式训练]
1．国家计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)，为了减轻农民负担， 制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低 x 个百分 点，收购量能增加 2x 个百分点，税率降低后，国家此项 税收总收入不低于原计划的 78%.请用不等式表示上述不 等关系．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
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6. 不等关系
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”
表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x ＞5中，
x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合
不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)． 要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条
性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除
以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
a b c c
>a b c c
<
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6;
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
举一反三：
【变式】的值一定是（ ）．
A.大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零 2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10
＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为
＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；
（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2
；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 4.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ).
A ．a+c ＞b+c
B ．c-a ＞c-b
C ．ac ＞bc
D ． 性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，
不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞
”，则m 的取值范围是 ．
a a +1x a
b
c c
>3m
【考点练习】
考点一：不等式的定义
1：下面给出了6个式子①3＞0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
考点二：根据数量关系列不等式
2：用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数，列不等式为
（2）a 的一半与8的和大于5，列不等式为
（3）x与 17 的和比它的5倍小，列不等式为
（4）x,y 的平方和不小于这两数积的2倍，列不等式为
（5）m 除以3的商加上4至多为9，列不等式为
考点三：不等式关系在生活中的应用
1．如果莱州市2019年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天莱州市气温t （℃）的变化范围是（）
A．t＞33B．t≤33C．24＜t＜33D．24≤t≤33
2．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（）
A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人3．某种品牌的八宝粥外包装标明：净含量为330±10g则这罐八宝粥的净含量x的范围是4．一瓶饮料净重340g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为xg，则x g．
5．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是．（使用形如a≤x ≤b的类似式子填空．）
6．有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．
（1）m+n0；（2）m﹣n0；（3）m•n0；
（4）m2n；（5）|m||n|．
【课堂达标】
一、选择题
1.下列数学表达式中：①﹣2＜0，2x+3y ＞0，③x=2，④x 2+2xy+y 2
，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．下列不等式表示正确的是( ).
A ．a 不是负数表示为a ＞0
B ．x 不大于5可表示为x ＞5
C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0
D ．m 与4的差是负数可表示为m-4＜0
3.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a+3＞b+3 B ．2a ＞2b C ．-a ＜-b D ．a-b ＜0
5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.
A.a>c
B.a<c
C.a<b
D.b<c
6．下列变形中，错误的是（ ）.
A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5
B ．若，则
C ．若，则x ＞-5
D ．若，则 二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空：
(1)-10.8________10.4； (2)________； (3)________ (4)0________； (5)(-2)3________ (6)________； (7) ________0.66； (8)-1.11________
213x ->23
x <-115x -<1115x >511
x >1100-1100
15-16-134
-3|2|-11121213
23-
119-
8. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______；
②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________；
③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________；
④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；
⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．
三、解答题
9．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小．
(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1． 516x -
+516
y -+。