求函数值域的几种常见方法

求函数值域的几种常见

方法

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求函数值域的几种常见方法

河北涿州中学高二数学组------李瑞英

初等函数的值域是由函数的定义域和对应法则两个因素确定的，常常一个问题要覆盖多个知识点，涉及多种数学方法，渗透多种数学思想，因此它是高中阶段的一个难点。现对高中阶段常用的方法总结如下：

方法一：配方法 一般适用于二次函数类型的函数

例1.求函数

[]4,1,0!6)(2∈+-=x x x x f 的值域 解析：[]

[]5,1)(4,1,1)3()(2∈∴∈+-=x f x x x f

方法二：换元法：适用于含根式、分式、三角函数类型的函数，且在还原过程中需注意还原后t 的取值范围

例2．求函数x x y 21--=的值域 解析：令x t 21-=则

2t 1x 02

-=≥且t 1)1(212++-=∴t y 即

]21,(-∞∈y 方法三：分离常数法：适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围

例3．求函数521+-=x x

y 的值域 解析：由题意可知函数的定义域为

⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠25/x x 104721521++-=+-=x x x y

⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈∴,2121,y

方法四：单调性法：主要适用于能够判断单调性的复合函数、和函数。

例4．（1）求函数42221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的值域

（2）求函数x x y 21--=的值域

解析：（1）令422

+-=x x t 则3)1(2+-=x t 3≥∴t 而t

y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数

]81,0(∈y （2）由题意可知函数的定义域为

]21,(-∞ x x g x x f 21)(,)(--== 在定义域内都是单调增函数

)()(x g x f y +=∴在定义域内也是单调增函数

∈∴y ]21,(-∞

方法五;反解法（利用反函数的原理）

例5．求函数

22

11x x y +-=的值域 解析：由题意可知函数的定义域为R

02≥∴x 而函数

2211x x y +-=可化为y y x +-=112 011≥+-∴y y 即

]1,1(-∈y 方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式，在适用中注意适用范围

例6.(1) 求函数

1log log 33-+=x x y （x>1）的值域 (2) 求函数x x y 21015-+-=的值域

（3）求函数12-++=x x y 的值域

解析：（1） 令x 3log t =则 t>0 111211=-⋅≥-+=∴t t t t y 当且仅当

t t 1=即t=1时等号成立 )

,1[+∞∈∴y

(2) 由函数知其定义域为[1，5]，且y>0 36427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤

-⨯+-⨯

=x x x x y

（3）),3[3

121212+∞∈∴=-++≥-++=-++=y x x x x x x y 方法七：判别式法：一般转化为含参数y 的一元二次函数，注意二次项的系数 例七．求函数

1122+-+=x x x y 的值域 解析：由函数可知定义域为R

函数1122+-+=x x x y 可化为

01)1(2=-+--y yx x y （*）有解 当y-1=0即y=1时，（*）式可化为-x=0即x=0,满足题意

当1y ,01≠≠-即y 时

0)1y (4)y (22≥---=∆ 解得232≤≤y 1y 232≠≤≤∴且y 综上：函数的值域为]2,32[

方法八：平方法：注意定义域

例8．求函数x x y -++=21的值域

解析：由题意可知函数的定义域为[-1，2]

函数x x y -++=21可化为

[]

[]6,3y 6,34

9)21(23)2)(1(3222∈∈∴+--+=-++=即y x x x y

方法九：导数法：适用于次数比较高的整式函数

例9．求函数

)51(,2249)(23≤≤++-=x x x x x f 的值域 解析：令24183)(2'+-=x x x f =0得4,2==x x

方法十：构造法：构造距离、构造斜率，需数形结合求得

例10．求函数102422++++=x x x y 的值域 解析：2222)30()1()20()0(-+++-+-=x x y

的距离和到点轴上的点可看作函数C(-1,3)B(0,2),)0,x (A x y ∴ 作B(0,2)关于x 轴的对称点D(0,-2)则线段CD 的长度就是y 的最小值且

26=CD 所以函数的值域为),26[+∞

练习：1、求函数

[]2,2,33-∈-=x x x y 的值域 2、求函数3221++-=x x y 的值域

3、求函数

122

+--=x x x x y 的值域 4、求函数

12222+---=x x x x y 的值域 5、求函数x x

y cos 2sin --=的值域

6、求函数)1(112->+++=x x x x y 的值域

7、求函数

122+=x x

y 的值域 8、求函数x x y 2+=的值域

9、求函数

[]3,0,924421∈+⋅-=-x y x x 的值域 10．求函数45cos 3sin 2-

+=x x y 的值域 11．求函数()176log 22+-=x x y 的值域

总结：求初等函数的值域问题是一个综合性的问题，要想用单一的方法求函数

的值域是不可能，但也不是杂乱无章的，只要我们灵活的掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给解析式的特征，结合定义域灵活的选择方法，并力求一题多解方可达到举一反三的效果。