用矩阵法解方程组——excel高级应用

用矩阵法解方程组——excel高级应用

2008-07-12 15:57

1 理论基础

根据数学知识将方程组改写成矩阵方程的形式：

AX = B

其中，A =(a ij )n*n 为n阶系数方阵；X=( X1， X2，……，Xn），是n维未知列向量；B=(b1，b2，⋯ bn) ，为n维常数列向量。

若系数方阵A有逆矩阵则X=A-1B成立，这样一来，就由求解线性方程组的问题转变成求未知向量的问题．系数方程A 有逆矩阵的充分必要条件是A 所对应的行列式的值不为0．即：若系数行列式l A l≠0，则方程组必有唯一的解：X=A-1B，这样求解线性方程组的过程就是进行一系列矩阵运算的过程，而Excel提供了一些矩阵运算的函数，利用这些函数可以很容易地进行相关的矩阵运算，从而得到线性方程组的解．

2 实例求解

例如要求解的解线性方程组为：

2X

1l+3 X

2

+2 X

3

+3 X

4

=0

3 X

1+2 X

2

-2 X

3

+3 X

4

= 3

3 X

1+3 X

2

+3 X

3

-4 X

4

= 14

2 X

1-2 X

2

-3 X

3

-3 X

4

=7

求解具体步骤如下：

1)在Excel中输入系数方阵．

在Excel工作表中任选4行4列的一个区域，如：A ：D4，将系数行列式的元素依次输入到该区域

中去，如表1所．

2)判断线性方程组是否有解．

选择另外一个元格，如E1，单击“常用” 具栏中“fx函数”按钮．在“函数分类”中选择“数学与三

角数”类，然后选择“MDETERM”函数．在“Array”输入框中输入域A1：D4 。

单击“确定”按钮，在E1单元格中显示出行列式的值为一145。由此结果得知该方程组系数行列式的值不为0，此系数矩阵有逆矩阵，方程组有唯

一解．

3)求系数矩阵的逆A-1．

根据数学知识，当一个矩阵所对应的行列式的值不为O时，则该矩阵一定存在逆矩阵，在Excel中

逆矩阵可以用MINVERSE函数求得．

在Excel工作表中再选4行4列的一个区域F1：I4，单击“常用”工具栏中“fx函数”按钮．在“函数分类” 中选择“数学与三角函数”类，然后选择“MINVERSE”函数．在“Aray”输入框中输入区域A1：D4 并单击“确定”．将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处，然后同时按下Ctrl，Shift，Enter 3个键，则在区域FI：I4

中显示出矩阵A 的逆矩阵A-1的系数．

4)求线性方程组的解．

求线性方程组的解也就是求矩阵的逆矩阵A-1与列向量的乘积：

X= A-1B

在上面同一张工作表中的F 1：I 4区域存放的是系数矩阵的逆矩阵A～，再选定一个4行1列的区域如J1：J4 ，将列向量B输入到该区域中去。

另外选择一个4行1列的区域如K1：K4，单击“常用”工具栏中“fx

函数”按钮．在“函数分类”中选择“数学与三角函数”类，然后选择“MMULT”函数．

在“Array1 ”输入框中输入矩阵的逆A 所在区域F1 ：I4；在“Array2”输入框中输入列向量所在的

区域J1：J 4，然后单击“确定”．

将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处，然后按下Ctrl，Shift，Enter 3个键，则区域K1：K4中显

示出两个矩阵乘积结果，即方程的解：

X1=1；X2=2；X3= 一1；X4一2．

上述方法是在判断线性方程组有解的条件下，利用Excel所提供的相关函数进行矩阵运算，从而

得到线性方程组的解，避免了繁琐的手工运算，提高了工作效率．