攻克解析几何综合题的几种策略

收稿日期：2012-05-11

作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.

攻克解析几何综合题的几种策略

郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)

摘要：解析几何综合题，在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形结合、减少运算等一般性策略,在关键之处有点评,可有效解决这类难题之难点.

关键词：解析几何；综合题；高考题例；解题策略

解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题．这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一, 而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点, 很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.

一、全面审题，分部转化

由于解析几何综合题具有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形），通过审结论明确解题目标。但是，由于条件和结论距离甚远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。

例1（2011年湖南卷·理21）

如图1，椭圆22221:b

y a x C +)0(1>>=b a 的离心率为23

，x 轴被曲线22:x y c =b

-截得的线段长等于1C 的长半轴长． (1)求21C C 、的方程；

图1 (2)设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点MB MA B A 、、,分别与1C 相交于点D 、E . ①证明：;ME MD ⊥

②记MDE MAB ∆∆、的面积分别是,21S S 、问：是否存在直线l ，使得?32

17

21=S S 请说明理由.

解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线l 与2C 相交问题.第（1）

问易得21C C 、的方程分别为.1,14

222

-==+x y y x 第(2)问②，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线l 与2C 相交于点A 、B ，实施如下转化即可使问题获得解决:

1-=•⇔⊥⇔⊥MB MA k k MB MA ME MD .

第(2)问②为存在性问题，假设存在直线l 满足

32

1721=S S ，需要分别求出1S 、2S 的表达式，由MD ME ⊥与MA MB ⊥，则求出点A 、B 与D 、E 的坐标即可.

设直线MA 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由12

11

y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得0

1x y =⎧⎨=-⎩或1

2

11

x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k - 又直线MB 的斜率为11k -

，同理可得点B 的坐标为211

11

(,1)k k --. 【点评】利用类比推理，直接得到点B 的坐标，节省了运算.

于是22

1111211111111||||1||1||.222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=

又由122

1440

y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得22

11(14)80k x k x +-=， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12

1

2

12181441

14k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线的斜率为11

k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++，

于是211222

1132(1)||1

||||2(14)(4)

k k S MD ME k k +⋅=⋅=++， 因此

211221

11

(417)64S k S k =++. 由题意知，

21211117(417)6432

k k ++=

，解得214k =或2

114k =. 又由点A 、B 的坐标可知，212111

11

1

11k k k k k k k -

=

=-+

，所以3

.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =

和32

y x =-. 【点评】若直接设AB 的方程为y =kx 与抛物线2C 的方程联立，可以用k 表示出1S ，但用k 表示2S 的运算就复杂了.所以注意运用①的结论，即MD ME ⊥与MA MB ⊥，转化为直线MA (MD )与1C 、2C 的关系，进而把1S 、2S 都用MA 的斜率1k 表示，通过点A 、B 的坐标完成了与k 的“对接”.

二、设而不求，整体处理

在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的坐标、直线方程、

圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键.要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越功效.

例2（2011年浙江卷·理21）

已知抛物线1:C 2

x ＝y ，圆2:C 22

(4)1x y +-=的圆心为点M .