中考复习第8讲拱形抛物问题(李)

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中考数学总复习《拱桥问题(实际问题与二次函数)》专项提升训练题-附答案

中考数学总复习《拱桥问题（实际问题与二次函数）》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的AA的距离为8m.最高点C离地面1(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？2．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水PO=），小孔水面宽位时，大孔水面宽度AB为30m，大孔顶点P距水面10m（即10mQD=），建立如图所示的平面直角坐标系．度BC为12m，小孔顶点Q距水面6m（即6m(1)求大孔抛物线的解析式；(2)现有一艘船高度是6m，宽度是18m，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．(3)当水位上涨4m时，求小孔的水面宽度EF．3．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，OB=，拱顶A到水面的距离为5m．其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度20m(1)求这条抛物线的表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为0.4m的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在A 处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为8m，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于1m．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升0.3m，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．4．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（12AB=米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线AB 上的C 点处（此时OC AB ⊥），做好标记测量得到 3.6OC =米，用同样的方法测得0.6OD =米．圆弧与AB 交于M 、N 两点，在N 点处测得2PN =米（此时PN 垂直AB ）．根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题：(1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧MDN 是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧MDN 所在圆的半径．5．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为248m ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：抛物线型拱门的跨度12m ON =，拱高4m PE =，其中，点N 在x 轴上PE ON ⊥，OE EN =要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架ABCD 的面积记为S ，点A 、D 在抛物线上，边BC 在ON 上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数表达式；(2)当3mAB=时，求矩形框架ABCD的面积S．6．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直坐标系，y 轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1)求抛物线的解析式．.，宽为2.8m，它能从正中间通过该隧道吗？(2)现有一辆货运卡车，高为56mOA=米时，7．图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为12水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．(1)求该拱桥抛物线的解析式；(2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度．AB=，当水位上升8．如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽20m3m时，水面宽10mCD=．(1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为．(2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，它能否安全通过此桥？9．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时（AB所示），桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．(1)在如图所示的直角坐标系中，求该抛物线的解析式；(2)突遇暴雨，当水面上涨1m时（CD所示），水面宽度减少了多少？(3)雨势还在继续，一满载防汛物资的货船欲通过此桥，已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似看成是宽6m，高2m的矩形．那么当水位又上涨了0.5m时，此船是否可以通过，说明理由．10．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式；(2)因降暴雨水位上升1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4.5m（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．11．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度12OM =米，顶点P 到底部OM 的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M 在x 轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一：“川”字形内部支架（由线段AB PN DC ，，构成），点B N C ，，在OM 上，且OB BN NC CM ===，点A D ，在抛物线上，AB PN DC ，，均垂直于OM ；方案二：“H ”形内部支架（由线段A B ''，D C ''和EF 构成），点B '，C '在OM 上，且OB B C C M ''''==，点A '，D 在抛物线上，A B ''，D C ''均垂直于OM E F ，，分别是A B ''，D C ''的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．12．如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m ，在高度为10m 的两支柱AC 和BD 之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m ；(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱EF 的长；(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3.2m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由.13．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9米；10AB =米， 2.4BC =米(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m 米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m 的取值范围是多少？14．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶(P 抛物线最高点)离水面的距离为4米时，水面的宽度OA 为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．(1)求这条抛物线的解析式．(2)当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P 到水面CD 的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚饺洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OB 约为20米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为()211016y x k =-++，求主桥拱最高点A 与其在水中倒影A '之间的距离．参考答案： 1．(1)21832y x =-+ (2)这辆货车能安全通过2．(1)221045y x =-+ (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，(3)43m3．(1)2120y x x =-+ (2)安全4．(1)21 3.610y x =-+ (2)圆弧MDN 不是半圆(3)2565．(1)21493y x x =-+； (2)218m ．6．(1)2164y x =-+ (2)这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道．7．(1)该拱桥抛物线的解析式为()21y x 649=--+； (2)拱桥内水面的宽度62米．8．(1)2125y x =- (2)该船的速度不变继续向此桥行驶35km 时，它能安全通过此桥。

中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题

中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题一、选择题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A．2.76米B．7米C．6米D．6.76米2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面 1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米二、填空题4.如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．5.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．6.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在为y=−x2+4x+94水池外．三、解答题7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？8.如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度AB=40米，拱桥高度为10米．(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；(2) 若测量得拱桥内水面宽度为28米，求拱桥内的水深．9.已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．(1) 写出隧道截面的面积y(m2)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少（精确到0.1m2）？10.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米（图中用线段AD，FG，CO，BE等表示桥柱），CO=1米，FG=2米．(1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2) 求桥柱AD的高度．11.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示，已知OA=8米，距离O点2米处的棚高BC为9米．4(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁DE的长度是多少米？12.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；(2) 求水管AB的长．13.如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．(2) 若水面上升1m，水面宽度将减少多少？14.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．15.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是 4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．16.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式．(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．17.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．(1) 画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；(2) 在抛物线型拱壁E，F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？18.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．(2) 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4√3≈7）(3) 运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑多少米？（取2√6≈5）答案一、选择题1. 【答案】D【解析】设该抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =10，代入表达式得 −4=a ×102，解得 a =−125，故此抛物线的表达式为 y =−125x 2，∵ 桥下水面宽度不得小于 18m ，∴ 令 x =9 时，可得 y =−125×81=−3.24(m )，此时水深 6+4−3.24=6.76(m )，即桥下水深 6.76m 时正好通过， ∴ 超过 6.76m 时则不能通过．2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 MN =4 米，EF =14 米，BC =10 米，DO =32 米，设大孔所在抛物线的解析式为 y =ax 2+32(a ≠0)，∵BC =10 米， ∴ 点 B (−5,0)，∴0=a ×(−5)2+32， ∴a =−350，∴ 大孔所在抛物线的解析式为 y =−350x 2+32，设点 A (b,0)，则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =m (x −b )2， ∵EF =14 米，∴ 点 E 的横坐标为 −7， ∴ 点 E 的坐标为 (−7,−3625)，当 m (x −b )2=−3625 时，解得 x 1=65√−1m +b ，x 2=−65√−1m +b ， ∵MN =4 米， ∴∣∣∣∣65√−1m +b −(−65√−1m +b)∣∣∣∣=4， ∴m =−925，∴ 顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =−925(x −b )2，∵ 大孔水面宽度为 20 米，∴ 当 x =−10 时，y =−92， ∴−92=−925(x −b )2， ∴x 1=5√22+b ，x 2=−5√22+b ，∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+b)−(−5√22+b)∣∣∣=5√2（米）．故选B ．二、填空题4. 【答案】 36【解析】如图所示：设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B ， ∵10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称，则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒， ∴ 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒，从 O 到 C 需要 2×18=36 秒．5. 【答案】 7.24【解析】设抛物线 D 1OD 8 的解析式为 y =ax 2，将 x =−13，y =−1.69 代入，可得 a =−1100．因为横梁 D 1D 8=C 1C 8=AB −2AC 1=36 m ，所以点 D 1 的横坐标是 −18，代入 y =−1100x 2，得 y =−3.24．因为 ∠A =45∘，所以 D 1C 1=AC 1=4 m ，所以 OH =3.24+4=7.24 m ．6. 【答案】 92三、解答题7. 【答案】(1) 根据题意，A (−4,2)，D (4,2)，E (0,6)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+6(a ≠0)，把 A (−4,2) 或 D (4,2) 代入得 16a +6=2，得 a =−14，抛物线的解析式为 y =−14x 2+6．(2) 根据题意，把 x =±1.2 代入解析式，得 y =5.64， ∵5.64>4.5，∴ 货运卡车能通过．【解析】(1) 方法二：设解析式为y=ax2+bx+c，代入A，D，E三点坐标得{16a−4b+c=216a+4b+c=2c=6，得{a=−14b=0c=6，抛物线的解析式为y=−14x2+6．8. 【答案】(1) 建立如图所示坐标系，设抛物线铁板式为y=ax2；由题意得，B(20,−10)，∴−10=202a，解得a=−140，∴y=−140x2．(2) 由题意得，点D横坐标为28÷2=14，当x=14时，y=−140×142=−4.9，−4.9−(−10)=5.1．∴拱桥内的水深5.1米．9. 【答案】(1) y与x之间的函数表达式是y=12πx2+5x；(2) 当x=2时，y=12π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2)．所以隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是16.3m2．10. 【答案】(1) 由题意可知：点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为(−4,2)．设抛物线的函数解析式为y=ax2+c，所以{1=c,2=16a+c,解得{a=116,c=1.所以抛物线的函数解析式为y=116x2+1．(2) 点A的横坐标为−8，当x=−8时，y=5，所以桥柱AD的高度为5米．11. 【答案】(1) 由题意可得，抛物线经过(2,94)，(8,0)，故{64a+8b=0,4a+2b=94,解得{a=−316,b=32,故拋物线的解析式为y=−316x2+32x．(2) 由题意可得，当y=1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1=4+2√2，x2=4−2√2，故DE=x1−x2=4+2√2−(4−2√2)=4√2（米）．12. 【答案】(1) 以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为y =a (x −1)2+3，代入 (3,0)，求得 a =−34，故所求的函数解析式为 y =−34(x −1)2+3(0≤x ≤3)．(2) 令 x =0，则 y =94=2.25．故水管 AB 的长为 2.25 m ．13. 【答案】(1) 以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A (−6,−4)，B (6,−4)，C (0,0)，设 y =ax 2，把 B (6,−4) 代入上式，36a +4=0，解得：a =−19，∴y =−19x 2．(2) 令 y =−3 得：−19x 2=−3，解得：x =±3√3， ∴ 若水面上升 1 m ，水面宽度将减少 12−6√3．14. 【答案】(1) 如图，A (−4,0)，C (0,4)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+k (a ≠0)，由题意，得 {16a +k =0,k =4,解得 {a =−14,k =4,∴ 抛物线的解析式为 y =−14x 2+4．(2) 2+0.42=2.2，当 ∣x ∣=2.2 时，y =−14×2.22+4=2.79，2.79−0.5=2.29(m )．答：该货车能够安全通行的最大高度为 2.29 m ．15. 【答案】(1) 以 AB 的中点为原点，建立如下的坐标系，则点 C (0,6)，点 B (5,0)．设函数的表达式为 y =ax 2+c =ax 2+6(a ≠0)，将点 B 的坐标代入上式，得 0=25a +6，解得 a =−625，故抛物线的表达式为 y =−625x 2+6．(2) 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为 2，当 x =2 时，y =−625x 2+6=−625×4+6=12625=5.04，船的顶部高为 4.5，4.5+0.5=5<5.04，故顶部通过符合要求，故这艘游船能安全通过玉带桥．16. 【答案】(1) 方案二；(10,0)；由题意知，抛物线的顶点坐标为 A (5,5)，且经过点 O (0,0)，B (10,0)，设抛物线的解析式为 y =a (x −5)2+5（a ≠0），把点 (0,0) 代入，得 0=a (0−5)2+5，解得a=−15．∴抛物线的解析式为y=−15(x−5)2+5．(2) 在方案二的前提下，由题意知，当x=5−3=2时，−15(x−5)2+5=165，所以水面上涨的高度为165米．17. 【答案】(1) 画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，可设抛物线ADC的函数表达式为y=a(x−6)2+10，将x=0，y=4代入得：a=−16，∴抛物线ADC的函数表达式为y=−16(x−6)2+10．(2) 由y=8得：−16(x−6)2+10=8，解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3，则EF=x1−x2=4√3，即两盏灯的水平距离EF是4√3米．18. 【答案】(1) 根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y=a(x−6)2+4，将点A(0,1)代入，得36a+4=1，解得a=−112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式为y=−112(x−6)2+4．(2) 令y=0，得−112(x−6)2+4=0，解得x1=4√3+6≈13，x2=−4√3+6<0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米．(3) 如图，足球第二次弹起后的水平距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴−112(x−6)2+4=2，解得x1=6−2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2−x1=4√6≈10（米），∴BD=13−6+10=17（米）．答：运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑17米．。

人教版九年级数学上知识点深度解析第3课时拱桥问题和运动中的抛物线

3
4
3. 如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动

路线是抛物线 y ＝－（ x ＋1）（ x －7）的一部分.

铅球落在 A 点处，则 OA ＝
7
第3题图
1
2
3
4
m.
⁠
4. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h
（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间
2
的关系式是 h ＝－ t ＋10 t （0≤ t ≤4）.

（1 ）当小球的高度是 8.4m时，求此时小球的运
动时间；
1
2
3
4
2
解：（1）由题意可得8.4＝－ t ＋10 t ，解得 t1＝1.2，

t2＝2.8.
∵0≤ t ≤4，∴ t1＝1.2， t2＝2.8都符合题意.
∴当小球的运动时间为1.2s或2.8s时，它的高度是8.4m.
实物问题
运动路线
（轨迹）
问题
具体方法
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛
物线形状的图形放到平面直角坐标系中；
（2）从已知条件中获得求二次函数解析
式所需要的条件；
（ 3 ）利用待定系数法求出抛物线的解
析式；
（4）根据所求出的抛物线解析式去解决
相关问题.
当堂检测
1. 一足球被踢出后，距离地面的高度 h （m）和飞行
第二十二章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线
要点归纳
知识要点
拱桥问题和运动中的抛物线
常见情形
几种常见的抛物线形实物有拱形桥

2023年中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题(提优篇)

2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按x2+bx+c表示．在抛物线形拱壁上照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m3.【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为( )A．1m B．2m C．√3m D．2√3m4.【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加( )A．1m B．2m C．3m D．6m5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )的关系式为y=−125A．−20m B．20m C．10m D．−10m6.某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米．7.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须米的空在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为米.8.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水，流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−x2+4x+94那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．9.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征．如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为．10.如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线，开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为米．11.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．12.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现将它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，则抛物线的解析式是．13.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无须证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）14.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2−45x+3的绳子．(1) 求绳子最低点离地面的距离．(2) 因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长．(3) 将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，数始终为14求m的取值范围．15.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图（1）所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．(1) 求该抛物线的函数表达式．(2) 当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4,1.3)，东东起跳后所持球离地面高度ℎ1(m)（传球前）与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式ℎ1=−2(t−0.5)2+2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5,0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度ℎ2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图（2）所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中运动时间忽略不计）．16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+ℎ．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．(1) 当ℎ=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2) 当ℎ=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求ℎ的取值范围．17.在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为x轴建立平面直角坐标系，得到图1．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线y=1100x2−45x+30．(1) 求电线杆AB和线段BD的长．(2) 因实际需要，电力公司在距离AB为30米处增设了一根电线杆MN（如图2），左边抛物线F1的最低点离MN为10米，离地面18米，求MN的长．(3) 将电线杆MN的长度变为30米，调整电线杆MN在线段BD上的位置，使右边抛物线F2的二次项系数始终是140，设电线杆MN距离AB为m米，抛物线F2的最低点离地面的距离为k米，当20≤k≤25时，求m的取值范围．18.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．求：(1) 以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？19.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16m．距离为3m，到地面OA的距离为172(1) 求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3) 在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？21.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．22.如图1，某穿山隧道纵截面为半圆形，圆心O的左右两边各有一条宽为3.75m的机动车道（OC，OD）和宽为1.25m的非机动车道（AC，BD）．（备注：机动车与非机动车通行时都只能在各自车道行驶，不能越线）(1) 若有一辆宽3.3m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）(2) 为改善通行条件，地方政府另外修建了一条单向隧道，并打算将如图1所示的隧道改建成如图2所示的抛物线形隧道，并要求：①隧道宽度AB及最大高度均保持不变；②只需保留一条单向机动车道(MN)；③两条非机动车道（AM，BN）均拓宽为2m．问：改建后，若有一辆宽3.8m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）23.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系中始于原点O的一段抛物线，图中数据为已知条件．在跳某个规定动作时，正常米，入水处距池边的距离为4米，同时，运情况下，这个运动员在空中的最高处距水面1023动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1) 求这段抛物线的表达式．(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中米，问此次跳水是否会失误，为什么？调整好入水姿势时，距池边的距离为33524.校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为5m．(1) 把该桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2) 施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，请你帮助工人师傅设计计算模型中左侧第二根立柱的高．25.如图是立交路上方一座抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB=12米，拱高OM=4米．按规定，汽车通过桥下时，车顶与桥拱之间的距离CD不小于0.5米．(1) 以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的表达式．(2) 一辆宽4米、高2.5米（车顶与地面AB的距离）的平顶货车能否通过拱桥？为什么？。

初中数学拱桥解题技巧

初中数学拱桥解题技巧在初中的数学学习中，拱桥问题是一个重要的知识点，常常出现在各种考试和竞赛中。

本文将介绍如何有效地解决拱桥问题，包括解题技巧、常见错误和注意事项。

一、理解基本概念首先，我们需要了解拱桥问题的基本概念，如拱桥的形状、压力的分布、受力平衡等。

这些概念是解决拱桥问题的基础。

同时，也需要了解一些数学工具，如三角函数、勾股定理等，它们在解决拱桥问题时非常重要。

二、掌握解题技巧1.观察与分析：在解决拱桥问题时，首先要仔细观察题目，找出题目中的关键信息，如拱桥的形状、桥面的材料、桥面的受力等。

分析这些信息，有助于我们找到解题的思路。

2.建立模型：根据题目中的信息，建立数学模型。

常用的数学模型有三角形、圆、抛物线等。

通过这些模型，我们可以解决拱桥形状、受力平衡等问题。

3.运用公式：在建立数学模型后，需要运用相应的数学公式来解决问题。

例如，在解决拱桥的形状问题时，可以使用三角函数或勾股定理来求解。

4.灵活转换：在解决拱桥问题时，需要灵活转换角度，从不同的角度来解决问题。

例如，从桥面的受力角度和从拱桥的形状角度来解决问题，可以得到不同的答案。

三、常见错误和注意事项1.忽略细节：在解决拱桥问题时，常常会因为忽略细节而犯错。

例如，没有认真分析题意、没有仔细审题等。

因此，在解题时一定要认真仔细，确保不会漏掉任何信息或细节。

2.数学计算错误：在解决拱桥问题时，数学计算非常重要。

因此，一定要注意计算过程中的细节，避免因为粗心而犯错。

3.思维定势：在解决拱桥问题时，一定要注意不要被思维定势所限制。

例如，在解决拱桥的受力问题时，不要只想到一种情况，而忽略了其他可能的情况。

4.理解偏差：对于一些比较抽象的问题，需要花费更多的时间去理解题意和解题思路。

因此，一定要多读几遍题目，确保自己真正理解了题目的意思。

通过以上技巧和注意事项，我们可以更好地解决拱桥问题。

同时，我们还需要不断地练习和巩固这些技巧和知识，提高自己的解题能力和自信心。

2023年中考数学复习难点突破专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题(含答案)

专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A ．4.5B ．C ．D ．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B ．C ．6 D ．4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+C ．251825y x x =--D ．21816255y x x =-++ 7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x 轴，AB的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处为18m的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽度为12m．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12,m拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度﹒14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的A B的长度．支柱，防护栏最高点距离底部0.5m（如图），求其中防护支柱1115．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）.(1)点P与水面的距离是________m；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m后，水面的宽变为多少？17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？21．如图是美国开发西部的标志性建筑如果把拱门看作—条抛物线，其拱高和底宽都是192米，请建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式．三、填空题22．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．23．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米．24．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为211020y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__________米．25．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．26．如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 3D 1和其上方的抛物线D 1OD 3组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB =44米，∠A =45°，AC 1=4米，点D 2的坐标为（-14，-1.96），则桥架的拱高OH =________米．27．如图是抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度增加2米时，水位下降_________米28．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 29．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．30．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．31．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．32．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m【答案】C【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设A 点坐标为(8,)y -，代入抛物线方程得：164164y =-⨯=-，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A．4.5B．C．D．【答案】D【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-12．∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-12x2+2，解得：x=±7．-（，∴水面宽度为m．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B．C．6D．【答案】A【分析】y=-代入解析式结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3求得相应的x的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =，2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米【答案】C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y＝ax2－a．∵OH＝2×15×12＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝58 -．∴y＝58-x2＋58．∴EF＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+，代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+．当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+ C ．251825y x x =-- D ．21816255y x x =-++ 【答案】B【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．【详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为()22016y a x =-+，将原点坐标代入可得400160a +=，解得：a ＝125-，故该抛物线解析式为y ＝()21201625x --+ ＝218255x x -+ 故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：2y ax =，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m 时，求出当x=3时，对应y 值即可解答．【详解】解：设此函数解析式为：2y ax =，0a ≠；那么(2,2)-应在此函数解析式上．则24a -= 即得12a =-，那么212y x =-．当x=3时，25132 4.y =--⨯=∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）故选：C.根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点． 8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米【答案】B【分析】先确定C 点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C 点的坐标，从而可得到AC 的长；【详解】∠AC x ⊥轴，OA=10米，∠点C 的横坐标为10-，当10x =-时， ∠()218016400y x =--+()21171080164004=---+=-， ∠1710,4C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴桥面离水面的高度AC 为174米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）21(6)106y x =-+﹣；（2）能安全通过【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令x ＝10，求出y 与6作比较．（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：2(6)10y a x=+﹣，将点B （0，4）代入，得：36104a +＝，解得：16a =-，故该抛物线解析式为21(6)106y x =-+﹣；（2）根据题意，当x ＝6+4＝10时，y 16=-⨯16+10223=＞6， ∴这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【答案】能，理由见解析【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数解析式为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处为18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．【答案】（1）21818y x =-+；（2）不能开到桥下【分析】（1）设抛物线解析式为()()88y a x x =+-，代入（0,8）即可求解；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可．【详解】（1）∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得()()8012012a =+-，解得118a =- ∴抛物线解析式为21818y x =-+；（2）当x=9时，得2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升4m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为12m ．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【答案】（1）如图所示，2116y x =-；（2）1252小时【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax 2．把D （6，b ），则B （10，b －4）代入解方程组即可；（2）由（1）可求得点B 坐标，进而可得拱桥顶O 到正常水位AB 的距离，进而求出时间．【详解】（1）如图所示：设所求抛物线的解析式为y=ax 2，设D （6，b ），则B （10，b －4），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：364100b a b a =⎧⎨-=⎩，解得：11694a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2116y x =-；（2）∵94b =-， ∴b －4= 944--= 254- ∴拱桥顶O 到正常水位AB 的距离为254m ∴2540.1 2510=41⨯ 125=2小时．所以再持续1252小时到达拱桥顶．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB 为12,m 拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6m ．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m ，求水面上涨的高度﹒【答案】（1）2166y x =-+；（2）116m 【分析】（1）根据题意，C 点是抛物线的顶点且位于y 轴上，A 、B 点是抛物线与c 轴交点，所以抛物线的对称轴为y 轴，得A （-6,0）、B （6,0）、C （0，6）然后设二次函数解析式为2y ax k =+，，将点B 、C 带入解析式解出即可.（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为5-和5，将其代入解析式求得y 值即可.【详解】解：（1）设二次函数解析式为2y ax k =+ 由题意得，()),6,006,BC （ 26y ax ∴=+2066a ∴=⋅+16a ∴=-∴解析式为2166y x =-+ （2）由题意得，水面宽度的横坐标为5-和5．212511566666y ∴=-⨯+=-+= ∴水面上涨的高度为116m ．【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏最高点距离底部0.5m （如图），求其中防护支柱11A B 的长度．【答案】防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2，由待定系数法求得解析式，再将点A 1的横坐标代入解析式，即可得出点B 1的纵坐标，则可得出答案．【详解】解：如图所示，点C 坐标为（1，-0.5）设抛物线的解析式为：2y ax =，将点C 坐标代入得： 0.5a =-，∴抛物线的解析式为：20.5y x =-，由题意可得点1A 的横坐标为0.6-，∴点1B 的纵坐标为：20.5(0.6)0.18y =-⨯-=-，0.5-0.18=0.32，∴防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【点睛】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．15．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m ，跨度为10m ，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m ，高3.2m 的厢式货车能否安全通过此隧道?【答案】（1）y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=4 25 -所以抛物线解析式为：y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，∴当x=6时，y=425-（6-5）2+4=3.84>3．∴货船能从桥下通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）. (1)点P 与水面的距离是________m ；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m 后，水面的宽变为多少？【答案】（1）32（2）y ＝－12x 2＋2x.（3）【分析】∠1）根据点P 的横纵坐标的实际意义即可得；∠2）利用待定系数法求解可得；∠3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】(1)由点P 的坐标为3(3,)2,知点P 与水面的距离为3m 2，故答案为32； (2)设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A (4,0)∠P 3(3,)2代入，得： 16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-+； (3)当y =1时,2121,2x x -+=即2420x x -+=，解得：2x =则水面的宽为2(2+=【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB 为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．【答案】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y 3=-代入解析式即可求解．【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：2y a x = 把（6，-4）代入2y a x =，可得1a 9=- 则抛物线的函数表达式为：21y 9x =- 当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y 3=-令y 3=-，则2139x -=-，解得：x =±∴此时水面的宽为：【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题关键． 18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm. （1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m 、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.【答案】（1）y=-213x （2）能【分析】∠1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；∠2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2∠a≠0∠∠将A∠3∠-3）代入y=ax2∠-3=9a，解得：a=-1 3∠∴抛物线的解析式为y=-13x2∠∠2）当x=2时，y=-13×22=-43∠∠-43-∠-2∠=23∠0.5∠∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.【答案】正确. 22003x y =或236200y x =-+ 【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为y=ax 2，∵图像过（20，6），∴6=a ×202，解得：a=-3200， ∴抛物线的表达式为y=-3200x 2. ②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为y=-3200x 2+6.故正确，抛物线表达式为y=-3200x 2或y=-3200x 2+6. 【点睛】建立适当的坐标系是数学建模的关键，需认真分析图形特征．20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）二次函数解析式为24(5)425y x =--+；（2）桥洞离桥面的高是1.76米．【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a （x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a 的值．（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为()5,4，所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为2(5)4y a x =-+，由图象知该函数过原点，将(0,0)O 代入上式，得：20(05)4a =-+，。

2024年中考数学高频考点专题复习-拱桥问题(实际问题与二次函数)

2024年中考数学高频考点专题复习-拱桥问题（实际问题与二次函数）1．某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度OP为6米，现以地面（OP所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“ABCD（由四根木杆AB﹣BC﹣CD﹣DA组成），使B，C两点在抛物线上．A，D两点在地面OP上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？2．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2．5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明．3．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？4．陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 OABC ，上部近似为一条抛物线．已知 3OA =米，2AB =米，窑洞的最高点 M (抛物线的顶点)高地面 OA 的距离为 258米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG ，使得点 D E 、在矩形 OABC 的边BC 上，点 F G 、在抛物线上，那么这个正方形窗户 DEFG 的边长为多少米？5．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，桥拱上的点到水面的竖直高度y （单位：m ）与到点O 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.01309y x =--+，据调查，龙舟最高处距离水面2m ，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m ．(1)水面的宽度OA =_______m ；(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m ，求最多可设计龙舟赛道的数量．6．如图，某长为800m 的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m 的墙OA ，右侧是高为5m 的墙BC ，拱壁上某处离地面的高度()m y 与其离墙OA 的水平距离()m x 之间的关系满足216y x bx c =-++．现测得,OA BC 两墙体之间的水平距离为12m ．(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OC的距离．(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于203m32，每相邻两排吊灯之间的水平距离为2m，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m．求共需要多少盏吊灯？(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m，两条车道之间是宽为1m的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为5m、宽为4m，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．7．（1）解方程：22125x x-+=（2）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面AB宽4m．若水面上升1m，求水面的宽度．8．某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4mAD=，宽3mAB=，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/2m．已知2mGM=，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本）9．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在的直线为x 轴，以过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求12m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式；(2)现需在这一隧道内壁的同样高度的A 、B 处安装上照明灯，如图所示，若要求A 、B 两个照明灯之间的水平距离为8m ，求出此时A 、B 两个照明灯距离地面的高度．10．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度AB 为4米，桥墩露出水面的高度AE 为0.88米，在距点A 水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+，其中()m x 是横截水面，()m y 是拱桥距水面的高度．(1)求抛物线的表达式；(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C 、D 两处设置航行警戒线，并且CE DF =，要求游船能从C 、D 两点之间安全通过，则C 处距桥墩的距离CE 至少为多少米？11．如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径AB 为20m ，此时水位在OC 处，在水面以上的桥墩AO BC ，都为2m ，桥拱最高点P 离水面6m ．以OC 所在的直线为x 轴、AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．(2)当水位上涨2m 时，若有一艘船在水面以上部分高3m ，宽10.8m ，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 12．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m ，宽4m ，能否从该隧道内通过，为什么？13．即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE 为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O 点为原点，OM 所在的直线为x 轴，OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD ，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB ，AD ，CD 为三根承重钢支架，A 、D 在抛物线上，B ，C 在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？14．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽20m AB =，当水位上升3m 时，水面宽10m CD =．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；km h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨(2)有一条船以5/0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？参考答案：1．（1）213(06)2y x x x =-+≤≤（2）33）最多需要准备11米该种木杆． 2．（1）y=-16x 2+2x ．（0≤x≤12）；（2）不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆． 3．（1）抛物线的函数关系式为y =16-x 2+2x +4，拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（2）可以通过（3）两排灯的水平距离最小是43m ．4．(1)()2132503228y x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)1米5．(1)60(2)4条．6．(1)212510096496y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，1009m 96 (2)486盏(3)货车无论从哪条车道都能安全通过7．（1）126,4x x ==-（2）22m8．(1)2114y x =-+ (2)每个B 型活动板房的成本为3725元9．(1)21(6)94y x =--+ (2)5m10．(1)()212 2.882y x =--+； (2)C 处距桥墩的距离CE 至少为0.8米．11．(1)抛物线解析式为()2110625y x =--+ (2)此船不能通过桥洞 12．(1) 21(4)64y x =--+；(2) 货车能通过隧道 13．（1）()2124042y x x x =-++≤≤；（2）能正常进入；（3）650元 14．(1)2125y x =- (2)水面宽是15m ，它能安全通过此桥。

实际问题与二次函数(三)-拱桥问题中的抛物线(课件)-九年级数学上册(人教版)

(2)计算所需不锈钢管的总长度.
解:(2)依题意得:
当x=0.4时，y=0.32
当x=0.8时，y=0.48
当x=1.2时，y=0.48
当x=1.6时，y=0.32
所需不锈钢管的总长度为50×2×(0.32+0.48)=80m.
7.如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准
段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图做成的立柱，为了计算所需不锈钢
立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)计算所需不锈钢管的总长度.
解:(1)以0为原点建立直角坐标.
设此抛物线解析式为y=ax(x-2),
依题意得，抛物线顶点坐标为(1，0.5)
1
∴0.5=a×1×(1-2)，解得a=2
2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面
3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米?
解:如图，建立直角坐标系
则点B的坐标是(0，3.5)，点C的坐标
是(1.5，3.05)
点A表示运动员投篮球的出手处
设y=ax2+3.5
把C(1.5，3.05)代入y=ax2+3.5得
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
(0,0)
1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称
抛物线
y轴
＞0
轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.

新人教部编版初中九年级数学上册22.3 第3课时拱桥问题和运动中的抛物线

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(1)求抛物线的解析式；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.
由题意可知顶点坐标为(4，6)，
∴y＝a(x－4)2＋6.
∵抛物线经过点A(0，2)，
∴a(0－4)2＋6＝2.
解得a＝－ 1 .
4 ∴该抛物线的解析式为y＝－
1
(x－4)2＋6.
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(2)一辆货车高4 m，宽4 m，能否从该隧道内通过，为什么？ (2)当x＝2时，y＝－ 1 ×(2－4)2＋6＝5＞4，
4 ∴该货车能通过隧道．
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4．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的表达式；
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(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少？ (2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4. ∵4－0＝4(s)， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是 4 s.
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(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？ (3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20. ∵－5<0，∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为20. 答：在飞行过程中，小球的飞行高度在第2 s时最大，最大高度是20 m.
c 54.0，
a 0.0195，
则 1600a 40b c 46.2，解得 b 0.585，

2021年九年级中考专题复习——二次函数(抛物问题)

2021年中考专题复习——二次函数(抛物问题)1.某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置,其中位于中间的喷水装置OA (如图)喷水能力最强,水流从A 处喷出,在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式2734y x x =-++()0x >.(1)求水流喷出的最大高度是多少米?此时最高处离喷水装置OA 的水平距离为多少米?(2)现若在音乐喷泉四周摆放花盆,不计其他因素,花盆需至少离喷水装置OA 多少米外,才不会被喷出的水流击中?2.为如图,已知女排球场的长度OD 为18米,位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米,一队员站在点O 处发球,排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时,到达最高点G,以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若排球运行的最大高度为2.8米,求排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式(不要求写自变量x 的取值范围);(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由;(3)若李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界)求二次函数中二次项系数的最大值.3.如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从O 点正上方2m 的A 处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.4.如图,儿童游乐场有一项射击游戏.从O处发射小球,将球投入正方形篮筐DABC.正方形篮筐三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).小球按照抛物线y=﹣x2+bx+c 飞行.小球落地点P 坐标(n,0)(1)点C坐标为;(2)求出小球飞行中最高点N的坐标(用含有n的代数式表示);(3)验证:随着n的变化,抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动;(4)若小球发射之后能够直接入篮,球没有接触篮筐,请直接写出n的取值范围.5.如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高2.6m的D点时,与M点的水平距离EM为6m.(1)在图中建立恰当的直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗?请说明理由.6.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m｡(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围｡7.把一个足球垂直水平地面向上踢,时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).(1)当t=3时,求足球距离地面的高度;(2)当足球距离地面的高度为10米时,求t;(3)若存在实数t1,t2(t1≠t2)当t=t1或t2时,足球距离地面的高度都为m(米),求m的取值范围.8.把一个足球垂直地面向上踢,t(秒)后该足球的高度h(米)适用公式h=20t-5t2.(1)经多少秒后足球回到地面?(2)圆圆说足球的高度能达到21米,方方说足球的高度能达到20米.你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?9.如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取7=)(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取5=)10.一名篮球运动员传球,球沿抛物线y=-x2+2x+4运行,传球时,球的出手点P的高度为1.8米,一名防守队员正好处在抛物线所在的平面内,他原地竖直起跳的最大高度为3.2米,问:(1)球在下落过程中,防守队员原地竖直起跳后在到达最大高度时刚好将球断掉,那么传球时,两人相距多少米?(2)要使球在运行过程中不断防守队员断掉,且仍按抛物线y=-x2+2x+4运行,那么两人间的距离应在什么范围内?(结果保留根号)11.一个足球被从地面向上踢出,它距地面高度y(m)可以用二次函数y=﹣4.9x2+19.6x刻画,其中x(s)表示足球被踢出后经过的时间.(1)解方程﹣4.9x2+19.6x=0,并说明其根的实际意义;(2)求经过多长时间,足球到达它的最高点?最高点的高度是多少?12.弹球游戏规则:弹球抛出后与地面接触一次,弹起降落,若落入筐中,则游戏成功.弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线.如图,甲站在原点处,从离地面高度为1m的点A处抛出弹球,当弹球运动到最高处,即距离地面2m时,弹球与甲的水平距离为2m.弹球在B处着地后弹起,此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半,再落至点C处.(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式(不要求写出x 的取值范围)(2)若不考虑筐的因素,求弹球第二次着地点到点O 的距离.(3)如果摆放一个底面半径为0.5m ,高0.5m 的圆柱形筐,且筐的最左端距离原点9m ,那么甲能投球成功吗?若能,请说说理由;若不能,请移动筐使甲投球成功,求筐的移动方向及移动距离m 的取值范围.13.在高尔夫球训练中,运动员在距球洞10m 处击球,其飞行路线满足抛物线2155b y x x =-+,其图象如图所示,其中球飞行高度为()ym ,球飞行的水平距离为()x m ,球落地时距球洞的水平距离为2m .(1)求b 的值;(2)若运动员再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球的飞行路线应满足怎样的抛物线,求抛物线的解析式;(3)若球洞4m 处有一横放的1.2m 高的球网,球的飞行路线仍满足抛物线2155b y x x =-+,要使球越过球网,又不越过球洞(刚好进洞),求b 的取值范围.14.如图,斜坡AB 长10米,按图中的直角坐标系可用5y x =+表示,点A ,B 分别在x 轴和y 轴上,且30OAB ︒∠=.在坡上的A 处有喷灌设备,喷出的水柱呈抛物线形落到B 处,抛物线可用213y x bx c =-++表示.(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围);(2)求水柱离坡面AB的最大高度;(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树,水柱能否越过这棵树?15.在小明的一次投篮中,球出手时离地面高2米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线,篮球中心距离地面3米,通过计算说明此球能否投中.探究一:若出手的角度､力度和高度都不变的情况下,求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中?探究二:若出手的角度､力度和高度都发生改变的情况下,但是抛物线的顶点等其他条件不变,求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中?探究三:若出手的角度､力度都改变,出手高度不变,篮筐的坐标为(6,3.44),球场上方有一组高6米的电线,要想在篮球不触碰电线的情况下,将篮球投入篮筐中,直接写出二次函数解析式中a 的取值范围.16.为庆祝新中国成立70周年,国庆期间,北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动,为此,某公园在中央广场处建了一个人工喷泉,如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛物线.如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m,且到地面的距离为3.6m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.17.如图,在某场足球比赛中,球员甲从球门底部中心点O 的正前方10m 处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线;当足球飞离地面高度为3m 时达到最高点,此时足球飞行的水平距离为6m .已知球门的横梁高OA 为2.44m .()1在如图所示的平面直角坐标系中,问此飞行足球能否进球门?(不计其它情况)()2守门员乙站在距离球门2m 处,他跳起时手的最大摸高为2.52m ,他能阻止球员甲的此次射门吗?如果不能,他至少后退多远才能阻止球员甲的射门?18.一名男生推铅球,铅球的行进高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之间的关系为21251233y x x =-++,铅球行进路线如图. (1)求出手点离地面的高度.(2)求铅球推出的水平距离.(3)通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m .19. 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练,出球口在桌面中线端点A 处的正上方,假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上,在乒乓球运行时,设乒乓球与端点A 的水平距离为(米),与桌面的高度为(米),运行时间为(秒),经多次测试后,得到如下部分数据:(秒)(米)(米)(1)当为何值时,乒乓球达到最大高度?(2)乒乓球落在桌面时,与端点A的水平距离是多少?(3)乒乓球落在桌面上弹起后,与满足①用含的代数式表示;②球网高度为0.14米,球桌长(1.4×2)米,若球弹起后,恰好有唯一的击球点,可以将球沿直线扣杀到点A,求的值.20.如图,小区中央公园要修建一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O 恰好在水面的中心,OA=1.25米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米,如图建立坐标系.(1)求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式(不要求写取值范围)(2)若不计其他因素,则水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外?(3)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池半径为3.5米,要使水流不落到池外,此时水流距水面的最大高度就达到多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?(4)在直线OB上有一点D(靠点B一侧),BD=0.5米,竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让水落入桶内,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.2米(圆柱形桶的厚度忽略不计)①如果竖直摆放5个圆柱形桶时,水能不能落入桶内?②直接写出当竖直摆放圆柱形桶多少个时,水可以落入桶内?21. 如图1,已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y,θ是水龙头的仰角,且v02=v x2+v y2.图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图,水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上(喷射点离地面高度忽略不计),坡顶的铅直高度OA为15米,山坡的坡比为13.离开水龙头后的水(看成点)获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线,点M是运动过程中的某一位置.忽略空气阻力,实验表明:M与A的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=v y t-5t2;M与A的水平距离为v x t米.已知该水流的初始速度v0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°.(1)求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y;(2)用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围);(3)水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米?若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树,在相同仰角下,则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米?(参考数据:sin53°≈4 5,cos53°≈35,tan53°≈43)22.如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).⑴在如图⑵建立的坐标系下,求网球飞行路线的抛物线解析式.⑵若竖直摆放5个圆柱形桶时,则网球能落入桶内吗?说明理由;⑶若要使网球能落入桶内,求竖直摆放的圆柱形桶的个数.23.如图,某足球运动员站在点O 处练习射门,将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上),足球的飞行高度y(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间满足函数关系y=at 2+5t+c,已知足球飞行0.8s 时,离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m ,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m ,他能否将球直接射入球门?24.游乐园新建的一种新型水上滑道如图,其中线段PA 表示距离水面(x 轴)高度为5m 的平台(点P 在y 轴上).滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点,且点B 到水面的距离2BE m =,点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时,与水面的距离3m 2CG =,与点B 的水平距离2m CF =.(1)求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围;(2)求整条滑道ABCD 的水平距离;(3)若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处,用水枪朝正前方向下“扫射”,水枪出水口N 距离平台3m 2,喷出的水流成抛物线形,设这条抛物线的二次项系数为p,若水流最终落在滑道BCD 上(包括B ､D 两点),直接写出p 的取值范围.答案1.解:(1)22733442y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∴该二次函数图象的顶点坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭∴水流喷出的最大高度是4米,此时的水平距离为32米 (2)令0y =,则23402x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ 解得 3.5x =或0.5x =- ∴花盆需至少离喷水装置OA 3.5米外,才不会被喷出的水流击中.2.(1)由排球运行的最大高度为28米,则顶点的坐标点G 为(6,2.8),则设抛物线的解析式为p=a(x ﹣6)2+2.8∵点C 坐标为(0,2),点C 在抛物线上∴2=a(0﹣6)2+2.8解得a=﹣145 ∴p=-145(x ﹣6)2+2.8 则排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式:p=-145(x ﹣6)2+2.8 (2)当x=9时, p=-145(9﹣6)2+2.8=2.6>2.24 当x=18时, p=-145(18﹣6)2+2.8=﹣0.4<0 故这次发球可以过网且不出边界(3)设抛物线的解析式为:p=a(x ﹣6)2+h,将点C 代入得:36a+h=2,即h=2﹣36a∴此时抛物线的解析式为p=a(x ﹣6)2+2﹣36a根据题意,不过边界时有:a(18﹣6)2+2﹣36a ≤0,解得a ≤-154要使网球过网:a(9﹣6)2+2﹣36a ≥2.24,解得a ≤2225- 故李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界)二次函数中二次项系数的最大值为154. 3.解:(1)∵h=2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y=a(x ﹣6)2+h 过点(0,2),∴2=a(0﹣6)2+2.6,解得:a=﹣160, 故y 与x 的关系式为:y=﹣160(x ﹣6)2+2.6, (2)当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网;当y=0时,21(6) 2.6060x --+=, 解得:x 12=6﹣(舍去)故会出界;(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:236{0144a h a h=+=+, 解得:154{83a h =-=, 此时二次函数解析式为:y=﹣154(x ﹣6)2+83, 此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:222.43=a 9-6+h 2=a 0-6+h⎧⎨⎩（）（）解得:432700{19375a h =-=, 此时球要过网h ≥19375故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是:h ≥.4.(1)∵A (2,2),B (3,2),D (2,3),∴AD =BC =1, 则点 C (3,3),故答案为:(3,3);(2)把(0,0)(n ,0)代入 y =﹣x 2+bx +c 得:200c n bn c =⎧⎨-++=⎩, 解得:0b n c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为 y =﹣x 2+nx =﹣(x ﹣2n )2+24n , ∴顶点 N 坐标为(2n ,24n ); (3)由(2)把 x =2n 代入 y =x 2=(2n )2= 24n , ∴抛物线的顶点在函数 y =x 2的图象上运动;(4)根据题意,得:当 x =2 时 y >3,当 x =3 时 y <2, 即423932n n -+⎧⎨-+⎩＞＜, 解得:72<n<113. 5.解:(1)如图,以点M 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则点A,E,D 的坐标分别为(0,2),(6,0),(6,2.6) 设球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)的抛物线解析式为y=a(x ﹣h)2+k由题意知抛物线的顶点为(6,2.6)故y=a(x ﹣6)2+2.6将点A(0,2)代入得2=36a+2.6∴a=﹣160, 故此时抛物线的解析式为y=﹣160(x ﹣6)2+2.6 (2)该球员的判断不对,理由如下:当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43 ∴球能过网;当y=0时,﹣160(x ﹣6)2+2.6=0解得:x 1=6+2=6﹣(舍)故球会出界.6.解:(1)∵h=2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y=a(x ﹣6)2+h 过点(0,2),∴2=a(0﹣6)2+2.6,解得:a=﹣160, 故y 与x 的关系式为:y=﹣160(x ﹣6)2+2.6, (2)当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网;当y=0时,21(6) 2.6060x --+=,解得:x 12=6﹣(舍去)故会出界;(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:236{0144a h a h=+=+, 解得:154{83a h =-=, 此时二次函数解析式为:y=﹣154(x ﹣6)2+83, 此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:222.43=a 9-6+h 2=a 0-6+h ⎧⎨⎩（）（）解得:432700{19375a h =-=, 此时球要过网h ≥19375故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是:h ≥.7.(1)､当t=3时,h=20t ﹣5t 2=20×3﹣5×9=15(米),∴当t=3时,足球距离地面的高度为15米;(2)､∵h=10,∴20t ﹣5t 2=10,即t 2﹣4t+2=0,解得或t=2,故经过或2时,足球距离地面的高度为10米;(3)､∵m ≥0,由题意得t 1,t 2是方程20t ﹣5t 2=m 的两个不相等的实数根,∴b 2﹣4ac=202﹣20m>0,∴m<20, 故m 的取值范围是0≤m<20.8.解:(1)当h=0时,20t−5t 2=0,解得:t=0或t=4,答:经4秒后足球回到地面;(2)方方的说法对,理由:将h=21代入公式得:21=20t−5t 2,5t 2−20t+21=0,由判别式计算可知:△=(−20)2−4×5×21=−20<0,此方程无解;将h=20代入公式得:20=20t−5t 2,5t 2−20t+20=0,解得:t=2,∴足球确实无法到达21米的高度,能达到20米,故方方的说法对.9.解:(1)如图,设第一次落地时,抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知:当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．(或21112y x x =-++)(2)令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-==≈=-<．，(舍去).∴足球第一次落地距守门员约13米.(3)解法一:如图,第二次足球弹出后的距离为CD根据题意:CD EF =(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=≈．1361017BD ∴=-+=(米).答:他应再向前跑17米.10.(1)解:当y=1.8米时则有:21.824x x =-++,∴22 2.20x x --=,解得:11x =21x =当y=3.2米时则有:23.224x x =-++,∴220.80x x --=,解得:11x =+21x =-, 所以两人的距离为:AC=11x =1⎛- ⎝⎭(2)由(1)可知:当y=1.8米时,有11x =+21x =,当y=3.2时,有115x =+,215x =-,∴11555--+=,11555+-+=,BC ≤≤之间11.(1)﹣4.9x 2+19.6x=0,x(﹣4.9x+19.6)=0,∴x 1=0,x 2=4,其中x 1=0表示足球离开地面的时间,x 2=4表示足球落地的时间;(2)∵y=﹣4.9x 2+19.6x=﹣4.9(x ﹣2)2+19.6,∴当x=2时,y 取得最大值,最大值为19.6m,答:经过2s,足球到达它的最高点,最高点的高度是19.6m.12.(1)由题意可得,弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为(2,2),故可设抛物线的解析式为y =a (x -2)2+2,将A (0,1)代入,得a =-14, 故弹球第一次着地前抛物线的解析式为y =-14(x -2)2+2 (2)当y =0时,-14(x -2)2+2=0,得x 1=2+x 2=2-∴B (2+,0).由从点B 弹起的最大高度为原来最大高度的一半,可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为1, 故可设该抛物线的解析式为y =-14(x -b )2+1,将B (2+代入,得b 1=舍),b 2=4+∴y =-14(x -4-2+1,且对称轴为直线x =4+∴C (6+即OC =(6+m .故弹球第二次着地点到点O 的距离为(6+m .(3)当x =9时,y =-14(9-4-2+1≈-0.18﹤0,故甲不能投球成功. 由上面的计算可得,筐要沿x 轴向左移才能投进球.当弹球恰好砸中筐的最左端时,-14(9-m -4-2+1=0.5,解得m 1=5-m 2(舍),即当m=5-,弹球恰好砸中筐的最左端,又∵筐的直径为1m,5-∴当m=6-,弹球恰好砸中筐的最右端,故m 的取值范围为5-m<6-13.解:(1)由题意得点()8,0在抛物线2155b y x x =-+上, 2108855b ∴=-⨯+⨯, 8b ∴=;(2)要使球刚好进球洞,则抛物线2155b y x x =-+需经过()0,0,()10,0两点, 要使球飞行的高度不变,则最高点的纵坐标为228045 3.21445ac b a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭, ∴抛物线的顶点坐标为()5,3.2,设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+,抛物线经过()0,0, 25 3.20a ∴+=,0.128a =-,20.128(5) 3.2y x ∴=--+;(3)把6x =, 1.2y =代入2155b y x x =-+中,得7b =, 把10x =,0y =代入2155b y x x =-+中,得10b =, ∴要使球越过球网,又不越过球洞(刚好进洞),则b 的取值范围是710b ≤≤.14.(1)∵AB=10､∠OAB=30°,∴OB=12AB=5､OA=ABcos∠OAB=10则､B(0,5),将A､B坐标代入y=-13x2+bx+c,得:175035cc⎧-⨯++⎪⎨⎪⎩＝＝,解得:5bc⎧⎪⎨⎪⎩＝,∴抛物线解析式为y=-13x2x+5;(2)水柱离坡面的距离d=-13x2+3x+5-(-3x+5)=-13x2+3x=-13(x2=-13)2+254,∴当,水柱离坡面的距离最大,最大距离为254米;(3)如图,过点C作CD⊥OA于点D,∵AC=2､∠OAB=30°,∴CD=1､,则当,y=-132所以水柱能越过树.15.解:因为抛物线的顶点为(4,4),设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,∵过点(0,2),∴2=16a+4,∴a=-18,即y=-18(x-4)2+4, 当x=7时,y=-98+4=238≠3.所以此球不能投中. 探究一:设向前平移h 米,由题意可得y=-18(x-4-h)2+4,代入点(7,3),得3=-18(7-4-h)2+4求得h=3±根据实际情况h=3-即向前平移3-米,可投中篮筐;探究二:设y=a(x-4)2+4,因为投中篮筐,即代入x=7,y=3得3=a(7-4)2+4,解得a=-19,即y=-19(x-4)2+4, 当x=0时,y=209,209-2=29即小明出手的高度要增加29米,可将篮球投中; 探究三:设y=a(x-b)2+6,代入点(0,2)(6,3.44)得222a b 6{3.44a 6b 6=⋅+=-+（）, 解得a=-925,设y=a(x-6)2+3.44, ∵过点(0,2)代入得2=36a+3.44,得a=-125,所以-925<a ≤-125. 16.如图,以BC 所在直线为x 轴､AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系,由题意知,抛物线的顶点P 的坐标为(1,3.6)､点A (0,2),设抛物线的解析式为y =a (x ﹣1)2+3.6,将点A (0,2)代入,得:a+3.6=2,解得:a =﹣1.6,则抛物线的解析式为y =﹣1.6(x ﹣1)2+3.6,当y =0时,有﹣1.6(x ﹣1)2+3.6=0,解得:x =﹣0.5(舍)或x =2.5,∴BC =2.5,答:水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m.17.(1)､抛物线的顶点坐标是(4,3), 设抛物线的解析式是:y=a(x-4)2+3,把(10,0)代入得36a+3=0,解得a=-112, 则抛物线是y=-112(x-4)2+3, 当x=0时,y=-112×16+3=3-43=53<2.44米, 故能射中球门; (2)当x=2时,y=-112(2-4)2+3=83>2.52, ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门, 当y=2.52时,y=-112(x-4)2+3=2.52, 解得:x 1=1.6,x 2=6.4(舍去), ∴2-1.6=0.4(m), 答:他至少后退0.4m,才能阻止球员甲的射门.18.(1)把x =0代入21251233y x x =-++得: 53y =; 答:出手点离地面的高度53米 (2)212501233x x -++=, 解得1210,2()x x ==-舍去∴铅球推出的水平距离为10米.(3)把y =4代入,得212541233x x -++=,化简得28280x x -+=,方程无解, ∴铅球的行进高度不能达到4米.19.(1)由表格中数据可知,当t=0.4秒时,乒乓球达到最大高度.(2)由表格中数据可判断,y 是x 的二次函数,且顶点为(1,0.45),所以可设y=a(x-1)2+0.45.将(0,0.25)代入y=a(x-1)2+0.45,得0.25=a(0-1)2+0.45,解得:a=-0.2.∴y=-0.2(x-1)2+0.45.当y=0时,-0.2(x-1)2+0.45=0,解得x=2.5,或x=-0.5(舍去).∴乒乓球落在桌面上时,与端点A 的水平距离是2.5米.(3)①由(2)得,乒乓球落在桌面上时的坐标为(2.5,0).将(2.5,0)代入y=a(x-3)2+k,得0=a(2.5-3)2+k,化简整理,得k=-14a. ②∵点A 坐标为(0,0),又球网上端中点坐标为(1.4,0.14),故扣杀路线在直线y=110x 上, 由①得y=a(x-3)2-14a 令 a(x-3)2-14a=110x,整理,得20ax 2-(120a+2)x+175a=0 当=(120a+2)2-420a 175a=0时,符合题意,解方程,得a 1=10,a 2=10当,求得,不合题意,舍去.当时,求得,符合题意.答:当时,可以将球沿直线扣杀到点A. 20.解:(1)∵顶点为(1,2.25),∴设解析式为y=a(x ﹣1)2+2.25∵函数过点(0,1.25)∴代入解析式解得a=﹣1∴解析式为:y=﹣(x ﹣1)2+2.25(2)由(1)可知:y=﹣(x ﹣1)2+2.25令y=0,则﹣(x ﹣1)2+2.25=0,解得x=2.5或x=﹣0.5(舍去)所以花坛的半径至少为2.5m(3)依题意,设y=﹣x 2+bx+c,把点(0,1.25),(3.5,0)代入得54497042c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,解得22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则y=﹣x 2+222511729x x 747196⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭ 故水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达729196m (4)①当x=2时,y=1.25;当x=32时,y=2;即(2,1.25),(32,2)在抛物线上当竖直摆放5个圆柱形桶时,桶高=0.2×5=1∵1<2且1<1.25∴水不能落入桶内②设竖直摆放圆柱形桶m 个时水可以落入桶内由题意,得1.25≤0.2≤2,解得6.25≤m ≤10∵m 为整数,∴m 的值为7,8,9,10∴当竖直摆放圆柱形桶7,8,9,10时,水可以落入桶内21.解:(1)∵v 0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°,∴cos θ=0x v v ,sinθ=0y v v , ∴v x =15cos53°=15×35=9,v y =15sin53°=15×45=12; 答:水流的横向初始速度v x 是9米/秒,纵向初始速度v y 是12米/秒;(2)x=v x t=9t,∴t=9x , 又M 与A 的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15; ∴y 与x 的关系式为:y=-2581x +43x+15. (3)∵坡顶的铅直高度OA 为15米,山坡的坡比为13, ∴OB=45米,点A(0,15)点B(45,0)∴直线AB 的解析式为:y=13x -+15,将其与抛物线解析式联立得:254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 解得015x y =⎧⎨=⎩(舍)或276x y =⎧⎨=⎩, ∴水流在山坡上的落点C 坐标为(27,6),喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离, 而,答:水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米,需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动.22.(1)由题意得:顶点M(0,5),B(2,0),设抛物线的解析式为y=ax 2+5,将B(2,0)代入得4a+5=0 ∴a=54- ∴抛物线解析式为:2554y x =-+; (2)∵当x=1时,y=154;当x="1.5" 时,y=3516. 当竖直摆放5个圆柱形桶时,桶高=0.3×5=1.5,∵1.5<154且 1.5 <3516, ∴网球不能落入桶内;(3)设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内,由题意得:3516≤0.3m ≤154, 解得:7724≤m ≤1122; ∵m 为整数, ∴m 的值为8,9,10,11,12.∴当竖直摆放圆柱形桶8,9,10,11或12个时,网球可以落入桶内.23.解:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5), ∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣t 2+5t+,∴当t=时,y 最大=4.5; (2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44, ∴他能将球直接射入球门.24.解:(1)∵2BE m =,点B 到y 轴的距离是5, ∴点B 的坐标为()5,2. 设反比例函数的关系式为k y x=, 则25k =,解得10k =. ∴反比例函数的关系式为10y x =. ∵当5y =时,2x = ,即点A 的坐标为()2,5, ∴自变量x 的取值范围为25x ≤≤;(2)由题意可知,二次函数图象的顶点为()5,2B ,点C 坐标为37,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设二次函数的关系式为2(5)2y a x =-+,则23(75)22a -+=,解得18a =-. ∴二次函数的关系式为221159(5)28848y x x x =--+=-+-. 当0y =时,解得129,1x x ==(舍去),∴点D 的坐标为()9,0,则9OD =.∴整条滑道ABCD 的水平距离为:927m OD PA -=-=;(3)p 的取值范围为91332128p -≤≤-. 由题意可知,点N 坐标为(31,52⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,为抛物线的顶点. 设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+. 当水流落在点()5,2B 时,由213(51)22p -+=,解得932p =-; 当水流落在点()9,0D 时,由213(91)02p -+=,解得13128p =-. ∴p 的取值范围为91332128p -≤≤-.。

人教版九年级上册 22.3 实际问题与二次函数第2课时拱型桥问题课件(16张PPT)

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•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 6:13:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
30.5x2 x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 (2 6 4)m
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
运用数学问题数学知识问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
10.5x22 x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 (2 6 4)m
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x
轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面

北师大版数学九年级下册-实际问题与二次函数——抛物、拱桥问题课时对应练习(Word版含答案)

第12课时实际问题与二次函数——抛物、拱桥问题1．从地面竖直向上抛出一个小球,小球的上升高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝24t﹣4t2,那么,小球从抛出至回落到地面所需的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s 2．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米）,跨径为90米（即AB＝90米）,以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y=26675x2B．y=−26675x2C．y=131350x2D．y=−131350x23．崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是__________米．4．我国羽毛球球员林丹某次比赛中打出的羽毛球其运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=−29x2+89x+109,则羽毛球飞出的水平距离为________米．5．（2018•绵阳）如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加________m．6．图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86米,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为________米．7．如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？8．如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h＝2.6时,求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h＝2.6时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围．9．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=−15x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4,3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）D．篮球出手时离地面的高度是2m10．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,栅栏的跨径AB间,按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.6米,以O为原点,OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（）A．1.5米B．1.9米C．2.3米D．2.5米11．如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同．正常水位时,大孔水面宽度AB＝20m,顶点M距水面6m（即MO＝6m）,小孔顶点N距水面4.5m（即NC＝4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,则此时大孔的水面宽度EF为________m．12．如图,有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞,门洞内的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m,则这个门洞的高度为________m．（精确到0.1m）13．如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端安有一个喷水池,使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C,高度为3m,水柱落地点D 离池中心A处3m,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3),则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为________________,水管AB的长为________m．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾,此时A,E,F在同一直线上．跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在1.2m高的D处喷出,水流正好经过E,F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物线向上平移5m,再向左后退________m,恰好把水喷到F处进行灭火．15．如图,龙丽公路某隧道横截面为抛物线,其最大高度为9米,底部宽度OM为18米．现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少？16．如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED＝16米,AE＝8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=−1128（t﹣19）2+8（0≤t≤40）,且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只通行？【参考答案】1．A．2．B．3．4．4．5．5．4√2−4．6．2.7．7．（1）设抛物线解析式为y＝ax2,因为抛物线关于y 轴对称,AB ＝20,所以点B 的横坐标为10,设点B （10,n ）,点D （5,n +3）,n ＝102•a ＝100a ,n +3＝52a ＝25a ,即{n =100a n +3=25a, 解得{n =−4a =−125, ∴y =−125x 2；（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x ＝3,∴当x ＝3时,y =−125×9∵−925−（﹣4）＞3.6∴在正常水位时,此船能顺利通过这座拱桥．答：在正常水位时,此船能顺利通过这座拱桥．8．（1）∵h ＝2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 过点（0,2）,∴2＝a （0﹣6）2+2.6,解得：a =−160,故y 与x 的关系式为：y =−160（x ﹣6）2+2.6,（2）当x ＝9时,y =−160（x ﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43, 所以球能过球网；当y ＝0时,−160(x −6)2+2.6=0, 解得：x 1＝6+2√39＞18,x 2＝6﹣2√39（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18,0）时,抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 还过点（0,2）,代入解析式得： {2=36a +ℎ0=144a +ℎ, 解得：{a =−154ℎ=83, 此时二次函数解析式为：y =−154（x ﹣6）2+83,此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过（9,2.43）,抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 还过点（0,2）,代入解析式得：{2.43=a(9−6)2+ℎ2=a(0−6)2+ℎ, 解得：{a =−432700ℎ=19375, 此时球要过网h ＞19375,故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是：h ≥83．解法二：y ＝a （x ﹣6）2+h 过点（0,2）点,代入解析式得：2＝36a +h ,若球越过球网,则当x ＝9时,y ＞2.43,即9a +h ＞2.43解得h ＞19375 球若不出边界,则当x ＝18时,y ≤0,解得h ≥83．故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是：h ≥83．9．A ．10．C ．11．10．12．9.1．13．y =−34（x +2）2+3（﹣3≤x ≤0）；2.25．14．5．提示：由图可知：A （0,21.2）,B （0,9.2）,C （0,6.2）,D （0,1.2）,∵点B 和点E 、点C 和点F 的离地高度分别相同,∴E （20,9.2）,设AE 的直线解析式为y ＝kx +b ,{9.2=20k +b b =21.2, ∴{k =−35b =21.2, ∴y =−35x +21.2,∵A ,E ,F 在同一直线上．∴F （25,6.2）,设过D ,E ,F 三点的抛物线为y ＝ax 2+bx +c ,∴{c=1.29.2=400a+20b+c 6.2=625a+25b+c,∴y=−125x2+65x+65,水流抛物线向上平移5m,设向左退了m米,∴D（0,6.2）,设平移后的抛物线为y=−125（x+m）2+65（x+m）+1.2+5,经过点F,∴m＝5或m＝﹣25（舍）,∴向后退了5米．15．（1）由题意可得：M（18,0）,P（9,9）．（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣9）2+9 ∵抛物线y＝a（x﹣9）2+9经过点（0,0）∴0＝a（0﹣9）2+9,即a=−1 9,∴抛物线解析式为：y=−19（x﹣9）2+9,即y=−19x2+2x．（3）设A（m,0）,则B（18﹣m,0）,C（18﹣m,−19m2+2m）,D（m,−19m2+2m）．则“支撑架”总长AD+DC+CB＝（−19m2+2m）+（18﹣2m）+（−19m2+2m）=−29m2+2m+18=−29（m﹣4.5）2+22.5．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m＝4.5米时,AD+DC+CB有最大值为22.5米．16．（1）∵点C到ED的距离是11米,∴OC＝11,设抛物线的解析式为y＝ax2+11,由题意得B（8,8）,∴64a+11＝8,解得a=−3 64,∴y=−364x2+11；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至少为11﹣5＝6（米）,∴6=−1128（t﹣19）2+8,∴（t﹣19）2＝256,∴t﹣19＝±16,解得t1＝35,t2＝3,∴35﹣3＝32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．。

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抛物、拱形建筑实际问题
一、拱形桥问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m ，顶部距离地面的高度为4.4m ，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m ，该车要想过此门，装货后的最大高度应是多少m ？
3、一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
2、座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m .
（1）求此拱桥所在的抛物线的函数关系式（2）当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?
2、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m 时，水面宽6m,当水位上升1m 时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。

一艘装满防汛器材的船在此河流中行，露出水面得高为0.5m 、宽为4m ，当水位上升1 m 时这艘船能从桥下通过吗?
图（1）图（2）
3有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行_________.
4．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
5．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
6．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
二、抛物问题
1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4
秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为__________.
2．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约．铅球落地点在B处，铅球
运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？
3．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中
心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平
距离是多少？
4．如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.9 m，那么他能否获得成功？
作业
1、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB= 3 cm，BC= 4 cm．点P从点A出发，以1 cm／s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2 cm／s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．（1）试写出△PBQ的面积 S （cm2）与动点运动时间 t （s）之间的函数表达式；
（2）运动时间 t 为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？．
3、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，24m 的中点为原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式；
②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12√2m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下？说明理由．
4、某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．
（1）求y（元）关于x（元）的函数关系式，并标指出x的取值范围．
（2）求当x取何值时y最大？并求出y的最大值．
（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？。