2024年SAT考试数学历年真题精选辑

2024年SAT考试数学历年真题精选辑
一、选择题
1. 已知方程 ax^2 + bx + c = 0 中，a ≠ 0，若该方程存在两个相等实数根，则下列哪个条件必然成立？
A) a = b
B) a = c
C) b = c
D) a + b = c
E) b + c = a
2. 投掷一枚均匀硬币，连续抛掷若干次，每次结果独立。

设已知前两次投掷结果都是正面朝上，下一次投掷的正面朝上的概率为多少？
A) 1/2
B) 1/4
C) 1/3
D) 2/3
E) 2/9
3. 若函数 f(x) = 2x^2 + kx + 1，对于所有实数 x，f(x) > 0 成立。

则 k 的取值范围是？
A) -1 < k < 1
B) k > 1
C) k < -1
D) k ≠ 0
E) k = 1
二、解答题
1. 设正整数 n 满足 n(n+1)(n+2) 可以被 3 和 8 同时整除，求 n 的最小值。

解：
根据题意，n(n+1)(n+2) 是 3 和 8 的公倍数。

由于 3 和 8 互质，所以n(n+1)(n+2) 的最小公倍数为 24（3*8）。

因此，n 的最小值为 2。

2. 一辆长为 5 米的火车以恒定速度行驶通过测速点，测速点距离火车的前端 9 米，测得该火车的速度为 72 km/h。

若按该测速点测得的速度计算，火车的长度应为多少米？
解：
由于测得的速度为火车通过测速点的平均速度，根据平均速度公式v = d/t，我们可以得到火车通过测速点所用的时间 t = 9 米 / 72 km/h = (9/1000) / (72/3600) 小时。

由此，我们可以计算火车通过测速点所用的时间 t = 0.15 秒。

根据速度公式 v = d/t，可以得到火车通过测速点所用的距离 d = v * t = 72 km/h * 0.15 秒 = (72/3600) km * 0.15 秒 = 0.00375 km = 3.75 米。

因此，按该测速点测得的速度计算，火车的长度应为 3.75 米。

三、应用题
1. 小明准备参加一场马拉松比赛。

他平均每分钟可以跑 6 米，并且
不休息。

比赛开始后，3 小时后小明完成了第一段距离的三分之一，此时他休息了 10 分钟；然后他继续以原来的速度跑了 3 小时，完成了比
赛总距离的一半。

求这场马拉松比赛总长多少米？
解：
设比赛总长为 x 米。

根据题意，小明在马拉松比赛开始后 3 小时跑了第一段距离的三分
之一，即 (x/3) 米。

此时他休息了 10 分钟，即 10/60 小时。

然后他继续
以每分钟 6 米的速度跑了 3 小时，完成了比赛总距离的一半，即 x/2 米。

根据时间和速度的关系，我们可以得到方程：3 + (10/60) + 3 = (x/3) / 6 + (3/60) + 3 = x/12 + 3/60 + 3 = x/12 + 3/20。

根据题意，小明在总共的比赛时间内跑了比赛总长的一半。

由此，
我们可以得到另一个方程：6 = (x/3) / (3 + (10/60) + 3) + (x/2) / (3 +
(10/60) + 3) = (x/3) / (x/12 + 3/20) + (x/2) / (x/12 + 3/20) = 4/(1/4 + 3/20) +
2/(1/4 + 3/20) = 4/(5/20 + 3/20) + 2/(5/20 + 3/20) = 4/(8/20) + 2/(8/20) = 4 * (20/8) + 2 * (20/8) = 40 + 10 = 50。

因此，马拉松比赛总长为 50 米。

四、大题
1. 请证明勾股定理。

解：
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边上的
两个直角边的平方和，即 a^2 + b^2 = c^2，其中 c 为斜边，a、b 为直角边。

我们可以通过数学推导来证明勾股定理。

假设直角三角形的两直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。

将直角三角形按斜边 c 与直角边 a 的关系分为两个部分，如下所示：（图略）
根据正弦定理，我们可以得到以下两个式子：
sinα = b/c
sinβ = a/c
根据正弦定理，我们可以得到以下两个式子：
sinα = a/c
sinβ = b/c
由此，我们可以得到以下关系：
sinα^2 = (b/c)^2
sinβ^2 = (a/c)^2
根据三角函数的基本关系sin^2α + cos^2α = 1，我们可以得到：
sinα^2 + cosα^2 = 1
(b/c)^2 + cosα^2 = 1
同样地，根据三角函数的基本关系sin^2β + cos^2β = 1，我们可以得到：
sinβ^2 + cosβ^2 = 1
(a/c)^2 + cosβ^2 = 1
由此，我们可以得到以下关系：
(b/c)^2 + (a/c)^2 = 1
(b^2 + a^2) / c^2 = 1
同乘以 c^2，我们可以得到：
b^2 + a^2 = c^2
因此，我们证明了勾股定理。

综上所述，我们证明了勾股定理。