勾股定理专题复习及题型讲解

勾股定理复习
一、要点精练 （一）勾股定理
1、(填空题)
已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。

①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。

2、(填空题)
已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。

①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。

3、 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是
（ ）
（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6
4、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）
（A ）22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）22d S d + 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,1
2
S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.
所以()2
22222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）
5、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长
可能是( )
（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()2
2
2a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.
即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b . 因为只有81是3的倍数.
故选（C ）
6、在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.
7、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长
可能是( )
（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91
（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用
1、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
参考答案
①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.
②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？
参考答案
（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,
S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC
=(3+4)2－4×
2
1
×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2
（2）如图（图见题干中图）
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×
2
1
×4×7=121－56=65=42+72 3、如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.
解:根据题意，有123S S S +=，即
222
111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
整理,得222a b c +=.
故此三角形为直角三角形.
4、如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =． 5．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______. 解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，
图5
5,25AD BE ==，
所以22
2240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫
+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相加，
得
()2
25654
x y +=，所以2252213.AB x y =+==
（三）勾股定理的应用
1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）
（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60
解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的
面积为1
125302
⨯⨯=.
2、如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米
解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,
得1
1 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得
22
221111
2.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=
故选(C)
3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.
解：由勾股定理，知最短距离为
()()2
2
2288210BD AC AB CD =+-=+-=.
4、
（四）直角三角形的判别
图1
1、下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是
A 、a=2，b=3,c=4
B 、a=7,b=24,c=25
C 、a=6,b=8,c=10
D 、a=3,b=4,c=5
2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是ο
30，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定 3、
4、如图，在等腰直角ABC ∆的斜边上取异于C B ,的两点F E ,,使
,45ο=∠EAF 求证：以CF BE EF ,,为边的三角形是直角三角形。

略(提示:分别以AE,AF 为轴,将AEF AFC ∆∆∆向和AEB 内部翻转ο
180)
5、如果一个三角形的三边长分别为
，则这三角形是直角三角形
分析： 验证 三边是否符合勾股定量的逆定理
证明：∵
∴
∵∠C＝
6、 已知：如图，四边形ABCD 中，∠B＝
，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13求
四边形ABCD 的面积
分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．
（五）利用勾股定理求最短路线
1、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形 油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入
一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米， 问这根铁棒最长应有多长？
2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．
（1）记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值．
（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．
分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律． 解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1． 由勾股定理，得AC 222AB BC +=
图1
同理，AE =2，EH = 22．即 a 2= 2，a 3=2，a 4= 22
(2) ∵011(2)a ==， 122(2)a =， 232(2)a ==， 3422(2)a ==， ∴1(2)n n a -= ()
1,n n ≥是自然数．
点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．
二、动手操作题
例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．图（２）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （２）用这个图形证明勾股定理；
（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．
（2）由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为（a +b ），所以梯形的面积为
211
()()()22
a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2
111222
ab ab c ++．
∴2
21111()2222
a b ab ab c +=++． ∴222a b c +=． （3）所拼图形如图4．
点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。

本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。

三、阅读理解题
例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边且满足a 2c 2
－b 2c 2=a 4
－b 4，试判断△ABC 的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a 2c 2
－b 2c 2=a 4
－b 4， ∴()()()22222
2
2c a b a b a
b -=+-
∴222?
c a b =+． 订正：∴ △ABC 是直角三角形 ．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：
解：∵a 2c 2
－b 2c 2=a 4
－b 4， ∴()()()22222
2
2c a b a b a
b -=+-．
∴()()22
2
220a b c
a b ---=，∴220a b -=或222c a b =+．
∴a b =或2
2
2
c a b =+． ∴ △ABC 是等腰三角形或直角三角形 ．
点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm 的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．
分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决． 解：方案一：分别截取3cm ，4cm ，5cm ； 方案二：分别截取6cm ，8cm ，10cm ； 方案三：分别截取5cm ，12cm ，13cm ．
点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．
五、折叠题
1、矩形纸片ABCD 中，3=AB 厘米，4=BC 厘米，现将C A ,重合，
使纸片折叠压平，设折痕为EF ，重叠部分∆AEF 的面积
六、实际应用题
1、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB 所在的直线建一图书室，本社区
B
E
A x
有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB = 25km ，CA = 15 km ，DB = 10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?（8分）
七、极具“热点”的动态探究题
1、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为ο
60．
⑴求AO 与BO 的长；
⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行. 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米?
中考题型分析
1、（2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜
边长为c ，那么2
2
2
a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。

【答案】如果三角形三边长a ，b ，c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 2、 （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角．．．．．．．．．形．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
3、 （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC 中，∠C =90°，
AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是
（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 【答案】D 4、（2011河北，9，3分）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，
BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A
落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）
A ．2
1
B ．2
C ．3
D ．4
图3
A '
B A
D E。