高数重修1习题详解Word版

第1章 函数与极限
1.用区间表达函数)4arcsin()
3ln(-+-=
x x x
y 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.
解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x x
x
e e
e f ,求)(x f 的表达式.
解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x x
x
e e e e
e f ，所以1)(2+-=x x x f .
解法2：令1+=x
e u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x x
x
e e e
f ，得
11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0
.
6.=+
→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为 不存在 .
解：在极限x
x x +→0lim 中，+
→0x ，此时0
>x ，所以11lim lim lim 000===+++→→→x x x x x x x ， 在极限x x x -→0lim 中，-
→0x ，此时0<x ，所以1)1(lim lim lim 000-=-=-=+--
→→→x x x x
x x x ， 因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，x
x
x f =)(在
0=x 处的极限x
x
x 0lim →不存在.
1.若)(lim 0
x f x x →存在,则)(x f B .
A.有界;
B.在),(0o
δx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.
解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有
界，在0x x →定点的情形，则是保证函数在0x 的去心邻域),(0o
δx U 内有界； B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某．一去心．．邻域内有界.
2.设x
e x
f x
1arctan )1()(1
+=,当-
→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.
2
π; C.2π
-; D.∞.
解：)(lim )0(0x f f x -→-
=，当-
→0x 时，-∞→x 1，从而01
→x e ，2
1arctan π
-→x ，故
2
)2()01()(lim )0(0π
π-=-⋅+==-→-x f f x . 1.以下判断正确的是 D .
A.x
e 是无穷大量; B.
x
1
是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)
(1
x f 是无穷大量; D.若A x f x x =→)(lim 0
,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.
解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞
→x x e lim ，因而x
e
是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0
=→x
x e ，因而当0→x 时x
e 不是无穷大量. 对于B
选项，例如，01lim =∞→x x ，
因而x 1
是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→x
x 1lim 0，因而当0→x 时
x
1
不是无穷小量，而是无穷大量. C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言
都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式
)
(1
x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.
2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.
解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(.
例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.
再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,
使
得
对
于
一
切
大
于
X 的x ,都有M x f >)(.例如
),2,1,0( 0)2
2cos()22()22( ==++=+k k k k f π
πππππ,对于任意大的X ,当k 充分大
时,总有X k x >+=2
2π
π,但M x f <=0)(.
1.01sin lim 0=→x x x 的理由是 有界函数x 1
sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)
2(2lim x x x x x ∞. 解：因为02
2220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232
2
2
2322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2
232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→50
3020)15()23()32(lim x x x x 503020532⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次
的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是50
5,所以所求极限值是50
30205
32⋅. 4.已知51lim
21=-++→x
c
bx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2
c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,
分子)(2
c bx x ++的极限必存在,又已知51lim
21=-++→x
c bx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21
=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时
=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)1()1(lim 11lim 1lim 21212152)1(lim 1
=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c .
1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .
A.}{n n y x ±一定发散;
B.}{n n y x ⋅一定发散;
C.}{n
n
y x 一定发散; D.以上结论都不对.
解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1
)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如n n n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、
1=⋅n n y x 及
1=n
n
y x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A . A.}{n n y x ±一定发散; B.}{n n y x ⋅一定发散; C.}{
n
n
y x 一定发散; D.以上结论都不对.
解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：
设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，
有n n n n n n n n n x z x z y ∞
→∞
→∞
→∞
→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故
n n n y x z ±=一定发散. 证毕.
B 、
C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，n
n y )1(-=发散，成立0==
⋅n
n
n n y x y x 收敛. 5.
)13
11(lim 31x
x x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 21213
2131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.
x
x x x +---→131
lim 21;
解
：
=++-+--++--=+---→→)
13)(13()
13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x
222
)13)(1(lim )1(2)13)(1(lim 121-=++-+-=-++--=→→x x x x x x x x x . 7.)2141211(lim n n ++++∞→ ; 解：22
11211lim
)2141211(lim =-
-=++++∞→∞→n
n n n . 8.)
35(12721
lim 2-++++-+∞→n n n n . 解
：
=--+=--+=-++++-+∑∑∑==∞
→=∞→∞→n i n i n n i n n i n n i n n n n n 1
1
21
22351
lim )
35(1lim )35(12721lim 5
2
32
)1(51lim 2=-+⋅-+∞→n
n n n n n . 1.=→x x
x ωsin lim 0ω. 解：ωωωωω=⋅=→→x
x x x x x sin lim sin lim 00. 2.=-→x x
x ππsin lim 1 . 解：1)sin(lim sin lim =--=-→→x
x x x x x πππππ 3.=∞→n n n x 2sin 2lim x . 解：x x x x x n
n
n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim
2
sin 2lim . 4.=+∞→n
n n n 2)1(lim 2-e . 解：=+-+-=+---∞→∞→212)]111()111[(lim )1(
lim n
n n n n n n n 22
21221)111(lim ])111[(lim )111(])111[(lim --∞→---∞→----∞→=+-⋅+-=+-+-=e n
n n n n n n n n .
或2221
)1
1()11(1lim )/)1(/(lim )1(
lim e
n
n n n n n n n n n n n n n n =++=+=+∞→∞→∞→.
5.若6)3
11(lim e x kx
x =+-∞→,则=k ―6 .
解：=+-+-=+-=+----∞→∞→∞→k
x x k x x kx x x x x x ])3
11()311[(lim ])311[(lim )311(lim 33
6331])3
11(lim ])311[(lim e e x x k k
x k x x =⋅=+-⋅+-=--∞→---∞→，得6-=k . 6.要使函数2tan )(x x
x f =是无穷大,则要求x 趋于值),2,1(2 ±±=k k π.
解：函数2
tan )(x x
x f =的定义域为}),,2,1,0({R x k k x x D ∈±±=≠= π.因为对任意点
D x ∈0，根据两函数商的极限运算法则，必有)(2
tan
2
tan lim
)(lim 000
x f x x x x x f x x x x ==
=→→是有限值，所以，使函数2
tan )(x x x f =
是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即
),2,1,0( ±±==k k x π.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：)()12(;0);,0(2Z k k x x Z k k k x ∈+==∈≠=ππ，求得
)0(,02tan
lim )(1lim 22≠==→→k x
x x f k x k x ππ，所以)0(,)(lim 2≠∞=→k x f k x π；而
22
tan 2lim 22tan lim )(lim 000===→→→x
x
x x
x f x x x ；
02
tan lim
)(lim )12()12(==
+→+→x x x f k x k x π
π
)02
sin 2cos
lim
2
tan 1lim
()12()12(==
+→+→x x
x k x k x π
π
；所以
),2,1(2 ±±=k k π为所求.
2.=-→x x x cos 1lim
0 C . A.0; B.1; C.不存在; D.2
2
.
解：因为2
22sin
2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200===-+++
→→→x x x x x x x x x ， 2
22sin
2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200-=-==-+-
-→→→x x x x x x x x x ， 左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C 选项正确.
1.]ln )1[ln(lim n n n n --∞
→;
解：1])11ln[(lim )11ln(lim 1ln
lim ]ln )1[ln(lim 1
-=-+=-=-=----∞→∞→∞
→∞
→n n n n n n n
n n n n n n n . 2.
)
1
cos arctan 1(lim 0x x x x x ⋅-→; 解：1011cos lim arctan lim )1cos arctan 1(lim 000=-=⋅-=⋅-→→→x
x x x x x x x x x x . 3.x
x x x 3)1212(lim -+∞→; 解：=-+=-+=-+∞→∞→∞→333])2
1211[(lim )1
221(lim )1212(lim x x x x x x x x x x 23
32
122312)]2
1
211(lim ])21211[(lim )]21211()21211[(lim -+⋅-+=-+⋅-+=∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x 3
31e e =⋅=.
4.x x x 4tan )
21ln(lim 0+→; 解：2
12111214tan 42)21ln(lim 4tan )21ln(lim 00=⋅⋅=⋅⋅+=+→→x x x x x x x x . 四利用极限存在准则证明：1.1)1
211(lim 222=++++++∞→π
ππn n n n n n .
证明 因为)1211(222πππn n n n n ++++++ π
πππ+=++++++≤2
2
222)111(n n n n n n , 又
)1211(222πππn n n n n ++++++ π
πππn n n n n n n n n n +=++++++≥2
2
222)111( , 而
1lim 22=+∞→πn n n ,1lim 22
=+∞→πn n n n ,由夹逼准则,得1)1
211(lim 222=++++++∞→π
ππn n n n n n . 证毕. 1.当0→x 时,与x 等价的无穷小有a
a x e x x x x x x
ln 1),1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+-.
解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，1sin lim
0=→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→x
x
x ，
1arctan lim 0=→x x x ，11lim 0=-→x e x x ，1)
1ln(lim 0=+→x
x x ，1ln 1
lim 0=-→x a a x x .
2.设0→x ,则~cos 1x -22x ,~11-+n x n
x
.
解：根据等价无穷小的定义，只需验证，12
cos 1lim 20=-→x
x x ，11
1lim 0=-+→n x x n
x ：
成立1)2(2sin lim 2
2sin 2lim 2cos 1lim 22
02
2
020===-→→→x x
x x x x x x x . 成立=++++++-+=-+---→→]
)1()1()1([1
)1(lim 11lim
2100n n
n n n n n n n x n
x x x x n
x x n x x (用到因式分解公式))((12
2321-----+++++-=-n n n n n n n b ab
b a b a a b a b a ) 11)1()1(lim 210==+++++=--→n
n
x x n n n n
n x . (其中极限)1,,2,1(1)
1(lim 0
--==+→n n m x n m
x 用到了习题1-6中题4(4)的结果
11lim 0
=+→n x x 及第五节中定理3的推论2)
3.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小?3
2x x -.
解：根据高阶无穷小的定义，因为02)
1(lim 2lim 02320=--=--→→x
x x x x x x x x ，所以，分子32x x -是比分母2
2x x -高阶的无穷小.
4.当1→x 时,无穷小x -1和3
1x -是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .
解：因为13
1
11lim 11lim 2131≠=++=--→→x x x x x x ，所以无穷小x -1和31x -是同阶无穷小，但不是等价无穷小.
1.当+
→0x 时,下列哪一个无穷小是关于x 的三阶无穷小 B .
A.x x -
32; B.a x a -+3 (a 为正常数); C.230001.0x x +;
D.3tan x .
解：根据k
阶无穷小的定义，A
选项不正确：因为
∞=+-+-=-+
+
+
→→→)
(1lim )
(lim lim 2
13
223
10
2
13
2
33
403
32
x x x x x x x x x x
x
x x x x .
B
选
项
正
确
：
因
为
=++=-+++
→→)(lim lim 333
0330
a x a x x x a x a x x 0211lim 3
≠=
+++
→a
a
x a x .
C 选项不正确：因为∞=+=+++
→→)0001
.01(lim 0001.0lim 03230x
x x x x x . C 选项不正确：因为∞=⋅=++
→→3
83303301
tan lim tan lim x x
x x x x x . 三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.m
n x x x )(sin )
sin(lim 0→ (m n ,为正整数);
解：m n
x x x )(sin )sin(lim 0→⎪⎩
⎪
⎨⎧<∞=>==→.,,,1,
,0lim 0m n m n m n x x m
n
x (m n ,为正整数).
2.
x
x x x 30sin sin tan lim
-→; 解：
3030sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x -=-→→2
1cos 2lim cos )cos 1(sin lim 32
030=⋅
=-=→→x x x x x x x x x x . 3.1)31ln(lim 2320--+→x x e x x ; 解：33lim 1
)31ln(lim 23
203202=-=--+→→x x x e x x x x x . 4.)
1sin 1)(11(tan sin lim 3
20-+-+-→x x x
x x .
解：)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x
x x 3tan sin lim 62
sin 3tan sin lim 3020-=-=⋅
-=→→x x x x x x x x x (利用2题结果或方法).
1.设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+<=,0,11sin ,0,sin 1
)(x x x x x x
x f 则0=x 是)(x f 的 A .
A.可去间断点;
B.跳跃间断点;
C.无穷间断点;
D.振荡间断点. 解：根据间断点的分类，考察：1sin 1
lim )(lim )0(0
===-
-→→-
x x
x f f x x ，1)11
sin
(lim )(lim )0(0
=+==++→→+x
x x f f x x ， 由于)0()0(+
-
=f f 即左右极限存在且相等，所以极限1)(lim 0
=→x f x 存在，因而0=x 是
)(x f 的可去间断点.
故A 选项正确，B 、C 、D 选项不正确. 2.设1
1
cot
arc )(2
-+=x x x f ,则1=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.
解：根据间断点的分类，考察：π+=-+==--→→-
1)1
1
cot arc (lim )(lim )1(2
1
1
0x x x f f x x ， 001)1
1
cot arc (lim )(lim )1(21
1
0=+=-+==++→→+x x x f f x x ，由于左右极限存在但不相等，所以1=x 是)(x f 的跳跃间断点.
故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确. 3.设x
e
e x
f x
x
1
arctan
121)(11+-=
,则0=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.
解：注意到∞==+-→→x
x x
x e e 10
10
lim ,0lim ，2
1arctan lim ,21arctan
lim 00
ππ=-=+-→→x x x x . 根据间断点
的
分
类
，
考
察
：
2
)2(11arctan
121lim )(lim )0(11
ππ-=-⋅=+-==-
-→→-x e
e x
f f x x
x x , ππ
-=⋅-=+-==+
+→→+2
21arctan
121lim )(lim )0(1
10
x e
e x
f f x
x
x x ，由于左右极限存在但不相等，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点.
故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确.
1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)2,1,2
31
2
2==+--=x x x x x y ; 解：
1 2231
lim 221=∴-=+--→x x x x x 为第一类(可去)间断点.补充定义,2)1(-=y 则函数y 在1=x 处连续.
2 231
lim 222=∴∞=+--→x x x x x 为第二类(无穷)间断点. (2) 2
,,tan π
ππ+===k x k x x x y ( ,2,1,0±±=k );
解： 0 1tan lim 0=∴=→x x
x
x 为可去间断点.补充定义,1)0(=y 则函数y 在0=x 处连续.
2 0tan lim 2
ππππ+=∴=+→k x x
x k x 为可去间断点.补充定义,0)2(=+π
πk y 则函数y
在2
π
π+
=k x 处连续.
)0( )0(tan lim
≠=∴≠∞=→k k x k x x
k x ππ 为第二类(无穷)间断点.
(3)0,1cos 2==x x y . 解：因为x x 1cos lim 20-→(或x
x 1cos lim 20+→)不存在，所以0=x 为第二类
间断点(且为振荡间断点).
1.函数6
3
3)(2
23-+--+=x x x x x x f 的连续区间为),2(),2,3(),3,(+∞---∞,极限=→)(lim 0x f x 21,=-→)(lim 3x f x 58
-,=→)(lim 2
x f x ∞.
解：在此6
3
3)(223-+--+=x x x x x x f 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每
一点都是连续的，又此函数定义区域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞，可知)(x f 的连续区间即)(x f 的定义域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞.又根据函数间断点的概念，可知函数)(x f 没有定义的点2,3=-x x 是其间断点.
因为0=x 是连续点，所以极限2
1
)0()(lim 0==→f x f x ；而在间断点2,3=-x x 处，
极限58
21lim )3)(2()3)(1(lim 633lim )(lim 232322333-=--=+-+-=-+--+=-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x f x x x x ；极限
∞=-+--+=→→6
33lim )(lim 22322x x x x x x f x x . 4.设函数⎩⎨⎧≥+<=,
0,,
0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a
1 .
解：若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，那么)(x f 必在其分段点0=x 处连续，即成立
)0()(lim 0
f x f x =→，则必有)(lim )(lim 0
x f x f x x +-→→=.而1lim )(lim 0
==--→→x x x e x f ，
a x a x f x x =+=++
→→)(lim )(lim 0
0，故1=a ，此时)0(1)(lim 0
f a x f x ===→.
二求下列极限：
3.145lim 1---→x x x x ; 解：2)
45)(1()
1(4lim 145lim 11=+---=---→→x x x x x x x x x .
4.a
x a
x a x --→sin sin lim
; 解：
a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x cos 2
cos 2
2sin
lim 2sin 2cos 2lim sin sin lim =+⋅--=--+=--→→→. 5.
)
(lim 22x x x x x --++∞
→. 解：
111112lim
2lim
)(lim 2
2
22=-++
=-++=--++∞
→+∞
→+∞
→x
x x
x x x x x x x x x x x .
三求下列极限：1.x
x e 1
lim ∞
→; 解：1lim 1=∞
→x x e .
2.x x
x sin ln
lim 0
→; 解：0sin ln
lim 0=→x
x x . 3.
)
arcsin(lim 2x x x x -++∞
→. 解：
6
21arcsin
arcsin
lim )arcsin(lim 22π
==++=-++∞
→+∞
→x
x x x x x x x x . 一证明题1.证明方程135
=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证明 设13)(5
--=x x x f ，对)(x f 在闭区间[1,2]上用零点定理：
因为13)(5
--=x x x f 在闭区间[1,2]上连续，并且0)72()3()2()1(5
<-⋅-=⋅f f ，
所以由零点定理可得，至少存在一点)2,1(∈ξ使0)(=ξf ，即0135
=--ξξ，亦即方程
135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证毕.
2.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +. 证明 思路如下：先构造辅助函数)sin ()(b x a x x F +-=，则方程b x a x +=sin 的根的问题即转化为函数)(x F 的零点的问题；然后判断)(x F 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(x F 的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过b a +，故在闭区间],0[b a +上进行考察.
令)sin ()(b x a x x F +-=，则0)0(<-=b F ,=+)(b a F 0)]sin(1[≥+-b a a ，以
下分两种情况讨论：
①当1)sin(=+b a ，0)(=+b a F ，则b a +就是函数)(x F 的零点，也就是方程
b x a x +=sin 的一个根，此根],0(b a b a +∈+，取到区间],0(b a +的右端点；②当1)sin(<+b a ，0)(>+b a F ，因为)(x F 在(∞∞-,)上连续, 从而在],0[b a +上连续，并且0)()0(<+⋅b a F F ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间),0(b a +内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即ξ是方程b x a x +=sin 的一个根，此根),0(b a +∈ξ.
由①②即得，方程b x a x +=sin 在],0(b a +内至少有一个根. 证毕. 4.若在0x 的某个邻域内)()(x x f ϕ>,且A x f x x =→)(lim 0
,B x x x =→)(lim 0
ϕ,则A 与B 的关系是
B A ≥.
解：根据函数极限的性质定理：如果)()(x x ψϕ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，那么
b a ≥.(第五节定理5)
5.设)(x f 处处连续,且5)2(=f ,则=-→)1
(3tan lim
20x
e f x x x x 15 . 解：注意到)(x f 处处连续，则
15)2(3)212(33tan 3lim )1(3tan lim 2020=⋅=-⋅⋅=-→→f x
e f x x x e f x x x x x x . 2.设232)(-+=x
x x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是 B .
A.)(x f 与x 是等价无穷小;
B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;
C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;
D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.
解
：
根
据
无
穷
小
比
较
的
定
义
，
因为
6ln 3ln 2ln )13()12(lim 232lim )(lim 000=+=-+-=-+=→→→x
x x x f x x x x x x x ， 由16ln ≠知A 选项不正确，由06ln ≠知B 选项正确且C 选项不正确，由6ln 非∞知D
选项不正确.
三求下列极限：1.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n .
解：])
12)(12(1751531311[
lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n )]121121()7151()5131()3111[(21lim +--++-+-+-=∞→n n n 2
1)1211(lim 21=+-=∞→n n .
2.)1
1()311)(211(lim 222n
n ---
∞→ . 解：)1
1()311)(211(lim 222n
n ---∞→ ))1)(1(111(2222n n n n n n --=-=- 2222)1)(1(453342231lim n n n n --⋅⋅⋅⋅⋅=∞→ 2
121lim =+=∞→n n n . 3.)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→. 解：)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→2
121lim sin cos 11lim 22
00==-⋅=→→x x x x x x x .
4.x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++
→. 解：x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++
→11sin
ln 111
cos
ln 11lim 0=++=+→x
x x x x . 5.ππ
-∞
→3
232sin
lim
x x x x x . 解：π
π
-∞→3232sin
lim
x x x x x ππ
π
ππ
=-=-⋅
=∞→∞→33
3232lim
lim
x x x x x x x x . 6.)
111)(110()110()12()1(lim
2
22--++++++∞→x x x x x x . 解
：
)
111)(110()110()12()1(lim
222--++++++∞→x x x x x x 27
1110102122=⋅+++= . 7.)0,0,0.()3
(
lim 1
0>>>++→c b a c b a x
x x x x . 解
：
x
x x x x c b a 1
0)3
(lim ++→x
x x x x c b a 1
0)3
31(lim -+++=→31
33
3
0)
3
3
1(lim ⋅
-++⋅
-++→-+++
=x c b a c b a x
x
x
x x x x x x x c b a ， )111(lim 3lim 00x
c x b x a x c b a x x x x x x x x -+-+-=-++→→ abc c b a ln ln ln ln =++=，所以原式abc e ln 3
1
=3abc =.
8.x x x cot 0
)]4[tan(
lim -→π
. 解：x x x cot 0)]4
[tan(lim -→π2tan 11
tan 1
0)
tan 1(]
)
tan 1[(lim
---
→=+-=e x x x
x x .
9.x
x x tan 2
)
(sin lim π
→
.
解：x
x x tan 2)
(sin lim π
→
x
x x x cos sin 2)]
1(sin 1[lim -+=→
π
x
x
x x x x sin cos 1
sin 1sin 12
)]
1(sin 1[lim ⋅-⋅-→
-+=π
，
x x x x x x x cos 1sin lim sin cos 1sin lim 22-=⋅-→→ππ 02
sin 2cos 2cos 2sin lim 2sin 2cos )2cos 2(sin lim
22222=+-=---=→
→x x x x x x x x x x ππ，所以原式10
==e .
10.1
11
1lim 30-+-+→x x x . 解
：
1
111lim 3
0-+-+→x x x )
11)(11)1()(11()11)1()(11)(11(lim
3323
3320++++++-+++++++-+=→x x x x x x x x x 23)
11()11)1((lim 3320=++++++=→x x x x x x . 11.x
x x x x x sin 1
14lim 2
2+++-+-∞
→.
解
：
x
x x x x x sin 1
14lim
2
2+++-+-∞
→x
x x x x x x x -+-++-+=-∞
→sin 1
14lim
221sin 11
1114lim
2=+
---+
=-∞
→x
x x x x x .
12.)0( .1lim
>+∞→a a a
n n
n 解：)0( .
1,1,1,21,100,1lim >⎪
⎩⎪⎨⎧>=<<=+∞→a a a a a a n n
n 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤->++=,0,
cos ,
0,)1ln(1cos sin )(2
x x be x x x x x x f x
应当怎样选择数b ,使得)(x f 在0=x 处连续. 解：应有)0()(lim )(lim 0
f x f x f x x ==-+→→,而1)0()(lim ,1)(lim 0
0-===-+→→b f x f x f x x ,所以
2=b .
3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,
01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 求的间断点,并说明间断点所属类型. 解：因为函数在1=x 处无定义(在
)1(0
U 有定义),所以1=x 是)(x f 的一个间断点.
)1
1
lim ( 0lim )(lim 1
1
1
1
1
-∞=-==-
--→-→→x e
x f x x x x ,
)1
1
lim ( lim )(lim 1
1
11
1
+∞=-∞==+
++→-→→x e
x f x x x x , 1=∴x 是第二类间断点.
在分段点0=x 处,e
e
x f x x f x x x x x 1lim )(lim ,0)1ln(lim )(lim 1
10
===+=-→→→→++-- , 0=∴x 也是)(x f 的间断点,且是第一类间断点. 五证明题
2.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且b b f a a f ><)(,)(,证明:在),(b a 内至少存在一点
ξ,使ξξ=)(f .
证明 设x x f x g -=)()(,对)(x g 在闭区间],[b a 上用零点定理:
由)(x f 在闭区间],[b a 上连续,可得x x f x g -=)()(在闭区间],[b a 上连续,并且
0)()(<-=a a f a g ,0)()(>-=b b f b g ,故由零点定理得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使0)()(=-=ξξξf g ,即ξξ=)(f . 证毕.
3.设函数)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,且0)(0>=A x f .证明:存在0x 的邻域
),(),(0b a x U ⊂δ,使当x 属于该邻域时,A x f 2
1
)(>.
证明 设2)()(A x f x g -=,则02
2)(]2)([lim )(lim 000>=-=-=→→A
A x f A x f x g x x x x ,由极限的
局部保号性知,存在00>δ,使当000δ<-<x x 时,有0)(>x g .取
},,m in{000x b a x --=δδ,则当),(),(0b a x U x ⊂∈δ时,有0)(>x g ,即A x f 2
1)(>
. 毕.
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