高等数学下册模拟试题3及答案

高等数学（下）模拟试卷三

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．由方程2222=+++

z y x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分

=dz .

2．.1

1lim

2

2

220

0-+++→→y x y x y x = .

3．设曲线积分()()⎰-+++-=

L

dy y x dx y x I 65342，其中L 是以()0,0，()0,3，()2,3

为顶点的三角形的正向边界，则=I .

4．设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩

⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10

,1)(,则)(x f 的

傅里叶级数在π-=x 处收敛于 .

二、选择题（每小题3分，共15分）

6．下列级数中，属于条件收敛的是（ ）．

（A ）

()()∑

∞

=+-111n n

n

n （B ）

()∑

∞

=-1

si n 1n n

n n

n π

（C ）

()∑

∞

=-1

2

1n n

n

（D ）

()∑∞

=+-1

131n n

n

7．L 为)0,0(A 到)3,4(B 的直线，则

⎰-L

ds y x )(＝（ ）

（A ）⎰-4

0)43(dx x x （B ）⎰+-4016

9

1)43(dx x x

(C)

⎰-3

0)34(dy y y (D) ⎰+-301691)34(dy y y 8．函数3

22)(3x y x z -+=的极值点是( )

(A) (0,0) (B) (2,0) (C) (0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 9．将=I ⎰

⎰

-2

20

2

1

),(x x dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( )

(A) ⎰⎰

-+1

0110

2

),(y dx y x f dy (B) ⎰⎰

--1

110

2

),(y dx y x f dy ( C)

⎰⎰

-+1

111

2

),(y dx y x f dy (D)

⎰⎰

+-10

1

112

),(y dx y x f dy

10．设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑

zdydx =( )

(A)

π32 (B) π3

4

( C) 1 (D) 0 三、计算题（共70分）

11．（7分）设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=y x x f z ,,求 y x z

∂∂∂2,其中f 具有二阶连续偏导数.

12．（7分）求曲面3=+-xy z e z 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程.

13．（7分）求球面()02222>=++a a z y x 被平面,24

a a

z z ==所夹部分的面积.

14．（7分）计算⎰⎰D dxdy y

x 22

,其中D 是由1,,2===xy x y x 所围成的闭区域.

15．（7分）⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x

333

，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.

16．（7分）证明曲线积分

⎰

-++-)1,2()

0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy 在整个xoy 面内

与路径无关，并计算积分值. 17．（7分）求幂级数() ∑∞

=+0

12n n

x

n 的收敛域，并求其和函数.

20.（7分）设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且

2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1

((1

-∑∞

=n n f 绝对收敛.

高等数学（下）模拟试卷三

参考答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． dy dx 2- 2． 2. 3． 12 4．

2

π

5． x c x c e c e c y x x 3sin 3cos 432221+++=-

二、选择题（每小题3分，共15分）

6．D 7．B 8．A 9．C 10．B

三、计算题（共70分）

11．解:

.1

'2'1y

f f x z ⋅+⋅=∂∂………………3分 y f y f y

y f f y f y y x z ∂∂+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+∂∂=∂∂∂'

2'22'1'2'12111………………4分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--

=2"

22'22"12211y x f y f y f y x ………………6分 .1"223'

22"122f y

x f y f y x -⋅--

=………………7分 12．解:设 3),,(-+-=xy z e z y x F z ，.1,,-===z z y x e F x F y F ………………2分

点（2，1，0）处法向量为 {

}.0,2,1=→

n ………………4分 所求切平面方程为0)1(22=-+-y x ，即042=-+y x

所求法线方程为

02112z

y x =-=-.即：⎩

⎨⎧==--0032z y x .………………7分 13．

解：

上半球方程

为

z =

故

=………………2分

()2222315,|,416D x y a x y a ⎧

⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭………………3分利用极坐标求解：

20

D

S a d π

θθ==⎰………………5分

2

2.2

a a ππ⎡==

⎣………………7分

14．解： 积分区域 D ={(x , y )|x y x

x ≤≤≤≤1 ,21}, ………………2分

所以 ⎰⎰

=

x

x

dy y dx x I 1

2

2

1

2

1

………………4分