高等数学下册模拟试题3及答案

高等数学（下）模拟试卷三
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．由方程2222=+++
z y x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分
=dz .
2．.1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x = .
3．设曲线积分()()⎰-+++-=
L
dy y x dx y x I 65342，其中L 是以()0,0，()0,3，()2,3
为顶点的三角形的正向边界，则=I .
4．设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩
⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10
,1)(,则)(x f 的
傅里叶级数在π-=x 处收敛于 .
二、选择题（每小题3分，共15分）
6．下列级数中，属于条件收敛的是（ ）．
（A ）
()()∑
∞
=+-111n n
n
n （B ）
()∑
∞
=-1
si n 1n n
n n
n π
（C ）
()∑
∞
=-1
2
1n n
n
（D ）
()∑∞
=+-1
131n n
n
7．L 为)0,0(A 到)3,4(B 的直线，则
⎰-L
ds y x )(＝（ ）
（A ）⎰-4
0)43(dx x x （B ）⎰+-4016
9
1)43(dx x x
(C)
⎰-3
0)34(dy y y (D) ⎰+-301691)34(dy y y 8．函数3
22)(3x y x z -+=的极值点是( )
(A) (0,0) (B) (2,0) (C) (0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 9．将=I ⎰
⎰
-2
20
2
1
),(x x dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( )
(A) ⎰⎰
-+1
0110
2
),(y dx y x f dy (B) ⎰⎰
--1
110
2
),(y dx y x f dy ( C)
⎰⎰
-+1
111
2
),(y dx y x f dy (D)
⎰⎰
+-10
1
112
),(y dx y x f dy
10．设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑
zdydx =( )
(A)
π32 (B) π3
4
( C) 1 (D) 0 三、计算题（共70分）
11．（7分）设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=y x x f z ,,求 y x z
∂∂∂2,其中f 具有二阶连续偏导数.
12．（7分）求曲面3=+-xy z e z 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程.
13．（7分）求球面()02222>=++a a z y x 被平面,24
a a
z z ==所夹部分的面积.
14．（7分）计算⎰⎰D dxdy y
x 22
,其中D 是由1,,2===xy x y x 所围成的闭区域.
15．（7分）⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x
333
，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.
16．（7分）证明曲线积分
⎰
-++-)1,2()
0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy 在整个xoy 面内
与路径无关，并计算积分值. 17．（7分）求幂级数() ∑∞
=+0
12n n
x
n 的收敛域，并求其和函数.
20.（7分）设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且
2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1
((1
-∑∞
=n n f 绝对收敛.
高等数学（下）模拟试卷三
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． dy dx 2- 2． 2. 3． 12 4．
2
π
5． x c x c e c e c y x x 3sin 3cos 432221+++=-
二、选择题（每小题3分，共15分）
6．D 7．B 8．A 9．C 10．B
三、计算题（共70分）
11．解:
.1
'2'1y
f f x z ⋅+⋅=∂∂………………3分 y f y f y
y f f y f y y x z ∂∂+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+∂∂=∂∂∂'
2'22'1'2'12111………………4分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--
=2"
22'22"12211y x f y f y f y x ………………6分 .1"223'
22"122f y
x f y f y x -⋅--
=………………7分 12．解:设 3),,(-+-=xy z e z y x F z ，.1,,-===z z y x e F x F y F ………………2分
点（2，1，0）处法向量为 {
}.0,2,1=→
n ………………4分 所求切平面方程为0)1(22=-+-y x ，即042=-+y x
所求法线方程为
02112z
y x =-=-.即：⎩
⎨⎧==--0032z y x .………………7分 13．
解：
上半球方程
为
z =
故
=………………2分
()2222315,|,416D x y a x y a ⎧
⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭………………3分利用极坐标求解：
20
D
S a d π
θθ==⎰………………5分
2
2.2
a a ππ⎡==
⎣………………7分
14．解： 积分区域 D ={(x , y )|x y x
x ≤≤≤≤1 ,21}, ………………2分
所以 ⎰⎰
=
x
x
dy y dx x I 1
2
2
1
2
1
………………4分
4
9
)(2
1
3=
-=⎰
dx x x ………………7分 15
．
解
由
高
斯
公
式
，
原
式
dv z y x dv z R y Q x P )(3)(
222++-=∂∂+∂∂+∂∂-=Ω
Ω
⎰⎰⎰⎰⎰⎰………………4分 ⎰
⎰⎰-=π
πϕϕθ20
4sin 3
a
dr r d d 5
5
12a π-
=. ………………7分 16．解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且
342y x x
Q y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与路径无关, ………………4分 则⎰-++-)
1 ,2()0 ,1(3
24
)4()32(dy xy x dx y
xy ⎰⎰=++-=1
2
1
3
5)1(2)41(dx x dy y . (7)
分
17．解：21n a n =+， 12(1)1
lim
lim 121
n n n n a n a n ρ+→∞
→∞++===+， 1R ∴=………………2分
当1x =时，级数成为
() 120
∑∞
=+n n ，发散
当1x =-时，级数成为
()() 1210
∑∞
=+-n n
n ，发散
故原级数收敛域为(1,1)-………………4分
() ∑∞
=+012n n
x n () 120
0∑∑∞
=∞
=-+=n n
n n
x x n () 12000∑∑⎰∞
=∞
=-'
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n n n x
n
x dx x n 20
01∑∑∞=∞=+-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n n x x 1112x x x --'
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=() 11122x x ---=()211x x -+=………………7分
18．解：对应的特征方程为2
230r r +-= 解得121,3r r ==-.
所以 312x x Y C e C e -=+ .………………3分 因为()3,3x
f x e
λ-==-是特征方程的单根，所以设3x y xAe *-=.………………4分
代入原方程得 14A =-. 所以 314
x y xe *
-=-.………………6分
故原方程的通解为 331214
x x
x y Y y C e C e xe *--=+=+-.………………7分。