振动理论练习题.doc

第1章练习题

题1.1 已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=1.0sinωt+0.6cosωt (cm), 式中，ω=10π (1/s)。(1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位；(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。

题1.2 如题1.2图所示，一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，求其振动微分方程及固有频率。

题1.2图题1.3图

题1.3 一均质直杆，长为l，重力W，用2根长为h的铅直线挂成水平位置，见题1.3图。试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。

题1.4 如题1.4图，质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2，为完全塑性碰撞，求碰撞后两质量的振动运动。

题1.4图题1.5图

题1.5 如题1.5图，惯性矩为J的轮和轴，轴中心线与铅垂线有夹角α，盘上半径r处有一附加质量m，求轮和盘系统的固有振动周期。

题1.6 利用等效质量与刚度的概念求解题1.6图示系统的固有频率。AB杆为刚性，本身质量不计。

题1.6图题1.7图

题1.7 两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题1.7图所示，曲轴相当于在半径r 处有偏心质量m e ，为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上，设所在位置同样距轴心r ，求平衡配重所需质量。

题1.8 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得在40周内振幅由0.268mm 减少到0.14mm 。求此系统的相对阻尼系数ζ。

题1.9 某洗衣机滚筒部分重14kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k =80N ／mm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ；(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c =1.8N ·s ／mm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10％?(3)衰减振动的周期是多少?与不安装缓冲器时的振动周期作比较。

题1.10 如题1.10图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数，求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。

题1.10图

题1.11图

题1.11 求题1.11图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。

题1.12 试求在t =0时，有冲量F 作用下，有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。 题1.13 弹簧质量系统30o

光滑斜面降落，如题1.13图所示。自弹簧开始接触底面到离开为止，求所需的时间为多少?

题1.13图

题1.14图

题1.14 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统，受题1.14图所示力的作用， 记x s =F 0/k ，m k n /2

=ω，

求证，在t < t 0 内，有 )sin (1

)(0

t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内， 有

)(cos ]sin )([sin 1

)(000

t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。

题1.15 如题1.15图,为车辆行驶通过曲线路面模型，设道路曲面方程为：)2cos 1(x l

a y s π

-=，求： 1）车辆通过曲线路面时的振动；2）车辆通过曲线路面后的振动。

题1.15图

题1.16图

题1.16 如题1.16图，质量m 1，m 2被无质量弦牵引，求所示质量的微幅振动微分方程和固有频率，分别给各阶模态形状，设张力T 不变。

题1.17 求如题1.17图所示系统的固有频率，分别给出n ＝l ，n =2时的模态形状。

题1.17图

题1.18图

题1.18 求如题1.18图所示扭转系统在扭转刚度k 1＝k 2,转动惯量J 1＝2J 2时的固有频率和正则模态。 题1.19 在题1.18中，若k 1=0，02≠k 则成为2自由度退化系统，具有一个零固有频率和一个非零固有频率，求其正则模态。讨论此系统对应的移动位移运动的弹簧质量M -K 系统的形式。求证当使用φ=θ1-θ2为坐标时，系统可被看成单自由度系统。

题1.20 设n 自由度无阻尼系统自由运动方程为 0K x x

M =+ ，设它的n 个固有频率ωi (i =1,2,…, n )互不相同，求证系统模态向量ϕi (i =1,2,…, n )对质量矩阵M 和刚度矩阵K 的正交性，即证明

⎩⎨⎧≠==j i j i m i j T i 0M φφ，⎩

⎨⎧≠==j i j i k i j

T

i 0K φφ, i , j =1, 2, 3, … , n 。 题1.21 如题1.21图，为滑块＋单摆系统，设x (t )= a sin ωt ，其中m k =ω。求： （1）单摆的最大摆角；（2）系统的固有频率。

题1.21图

题1.22图

题1.22 如题1.22图，其中2/3km c =，m 1=m 2=m ，m 1上受阶跃力F 1，求零初始条件下系统响应。 题1.23 如题1.23图，各质量上的激励力F 1=F 2=F 3=F sin ωt ，其中ω=1.25m k /，各阶模态阻尼比为ζ1=ζ2=ζ3=0.01，求各质量的稳态响应。

题1.23图

题1.24图

题1.24 如题1.24图所示简支梁，三等分处各有质量m 1＝m 2=m ，各质量下有阻尼器，阻尼系数为C 1=C 2=300m k ,其中k 0=486EJ /l 3，EJ 为梁的抗弯刚度，l 为梁长度，设梁的质量不计。求： （1）各阶相对阻尼系数ζ1，ζ2；（2）质量m 1上受到一单位脉冲力δ(t )作用，m 1，m 2的运动规律。 题1.25 设一等直杆在左端自由，右端固定，求它的纵向振动的表达式。

题1.26 求如题1.26图所示的阶梯杆的纵向振动的特征方程，有ρ1=ρ2=ρ。提示：杆的连续条件是当x 1＝l 1, x 2＝0时，u 1＝u 2，EA 1

11x u ∂∂＝EA 22

2x u

∂∂。

题 1.26 图

题 1.27 图

题1.27 如题1.27图所示，长为l 的等直圆杆以等角速度ω转动。某瞬时左端突然固定，求杆扭转振动的响应。

题1.28 一根重的柔性钢索，长度为l ，单位长度的质量为ρ，上端悬挂，在平面内作自由振动，如题1.28图所示，试推导钢索横向运动微方程，并证明可分离成两个常微分方程。