2018年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第38讲数学归纳法课件理
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第六章 不等式、推理与证明 第1讲
• 知识点二 不等式性质
对称性 传递性 可加性
性质
性质内容
注意 ⇔ ⇒ ⇔
a>b⇔__________ b<a
a>c a>b，b>c⇒__________ a＋c>b＋c a>b⇔________________
可乘性
a>b ac>bc ⇒_____________ c>0 a>b ac<bc ⇒____________ c<0
c 的符号
性质 同向可加性
性质内容 a>b a＋c>b＋d ⇒__________ c> d a>b>0 ac>bd ⇒__________ c>d>0 a>b>0⇒__________(n∈N，n≥1) a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2) n n
an>bn
注意 ⇒ ⇒
知 识 梳 理
• 知识点一 实数的大小顺序与运算性质的 关系 • (1)a>b⇔a－b>0； • (2)a＝b⇔a－b＝0； • (3)a<b⇔a－b<0．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [拓展] • 比较大小的常用方法： • (1)作差法 • 一般步骤是：①作差；②变形；③定号； ④结论．其中关键是变形，常采用配方、 因式分解、有理化等方法把差式变成积式 或者完全平方式．当两个式子都为正数时 ，有时也可以先平方再作差． • (2)作商法 • 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商 与1的大小；④结论(注意所比较的两个数
D
) π 5π B．(－6， 6 ) π D．(－6，π)
π π β π β β [ 解析] 由题设得 0<2α<π，0≤3≤6，∴－6≤－3≤0，∴－6<2α－3<π．
2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法实战演练理
2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法实战演练 理1．(2015·陕西卷)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．解析：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n，g n (x )＝n ＋x n ＋2，x ＞0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )；①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2＜0，所以f 2(x )＜g 2(x )成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )． 那么，当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k (x )＋xk ＋1＜g k (x )＋xk ＋1＝k ＋＋xk2＋xk ＋1＝2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12.又g k ＋1(x )－2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12＝kx k ＋1－k ＋x k ＋12，令h k (x )＝kxk ＋1－(k ＋1)x k＋1(x ＞0)，则h ′k (x )＝k (k ＋1)x k－k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)xk －1(x －1)．所以当0＜x ＜1时，h ′k (x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h ′k (x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0， 从而g k ＋1(x )＞2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12.故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )． 综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x )．2．(2017·安徽模拟)如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0<y 1<y 2<…<y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝0,1,2，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．解析：(1)依题意得：x 1＝a 12，y 1＝3·a 12，y 21＝3x 1，解得a 1＝2，同理可得a 2＝6，a 3＝12.(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n2，y n ＝3·a n －a n －12，又y 2n ＝3x n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n ＋a n －1)，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立：②假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)，得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即a 2k ＋1－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋k (k －1)·(k ＋1)(k ＋2)＝0，解得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)，即当n ＝k ＋1时成立． 由①②知，猜想成立，∴a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．3．(2017·重庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n <a n ＋1<3成立的c 的取值范围．解析：(1)由已知有：a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，所以1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1，不等式成立．故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.当c ＞2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n ＜a n ＋1＋1a n＝c 得a n ＜α.当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )，α－a n ＋1≤13n (α－1)． 当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3.因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.4．(2014·重庆卷)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解析：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立， 即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a k －2＋1＋1＝k －＋1＋1＝k ＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上可知，a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝c －2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.。
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第38讲 数学归纳法
例 1 用数学归纳法证 明:12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2 =(-1)n+1·������(������2+1).
[思路点拨] 用数学归纳法证明问题的步骤:第一 步,验证当 n=n0 时命题成立;第二步,假设当 n=k 时 命题成立,再证明当 n=k+1 时命题也成立.关键是
第二步中要充分用上归纳假设的结论.
②假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即 1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)=
������(������+1)(������+2)(������+3),则当 n=k+1 时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+
4
(k+1)(k+2)(k+3)=������(������+1)(������+2)(������+3)+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3) ������ +
第38讲 PART 38
数学归纳法
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
会用数学归纳法证明一些简单数学命题.
课前双基巩固
知识聚焦
1.数学归纳法 设命题 p(n)是与正整数 n 有关的命题,如果满足:
①存在 n0∈N*,命题 p(n0)成立; ②当假设命题 p(k)(k∈N*,k≥n0)成立时,可以推出命题 p(k+1)也成立.
+1)(1+2������ 2
最新-2018年高考数学第一轮复习 各个知识点攻破6-3 不等式的证明课件 新人教B版 精品
• [拓展提升] 本题用的两种方法分别是综 合法与分析法，用综合法证明不等式时， 应注意观察不等式的结构特点，选择恰当 的已知不等式作为依据，其中基本不等式 是最常用的．当要证明的不等式比较复杂 时，两端差异难以消去或者已知条件信息 太少，已知与待证之间的联系不明显时， 一般可以采用分析法，分析法是步步寻找 不等式成立的充分条件，而实际操作时往 往是从要证明的不等式出发，寻找使不等 式成立的充分条件，直到找到一个已知的 或非常明显成立的不等式．
∴ a＋12＋ b＋12≤ 2(a＋12＋b＋12)＝2， 故不等式得证． 解法 2：(分析法)
要证 a＋12＋ b＋12≤2， 即证( a＋12＋ b＋12)2≤4，
即证 a＋b＋1＋2( a＋12× b＋12)≤4.
∵a＋b＝1，故就是证 a＋12× b＋12≤1， 即证 ab＋12(a＋b)＋14≤1，即证 ab≤14， 只需证 ab≤(a＋2 b)2， 也就是证 2ab≤a2＋b2，这是显然成立的，故原不等式成 立．
即 m－n<0，故 m<n.
证法 2：∵n>0，而mn ＝
c＋1－ c＝ c－ c－1
cc＋＋1＋c－1c<1，
∴m<n.
• [拓展提升] 作商之前要考虑分母的符号； 变形过程可能要用基本不等式或通过加减 一些项进行放缩．
• 已知a>0，b>0，m>0，n>0. • 求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. • 证明：am＋n＋bm＋n－ambn－anbm＝am(an
证明：∵
k－
k－1＝
1 k＋
k－1>2
1
， k
∴ 1 <2( k－ k－1)． k
2018版高考一轮总复习数学理课件 第6章 不等式、推理
【变式训练 1】
已知 x， y， z 是互不相等的正数，且
1 1 1 x＋ y＋z＝1，求证： －1 －1 －1 >8. x y z
证明 因为 x，y，z 是互不相等的正数， 且 x＋y＋z＝1， 1－x y＋z 2 yz 1 所以 x －1＝ x ＝ x > x ，① 1－y x＋z 2 xz 1 y －1＝ y ＝ y > y ，② 1－z x＋y 2 xy 1 z －1＝ z ＝ z > z ，③ 又 x，y，z 为正数，由①×②×③， 1 1 1 得 x －1 y －1 z －1 >8.
∴当 n∈ N 且 n≥2 时， 3 3 2bn－ 1 1 1 bn＝ f(bn－ 1)＝ · ⇒bnbn－ 1＋ 3bn＝ 3bn－ 1⇒ － 2 2 bn－ 1＋3 bn bn－ 1 1 ＝ . 3
1 ∴ 是首项为 b n
1 1，公差为 的等差数列． 3
触类旁通 综合法证明的思路 (1)综合法是 “由因导果 ”的证明方法，它是一种从已知 到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知 条件或已证的真实判断 (命题 )出发，经过一系列中间推理， 最后导出所要求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
解析
b－ a 1 1 < 成立，即 <0 成立，逐个验证可得，①② a b ab
④满ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题意．
4．[2017· 福建模拟] 设 a>b>0，m＝ a－ b，n＝
a－b，
m<n 则 m，n 的大小关系是________ ．
解析 解法一： (取特殊值法 )取 a＝2， b＝ 1，得 m<n. b2－ 2 ab <0 ，∴ m2<n2 ，∴ 解法二：(作差法 )由已知得 m>0，n>0，则 m2－ n2＝ a＋ b － 2 ab － a ＋ b ＝ 2b － 2 ab ＝ 2 m <n .
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用教师用书
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重点强化课(三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1)（2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞，1］B．［－1,1]C．［1,2）∪（2，＋∞)D。
错误!∪错误!(2)已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(1－x2)〉f(2x)的x的取值范围是__________．(1）D（2)(－1，错误!－1) [（1）由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以函数的定义域为错误!，故选D.（2）由题意得错误!或错误!解得－1〈x<0或0≤x〈错误!－1.所以x的取值范围为（－1，错误!－1）．］［规律方法］一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．（2）与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．（3）与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．［对点训练1] 已知f(x）是定义在R上的奇函数．当x〉0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5，0)∪(5，＋∞）[由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时,f(0)＝0；当x〈0时，－x〉0,所以f(－x）＝x2＋4x＝－f(x），即f(x)＝－x2－4x，所以f（x)＝错误!由f（x)〉x，可得错误!或错误!解得x〉5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞）．］重点2 线性规划问题(1）(2017·深圳二次调研）在平面直角坐标系xOy中,若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为（)A。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.3 精品
【知识梳理】 1.重要不等式 a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R)(当且仅当_a_=_b_时等号成立).
2.基本不等式: ab a b .
2
(1)基本不等式成立的条件是_a_>_0_,_b_>_0_.
(2)等号成立的条件是:当且仅当_a_=_b_时取等号.
(3)其中 a b 称为正数a,b的_算__术__平__均__数__,
的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积
是
.
【解析】设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m, 由题知0<x<10,则面积S=x(10-x)≤( x 10 x=)22 5,当
2
且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,
故当矩形的长与宽相等,都为5时面积取到最大值25 m2.
答案:25m2
xy=0,则x+2y的最小值为 ( )
A.8
B.4
C.2
D.0
【解题导引】依据题意由基本不等式得x+2y=xy≤
1 ( x 2y )2,从而求得x+2y的最小值或者化简x+2y-xy=0,
22
得 2 1 =1然后变换x+2y的形式,利用基本不等式求出
xy
x+2y的最小值即可.
【规范解答】选A.因为x>0,y>0,
且函数f x ln x是增函数，
所以p f ab q f( a b ). 2
【加固训练】
1.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则 1 1 1 的最小值
abc
为
.
【解析】因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.2 精品
y x,
2.本例题(1)条件变为 x y 1,
y 1.
求z=2x+y的最大值.
【解析】作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y 过点A(2,-1)时,z取最大值,最大值是3.
命题方向2:求参数的值或范围
【典例3】(1)(2015·福建高考)变量x,y满足约束条件
x y 0, x 2y 2 0, mx y 0.
4x 5y 8,
4.(2015·广东高考)若变量x,y满足约束条件 1 x 3,
则z=3x+2y的最小值为 ( )
0 y 2,
A. 31 5
B.6
C. 23
D.4
5
【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,
由z=3x+2y得y=3 x z，
22
依题当目标函数直线l:
y= 3 x 经z 过A
2
4.求不等式组
x
y
y 2,
5
0,
所表示的平面区域的面积.
0 x 2
【解析】如图,平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,
2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域
的面积为S=
1 2
×(3+5)×2=8.
考向二 线性规划相关问题
【考情快递】
命题方向
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若 为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公 式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形 分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解: 利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形, 利用数形结合的方法去求解.
x y 2 0,
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第6章 第6节 数学归纳法 Word版含解析
第六节 数学归纳法[考纲传真] .了解数学归纳法的原理.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．．数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：()(归纳奠基)证明当取第一个值(∈*)时命题成立；时命题也成立．＝＋当)时命题成立，证明*∈，≥()(归纳递推)假设＝( 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．．数学归纳法的框图表示．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当＝时结论成立．( )()用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )()不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由＝到＝＋时，项数都增加了一项．( )()用数学归纳法证明等式“＋＋＋…＋＋＝＋－”，验证＝时，左边式子应为＋＋＋.( )[答案]()× ()× ()× ()√．(·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为(－)条时，第一步检验等于( )．．[因为凸边形最小为三角形，所以第一步检验等于，故选.]．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…－＝时，若已假设＝(≥，且为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立[为偶数，则＋为偶数．]．(教材改编)已知{}满足＋＝－＋，∈*，且＝，则＝，＝，＝，猜想＝.＋．用数学归纳法证明：“＋＋＋…＋<(>)”由＝(>)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加的项的项数是．[当＝时，不等式为＋＋＋…＋<.则＝＋时，左边应为＋＋＋…＋＋＋＋…＋，则左边增加的项数为＋－－＋＝.]设*)．[证明]()当＝时，左边＝()＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立分()假设＝(≥，∈*)时，结论成立，即()＋()＋…＋(－)＝[()－]，分那么，当＝＋时，()＋()＋…＋(－)＋()＝[()－]＋()＝(＋)()－＝(＋)－＝(＋)(＋)－(＋)＝(＋)[(＋)－]，分∴当＝＋时结论仍然成立．由()()可知：()＋()＋…＋(－)＝[()－](≥，∈*)分[规律方法] .用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少．。
2018年大一轮数学理高考复习人教课件第六章 不等式与
的前 10 项的规律推测这个数列的第 2 019 项是________．
1 解析：这个数列的前 10 项按如下规则分组．第一组：1；第二组： 2 1 3 2 1 4 3 2 1 n 1，2；第三组：1，2，3；第四组：1，2，3，4；…；第 n 组：1， n－1 n－2 n－r＋1 nn＋1 1 ，…，n.由不等式 2 ＜2 019，即 2 ， 3 ，…， r nn＋1 n(n＋1)＜4 038， 得 n≤63(n∈N )， 且当 n＝63 时， 2 ＝2 016,2
＝2× 2 2 n 6 1 ，故 a7＝2× ＝4. 2 2
1 答案：4
[方法引航]
解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对
象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行 解决.如解决含有递推关系式的归纳推理的问题，一般是先根据题 中的递推关系式求出一些特殊对象，然后再根据这些特殊对象与 序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出 一般性结论.归纳推理的一般步骤： 1通过观察个别情况发现某些相同的性质； 2从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想.
解析：根据已给出的等式归纳推理求解． 4 4 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的3是个固定数，3后 面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数 4 的一半，3后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结 4 4 果为3×n×(n＋1)，即3n(n＋1)．
4 答案：3n(n＋1)
(3)如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC＝2 2.过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3；…，依此类推．设 BA＝a1，AA1＝a2， A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则 a7＝________.
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6-5 精品
【知识梳理】 1.直接证明
内 容
综合法
分析法
从已知条件出发,经 从待证结论出发,一步一步寻
过逐步的推理,最后 求结论成立的充分条件,最后
定 达到待证结论的方 达到题设的已知条件或已被
义 法,是一种从_原__因__ 证明的事实的方法,是一种从
推导到_结__果__的思维 _结__果__追溯到产生这一结果的
因为A1D1⊂平面A1BD1,D1B⊂平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面A1BD1∥平面ADC1, 因为A1B⊂平面A1BD1,所以A1B∥平面ADC1.
【加固训练】
1.(2016·枣庄模拟)设a,b,c>0,证明:a2 b2 c2 a b c.
bca
【证明】因为a,b,c>0,根据基本不等式,
只需证a2+13a+42>a2+13a+40,只需证42>40, 因为42>40成立,所以P>Q成立.
感悟考题 试一试
2.(2016·滨州模拟)用反证法证明命题“若a,b∈N,ab
可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设
的内容应该是 ( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
【解析】选B.“至少有一个能被5整除”的反面是“都 不能被5整除”.
3.(2016·菏泽模拟)设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b
的大小关系为 ( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a≤b
【解析】选A.因为a=lg2+lg5=lg10=1,而b=ex<e0=1,
最新-2018届高三数学一轮复习 数学归纳法课件 理 新人教B版 精品
∴当 n＝k＋1 时命题成立，∴对任何 n∈N 且 n≥3， 有 n 边形对角线条数为 f(n)＝12n(n－3)．
• 平面上有n个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交 于同一点，求证：这n个圆把平面分成的区域数为f(n)＝n2 －n＋2.
• 分析：关键是n＝k到n＝k＋1的过渡，要想搞清f(k＋1)比 f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第k＋1个圆被原来 的k个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一 分为二，为此先求出第k＋1个圆与原来的k个圆的交点个 数即可．
• D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
• 解析：原等式左边是20＋21＋22＋…＋2n－1，从20到2n－1， 右边是2n－1，故当n＝k时，等式为20＋21＋…＋2k－1＝ 2k－1，当n＝k＋1时，等式为20＋21＋…＋2k－1＋2k＝2k ＋1－1＝2k－1＋2k.
• 答案：D
(1)求 a1、a2、a3，猜想 an 的表达式并加以证明；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列S1n的前 n 项和
为 Tn，是否存在自然数 m，使得对一切 n∈N*，Tn>m 恒 成• 立解 时？a析1若＝：3存(1，)在当，n＝求1出时，m D的1为值R；t△若O不AB存1的在内，部请包说括明斜理边由，．这 • 当n＝2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时a2＝6，
当
n＝k＋1
时
，
1
＋
1 22
＋
1 32
＋
…
＋
1 k2
＋
1 (k＋1)2
<2
－
1 k
＋
(k＋11)2<2－1k＋k(k＋1 1)＝2－1k＋1k－k＋1 1＝2－k＋1 1命题成立．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章
明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步
n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到 A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 ( )
D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
【小题快练】 链接教材 练一练
1.(选修2-2P99习题B组T1改编)在应用数学归纳法证
明凸n边形的对角线为 1 n(n-3)条时,第一步检验n等
2
于
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步 应检验n=3.
2.(选修2-2P96习题2.3A组T1(3)改编)用数学归纳法证
6
左边＝右边，等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立， 即12＋22＋…＋k2＝ k(k 1)(2k 1) ，
6
则当n＝k＋1时， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
k(k 1)(2k 1) 2 ＝ ＋ k＋ 1 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] ＝ , 6
所以当n＝k＋1时，等式仍然成立, 由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
【加固训练】 1.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*, 1 1
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第六章 不等式、推理与证明 第7讲
1 1 1 1 1 1 1 1 求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋ … ＋ (n ∈ N*) 2 3 4 2n 2n－1 2n n＋1 n＋2 导学号 30071839
1 1 1 1 [解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ . 2 2 1＋1 2 左边＝右边． 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋… 2 3 4 2k－1 2k k＋1 k＋2 1 ＋ ， 2k
了解数学归纳 数学归 纳法
★☆☆ 法的原理，能
☆☆ 用数学归纳法 的数学命题. 5年1考 证明一些简单
2 ．形式探究：证明一般
以解答题形式出现.
知 识 梳 理
• 知识点一 数学归纳法 • 一般地，证明一个与正整数n有关的命题， 可按下列步骤进行： k＋1 • (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N ＋)时命题成立； • (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命 题成立，证明当n＝_______时命题也成立 ． • 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对
精准高 考
数 学
文理(合订)
第六章 不等式、推理与证明
第七讲 数学归纳法(理)
1 2
3 4 5 6
考纲解读
知识梳理 考点突破
名师讲坛 思想方法 复习练案
考 纲 解 读
考点展 考查频
示
率
考纲要求
高考命题探究 1.内容探究：数学归纳法 一般以数列集合为背景， 用 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的模式考查．
• [解析] 根据数学归纳法原理，第二步作 出归纳假设应为“假设n＝2k时正确，再推 n＝2k＋2时正确(其中k∈N*)”，选择B．
2018届一轮复习人教A版 第6章 第5节 数学归纳法 课件
第六章 不等式
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载 2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
第五节 数学归纳法
课时作业
高考导航 考纲下载
1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
主干知识 自主排查
[知识梳理] 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
主干知识 自主排查
1 解析：由 a1＝3，Sn＝n(2n－1)an， 1 1 1 1 1 1 求得 a2＝15＝ ，a ＝ ＝ ，a ＝ ＝ . 3×5 3 35 5×7 4 63 7×9 1 猜想 an＝ . 2n－12n＋1
主干知识 自主排查
1 1 1 1 6．已知 f(n)＝n＋ ＋ ＋„＋n2，则( D ) n＋1 n＋2 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝2＋3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝2＋3＋4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝2＋3
即时应用
核心考点 互动探究 考点三
3．(2017· 莱芜市实验中学模拟)已知数列 an 1 {an}的前n项和Sn满足：Sn＝ 2 ＋ a －1， n
a1 (1)当n＝1时，由已知得a1＝ 2 ＋ 1 2 － 1 ， a 1 ＋2a1－2＝0.∴a1＝ 3 a1 －1(a1＞0)．当n＝2时，由已知 a2 1 得a1＋a2＝ 2 ＋a －1， 2 将a1＝ 3 －1代入并整理得a 2 2＋ 2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5 － 3 (a2＞0)．同理可 得a3＝ 7－ 5. 猜想an＝ 2n＋1 － 2n－1 (n∈ N*)．
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6-6 精品
【解析】选B.因为等式中的n∈N*,所以n0=1.
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的
前n项和公式是Sn=na1+ n(n 1) d时,假设当n=k时,公式 2 成立,则S = ( )
k
A.a1+(k-1)d C.ka1+ d
k(k 1) 2
k(a1 a k ) D.(k+1)a 2 1+
所有正整数n
【教材拓展微思考】 1.用数学归纳法证题时,证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立.因为n0∈N*,所以n0=1.这种说法对吗?
提示:不对,n0也可能是2,3,4,„.如用数学归纳法证明 多边形内角和定理(n-2)π 时,初始值n0=3.
2.有人认为数学归纳法的第一个步骤可以省略,你认为
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+„+2k-1+2k,而右边应
为2k+1-1.
考向一
用数学归纳法证明等式
▲提能互动
【典例】(2017·西安模拟)已知-1=(-1)1×1
-1+3=(-1)2×2
-1+3-5=(-1)3×3
-1+3-5+7=(-1)4×4
可以吗?
提示:不可以,数学归纳法的两个步骤相辅相成,缺一不
可.
3.有人说,数学归纳法是合情推理,这种说法对吗?
提示:不对,数学归纳法是一种证明与自然数有关的命
题的方法,它是演绎推理.
【教材母题巧变式】
题号
1
2
3
4
源自
2018年高考数学一轮温习第六章不等式推理与证明课时达标38数学归纳法理
解析：n＝4时，24＜42＋1；n＝5时，25＞52＋1，故n0＝5.
3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，那么f(k＋1)与f(k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
综合①，②可知，对一切n∈N*等式成立．
11．用数学归纳法证明：
1＋ ＋ ＋…＋ <2－ (n∈N*，n≥2)．
证明：①当n＝2时，1＋ ＝ <2－ ＝ ，命题成立．
②假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋ ＋ ＋…＋ <2－ .
当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋…＋ ＋ <2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － ＝2－ ，命题成立．
D．假设f(4)≥16成立，那么当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：选项A，B与题设中不等方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．
6．关于不等式 <n＋1(n∈N*)，某同窗用数学归纳法的证明进程如下：
(1)当n＝1时， <1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 <k＋1，那么当n＝k＋1时， ＝ < ＝ ＝(k＋1)＋1，因此当n＝k＋1时，不等式成立．( D )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)C． D．
解析：当n＝k时，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)显然增乘的 ＝2(2k＋1)．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1关于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( C )
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nn－3 2
条时，第一步检验n＝
( C)
A．1
B．2
C．3
D．4
• 解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第 一步应检验n＝3.
• 3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1 ＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等 式成立，则当n＝k＋1时，应得到( D )
• 5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn ＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－ 1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__2_k＋__1___ 时，命题亦真．
• 解析：因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的 下一个奇数是2k＋1.
•一 数学归纳法证明等式
• 数学归纳法证明等式的思路和注意点 • (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄
清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是 多少． • (2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立， 一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分 利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用 归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
• 【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－ n(2n＋1)(n∈N*)．
2 k＋1
＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)·(ak＋2＋ak＋1＋1)＞
0，得ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．根据①和②，可知an＜an＋1对任意
n∈N*都成立．
•三 归纳—猜想—证明
• “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归 纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其 一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出 一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这 种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、 存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归 纳、猜想出公式．
• (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳 法证明．( × )
• (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时， 由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )
• (4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2 ＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋ 22＋23.( √ )
已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a
2 n＋1
＋an＋1－1＝a
2 n
，求证：当n∈N*时，
an<an＋1.
证明：①当n＝1时，因a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，
所以a1<a2.
②假设当n＝k(k∈N*)时，0≤ak＜ak＋1，当n＝k＋1时，
则由a
2 k＋1
－a
2 k
＝(a
2 k＋2
＋ak＋2－1)－(a
第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法
考纲要求
了解数学归纳 法的原理，能 用数学归纳法 证明一些简单 的数学命题.
考情分析 命题趋势
2014，重庆 数学归纳法
卷，22T 一般以数列、
2015，陕西 集合为背景，
卷，21T 用“归纳—
分值：0～5 猜想—证明”
分
的模式考查.
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
n2n2＋1 3
时，则从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( B )
A．(k＋1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D．13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
• 解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2 ＋k2，故选B．
• 证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式 成立．
• ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42 ＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
• 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋ 1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k·(2k＋1) －(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝ k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任意n∈N*都成 立．
• 解析：(1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步 是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n＝1.
• (2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必 须用数学归纳法证明．
• (3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证 明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数的增加根据题目 而定．
• (4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋ 2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2 ＋22＋23是正确的．
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
• (1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0∈N*)时命题成 立；
• (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题 成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
• 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
• (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1 时结论成立．( × )
【例3】 设a>0，f(x)＝aa＋xx，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解析：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.猜 想an＝n－a1＋a(n∈N*)．
•二 数学归纳法证明不等式
• (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时， 应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数 学归纳法．
• (2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成 立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳 假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商) 比较法、放缩法等方法证明．
【例2】
• A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
• B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
• C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
• D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
• 解析：由条件知，左边从20,21到2n－1都是连 续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22 ＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.