新人教版九年级数学上册第9课时 一元二次方程的应用(2)学案

新人教版九年级数学上册第9课时一元二次方程的应用（2）学案

一、学习目标1．会利用一元二次方程解答数字问题

2．会利用一元二次方程解答营销问题；

3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.

二、知识回顾 1. 用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：

（1）审题找等量关系；

（2）设元列方程；

（3）求解并检验；

（4）写出答案．

2. 数字问题中常用的数量关系有：

两位数表示为：十位数字×10+个位数字；

三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；

三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;

三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;

三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.

三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）

每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销

量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出

方程求解．

四、典例探究1．一元二次方程的应用——数字问题

【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，

求这个两位数．

总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：

（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；

（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为

100c+10b+a；

（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三

个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．

练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.

练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实

数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得

到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）

A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1

2．一元二次方程的应用——营销问题

【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家

还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

总结：

用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润. 用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.

每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.

每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.

练3（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

3．一元二次方程的应用——动态几何问题

【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q 分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

总结：

动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题. 解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.

动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.

练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程，

解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：

梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小

聪提出的这个问题．

五、课后小测一、选择题

1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）

A．5和9 B．﹣9和﹣5 C．5和﹣5或﹣9和9 D．5和9或﹣9和﹣5

2．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格

出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降

价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该

经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．

A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.2

3. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方

形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）

A．44 B．45 C．46 D．47．

二、填空题

4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．

5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少

库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出

2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．

三、解答题

6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为

102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．

7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的

价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格

销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，

可多售出50个）．

（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？

（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，