曲率与挠率

dr dt¯
=
dr dt
ddtt¯,
d2r dt¯2
=
d2r dt2
dt dt¯
2
+
dr dt
d2t dt¯2
,
d3r dt¯3
=
d3r dt3
dt dt¯
3
+
3
d2r dt2
dt dt¯
d2t dt¯2
+
dr dt
d3t dt¯3
,
将以上三式代入曲率和挠率的计算公式, 就可得到
k(t¯) = k(t(t¯)), τ (t¯) = τ (t(t¯)),
3. 平面曲线的特征 定理 3.3 曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率 τ (s) ≡ 0. 证明 (⇒) 若曲线 C : r = r(s) 为平面曲线, 则 γ 为常矢量, 于是
τ (s) = −γ˙ · β ≡ 0.
18
(⇐) 由于 τ (s) ≡ 0 , 即 γ˙ · β = 0 , 而 γ˙ 共线于 β , 所以 γ˙ (s) ≡ 0 或 γ(s) 为常矢量, 于是可
r = α ds = αs + r0,
这正是直线的方程. Question 1 若曲线上有无穷多个点处曲率都为 0 , 此曲线是否为直线? (可考虑正弦
曲线)
1.3.2 挠率的定义及其几何意义 1. 挠率的解析定义 空间曲线不但要弯曲, 而且还要扭曲, 即要离开它的密切平面. 为 了能刻画这一扭曲程度, 等价于去研究密切平面的法矢量(即曲线的副法矢量)关于弧长的 变化率. 为此我们先给出如下引理. 引理 3.2 设自然参数曲线 C : r = r(s) 的基本向量为 α, β 和 γ , 则 γ˙ 与 β 共线. 证明 一方面, 因为 γ · α = 0 , 两边关于弧长 s 求导, 同时注意到 α˙ = kβ, 便得 γ˙ · α = 0 , 即 γ˙ 垂直于 α. 另一方面由于 |γ| = 1 , 两边关于弧长 s 求导便得 γ˙ · γ = 0 , 即 γ˙ 垂直于 γ. 这两方面说 明 γ˙ 与 α × γ 共线, 即 γ˙ 与 β 共线.
τ (t)
=
(r (t), r (r (t)
(t), ×r
r (t)) (t))2
.
Question 2 曲线与它关于原点对称的曲线的曲率和挠率之间有何关系? Question 3 曲率为 0 的点处挠率如何定义?
1.3.4 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性 1. 曲率和挠率关于刚性运动的不变性 所谓刚性运动是指 R3 中的平移, 或旋转, 或平 移与旋转的合成. 祥言之, 设 f : R3 → R3 是一个刚性运动(简称运动), 意指存在一个向量 b = (b1, b2, b3) 和一个正交矩阵 A (即 A · At = 单位矩阵, 这里 At 表示 A 的转置矩阵), 使得 对任意 (x, y, z) ∈ R3, 有
τ¯(s) = = =
dr¯ ds
,
d2r¯ ds2
,
d3r¯ ds3
[k¯(s)]2
dr ds
·
A,
d2r ds2
·
A,
d3r ds3
·
A
[k(s)]2
dr ds
,
d2r ds2
,
d3r ds3
[k(s)]2
= τ (s),
这表明挠率在运动 f 下不变. 至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.
2. 曲率和挠率关于参数变换的不变性 设曲线 C 的一般参数方程为 r = r(t), t = t(t¯) 是任一容许的参数变换, 由复合函数的链式求导法则, 容易验证
2t
.
为了计算挠率,
由定义 τ
=
−
dγ ds
·β,
而
dγ ds
=
dγ dt
·
dt ds
,
故
τ
=
−
dγ dt
·
dr
β
.
dt
简单计算得曲线的挠率
τ
=
25
8 sin
2t
.
说明: 本题可像例 2 直接利用公式求曲率和挠率, 但有一定的计算量, 如果曲线的向量 式比较复杂, 这里介绍的方法比较稳妥.
23
② 给出曲线 C 的一般参数方程 r = r(t) 时:
k(t)
=
|r
(t) |r
×r (t)|3
(t)|
.
2. 挠率的计算公式
① 给出曲线 C 的自然参数方程 r = r(s) 时:
τ (s)
=
(r˙ (s), r¨(s), .r..(s)) (r¨(s))2
.
② 给出曲线 C 的一般参数方程 r = r(t) 时:
示 r¯(s) , 使得
r¯(s) = f (r(s)) = r(s) · A + b,
于是 从而
dr¯ ds
(s)
=
dr ds
(s)
·
A.
dr¯ ds
(s)
2
=
dr ds
(s)
ห้องสมุดไป่ตู้
·
A
2
=
dr ds
(s)
·
A
·
dr ds
(s)
·
A
t
=
dr ds
(s)
·
A
·
At
·
dr ds
(s)
t
=
dr ds
(s)
·
=
t,
−
4 5
},
而
β
=
r¨ |r¨|
=
α˙ |α˙ |
=
dα dt dt ds dα dt dt ds
= {sin t, cos t, 0},
22
所以
γ
=
α
×
β
=
{
4 5
cos
t,
−
4 5
sin
t,
−
3 5
}.
于是曲线的曲率
k=
dα ds
=
dα dt
·
dt ds
=
dα dt dr dt
=
25
6 sin
= lim
∆θ→0
sin
∆θ 2
∆θ
2
= lim
∆s→0
∆θ ∆s
,
· lim
∆s→0
∆θ ∆s
这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,
也就是曲线在该点附近切线方向改变的程度, 它反映了曲线的弯曲程度. 如果曲线在某点
处的曲率愈大, 表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快, 因此曲线在该点的弯曲程度愈
dr ds
,
d2r¯ ds2
=
d2r ds2
,
d3r¯ ds3
=
d3r ds3
,
20
从而由曲率的计算公式, 我们有
k¯(s) =
d2r¯ ds2
=
d2r ds2
·
A
=
d2r ds2
= k(s),
这表明曲率在运动 f 下不变. 再由挠率的计算公式, 结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义, 我们得到
f (x, y, z) = (x, y, z)A + b,
19
曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线 C 经过 R3 中的一个运动变为 C¯ 时, C 和 C¯ 上对应点的曲率和挠率皆相等.
设曲线 C 的自然参数表示是 r(s) , 并设曲线 C 经过运动 f 变为曲线 C¯ , 那么 C¯ 有参数表
【例3 】 求曲线 r(t) = {cos3 t, sin3 t, cos 2t} 的曲率和挠率, 这里 0 < t < π/2.
【解】 到
直接计算得到 |r
(t)|
=
5 2
sin 2t ,
可见 t 不是弧长参数,
所以将 r
(t) 单位化后得
α
=
r
(t)/|r
(t)|
=
{−
3 5
cos
t,
3 5
sin
直接验证
d(r·γ ds
)
=
0,
即
r · γ = p (常数),
这说明曲线 C 上的点满足一平面的方程, 即 C 为平面曲线.
1.3.3 曲率和挠率的计算公式 (请读者参考本节第四部分, 自行给出证明) 1. 曲率的计算公式 ① 给出曲线 C 的自然参数方程 r = r(s) 时:
k(s) = |α˙ (s)| = |r¨(s)|.
的曲率向量
,
当 k(s)
=
0 时,
称 ρ(s)
=
1 k(s)
为曲线在该点处的曲率半径
.
2. 曲率的几何意义 任取曲线 C : r = r(s) 上的一点 P (s) 及其邻近点 Q(s + ∆s) , P
和 Q 点处的单位切向量分别为 α(s) = r˙ (s) 和 α(s + ∆s) = r˙ (s + ∆s) , 它们的夹角设为 ∆θ
21
【解】 注意到点 A 和点 B 对应的参数值分别为 t = 0, t = π/2 , 直接计算得到
|r (0)| = b, |r (π/2)| = a,
|r × r | = ab,
于是 A 点处的曲率 kA
=
ab b3
,
B 点处的曲率 kB
=
ab a3
,
显然 kA
> kB ,
这正说明椭圆 C 在长