13年力学竞赛辅导理论力学4
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物理竞赛辅导——力学练习题（一）班别________ 姓名__________1、从高为h的屋沿掉下一个小球，同时在A的正下方地面，以初速v0把另一小球B竖直上抛，均不计空气阻力。
求A、B在空中相遇时v0应满足的条件。
2、如图所示，方桌重100N，前后腿与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽与高相等。
求：（1）拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。
（2）设前、后腿与地面间的静摩擦因数为0.60。
在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？3、系统如图所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。
设系统所有部位都没有摩擦，物体B借助导轨（图中未画出来）被限定沿物体C的右侧面运动，试求物体C的运动加速度。
4、如图所在纸平面为一铅垂面，O、A、B三点在一水平线上。
O点有一固定的垂直于纸平面的细直长钉，A点为固定点。
O、A相距l，A、B相距2l，B处有一小球，球与A间用长2l的细轻绳连接。
若使B处球具有垂直向下的初速度v0，而后恰能击中A点，试求v0的最小值。
5、如图所示，在倾角为的光滑斜面上放置一个质量为m的重物，重物与一轻质弹簧连接，弹簧另一端固定在斜面上，弹簧的劲度系数为k，将重物从其平衡位置O向下拉长距离l，然后从静止释放。
试求重物的振动周期并写出重物振动的表示式。
6、如图所示，原长L0为100厘米地轻质弹簧放置再一光滑地直槽内，弹簧地一端固定在槽地O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓慢地转到竖直位置。
设弹簧的形变总是在其弹性限度内。
试在下述a、b两种情况下，分别求出这装置从原来的水平位置开始缓慢地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面地高度 h0。
a）在转动过程中，发现小球距原水平面地高度变化出现极大值，且极大值为40厘米。
b）在转动过程中，发现小球离原水平面地高度不断增大。
物理竞赛辅导——力学练习题（二）班别______ 姓名___________1、如图所示，一速度v0匀速行驶的列车上，在高于车厢地板h处的光滑平台边缘放一个小球，运动中它与车厢相对静止。
理论力学4
（四）点的加速度合成定理动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：牵连运动为平动：a a=a e+a r牵连运动为转动：a a=a e+a r+a k式中a k称为科氏加速度。
它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
a k 的矢量表达式为a k=2ω×vr其中ω为动系的角速度矢。
设ω与vr间的夹角为θ (图4—2—9)，则a k的大小为ak=2ωvrsinθa k的指向由ω与vr的矢积确定。
对于平面机构，因a a、a e、a r和a k等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。
由于aa或ae或ar都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理进行具体计算。
（五）应用速度或加速度合成定理解题的一般步骤和方法1．分析机构的运动情况，根据题意适当地选取动点、动系和静系。
它们的选取方法，一般可从两个方面来考虑：其一，动系相对静系有运动，动点相对动系也有运动；其二，除题意特别指明动系或动点外，尽可能使选取的动点对动系有明显而简单的相对运动轨迹。
在一般机构中，通常可选取传递运动的接触点为动点，与其邻接的刚体为动系。
2．分析绝对运动、相对运动和牵连运动。
绝对运动和相对运动都是指动点的运动。
在相对运动的分析中，可设想观察者站在动系上，观察到的动点运动即为它的相对运动。
而牵连运动是指动系的运动，也就是固结着动系的刚体相对静系的绝对运动。
3．根据题意，分析动点的各种速度或加速度，并图示速度或加速度矢量图。
动点的v a、a a和v r、a r一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。
而在分析v e和a e时，关键在于明确该瞬时牵连点的位置，然后根据动系运动性质分析牵连点的速度和加速度，亦即动点的牵连速度ve和牵连加速度ae；或可以认为动点暂不作相对运动，而把它固结在动系上，则动点随动系运动的速度和加速度即为ve和ae另外，在动点的各加速度分量中，当牵连运动为平动时，不含有科氏加速度ak。
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【最新整理，下载后即可编辑】选修课程备课本力学竞赛辅导课时编号： 1 时间：年月日A ．g m kl 1μ+ B ．g m m k l )(21++μ C ．g m k l 2μ+ D ．g m m m m k l )(2121++μ 2．如上题中两木块向右作匀加速运动，加速度大小为a ，则两木块之间的距离是：（ ）A ．k a m g m k l 11++μ B ．ka m m g m m k l )()(2121++++μ C ．k m g m k l 22++μ D ．k m m g m m m m k l )()(212121++++μ 3．如图劈形物体M 的各表面光滑，上表面水平，放在固定的斜面上，在M 的水平上表面放一光滑小球m ，现释放M ，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是：（ ）A ．沿斜面向下的直线B ．竖直向下的直线C ．向左侧弯曲的曲线D ．向右侧弯曲的曲线4．质量为M 的木块置于粗糙的水平面上，若用大小为F 的水平恒力拉木块，其加速度为a 。
当水平拉力变为2F 时，木块的加速度为a ′为：（ ）A. a ＇= aB.a < a ＇<2aC. a ＇=2aD. a ＇>2a5．质量为m 的盒子以某初速度在水平面上能滑行的最大距离为x ，现在盒子中放入质量也为m 的物块，以同样的初速度在水平面上能滑行的最大距离为：（ ）A ．x /2B ． xC ．2x ，D ．4x6．在光滑的水平面上，有两个物体并放一起，如图所示。
已知两物体质量M :m =5:1，第一次用水平力F 由左向右推M ，物体间的作用力为N 1，第二次用同样大小的水平力F 由右向左推m ，两物间作用力为N 2，则N 1: N 2为：（ ）A ．1:1B ．1:5C ． 5: 1D ．与F 的大小有关图447．光滑水平面上质量为m 的物体在水平恒力F 作用下，由静止开始在时间t 内运动距离为s ，则同样的恒力作用在质量为2m 的物体上，由静止开始运动2t 时间内的距离是：（ ）A ．sB ．2sC ．4sD ．8s8．如图所示，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的大小变化情况是：（ ）A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变9．一人站在体重计上，在突然下蹲过程中，体重计读数如何变化？（ ）A ．增大B ．减小C ． 先增大后减小D ．先减小后增大10．如图所示，在水平面上，质量为10 kg 的物块A 拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的另一端固定在小车上，小车静止不动，弹簧对物块的拉力大小为5 N 时，物块处于静止状态，若小车以加速度a =1 m/s 2沿水平地面向右加速运动时：（ ）A. 物块A 相对小车仍静止B. 物块A 受到的摩擦力将减小C. 物块A 受到的摩擦力大小不变D. 物块A 受到的拉力将增大11．设雨滴从很高处竖直下落时，所受到的空气阻力f 和其速度v 成正比。
力学竞赛辅导讲义4.8
力学竞赛辅导讲义——碰撞一、内容要点精讲一、碰撞的概念两个或两个以上相对运动的物体在刹时接触，速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。
2、碰撞现象的大体特点碰撞进程时刻极短．碰撞物体在这一进程中的位移可略去不计，但速度可产生有限转变。
碰撞时产生的碰撞力可能极大并发生急剧转变，难以测量。
通经常使用碰撞力在碰撞进程中的冲量来气宇碰撞的强弱，碰撞冲量为式中，v和u别离是物体作为质点在碰撞开始瞬时和碰撞终止瞬时的速度。
3、研究碰撞问题的两点大体假设(1)在碰撞进程中，一般力（非碰撞力）的冲量忽略不计；(2)在碰撞进程中，物体的位移忽略不计。
4、碰撞进程的两个时期(1)变形时期。
从两个物体开始接触到二者接触点处沿公法线方向无相对速度为止，这时变形取得最大值。
(2)恢复时期。
从两个物体接触点处在公法线方向取得分离速度到两个物体离开接触为止。
在这时期中物体的变形取得部份或全数恢复。
五、碰撞的分类碰撞时两物体间的彼此作使劲，称为碰撞力。
（1）按物体的相处位置分类对心碰撞与偏心碰撞：假设碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心碰撞，不然称为偏心碰撞。
见下图(a),图(b)正碰撞、斜碰撞：假设两物体碰撞时各自质心的速度均沿着接触处的公法线，称为正碰撞；不然称为斜碰撞。
下图中，AA 表示两物体在接触处的公切面，BB 为其在接触处的公法线(2) 按其接触处有无摩擦，分为滑腻碰撞与非滑腻碰撞。
(3) 按物体碰撞后变形的恢复程度(或能量有无损失)，可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。
（1k =，完全弹性碰撞；0k =，非弹性碰撞或塑性碰撞；01k ,弹性碰撞）6、恢复因数K恢复因数K 表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并反映出碰撞进程中机械能损失的程度。
（1）正碰撞k式中和别离表示碰撞开始和碰撞终止时质心的速度。
（2）斜碰撞k和别离是入射角和反射角式中αβ（3）两物体彼此碰撞式中别离为两物体的碰撞点在碰撞终止和碰撞开始时沿接触面法线方向的相对速度。
力学竞赛辅导
n
n 1 [1 2(i 1)]2
2M
i 1
n 1
i 1,2,3, n
Ni
P n
(i 1,2 )
Ni
l
1 2(i 1) n 1
n [1 2(i 1)]2
2M
P n
i 1
n 1
二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method)
对称结构（symmetrical structure）:若将结构绕对称轴对折后,结构在 对称轴两边的部分将完全重合.
F2 F1
F2 F1
对称载荷（symmetrical load）:绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重合,而且每对力数值相等.
F2 F1
F2 F1
反对称载荷（Antisymmetrical load）:绕对称轴对折后，结构在对称 轴两边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反.
图2 模特儿的新舞台
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：受力平衡、变形协调条件
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
4
5
6
1
2
3
根据结构对称和载荷对称
设6条腿受的压力分别为Ni
N4
N5
N6
N1
N2
N3
方法1
方法2 平衡方程为：
My 0 Mx 0
3
2
1
d ij d ji
§14-3 对称及反对称性质的应用( Application about symmetrical and antisymmetrical properties )
力学竞赛及答案
竞赛辅导四 共点力的平衡一、力的动态平衡问题：1、三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物， 如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。
若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先断的绳： a（A ）必定是OA （B ）必定是OB（C ）必定是OC （D ）可能是OB ，也可能是OC2两个大人和一个小孩，想推木箱m 向右方沿x 轴正向运动，两个大人的推力F 1和F 2的大小及方向如图所示，则小孩需要对木箱施加的最小推力大小为 ，其方向与x 轴所成的角度是 。
3、如图所示，M 、N 为装在水平面上的两块间距可以调节的光滑竖直挡板，两板间迭放着A 、B 两个光滑圆柱体，现将两板间距调小些则与原来相比下述结论中正确的是( ad ) Ａ．N 板对圆柱体A 的弹力变小。
Ｂ．圆柱体A 对圆柱体B 的弹力变大。
Ｃ．水平面对圆柱体B 的弹力变大。
Ｄ．水平面对圆柱体B 的弹力不变。
4、如图所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点OA 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1．现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2的大小之间的关系为（ ）A ．F 1＞F 2B ．F 1＝F 2C ．F 1＜F 2D ．无法确定5、如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时：dA ．绳OA 的拉力逐渐增大；B ．绳OA 的拉力逐渐减小；C ．绳OA 的拉力先增大后减小；D ．绳OA 的拉力先减小后增大。
5、一个半径为r ，重为G 的圆球，被长为l 的细绳挂在竖直的，光滑的墙壁上，若加长细绳的长度，则细绳对球的张力T 及墙对球的弹力N 各将如何变化：如右图所示：cA.T 一直减小，N 先增大后减小B.T 一直减小，N 先减小后增大；C.T 和N 都减小D.T 和N 都增大。
13年力学竞赛辅导理论力学3
而
aA vA
vt
2
h
3 2 2
17
例2. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量C. 求证: 任意时刻点的加速度大小 为:
v3 a C 其中, 为点所在曲线处的曲率 半径
证明: 不妨设铅垂轴为 轴 x 则 Vx C ax 0
18
又
v2 an ρ
取长方块B 分析
Y
i
0:
FN W cos300 F2 si n350 0
FN 107 20 N .
F1
W
F2
F
B
30º
X
P
W
x
i
0:
F2 cos350 F W si n300 P 0 F FN tg350 75.06 N
P 4.34 N
Q W a P W g
b
C
Q
a
hmin
A
W
FS
B
P
b c mB 0 : Q W P hmin 0 2 2
hmin 1 Q b W c b W b c 2P 2 2P
FN
令上式中hmin = 0 若hmin > 0
14
合成法( 瞬时法):(1) 已知运动的点与未知的点在同一刚体上 刚体平面运动
基点法, VB VA VBA ( 包括速度投影及速度瞬心法)
n t a B a A a BA a BA
(2) 已知运动 的刚体(或点)和未知的刚体(或点)之间的相对运动— 点的合成运动.
Va Ve Vr
力学竞赛强化辅导内容安排(本部)
北教101
上午
12
8
4.20六
知识点强化讨论
综合练习4（应力状态、强度理论、组合变形、能量法、静不定问题、力学实验）
王向东5
北教101
下午
13
9
4.27六
知识点强化讨论
综合练习5（应力状态、强度理论、组合变形、静不定问题、动荷载）测试2
王向东6
北教101
上午
14
9
4.28日
往届竞赛题研讨
材料力学部分（第四、五届及以前）
上午
4
12
5.18六
赛前指导
9:00
许庆春
北教101
上午
全国力学竞赛强化辅导内容安排（材料力学、本部）2013年2月
序号
周次
时间
标题
内容
讲课人
上课地点
备注
1
1
3.3日
理论补充
能量法
王向东1
科会101
上午
2
2
3.9六
知识点强化讨论
练习1（轴向拉压、扭转、剪切及挤压的强度刚度计算，截面几何性质）
邓爱民1
邓爱民4
北教101
上午
6
4
3.23六
知识点强化讨论
练习5（能量法、动荷载、材料力学性能、材料力学实验等的综合练习）测试1
邓爱民5
北教101
下午
7
5
3.30六
理论补充
材料力学实验（包括机测（往届实验竞赛笔试部分）、电测的基本原理（桥路等））
邱玲1
北教101
上午
8
5
3.31日
理论补充
材料力学实验（包括机测（往届实验竞赛笔试部分）、电测的基本原理（桥路等））
力学竞赛辅导讲义
力学竞赛辅导讲义——虚位移原理一、内容要点精讲1、约束与约束方程(1)约束。
限制非自由质点或质点系运动的各种条件称为约束。
(2)约束方程。
约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质点的坐标和速度以及时间的数学关系式或方程来表示。
这种方程通常称为约束方程。
2、约束分类(1) 几何约束与运动约束。
只限制质点或质点系几何位置的约束称为几何约束；对于不仅限制质点系的位置，而且还限制质点系中质点的速度的这类约束称为运动约束。
(2) 定常约束(稳定约束)与非定常约束(不稳定约束)。
约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束(或稳定约束)；约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束(或不稳定约束)。
(3) 完整约束与非完整约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束；约束方程中包含坐标对时间的导数，而且方程中的微分项不能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。
(4) 单侧约束(可离约束)与双侧约束(不可离约束)。
由不等式表示的约束称为单侧约束(或可离约束)；由等式表示的约束称为双侧约束(或不可离约束)3、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的无限小位移称为虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
在定常约束条件下，微小实位移是虚位移之一。
4、虚位移与实位移的差别和联系(1) 差别。
虚位移是纯粹的几何概念，它与质点或质点系是否实际发生运动无关。
它不涉及运动时间、运动的初始条件和作用力等，只是约束许可的想像中的微小位移。
而实位移除与约束有关外，还与运动时间、运动初始条件和作用力、质量等有关；虚位移是微小的位移，而实位移可能是微小的，也可能是有限的；虚位移可以有多种不同的方向，而实位移只有惟一确定的方向，指向真实运动的一边。
(2) 联系。
在定常约束条件下，微小的实位移是虚位移中的一种情形。
在非定常约束条件下，微小的实位移一般不是虚位移中的一种情形。
为区别起见，虚位移用变分符δ表示，如rδ (投影为xδ，yδ，zδ)，sδ，δϕ等，而微小的实位移用微分符号d表示，如d r (投影为d x，d y，d z)，d s，dϕ等。
力学性能2013-4
积分的
把平面应力的r0值代入，且
得
故
KI 2
ys R0
ys s
1 2
2
1 KI R0 2r0 s
KI s R0 s
2
可见考虑应力松弛后，平面应力塑性区宽度为未考虑 的2倍。
厚板件平面应变状态，由于表面的自由收缩，表面是平 面应力状态，心部是平面应变状态，两者之间有一过渡 区，塑性区是一个哑铃形的立体形状．
修正后的KI表达式：
KI (平面应力)
KI
Y a 1 0.056Y 2 ( / s ) 2
(平面应变)
3.裂纹扩展能量释放率GI及断裂韧度GIC a)裂纹扩展时的能量转化关系：
W Ue ( p 2 s )A W Ue ( p 2 s )A
K IC Y C aC
建立裂纹失稳扩展脆断的断裂尺判据： KI＞KIC
K判据的意义：
a)已知材料的KIC和工作应力，求临界裂纹 尺寸aC，为材料探伤提供裂纹尺寸标准。 b)已知材料的KIC和存在的裂纹尺寸，求临 界应力，确定材料使用中的最高应力。 c)已知临界应力及临界裂纹尺寸，测定材料 的断裂韧性。
KI KI 0.16 (平面应力) s s
2 2
2
2
1 ry r0 4 2
KI KI 0.056 (平面应变) s s
Y a 1 0.16Y 2 ( / s ) 2
1 2
2
1 3 2 3 2
2 2
2 s
式中，σ1、σ2、σ3是3个主应力。
理论力学竞赛练习题答案
理论力学竞赛练习题一、基础概念题1. 列出牛顿运动定律的三个基本内容。
2. 简述质点与刚体的区别。
4. 解释力的合成与分解。
5. 简述功和能量的概念及其关系。
二、单选题A. 速度B. 力C. 加速度D. 质量2. 在自由落体运动中，物体的加速度为：A. 0B. 9.8 m/s²C. 5 m/s²D. 10 m/s²A. 惯性与物体的速度有关B. 惯性与物体的质量无关C. 惯性是物体保持静止状态的性质D. 惯性是物体保持匀速直线运动状态的性质三、计算题1. 一物体从静止开始沿直线加速运动，经过10秒后速度达到20 m/s，求物体的加速度。
2. 一质量为2 kg的物体在水平面上受到10 N的力作用，求物体的加速度。
3. 一物体从高度h自由落下，不计空气阻力，求物体落地时的速度。
4. 一物体沿半径为5 m的圆周运动，速度为10 m/s，求物体的向心加速度。
5. 一物体在水平面上受到两个力的作用，其中一个力为30 N，方向向东，另一个力为40 N，方向向北，求物体的合力。
四、应用题1. 一辆汽车以20 m/s的速度行驶，紧急刹车后，加速度为5m/s²，求汽车停止前行驶的距离。
2. 一物体在斜面上受到重力和摩擦力的作用，已知重力为30 N，摩擦力为10 N，求物体的合力。
3. 一质量为1 kg的物体在水平面上受到一个变力的作用，力随时间的变化关系为F=3t²（N），求物体在05秒内的位移。
4. 一物体在半径为10 m的圆形轨道上做匀速圆周运动，速度为5 m/s，求物体在1分钟内转过的角度。
5. 一质量为5 kg的物体在水平面上受到一个恒力的作用，力的大小为20 N，方向与初速度方向成30°角，求物体在5秒内的位移。
五、判断题1. 动能定理表明，物体的动能变化等于所受外力做的功。
（）2. 在圆周运动中，物体的速度方向始终沿着半径方向。
（）3. 作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。
理论力学竞赛辅导1静力学-
M l3 0
确定三根轴的位置
2019/11/13
26
BUAA
静力学的思考题与例题
思考题26：长正方体上作用有一空间任意力系，对 其中的六个轴取矩方程均成立，该力系是否是平衡 力系。
l3
MO
FR
l5
l6
o
l2
l3
MO
FR
l6 o
l1
l4
l1
{ F 1,F 2, ,F n} { F R ,M o}
i1
i1
空间任意力系的平衡条件：
FR
0
Fx 0
Fy 0 MO 0
MOx(F) 0
MOy(F) 0
M x(F ) 0 M y (F ) 0,
Fz 0
MOz(F) 0
M z(F ) 0
•静不定问题 ( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
注： 静不定的物理含义是系统存在有多余约束
静不定结构中，不一定是所有约束力均不能唯一确定
问题7：系统如图所示，已知滑块与地面之间的静/动摩擦因数 和几何尺寸，该系统处于平衡。试分析该系统的静定性。
C
CF
AM
B
A F
2019/11/13
n
Fi ri 0
i1
M B
F
F
19
BUAA
平衡位置的稳定性
设质点系的势能函数为：VV(q1,q2, ,qk)
质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：
竞赛辅导-理论力学-动力学
1 2 Lt , 匀质杆AB长为L，质量为m，在oxy平面内运动，运动方程为： x A 4 1
yA
求：t=1s时杆对OZ轴的动量矩。
基本概念—动量矩的计算
，
4
2 Lt
t 4
xA , y A
单位为米， 单位为弧度，t单位为秒。
解：质心 1 1 1 xC xA L cos 2 Lt L cos( t ) 2 4 2 4 1 1 1 yC y A L sin 2 Lt L sin( t ) 2 4 2 4 1 1 C x 2L L sin( t ) 4 24 4 1 1 C y 2L L cos( t ) 4 24 4 4 1 1 2 1 L my x mx y mL xC L x z C C C C C 2 L(1 ) 12 2 4 4 2 t=1s时 1 mL 1 7 yC L y C 2 L(1 ) 2 4 4 48
基本概念—质心速度（2） 匀质杆OA、OB铰接，各点速度分布如图，则此时系统 质心的速度为多大？ 分析：
vC
，
mv M
i i
m mi dx l
l
u vi x l
ux m mu x 2 l mu mi vi 0 l l dx l 2 2 |0 2
u vC 2
5
注意区分质点系质心速度与机构上与质点系质心重合点的速度。
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基本概念—动量
杆的角速度为 ，轮子相对于杆的角速度为，轮和杆质量已知，几何 尺寸已知。计算图示系统的动量。
高中物理竞赛辅导力学部分专用讲义
高中物理《竞赛辅导》力学部分目录第一讲：力学中的三种力第二讲：共点力作用下物体的平衡第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心第四讲：一般物体的平衡、稳度第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解第六讲：相对运动与相关速度第七讲：匀变速直线运动第八讲：抛物的运动第九讲：牛顿运动定律（动力学）第十讲：力和直线运动第十一讲：质点的圆周运动、刚体的定轴转动第十二讲：力和曲线运动第十三讲：功和功率第十四讲：动能定理第十五讲：机械能、功能关系第十六讲：动量和冲量第十七讲：动量守恒《动量守恒》练习题第十八讲：碰撞《碰撞》专题练习题第十九讲：动量和能量《动量与能量》专题练习题第二十讲：机械振动《机械振动》专题练习第二十一：讲机械波第二十二讲：驻波和多普勒效应第一讲： 力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg ，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定．3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 ．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k 1,k 2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：nk k k 1...111+=，即弹簧变软；反之．若以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为0L 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余2L 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
《理论力学》教学教案
《理论力学》教学教案一、教学目标1. 让学生了解和掌握理论力学的基本概念、基本原理和基本方法。
2. 培养学生运用理论力学知识分析和解决实际问题的能力。
3. 帮助学生建立正确的力学观念，培养学生的科学思维能力。
二、教学内容1. 牛顿运动定律介绍牛顿运动定律的内容，理解牛顿运动定律的含义，掌握运用牛顿运动定律分析物体运动的方法。
2. 惯性参考系和坐标系介绍惯性参考系和坐标系的概念，理解惯性参考系的性质，学会选择合适的坐标系分析物体运动。
3. 力学中的矢量和标量掌握矢量和标量的概念，了解矢量和标量的运算规则，学会运用矢量和标量分析物体运动。
4. 运动的描述掌握位移、速度、加速度等运动描述量，理解它们的物理意义，学会运用运动描述量分析物体运动。
5. 牛顿运动定律的应用学会运用牛顿运动定律分析物体在力的作用下的运动，掌握力的合成与分解，了解摩擦力、重力、弹力等常见力的性质和作用。
三、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、基本原理和基本方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用理论力学知识解决问题。
3. 讨论法：组织学生讨论，培养学生的思考能力和团队合作精神。
4. 实验法：进行力学实验，让学生直观地了解力学现象，提高学生的实践能力。
四、教学资源1. 教材：《理论力学》2. 课件：PowerPoint3. 实验设备：力学实验器材4. 网络资源：相关学术文章、视频资料等五、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：测试学生对理论力学基本概念、基本原理和基本方法的掌握程度。
3. 实验报告：评价学生在实验中的操作能力、观察能力以及分析问题解决问题的能力。
4. 期末考试：全面测试学生对理论力学的掌握程度，包括基础知识、应用能力和创新能力。
六、教学安排1. 课时：共计32课时，每课时45分钟。
2. 教学进度安排：章节一：牛顿运动定律（4课时）章节二：惯性参考系和坐标系（3课时）章节三：力学中的矢量和标量（3课时）章节四：运动的描述（4课时）章节五：牛顿运动定律的应用（5课时）章节六：力学实验（3课时）章节七：动量定理和动量守恒定律（4课时）章节八：能量守恒定律（3课时）章节九：碰撞和爆炸（3课时）章节十：总结与复习（2课时）七、教学活动1. 课堂讲解：讲解基本概念、基本原理和基本方法。
理论力学4n
Mx =0; My=0; Mz =0
1）共6个方程，只能解6个未知量； 2）还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。
22
§４-５
空间任意力系的平衡方程
xi yi
F 一、空间任意力系的平衡方程： F 还有四矩式，五矩式和六矩式， F 同时各有一定限制条件。
3
4-1
空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解
1. 力在空间的表示
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
大小： F F
b q
作用点： Fxy 方向：由、b、g 三个方向角
确定；或 由仰角q 与俯角 来
确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：Fx F cos ,
Fy F cos b , Fz F cos g
FRx Fix ∴ FR y Fiy FRz Fiz
空间汇交力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同 一轴上投影的代数和。
2 2 2 2 2 合力大小：FR FR 2 F F ( F ) ( F ) ( F ) X Y Z Ry Rz x
x dV y dV z dV V V V xC , yC , zC V V V
31
二、重心的求法： 1、简单几何形状物体的重心(对称法） 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出， 该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称 中心上。 简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
m (F ) 0 m (F ) 0
力学竞赛培训课4章共48页文档
aa
d v o' dt
dvr dt
a a a o' a r
aa ae ar
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理论力学培训4章
4
4-3牵连运动为转动时点的加速度合成定理
预备知识：动坐标矢的时间 变化率
动系x’y’z’绕某轴转动时， 固结在动坐标上的坐标矢量 的大小虽然不变，但方向不
断变化。现求动坐标矢量i’、 j’ 、k’对时间的变化率。
绝对加速度等于牵连速度、相对速度、柯氏加 速度的矢量和。
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理论力学培训4章
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4-3 刚体的平面运动
刚体运动时，如果刚体内任意一点与某固定 平面的距离始终相等，则这种刚体运动称为平 面运动。
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理论力学培训4章
13
刚体的平面运动的描述方法:
刚体的平面运动可用刚体内的一个平面图形的 运动来描述。
va
limMM2 limMM1 limM1M2 t0 t t0 t t0 t
va ve vr
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理论力学培训4章
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4-2 牵连运动为平移运动时点的加速度合成定理
速度合成定理：绝对速度等于牵连速度与相对 速度的矢量和。
va ve vr
刚体作平移运动时，刚体上各点的速度相同， 都等于动坐标的坐标原点的速度。
平面图形在其平面内运动时，图形的位置可以 由平面内任意一条直线的位置来确定。
一条直线在平面的位置可 由直线上的起点（基点） 以及方位角确定。
刚体的平面运动可分解为 随基点的平动和绕基点的 转动。
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理论力学培训4章
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4-4 求平面图形各点速度的基点法
13年力学竞赛辅导理论力学4
n 2 a a a 25 150 175 m / s m By Be r
2 2 2 a a a 313 . 25 mm / s B Bx By
5
A 0
C
180º --
B
本题, 还可以用 ‘ 函数法’ 求汽缸的角速度和角加速度
A C
VaV
V
B
r
0 O
e
B
V OA 200 m / s m a 0
V
30º
B
e
O1
0 V V sin 30 100 m/ m s e a 0 V V cos 30 100 3 m/ m s r A
AB 杆及汽缸CO1 的角速度为
V e 0 . 5 rad /s AO 1
A
B V
B
而在DC方向:
0 0 0 V cos 30 V cos 60 V cos 60 D Cy Cx
3 3 V V 3 V V V 0 D Cy Cx 2 2
7
例14. 图示矩形ABCD 作平面运动, G 为形心. 某瞬时, A , B , C , D 速度分别为
V V V V A, B, C, D.
(顺时针)
12
例17. 图示平行四边形机构中, O1A = O2B = l/2 , O1O2 = AB = l .已知O1A杆以匀 角速度 转动, 并通过AB杆上的套筒C带动CD杆在铅直槽内运动. 如果以套筒上 C为动点, O1A杆为动参考系, 则求: C点的牵连速度、 相对速度、牵连加速度、 相对加速度及科氏加速度的大小.(第二届题)
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针向, 角加速度OA = 0 ; 杆OB的角速度OB = , 顺时针向, 角加速度
OB = 0 .求该瞬时AC杆的角速度、角加速度及其方向. ( 第五届题) 解: 速度分析
O
AC
VA 2l OA 2l V AC A ( 顺时针) OA
B
以套筒上B点为动点, AC杆为动系,
n aa cos300 aC ae
aC
e
30º
O1
ae 3 rad / s 2 a 200 3 100 3 100 3 mm / s O1 A 2 2 n n 将 aa ae ar aC 沿 A B 方向投影 : aa sin300 ae ar ar 50 200 150 mm / s
n aa 2 l
n n n t aa ar aC a A a BA a BA 3
n a A 2l
aC 2eVr 4 2l
n 2 aBA AC AB 2l
将(3)式沿铅垂方向投影:
a
t BA n A 0 a A cos450 aBA 2
VC2 a Rr
n C
a BC
o
R
VC2 a BC r r r aC
n 2
x
将
B
acn
n a B aC a C a n a BC BC
a c
aC
r
acn a n C BC
A
a BC
分别沿x ,y 轴投影:
a Bx aC a 2aC BC
VC2 a n 2 r AC r r aC
将
n a A aC aC a n a AC AC
分别沿x ,y 轴投影:
n
a Ax 0
a Ay a a AC
n C
VC2 VC2 R VC2 Rr r r( R r )
9
以C 为基点, 分析B 的加速度如图示 O y
VC
a By a a BC
n C n
VC2 VC2 (R r) r
R 2r 2 VC r( R r )
10
例16 . 图示机构中, 杆AC可在套筒中滑动, 杆OB = l , 杆OA = √2 l , OO = 2l . 在图示瞬时, OOA = 450, OOB = 900. 杆OA的角速度OA = , 逆时
将 900 300 0 2rad / s 1 rad / s 2
2
代 入 2 得 :
3 rad / s 2 2
3 rad / s 2 2
6
例13. 图示运动机构中, VA = VB = V , 其方向如图示.
求图示的运动瞬时D 点的速度. 解: 将C 点的速度正分解成
VD VCy 3 VCx
3 3 V V 0 2 2
7
例14. 图示矩形ABCD 作平面运动, G 为形心. 某瞬时, A , B , C , D 速度分别为
VA , VB , VC , VD .
求: 此瞬时 VG ? 解: 由图示, 可设矩形的转向逆时针
V CG
D G
C
VC
取G 点为基点,
CD Ve BC 2 VD CD DC 3 r 2
30º
ae
n CD ae 60º C
n a
加速度分析如图
a r
2
B
2 r a r 4
n e 2 CD
ak 2CD Vr
3 2 r 2
Ve
30º
Vr
Va
由
n n aa ae ae ar ak 沿 a k 方向投影:
o
R
VC 圆柱上的A 点是速度瞬心, r x
注意上式在这里不仅是瞬时成立!
B
aC
acn V C C
a AC
aC d d VC ( ) dt dt r r
以C 为基点, A 点的加速度分析如图
a AC
rn
A
acn
a c
VC2 n aC Rr a AC
O
O1
机构在任意位置, 由正弦定理:
OO1 OA si n 1800 si n
100 3 100 si n si n
3 sin sin
两边对时间求导数： cos cos 3
A
a
n a
n aC a A
ar
a
n A
n n t a B1 a A a BA a BA
1
450
以套筒上B为动点, AC杆为动系分析B1点的 加速度
O
O
n aa ae a B1 ar aC n 即是 a B1 aa ar aC
2
结合(1)、(2)式可得:
V A VG V AG
VC VG V CG
VD
A
VB
B
V AG V CG
VA VC 2VG
同理可得
V AG
VA
上两式相加得:
1 VG VA VB VC VD 4
VB VD 2VG
8
例 15 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的圆弧槽作纯滚动. 在图示瞬时, 滚子 中心C 的速度为VC , 切向 加速度为 aC . 求 A , B 两点的加速度. O y 解: 先求圆柱的角速度 ω 和角加速度 α .
n aa cos300 ae ak
ae 32 BC
a a cos30 ak 3 r
n a 0 2
a D CD DC 3 3 2 r
e
CD
n 2 a D CD DC
3 2 r 4
2
例11. 在图示系统中, 滑块A以匀速度VA = 1m/s 向下运动, 杆长CD = 1m , 当 = 450 且杆CD 水平时, 求AB、CD 杆的角速度. (第三届题)
n ae
y
ar
a
Be
n 2 aa 0 OA 400mm / s 2
n ae 2 O1 A 50mm / s 2
C x B an
Be
60º
0 O
aC
aC 2 Vr 100 3 mm / s 2
将 aa ae ar aC 沿 aC 方向投影
A 点与B 点相对于CO1 的速度相等 ( 平动 )
VBr Vr 100 3 mm / s
而 VBe O1 B 50mm / s
2 2 VB VBe VBr 180.28 mm / s
4
取活塞杆的A点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
ar
ae
A
n aa
D C
60º
V Cx 和 V Cy .
并设D 点的速度如图示. 由速度投影定理:
VD
CB方向: CA方向:
V Cx VB cos 300
3 V 2
V Cy30º
60º
V Cx
30º
1 V Cy V A cos600 V 2
VA A
B
VB
而在DC方向:
VCy cos 300 VCx cos600 VD cos600
2
取活塞杆的B点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
aBe O1 B 50 3 mm / s 2 2 n aBe 2 O1 B 25mm / s 2 aC 2 Vr 100 3 mm / s
将 aB aBe ar aC 分别沿 x, y 方向投影
速度分析:
O1
A
Ve
C
O2
l
先以AB杆为动系求C点的绝对速度 由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得
B
Vr
l l
aC
D
Va 0
若以O1A杆为动系,
由 Va Ve Vr 可得
Ve 2 l
Vr Ve
Va
Vr
C
Vr 2 l
Ve
(方向如图示)
从而可得科氏加速度
aC 2Vr 2 2 2l
1
将 900 300 0 2rad / s 代入1 得 :
1 rad / s 2 1 rad / s 2
将( 1 ) 式的两边再对时间求一次导数:
2 3 sin 2 3 cos sin cos
aBx a aC 150 3 mm / s
Be 2
n aBy aBe ar 25 150 175 mm / s 2
2 2 a B a Bx a By 313.25mm / s 2
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A 0
C
180º - -
B
本题, 还可以用 ‘ 函数法’ 求汽缸的角速度和角加速度
1
例10. 计算如下两种运动机构在图示位置时CD杆上D点的速度和加速度. 设图 示AB杆的角速度为 , 角加速度为零. AB = r, CD = 3r .
(a)
aD
VD
D
解: 取套筒上的B点为动点, DC杆为动系.