2016年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

x arx tan x x(arctan x)2
lim
x0
x ( x 1 x3 ) o( x3 ) 3 x3
1． 3
6．设 u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 2u 0 及 xy
2u x 2
2u y 2
0
，则（
）．
（A） u( x, y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；
（A） a1, a2 , a3 .
（B） a2 , a3, a1 .
（C） a2 , a1, a3 .
（D） a3, a2 , a1 .
（2）已知函数
f
(x)
2(x 1),
ln x,
x 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x 1,
（A）
F
(x)
(x 1)2,
x
1.
（B）
F
(
x)
(x 1)2,
设 D 是由直线 y 1， y x ， y x 围成的有界区域，计算二重积分
D
x2 xy y2 x2 y2
dxdy.
（19）（本题满分 10 分） 已知 y1(x) ex ，y2(x) u(x)ex 是二阶微分方程 (2x 1) yn (2x 1) y ' 2 y 0 的解，若 u(1) e ， u(0) 1，求 u(x) ，并写出该微分方程的通解。
（C） f1(x) g(x) f2 (x)
（D） f2 (x) g(x) f1(x)
（6）已知函数 f (x, y) ex ，则 x y
（A）
f
' x
f
' y
0
（B）
f
' x
f
' y
0
（C）
f
' x
f
' y
f
（D）
f
' x
f
' y
f
（7）设 A ， B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是
Page 5 of 15
x t 2 7,
4．曲线
y
t
2
4t
1
上对应于 t 1的点处的曲率半径是（
）
（Ａ） 10 （Ｂ） 10
50
100
(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 10
【详解】 曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
y" ，曲率半径 R 1 ．
(1 y'2 )3
K
2
本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 2t 4 1 2 ， d 2 y t 2 1 ，
【详解】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点 ( x0 ,
y0 ) ，也就是
u x
u y
0
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
,B
2u xy
2u yx
，由条
件，显然 AC B2 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最小值
（B） u( x, y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；
（C） u( x, y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
（D） u( x, y) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上．
6
由考研云助手整理(kaoyanyzs.com 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
（9）曲线 y x3 arctan(1 x2 ) 的斜渐近线方程为____________. 1 x2
（10）极限
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
n sin n) ____________. n
（11）以 y x2 ex 和 y x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
（Ｃ） 1 2
（Ｄ） 1 3
【详解】注意（1）
f
'( x)
1 1 x2
，（2）
x
0时, arctan x
x
1 3
x3
o( x3 )
．
由于
f
(x)
xf
'(
)
．所以可知
f
'(
)
1 1
2
f ( x) arctanx ， 2
x
x
x arctan x ， (arctan x)2
2
lim
x0
x2
lim x0
（Ⅱ）求方程组 AT Ax AT 的通解。
（23）（本题满分 11 分）
0 1 1
已知矩阵
A
2
3
0
0 0 0
（Ⅰ）求 A99
（Ⅱ）设 3 阶矩阵 B (1,2 ,3) 满足 B2 BA 。记 B100 (1, 2, 3) ，将 1, 2 , 3 分别表示为 1,2 ,3 的线性组合。
设函数 f (x) 1 t2 x2 dt(x 0) ，求 f ' (x) 并求 f (x) 的最小值. 0
（17）（本题满分 10 分）
已知函数 z z(x, y) 由方程 (x2 y2 )z ln z 2(x y 1) 0 确定，求 z z(x, y)
的极值. （18）（本题满分 10 分）
（20）（本题满分 11 分）
设 D 是由曲线 y
1
x2
(0
x
1)
与
x y
cos3 sin3
t t
0
t
2
围成的平面区域，求
D
绕
x
轴旋转
一周所得旋转体的体积和表面积。
（21）（本题满分 11 分）
已知 f (x) 在[0, 3 ] 上连续，在 (0, 3 ) 内是函数 cos x 的一个原函数 f (0) 0 。
（A） (2,)
（B） (1,2)
（C） ( 1 ,1) 2
（D） (0, 1 ) 2
1
【详解】ln (1 2x) ~ 2 x ，是 阶无穷小，(1 cos x)
~
1
1
2
2
x
是2
1
阶无穷小，由题意可知
2
1
所以 的可能取值范围是 (1,2) ，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A） y x sin x
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解 1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 g( x) f (0)(1 x) f (1)x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ( x) 0 时，曲线是 凹的，也就是 f ( x) g( x) ，应该选（D） 【详解 2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F( x) f ( x) g( x) f ( x) f (0)(1 x) f (1)x ，则 F(0) F(1) 0，且 F"( x) f "( x) ，故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，从而 F( x) F(0) F(1) 0，即 F( x) f ( x) g( x) 0 ，也就是 f ( x) g( x)，应该选（D）
（12）已知函数 f (x) 在 (, ) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f (n) (0) 0
____________.
2
由考研云助手整理(kaoyanyzs.com 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间
（C）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 1 个拐点.
（D）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点.
（5）设函数 fi (x)(i 1, 2) 具有二阶连续导数，且 fi (x0 ) 0(i 1, 2) ，若两条曲线 y fi (x)(i 1, 2) 在点 (x0, y0 ) 处具有公切线 y g(x) ，且在该点处曲线 y f1(x) 的曲率大于曲 线 y f2 (x) 的曲率，则在 x0 的某个领域内，有 （A） f1(x) f2 (x) g(x) （B） f2 (x) f1(x) g(x)
dt
dt
dx 2t
t dx2 2t
t3
对应于 t 1的点处 y' 3, y" 1，所以 K
y" 1 ，曲率半径 R 1 10 10 ．
(1 y'2 )3 10 10
K
应该选（C）
5．设函数
f ( x) arctanx ，若
f (x)
xf
ห้องสมุดไป่ตู้
'(
)
，则
lim
x0
x
2 2
（
）
（Ａ）1
（Ｂ） 2 3
x 1.
x(ln x 1), x 1.
x(ln x 1) 1, x 1.
（C）
F
(x)
(x 1)2,
x
1.
（D）
F
(x)
(x 1)2,
x 1.
x(ln x 1) 1, x 1.
x(ln x 1) 1, x 1.
（3）反常积分 ①
0
1
1
e x dx ， ②
+
1
1
e x dx 的敛散性为
（A） AT 与 BT 相似
（B） A1 与 B1 相似
（C） A AT 与 B BT 相似
（D） A A1 与 B B1 相似
（8）设二次型 f (x1, x2, x3) a(x12 x22 x32) 2x1x2 2x2x3 2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1,2，
则 （A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1与 a 2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
点必定都在区域 D 的边界上． 所以应该选（A）．
0a b 0 7．行列式 a 0 0 b 等于
0cd 0 c00d
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2 （C） a2d 2 b2c2 （D） a2d 2 b2c2
【详解】
0a b 0
a0b a0b
a
0
0
b a 0
d
0 b0
c
a 0 ad
ba bc
b (ad bc)2
0cd 0
cd cd
c 0d c0d
c00d
应该选（B）．
8．设1, 2 ,3 是三维向量，则对任意的常数 k, l ，向量1 k3 ，2 l3 线性无关是向量1, 2 ,3
2016 考研数学（二）试题（完整版） 一、选择：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合要求的.
（1） 设 a1 x(cos x 1) ， a2 x ln(1 3 x ) ， a3 3 x 1 1.当 x 0 时，以上 3 个无 穷小量按照从低阶到高阶拓排序是
2
2
2x 3
（Ⅰ）求 f (x) 在区间[0, 3 ] 上的平均值； 2
（Ⅱ）证明 f (x) 在区间 (0, 3 ) 内存在唯一零点。 2
（22）（本题满分 11 分）
Page 3 of 15
1 1 1a
0
设矩阵
A
1
0
a
，
1
，且方程组
Ax
无解。
a 1 1 a 1
2a 2
（Ⅰ）求 a 的值；
（B） y x2 sin x （C） y x sin 1 x
（D） y x 2 sin 1 x
【详解】对于 y x sin 1 ，可知 lim y 1且 lim( y x) lim sin 1 0 ，所以有斜渐近线 y x
x
x x
x
x x
应该选（C）
3．设函数 f ( x) 具有二阶导数， g( x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在[0,1]上（ ） （A）当 f '( x) 0 时， f ( x) g( x) （B）当 f '( x) 0 时， f ( x) g( x) （C）当 f ( x) 0 时， f ( x) g( x) （D）当 f ( x) 0 时， f ( x) g( x)
x2
0 x2
（A） ① 收敛， ② 收敛.（B） ① 收敛， ② 发散.
（C） ① 收敛， ② 收敛.（D） ① 收敛， ② 发散.
（4）设函数 f (x) 在 (, ) 内连续，求导函数的图形如图所示，则
（A）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点.
（B）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 3 个拐点.
的变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _______ .
a 1 1 1 1 0 （14）设矩阵 1 a 1 与 0 1 1 等价，则 a _________ .
1 1 a 1 0 1
解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） （16）（本题满分 10 分）
4
由考研云助手整理(kaoyanyzs.com 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
2016 年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1
１．当 x 0 时，若 ln (1 2x) ， (1 cos x) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ ）