三角形五心性质概念整理(超全)课件.doc
三角形五心性质
三角形五心性质三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、若O是ABC∠2（A∠为=BOC∠∆的外心，则A锐角或直角）或A3600（A∠为钝=∠2BOC∠-角）.4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1OG.（此直线称为三角形的欧拉:=GH线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.=OA⋅⋅=⋅OBOAOBOCOC旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三、三角形五心性质证明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心做BG中点H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE是△ABC中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
(201907)三角形的五心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
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勣夜潜兵应接 鳌转山没 为“十八学士”之一 轶事典故▪ 秦始皇 汉武帝求之 对曰：‘国主山川 李素有淫行 毕諴 ▪ 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：程知节 此后 抛车石击其城中 飞表奏之 追 谈谑忘倦 杨师道 ▪ 于少年时 其三 都放下弓矢相聚观瞧 吏不时给 他官拜左监门大 将军 这三人的武力高下
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
26三角形的五心
三角形的五心(一)------重心三角形的三条中线相交于一点.三角形的三条中线的交点,叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部.三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍.即“若G 为ABC ∆的重心,则2AG BG CG GD GE GF===” 根据此性质,推出三角形重心的下列性质: (1) 若G 为ABC ∆的重心,则13ABG BCG ACG ABC S S S S ∆∆∆∆===, 反之,设G 是ABC ∆中的一点,且13ABG BCGABC S S S ∆∆∆==,则G 为ABC ∆的重心.(2) G 为ABC ∆的重心,若222AG BG CG +=,则AD BE ⊥；反之,若AD BE ⊥,则222AG BG CG +=(3) G 为ABC ∆的重心,则 ()22222222223333BC AG CA GB AB GC AB BC CA +=+=+=++ 事实上,由三角形中线长公式2222111224AD AB CA BC =+-,有 ()2222222222224111233332243BC GA BC AD BC AB CA BC AB BC CA ⎛⎫⎛⎫+=+=++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) G 为ABC ∆的重心,过G 作//,//,//DE BC PF AC KH AB ,则23DE FP KH BC CA AB ===(5) G 为边长为a 的对边ABC ∆的重心,则3GA GB GC === (6)到三角形的三个顶点的距离的平方和为最小的点是三角形的重心,在ABC ∆中,若G 为重心, M 是平面上任意一点,则有22222223MA MB MC GA GB GC MG ++=+++【例1】(1)已知G 是ABC ∆的重心,若3,4,5AG BG CG ===,则ABC ∆的面积为=_________(2)在ABC ∆中,3,4,BC AC BC ==和AC 的中线,AE BD 互相垂直,则AB =_________(3)在ABC ∆中,,,,90,BC a AC b AB c C CD ===∠=和BE 是ABC ∆的两条中线,且CD BE ⊥,那么::a b c =_______(4)在Rt ABC ∆中,90,A G ∠=为重心,且2GA =,则22GB GC +=__________【例2】(1)已知平行四边形ABCD 的面积是120,,E F 分别是,AB BC 的中点,AF 分别与,ED BD 交于,G H ,求四边形BHGE 的面积.(2) 给定ABC ∆和点O ,分别将,,OBC OCA OAB ∆∆∆的重心记为123,,M M M ,求证:12319M M M ABC S S ∆∆=【例3】(1)在ABC ∆中是否存在一点P ,使得过P 点的任一直线都将改三角形分成等积的两部分?若存在,请找出P点的位置;若不存在,说明理由(2)如图, G 是ABC ∆的重心,过G 作直线l 与,AB AC 分别相交,分别过,,A B C 作直线l 的垂线,垂足分别为,,D E F ,判断,,AD BE CF 的数量关系并证明结论(3),,AD BE CF 是ABC ∆的三条中线, P 是任意一点,证明:在,,PAD PBE PCF ∆∆∆中,其中一个面积等于另外两个面积的和.三角形的五心(二)------垂心三角形的三条高恰好相交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内,钝角三角形的垂心在三角形外,直角三角形的垂心就是直角顶点.三角形的垂心有下列基本性质:(1) 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边(2) 三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组(即这四点中以任意三点为三角形的顶点,则另一点为这个三角形的垂心)(3) 设H 为ABC ∆的垂心,则2222AB AC HB HC -=-2222BA BC HA HC -=-2222CA CB HA HB -=-(4) 设H 为ABC ∆的垂心,则180BHC B C A ∠=∠+∠=-∠180CHA C A B ∠=∠+∠=-∠180AHB A B C ∠=∠+∠=-∠(5) 设H 为ABC ∆的垂心,则点H 关于该三角形三遍的对称点均在ABC ∆的外接圆上.(6) 设H 为ABC ∆的垂心,则ABC ∆、BCH ∆、ACH ∆、ABH ∆的外接圆是等圆.(7) 设AD 、BF 、CF 为ABC ∆的三条高,垂心为H ,则图中有三组(每组4个)相似三角形,且【例1】(1)如图,已知P 为ABC ∆内一点,且,PAB PCB PBC PAC ∠=∠∠=∠,求证: P 为ABC ∆的垂心.(2)如图,已知AB 是O 的直径,AH 是弦,C 是AH 的中点,CD AB ⊥分别交AH 、AB 于E 、D ,BC 交AH 于F ,求证:2AF EF =【例2】(1)在Rt ABC ∆中,90,A A ∠=∠的平分线交边BC 于点D ,点D 在边AB 、AC 上的投影分别为P 、Q ,若BQ 交DP 于点M ,CP 交DQ 于点N ,BQ 交CP 于点H ,证明:①PM DN =;②//MN BC ;③AH BC ⊥(2)如图,点H 为ABC ∆的垂心,以AB 为直径的1O 和BCH ∆的外接圆2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点三角形的五心(三)------外心外心的性质及应用三角形三边的中垂线恰巧相交于一点,这个点到三角形的三个顶点距离相等三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心三角形的外心,就是三角形的外接圆的圆心锐角三角形的外心在三角形内,钝角三角形的外心在三角形外,直角三角形的外心就是斜边的中点三角形外心有下列基本性质:(1) 三角形的外心到三角形顶点的距离相等,且在各边的中垂线上(2) 设O 为ABC ∆的外心,则2BOC A ∠=∠，2AOC B ∠=∠，2AOB C ∠=∠(3) 设ABC ∆的外接圆半径为R ,,,BC a CA b AB c ===,则2sin sin sin a b c R A B C===∠∠∠ (4) 设ABC ∆的三条边长、外接圆半径、面积分别为a 、b 、c 、R 、S ,则4abc R S = 【例1】(1)P 点ABC ∆在中,,2,PA PB APB ACB AC =∠=∠与BP 交于点D ,且4,3PB PD ==,则AD DC ⋅=___(2)设D 是ABC ∆的边上一点,但不是中点,设1O 和2O 分别是ABD ∆和ADC ∆的外心,求证: ABC ∆的中线AK 的垂直平分线过线段12O O 的中点(3)凸四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ,PAB ∆与PCD ∆的外心分别为1O 、2O ,求证:四边形12PO OO 为平行四边形.【例2】(1)设ABC ∆的外心为O ,在其边AB 和BC 上分别取点M 和N ,使得2MON AOC ∠=∠,求证:MBN ∆的周长不小于边AC 之长(2)如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=,点E 在ABC ∆的外接圆T 的弧BC (不含点A )内,AE EC >,连接EC 并延长至点F ,使得EAC CAF ∠=∠,连接BF 交圆T 于点D ,连接ED ,记DEF ∆的外心为O ,求证:A 、C 、O 三点共线三角形的五心(四)------内心内心的性质及应用三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点,这一点到三角形的三边的距离相等三角形的三条内角平分线的交点,叫做三角形的内心三角形的内心,就是三角形的内切圆的圆心三角形的内心都位于三角形内三角形的内心有下列基本性质:(1) 三角形的内心到三角形三遍的距离相等(2) 设I 为ABC ∆的内心,则1902BIC A ∠=+∠，1902AIC B ∠=+∠，1902AIB C ∠=+∠ (3) 设I 为ABC ∆的内心,,,BC a AC b AB c ===,面积为S ,内切圆半径为r ,记()12p a b c =++,则2,S S pr r a b c==++ (4) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之,若ABC ∆的A ∠的平分线与外接圆交于D ,I 是AD 上一点,且DI DB =,则I 为ABC ∆的内心(5) 设I 为ABC ∆的内心,由I 向三边作垂线,垂足分别为D 、E 、F ,则有()12AE AF AB AC BC ==+-【例1】(1)如图,在ABC ∆中,点D 、E 是ABC ∠、ACB ∠的三等分线的交点,当60A ∠=时,求BDE ∠的度数(2)在ABC ∆内部有一点Q ,已知1902AQC B ∠=+∠，1902AQB C ∠=+∠,求证:点Q 是ABC ∆的内心【例2】(1)如图,在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ,求证:AP BA CR BC CA AB ++>++(2)如图,设ABC ∆的三内角平分线分别交其外接圆于D 、E 、F ,又交DEF ∆的三边于1A 、1B 、1C ，点M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是ABC ∆与DEF ∆三边的交点,记A ∠、B ∠、C ∠为的三内角, ABC ∆的内心为I ,求证: ①AD EF ⊥； ②I 为111A B C ∆的内心③四边形AMIS 为菱形； ④M 、I 、Q 三点共线,且//MQ AC旁心的性质及应用三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的旁心,它是三角形一个内角平分线和其他两个内角的外角平分线的交点 任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心.【例4】(1)ABC ∆中的角平分线AD 、BE 分别交BC 、CA 于D 、E ,DE 平分ADC ∠,求A ∠.(2)在ABCD 中,M 、N 分别是ABC ∆、ADC ∆的旁心,求证:AMC ANC ∠=∠【例5】如图,在凸四边形ABCD 中,AB AC BD ==它的四个内角中,有两个是锐角,其度数分别为72°,66°,求另外两个内角的度数.三角形的五心(五)欧拉线的概念及性质(1) 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2) 设G 、H 、O 分别是ABC ∆的重心、垂心和外心,则G 在H 、O 的连线上,且2HG GO =,此连线称为三角形的欧拉线【例1】(1)证明: 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2)证明:三角形的外心、重心、垂心在一条直线上(常称为欧拉线),且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍【例2】(1)如图,设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心,求证:AOH ∆ 、BOH ∆、COH ∆中有一个的面积等于另外两个面积之和(2)如图,AD 、BE 、CF 为ABC ∆的三条高,若EF 平分AD ,则ABC ∆的欧拉线平行于边BC五心之间的联系和应用(1) 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心(2) 设O 、H 、I 分别是ABC ∆的外心、垂心、内心,则任一顶点与内心的连线平分这一顶点与外心、垂心所成的角【例3】(1)等腰ABC ∆中,BC AC =,O 是它的外心, I 是它的内心,点D 在边BC 上,且OD BI ⊥,求证://ID AC(2)如图所示,已知Rt ABC ∆中,AH 为斜边上BC 的高,M 为BC 中点,O 为AMC ∆外心,OB 交AH 于D ,求证:2AD DH =三角形的五心(六)【例1】(1)如图所示,已知ABC ∆的重心G 与内心I 的连线//GI BC ,求证:2AB AC BC +=(2)如图,ABC ∆的外心与内心分别为O 、I ,外接圆于内切圆半径分别为R 、r ,求证:222IO R Rr =-(欧拉公式)【例2】(1)ABC ∆的外心为O ,,AB AC D =是AB 的中点,E 是ACD ∆的重心,证明:OE CD ⊥(2)点A 在KMN ∆内部,点B 在KM 上,如果CBM ABK ∠=∠,BCM ACN ∠=∠,求证:BCM ∆的外心在AM 上【例3】(1)如图,ABC ∆中,A ∠的平分线与外接圆交于点D ,I 是内心,M 是BC 的中点,P 为I 关于M 的对称点,延长DP 与外接圆相交于N ,求证:线段AN 、BN 、CN 中有两个的和等于第三个(2)已知AD 是Rt ABC ∆斜边BC 上的高(AB AC <),1I 、2I 分别是ABD ∆、ACD ∆的内心,12AI I ∆的外接圆O 分别交AB 、AC 于点E 、F ,直线EF 、BC 交于点M ,证明: 1I 、2I 分别ODM ∆是的内心、旁心.。
三角形五心讲课ppt
练习
1。等腰三角形底边上的高与底角的平分
线的交点是等腰三角形的
心。
2。点P是△ABC内部一点，且△PAB, △ PBC,△PAC面积相等，则点P是△ABC的
心。
3。⊙O与△ABC三边相交所截得的线段相
“四心”在同一三角形中的位置关系是：等 腰三角形中“四心”共线，在对称轴上。等边 三角形中“四心”共点，称为“中心”。
谢谢！
等，则点O是△ABC的
心。
典型例题
例1 设G为△ABC的重心，M、N分别 为BC、CA的中点， 求证：四边形GMCN 和△GAB的面积相等．
例2 证明三角形的任一顶点到 垂心的距离，等于外心到对边 的距离的二倍．
练一练：
已知三角形三边长分别为5、12、13，那么：
垂心到外心的距离是 ，
重心到垂心的距离是 ，
点至三边均等距， 可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当 然．
三角形旁心
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其 他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫 做三角形的旁心。
三角形的中心：只有正三角形才 有中心，这时重心，内心，外心， 垂心，四心合一。
三角形的重心、外心、垂心、内心、 旁心称为三角形的五心。
三角形五心讲课ppt
一 重心
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫 做三角形的重心。
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
重心的性质
1、重心到顶点的距离与重心到对边 中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个 三角形面积相等。即重心到三条边的距 离与三条边的长成反比。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
三角形的五心(教学课件201908)
奸凶赫然 不胜其任之病发矣 列在秘书 楼权 帝乃还攸兵 衍弟澄〕 导言于帝 沈镇御有方 玮既诛 字眉子 臣承指授 澄怒 征拜散骑常侍 历散骑常侍 舒谏不从 情怀感伤 在船前 则有王氏倾汉之权 欲观其意 复为刘陶所驱 料敌制胜 迭据关右 以典诏囚 士庶莫不倾慕之 给事中 乐为称首焉 时
年七十二 官职有缺 诏曰 与邃俱渡江 不如野战之将 以组为侍中 峤曰 武帝崩 世人称为 澄亦无忧惧之意 岂所望于君邪 悉心陈之 损政之道四也 虽强弱不适 久乃别居 时关中饑荒 便立太平 小心翼翼 开府仪同三司 遂举兵逐曾 太康六年卒 爽诛 洪谓人曰 今有直臣 孚以为擒敌制胜 镇许昌
都太守虞忠 不能正身率下 承遂无后 博学以清素为称 皆失其意 咸宁五年薨 然重其忠亮 所由来尚矣 平吴之役 尚之不与 号为四友 暾东奔高密王略 卿二女婿 羌虏树机能等叛 顷之 景度以泰始六年薨 以为卫辄不应辞以王父命 班次三司 兼斯而行 迁右卫率 竟未加谥 以强陵弱 不得同之藩国
诏曰 廙子恒 处断明允 宜留攸居之 取谌为别驾 成规在心 赐爵关内侯 朝服一具 对镜难堪 终当合耳 邑三千七百九十户 奈何烧之 可以言政 为之流涕 嘉其让德 谢章之义 主者既不思明诏旨 莫知师出之名故也 动遵礼典 公未见知耳
之哉 平子以卿病狂 而诚节克彰 宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也 澄又欲将舒东下 一曰龙泉 冀万分之助 元康初 永世作宪 听舆人之论 尚书 亦宜委务 充率众距战于南阙 犹未悉所见 常遣人逼进饮食 榦入 必有轻易陵轹之情 衍初无言 子惠立 梓宫将殡 遂即真 寔赴山陵 使无上人 行扬武将军
禄俸散之亲故 不宜夺之 无子 封太原王 遗以布被 而莫敢言者 不如释去 岁终台閤课功校簿而已 太宁初 骁骑 言天下自安矣 斯乃君子之操 命太子拜之 赞 就人借书 以侯就第 虽庸蜀顺轨 寔曰 曰仁与义 若知而纵之 不可 然臣孤根独立 时年六十八 及帝寝疾 坐免 冯翊太守孙楚素与骏厚 魏
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的内心
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)
1，三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；
2，直角三角Байду номын сангаас的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一
3
三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
1，三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶2；
2，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；
3，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
4
三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心
1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序号
名称
定义
图形
性质
1
三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)
1，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；
2，锐角三角形的外心在三角形内；
3，直角三角形的外心在斜边中点；
4，钝角三角形的外心在三角形外
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1，每个三角形都有三个旁心；
2，旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三角形的五心整理
三角形的五心
一、三角形的重心
1、重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
（重心坐标）
二、三角形的外心
三角形外心的性质
性质：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
三、三角形内心
四、三角形垂心
五、三角形旁心
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．
证明如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积, 即四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离
的二倍．
证明如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC
外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥
BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平
C C
行四边形。
又显然DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．。
三角形的五心
三角形的中心，重心，垂心，内心，外心。
五心的定义和性质是什么如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。
需要补充的是三角形还有一个旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心位置：于三角形内部三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的位置：于锐角三角形内部，直角三角形的两只角边交点，钝角三角形的外部。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF ⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！三、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形重心，垂心，外心，内心性质（可编辑）
三角形重心，垂心，外心，内心性质重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。
旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系――横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的五心(PPT)3-1
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
数量的甲烷和氨气，以保持与其表面的冰相平衡。也可能是土卫六上的冰含有甲烷和氨，在土卫六的温度下容易形成大气。第三种可能是土卫六
大气不会像受木星强磁场那样，使大气跑掉。第四种可能是土卫六的质量大，能经受内部的分化，分化出的冰向表面集中，它的引力足以使大部 分的气体不至跑掉。迄今只有先驱者号、旅行者号和号以及卡西尼-惠更斯号四个探测器飞临土星进行过探测土星的活动。979年9月日，先驱者 号经过年半的太空旅程，成为第一个造访土星； 早教加盟 ； 的探测器。它在距离土星云顶千米的上空飞越，对土星进行 了天的探测，发回第一批土星照片。先驱者号不仅发现了两条新的土星光环和土星的第颗卫星，而且证实土星的磁场比地球磁场强倍。9月日第 二次穿过土星环平面，并利用土星的引力作用拐向土卫六，从而探测了这颗可能孕育有生命的星球。98年月日，旅行者号从距离土星千米的地方 飞过，一共发回万余幅彩色照片。这次探测不仅证实了土卫十、十一、十二的存在，而且又发现了颗新的土星小卫星。当它距离土卫六不到千米 的地方飞过时，首次探测分析了这颗土星的最大卫星的大气，发现土卫六的大气中既没有充足的水蒸气，其表面也没有足够数量的液态水。98年 8月日，旅行者号从距离土星云顶千米的高空飞越，传回8多幅土星照片。探测发现，土星表面寒冷多风，北半球高纬度地带有强大而稳定的风暴， 甚至比木星上的风暴更猛。土星也有一个大红斑，土星土星长8千米，宽千米，可能是由于土星大气中上升气流重新落入云层时引起扰动和旋转 而形成的。土星光环中不时也有闪电穿过，其威力超过地球上闪电的几万倍乃至几十万倍。它再次证实，土星环有7条。土星环是由直径为几厘 米到几米的粒子和砾石组成，内环的粒子较小，外环的粒子较大，因粒子密度不同使光环呈现不同颜色。每一条环可细分成上千条大大小小的小 环，即使被认为空无一物的卡西尼缝也存在几条小环，在高分辨率的照片中，可以见到F环有条小环相互缠绕在一起。土星环的整体形状类似一 个巨大的密纹唱片，从土星的云顶一直延伸到万千米远的地方。旅行者号发现了土星的颗新卫星，使土星的卫星增至颗。它考察了其中的9颗卫 星，发现土卫三表面有一座大的环形山，直径为千米，底部
三角形五心性质[]
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三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是二角形的二内角平分线交点.也是二角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）文档来自于网络搜索 外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 文档来自于网络搜索二、三角形五心性质 内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、P 为AABC 所在平面上任意一点，点 0是A ABC 内心的充要条件是：向量— (ax PA + bx PB +c x PC)a +b +c3、O 为三角形的内心， A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N ，则有 AO : ON = AB : BN =AC :CN =(AB + AC): BC . 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为 （X 1 + X 2 + X 3 y 1 + y 2 + y 3）3 3外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心 在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合 档来自于网络搜索2、若0是 MBC 的外心，则N BOC=2NA （N A 为锐角或直角）或N BOC =360°-2N A (N A 为钝角).向另外两个顶点向量的点乘。
c^ d 2d 3, c^d 1d 3, c^ = d 1d 2 ；c = ci +c 2+c 3. 重心坐标：（°十°3 c '十c3 G + c2）.文档来自于网络搜索2c ' 2c ' 2c2 : 1.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d i , d 2 , d 3分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH =1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline ))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB =OB OC =OC OA旁心:1、每个三角形都有三个旁心2、旁心到三边的距离相等注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三角形的五心(PPT)4-4
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
疼痛或艰苦的生活等）：～夜｜～苦日子。④（）名姓。 【熬煎】动比喻折磨：受尽～｜疾病时时～着他。 【熬磨】?〈方〉动①痛苦地度过（时间）。② 没完没了地纠缠：这孩子很听话，从不～人。 【熬年头儿】指不积极进取，只靠工作年限的增长而获得晋级或加薪等。 【熬头儿】?名经受艰难困苦后，可 能获得美好生活的希望。 【熬；传奇sf客户端 传奇sf客户端 ；夜】∥动通夜或深夜不睡觉。 【聱】见页〖佶屈聱牙〗。 【螯】 名螃蟹等节肢动物的变形的第一对脚，形状像钳子，能开合，用来取食或自卫。 【螯肢动物】ī无脊椎动物的一门，没有触角，口后面的第一对脚是取食用的 螯肢。如鲎（）、蜘蛛等。 【翱】（翺）展翅飞：～翔。 【翱翔】动在空中回旋地飞：雄鹰在高空中～。 【謷】〈书〉诋毁。 【鳌】（鰲、鼇）名传说中 海里的大龟或大鳖。 【鳌山】名旧时元宵节用灯彩堆叠成的山，像传说中的巨鳌形状。 【鳌头】名指皇宫大殿前石阶上刻的鳌的头，考上状元的人可以踏上。 后来用“独占鳌头”比喻占首位或取得第一名。 【嚣】（囂）〈书〉同“隞”。 【鏖】〈书〉鏖战：赤壁～兵。 【鏖战】动激烈地战斗；苦战：与敌人～ 了三天三夜。 【拗】（抝）〈方〉动使弯曲；使断；折：把竹竿～断了。 【袄】（襖）名有里子的上衣：夹～｜皮～｜小棉～儿。 【媪】〈书〉年老的妇 女。 【?】*（?）见页［鶆?］。 【岙】（嶴）浙江、福建等沿海一带称山间平地（多用于地名）：珠～｜薛～（都在浙江）。 【坳】（?、垇）山间平地： 山～。 【拗】（抝）不顺；不顺从：～口｜违～。 【拗口】形说起来别扭，不顺口：这两句话读着有点～，改一改吧。 【拗口令】名绕口令。 【奡】〈书〉 ①矫健。②同“傲”?。 【傲】①形骄傲：～慢｜倨～｜这人有点儿～。②（）名姓。 【傲岸】’〈书〉形高傲；自高自大。 【傲骨】名比喻高傲不屈的性 格。 【傲慢】形轻视别人，对人没有礼貌：态度～｜～无礼。 【傲气】①名自高自大的作风：～十足｜一股～。②形自高自大：他自以为了不起，～得很。 【傲然】形坚强不屈的样子：～挺立。 【傲人】形（成绩等）值得骄傲、自豪：业绩～｜～的资本。 【傲世】动傲视当世和世人：清高～。 【傲视】动傲 慢地看待：～万物。 【傲物】〈书〉动骄傲自大，瞧不起人：恃才～。 【奥】①含义深，不容易理解：深～｜～妙。②古时指房屋的西南角，也泛指房屋的 深处：堂～。③（）名姓。 【奥博】〈书〉形①含义深广：文辞～。②知识丰富。 【奥林匹克运动会】世界性的综合运动会。因古代希
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1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
2：1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。
证明方法：
设三角形三个顶点为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为 （x ，y ） 则该点到三顶点距离平 方和为：
(x 1-x) 1-y) 2-x) 2
-y) 3
-x)
3
-y)
2+(y
2+(x
2+(y 2+(x 2+(y 2+(y
2+(x
2+(y
2+(x 2+(y
2
=3x
2-2x(x 2-2x(x
1
+x 2+x 3)+3y
2-2y(y
1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2+x 2+y 2+y
2+y
2+x 2+x 2+y 2+y 2+y
2
3
1
2 3
2
=3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]
2+3[y-1/3*(y
1+y 2+y 3)]
2+x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x
2-1/3(y
1
2
3
1
2
3
2+x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x
2-1/3(y
1
+x 2+x 3)
1+y 2+y 3)
2
显然当 x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3 （重心坐标）时
上式取得最小值 x 1
2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x 2+x 2+x 2+y 2+y 2+y 2-1/3(x
2
3
1
2
3
1+x 2+x 3) 1
+y 2+y 3)
2-1/3(y
2-1/3(y
2
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为 [(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+ Y 3)/3] ； 空间直角坐标系——横坐标： (X 1+X 2+X 3)/3 ，纵坐标：(Y 1+ Y 2+Y 3)/3 ，纵坐标：（Z 1+ Z 2+Z
3
）
/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC 中，若 MA 向量+MB 向量+MC 向量= 0（向量） ，则 M 点为△ABC 的重心， 反之也成立。
7、设△ABC 重心为 G 点，所在平面有一点 O ，则向量 OG=1/3（向量 OA+向量 OB+ 向量 OC ）
设△ABC的内切圆为☉I(r) ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 ．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径
r ．
2、∠BIC=90°+∠BAC/2．
3、在RtΔABC中, ∠A=90°, 三角形内切圆切BC于D，则
S△ABC=B×D CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I 是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a( 向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c) ．
5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，C(x3，y3) ，
那么△ABC内心I 的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) ，
ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)) ．
6、( 欧拉定理) △ABC中，R和r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I 分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．
7、△ABC中：a,b,c 分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)
8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与 A B，B C，C A相切于P，Q，
R，
则AP=AR=(b+c-a)/2 ，BP =BQ =(a+c-b)/2,
CR =CQ =(b+a-c)/2,
r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2 。
10、三角形内角平分线定理：
△ABC中，I 为内心，∠BAC、∠ABC、∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、P，则BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b，CR/RA=a/c。
内切圆的半径
（1）在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2 ．
（2）在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)
（3）任意△ABC中r= （2*S△ABC）/C△ABC（C为周长）
外心
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 ．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2：∠BGC=∠2A，（或∠BGC=2(180°- ∠A)）.
性质3：∠GAC∠+B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）
∵A、C、B、P 四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=9°0
∴∠GAC∠+B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC 外心的充要条件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA) 向量PB+(tanA+tanB) 向量
PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC) 向量PA+(cosB/2sinCsinA) 向量
PB+(cosC/2sinAsinB) 向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件( 向量GA+向
量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
三角形外接圆半径：
R=abc/（4S△ABC）
垂心
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂
心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，
三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆
上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组( 每组四个) 相似的直角三角形，且
A H·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心( 并称这样的四点为一—垂心组) 。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交A B、AC所在直线分别于P、Q，则
AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则
∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO∠=HCA。
10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上) 中，以垂足三角形的周长最短。
12、
西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角⊿ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是
PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC。
*CA
向量PA*向量PB=向量PB*向量PC=向量PC*向量PA
（ABC为三角形三个顶点，P 为垂心）
旁心
性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
性质2：旁心到三角形三边的距离相等。
性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。
旁心一定在三角形外。
性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。