2008倒立摆的LQR稳定控制器设计
基于LQR的二阶直线倒立摆控制系统设计
摘要.............................................................................................................................................I
1.2倒立摆设备简介..................................................................................................................1
1.3倒立摆的发展历史及现状..................................................................................................5
5.2 LQR控制............................................................................................................................25
5.3仿真调试时出现问题的解决............................................................................................34
关键词：二级倒立摆；LQR控制；PID控制
Second-order Linear Inverted Pendulum Control System Based on LQR
基于一级倒立摆的复合控制器设计_毕业论文设计 精品
Hefei University毕业论文（设计）BACH ELOR DISSERTATION论文题目：基于一级倒立摆的复合控制器设计学位类别：工学学士学科专业：自动化完成时间：2013年5月28日基于一级倒立摆的复合控制器设计中文摘要倒立摆系统是非线性不稳定系统，是开展各种控制实验及进行控制理论教学的理想平台，因此受到各国及工程研究专家学者的关注。
许多抽象的概念都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，如控制系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的收敛速度等。
迄今，人们己经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制方法实现了多种倒立摆系统的稳定控制。
倒立摆有许多控制方法，比较常见的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。
在使用单个控制时，总不能同时使倒立摆系统的鲁棒性和稳态误差同时达到一个满意的效果。
本课题以固高公司的直线倒立摆为研究对象，采用LQR控制结合PID的复合控制，即根据LQR控制和PID控制的优缺点互补，使其系统具有结构简单、易于实现以及具有较强的适应性和鲁棒性，并且可以获得良好的动态性能和稳态性能。
关键词：倒立摆；PID控制；LQR控制；复合控制Design of composite controller based on inverted pendulumABSTRACTInverted pendulum system is a nonlinear unable systems, control theory is to carry put a variety of teaching and an ideal platform for testing control, so by the countries and engineering studies concern the experts and scholars. Many abstract concepts such as stability control systems, controllability, speed of system convergence and systems such as anti-interference ability, to pass though the inverted pendulum system shown intuitive. So far, it has been the use of classical control theory ,modern control and a variety of intelligent control a variety of methods to achieve the stability of inverted pendulum control system.Inverted pendulum control methods there are many, there is the more common PID control, LQR control, fuzzy control. In the use of a single control, can not at the same time inverted pendulum system robustness and steady-state error at the same time to achieve a satisfactory effect, subject to the company’s line of high-solid inverted pendulum for the study, the combination of LQR control PID control compound control, that is based on LQR control and PID control of the complementary strengths and weaknesses. Their system with simple structure, easy to implement and has strong adaptability and robustness, and can get a good dynamic performance and steady-state performance.KEY WORDS: Inverted pendulum；PID control；LQR control；Composite control目录第一章绪论 (1)1.1概述 (1)1.1.1 倒立摆系统概述 (1)1.1.2 倒立摆系统研究现状 (2)1.2 MA TLAB简介 (3)1.2.1 Simulink简介 (3)1.2.2 Simulink功能 (4)1.3研究内容与章节安排 (4)第二章直线一级倒立摆系统概述 (6)2.1 直线一级倒立摆系统硬件结构 (6)2.2 直线一级倒立摆数学模型 (7)2.3 直线一级倒立摆系统分析 (12)2.3.1 系统稳定性分析 (12)2.3.2 系统能控性分析 (14)2.3.3 系统可观测性分析 (15)2.4 本章小结 (17)第三章直线一级倒立摆系统PID控制 (18)3.1 PID控制算法 (18)3.2 直线一级倒立摆PID控制器设计 (18)3.3 直线一级倒立摆的PID控制器仿真 (24)3.4 本章小结 (27)第四章直线一级倒立摆系统LQR控制 (28)4.1 线性二次最优控制算法 (28)4.2 直线一级倒立摆的LQR控制器设计 (30)4.3 直线一级倒立摆的LQR控制器仿真 (31)4.4 本章小结 (33)第五章直线一级倒立摆系统PID与LQR复合控制设计 (34)5.1 两种控制算法的对比分析 (34)5.2 直线一级倒立摆PID与LQR复合控制器设计 (34)5.3 直线一级倒立摆的复合控制器仿真 (36)5.4 本章小结 (37)第六章总结与展望 (38)6.1总结 (38)6.2 进一步展望 (38)参考文献 (39)致谢 (41)第一章绪论1.1概述1.1.1 倒立摆系统概述倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。
(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)
沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。
前言.。
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1 倒立摆的背景及简介...。
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.10.2 MATLAB简介及应用....。
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一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。
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(4)1。
1 一级倒立摆模型基本理论。
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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。
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72. 方案设计。
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软件编程。
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析.。
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倒立摆的LQR稳定控制器设计
——现代控制理论实验
一、实验目的和要求
• 熟悉倒立摆的系统组成 • 学习利用MATLAB软件进行控制器的设计与仿真 • 运用LQR理论设计倒立摆的稳定控制器 • 设计的控制器能够成功进行倒立摆实时控制
二、倒立摆系统原理
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
倒立摆
光电码盘1 光电码盘2
• 倒立摆系统原理图
三、理论分析
•二次型最优调节器问题 ：
已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方 程为：
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0
确定下列最优控制向量：
u*(t) Kx(t)
使得下列二次型性能指标达到最小值:
J (u) 1 [xT (t)Qx(t) uT (t)Ru(t)]dt 20
0 27.83
0x 0
0 1
x
0.8832u 0
0
2.357
x
x 1
y
0
0 0
0 1
0 0
x
0 0u
LQR控制器的设计
• 开环仿真
LQR控制器的设计
• 使用完全状态反馈设计控制器
• 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置， 小车可以到达新的指定位置。
LQR控制器的设计
可以通过改变Q阵的非零元素来调节控制器以得到期望 的响应。
(2)取Q=diag（3000 0 1000 0），R=1时：
K=[-54.772，-34.419，117.17，21.918]
此时的目标泛函:
J 2
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
单级倒立摆LQR和LQY控制
单级倒立摆的LQR 与LQY 控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。
其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：2()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩取状态变量：1234x x x x x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。
则系统的状态方程为：122122342224122()()()()()x x mgl M m ml x x uI M m Mml I M m Mml x x m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml =⎧⎪+-⎪=+++++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu y Cx x θ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kg m Kgb N m s l m I Kgm =====将参数带入，有：010038.182500000010.384700002.803700.747710000010A B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、LQR 控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品1.引言直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。
该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。
LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。
2.直线倒立摆系统建模m*x''+b*v+m*g=f-u在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。
定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为：x1'=x2x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g)3.LQR控制器设计LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。
在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。
那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。
LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。
具体的设计步骤如下：1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式：x'=Ax+Buy=Cx+Du其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递增矩阵。
2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。
增益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A其中，S为Riccati方程的解。
3) 计算系统的控制器增益矩阵L。
增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C4.LQR控制器仿真在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。
可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。
在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测试控制器的稳定性。
通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以评估控制器的性能。
针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计
沈阳航空航天大学课程设计（论文）题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计班级 94070201学号 2009学生姓名 SONG指导教师关沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称计算机控制技术课程设计院（系）自动化学院专业自动化班级9407201 学号2009 姓名song课程设计题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计课程设计时间: 2012 年7 月9 日至2012 年7 月20日课程设计的内容及要求：1. 内容以直线一级倒立摆实验平台为实验对象，根据LQR方法设计控制律。
保证倒立摆的摆杆垂直于水平面。
2. 要求（1）制定设计方案，并绘制出系统工作框图。
（2）按要求了解LQR方法并根据LQR方法设计控制律，且编写程序。
（3）用matlab进行程序设计与调试并进行仿真。
（4）通过直线一级倒立摆实验平台检验控制律的实际控制效果。
（5）撰写一篇6000~8000字左右的课程设计报告。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日目录0. 前言 (1)1. 针对直线一级倒立摆的LQR控制系统的基本理论 (2)1.1倒立摆的相关基础知识 (2)1.2倒立摆系统控制方法简介 (2)1.2基于牛顿—欧拉方法的直线一级倒立摆系统的数学模型 (3)1.2系统的可控性分析 (6)1.3线性二次最优控制LQR的基本原理 (7)2. 方案设计 (8)3. 部分硬件电路图 (9)4. 软件编程 (10)5. 系统调试和结果分析 (12)5.1系统仿真调试与结果分析 (12)5.2实际系统调试与结果分析 (13)6. 结论及进一步设想 (16)参考文献 (17)课设体会 (18)针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计宋沈阳航空航天大学自动化学院摘要：针对一级倒立摆这个被控制对象，由于其本身是具有绝对的不稳定、高阶次、多变量、强耦合的一个非线性自然的不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
lqr控制器设计方法
lqr控制器设计方法
LQR（线性二次型调节器）控制器是一种线性系统最优控制器，其设计方法基于最优控制理论和线性系统理论。
以下是LQR控制器设计的一般步骤：
1. 确定系统模型：首先需要确定被控系统的状态方程和输出方程，通常可以使用系统的物理模型或者通过系统辨识得到。
2. 定义性能指标：选择一个合适的性能指标，通常采用二次型性能指标，如系统状态向量的二次范数或某个输出变量的二次范数。
3. 求解最优控制问题：使用线性二次型调节器方法，将最优控制问题转化为求解一个黎卡提（Riccati）矩阵方程的问题。
这个矩阵方程描述了最优控制策略和控制性能之间的关系。
4. 设计状态反馈控制器：通过求解得到的黎卡提矩阵，可以设计出状态反馈控制器。
状态反馈控制器是一种线性状态反馈控制策略，它将系统状态和最优控制策略结合，实现最优控制效果。
5. 实现控制器：将设计好的状态反馈控制器在实际系统中实现，并进行实验验证。
如果实验结果不满足要求，需要回到步骤1重新进行控制器设计。
需要注意的是，LQR控制器设计方法是一种理论上的最优控制策略，但在实际应用中，由于系统模型的近似、噪声干扰和测量误差等因素的影响，可
能会导致控制效果不理想。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况对控制器进行适当调整和优化。
lqr控制器的设计与实践
lqr控制器的设计与实践LQR (Linear Quadratic Regulator) 控制器是一种经典的优化控制方法，广泛应用于线性动态系统的稳定性和性能优化。
LQR 控制器的设计基于状态反馈和最小二乘优化技术，通过调整状态反馈增益矩阵，可以使系统的状态收敛到期望值，并且最小化系统性能指标。
一、LQR控制器设计原理LQR 控制器的设计基于线性动态系统的状态空间表达形式，通常用以下形式表示：x_dot = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，u是控制输入，y是输出，A、B、C、D是系统的矩阵参数。
LQR 控制器的设计目标是最小化系统的性能指标，通常采用二次型形式：J = ∫(x^TQx + u^TRu)dt其中，Q和R是权重矩阵，用于调整状态误差和控制输入的相对重要性。
LQR 控制器的设计可以通过求解Riccati 方程来实现。
Riccati 方程的解可以给出最优状态反馈增益矩阵K，用于计算控制输入：u = -KxRiccati 方程的一般形式为：A^TP + PA - PBR^(-1)B^TP + Q = 0其中，P是对称正定的矩阵，满足A^TP + PA = -Q，K的表达式为：K = R^(-1)B^TP通过求解Riccati 方程，可以得到最优的状态反馈增益矩阵K，从而实现系统的最优控制。
二、LQR控制器的设计步骤下面是LQR控制器的设计步骤：1. 确定系统的状态空间表达形式，即确定系统的状态方程和输出方程中的矩阵参数A、B、C、D。
2. 选择合适的权重矩阵Q和R。
Q矩阵用于调整状态误差的重要性，R矩阵用于调整控制输入的重要性。
权重矩阵的选择可以根据实际需求进行调整，一般来说，Q和R矩阵都是对称正定的。
3. 求解Riccati 方程。
根据系统的状态方程和输出方程，以及选择的权重矩阵Q和R，求解Riccati 方程可以得到最优的状态反馈增益矩阵K。
4. 计算控制输入。
毕业论文（设计）单级倒立摆lqr控制器的设计及仿真
毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：1、在深入了解倒立摆的基础上，熟悉单级倒立摆控制的基本原理2、了解单级倒立摆控制的发展趋势。
3、熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法。
4、建立单级倒立摆的数学模型，并编写MATLAB程序，完成倒立摆的仿真。
I I I、毕业设计(论文)工作内容及完成时间：工作安排如下：1、查阅文献，翻译英文资料，书写开题报告第1---4周2、相关资料的获取和必要知识的学习第5---9周3、设计系统的硬件和软件模块并调试第10--14周4、撰写论文第15--17周5、总结，准备答辩第18周Ⅳ、主要参考资料：1．阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].电子元器件应用.2007，9(1):29-312 .杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究[J].控制工程.2007,14:23-53.3．黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京：国防工业出版社，2006．4．薛安客，王俊宏．倒立摆控制仿真与实验研究现状[J].杭州电子工业学院学报.2002，21(6):25-27.5 .徐征.基于遗传算法的PID控制器参数寻优方法的研究[D].武汉：武汉大学，2004．6．Takahas M，Narukawa T，Y oshida K．Intelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulum．Int SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145.信息工程系自动化专业类1082022班学生（签名）：填写日期： 2014 年 1 月 10 日指导教师（签名）：助理指导教师(并指出所负责的部分)：信息工程系主任（签名）：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真摘要：单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
基于LQR的倒立摆最优控制系统设计
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业论文设计
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真摘要倒立摆系统是非线形、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。
在控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题以及跟踪问题等。
不仅是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。
本文以固高公司直线倒立摆为研究对象，利用Newton法建立直线一级倒立摆的动力学模型。
先对系统状态方程进行能控性和能观性分析，之后借助固高科技Matlab实时控制软件实验平台，设计LQR控制器，并利用LQR控制方法对直线一级倒立摆系统进行了Simulink在线实时仿真实验，并对实验结果分析，调节LQR参数，使之达到最佳稳定调节状态，通过在线对系统施加一定的扰动，系统均能在很短的时间里恢复平衡，取得了较好的实时控制效果。
关键词：直线倒立摆；建模；稳定性；LQR；仿真ABSTRACTInverted pendulum system is non-linear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol company linear inverted pendulum, Newton's method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol company linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol be designed and LQR control method can conduct online real-time simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good real-time control effects.Keywords：linear inverted pendulum; modeling；stability；LQR；Simulation目录第一章绪论 (1)1.1 倒立摆系统概述 (1)1.2 倒立摆系统发展及研究现状 (5)1.3 本文的主要研究内容与章节安排 (8)第二章直线倒立摆系统数学模型建立 (10)2.1 直线一级倒立摆系统数学模型 (10)2.2 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 (16)2.3 本章小结 (197)第三章直线倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 (208)3.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 (208)3.2 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 (219)3.3 本章小结 (26)第四章直线倒立摆的实物稳定控制 (27)4.1 直线一级倒立摆LQR实物稳定控制 (27)4.2 本章小结 (329)结论与展望 (340)附录 (351)参考文献 (337)致谢 (339)第一章绪论1.1 倒立摆系统概述倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。
倒立摆的LQR稳定控制器设计
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
( M m) x bx ml cos ml 2 sin F ( I ml 2 ) mgl sin mlx cos
建立模型及分析
线性化后两个方程如下：
2 ( I ml ) mgl mlx ( M m) x bx ml u
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
LQR控制器的设计
(1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 小车位移 小车速度 摆杆角度 摆杆角速度
建立模型及分析建立模型及分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析有下图由图可以看出小车位移和摆杆角度都是发散的所以倒立摆系统不稳定2000400060008000100005010015050100150stepresponsetimeseconds建立模型及分析建立模型及分析系统能控性是控制器设计的前提由能控性矩阵mbab利用matlab可得出rankm4所以系统完全可控
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
LQR控制器的设计
2.用完全状态反馈设计控制器
系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小 车可以到达新的指定位置。
基于LQR的倒立摆最优控制系统设计
基于LQR的倒立摆最优控制系统设计基于LQR的倒立摆最优控制系统设计[摘要]倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。
在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。
本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。
本文以二级直线倒立摆为研究对象，对直线二级倒立摆系统进行分析，然后运用Matlab实时控制软件对模型进行控制算法的模拟仿真，最后得出相应结论。
本文先对二级直线倒立摆的模型进行分析，然后通过拉格朗日方程建立倒立摆的数学模型，然后再二级倒立摆的状态方程、系统的稳定性及能控性和能控性做了详细的分析，再以最优控制理论为原理，设计出LQR控制器，通过对倒立摆系统的LQR 控制算法的研究，探讨了加权矩阵Q和R的选取方法，最后利用Matlab建立倒立摆系统模型，进行了二级倒立摆的LQR控制器的仿真，模拟出相应参数下的阶跃响应曲线，通过对响应曲线的稳定性，快速性的观察，选取最合适的加权矩阵Q和R。
[关键词]二级直线倒立摆；LQR控制；仿真Research on Double Inverted Pendulum Control SystemBased on LQR[Abstract]The inverted pendulum is a typical high order system, with multi- variable, non-linear, strong-coupling, fleet and absolutely instable. It is representative as an ideal model to prove new control theory and techniques. During the control process, pendulum can effectively reflect many key problems such as equanimity, robust, follow-up and track, therefore. This paper studies a control method of double inverted pendulum LQR.In this paper, two linear inverted pendulum as the researchobject, linear inverted pendulum system for analysis, then the use of real-time control software Matlab model control algorithm simulation, finally draw the appropriate conclusions.This article first for two straight inverted pendulum model analysis, and then through Lagrange equation established mathematical model of inverted pendulum, and then inverted pendulum equation of state, system stability and controllability and controllability do a detailed analysis, then the theory of optimal control theory to design a LQR controller, through the inverted pendulum system LQR control algorithm, discusses the weighting matrices Q and R, selection methods, and finally the use of Matlab established inverted pendulum system model for the two inverted pendulum LQR controller simulation, simulation of the corresponding parameters of the step response curve, through the response curve of stability, speed observation, select the most appropriate weighting matrices Q and R.[Key Words]Double linear inverted pendulum; LQR control; Simulation前言倒立摆系统是进行控制理论研究的典型实验平台。
单级倒立摆稳定控制实验
单级倒立摆稳定控制实验一．实验目的1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立；2.掌握LQR控制器的设计方法；3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。
二．实验内容图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。
系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。
光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。
图2直线一级倒立摆系统其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图3 （a ）小车隔离受力图； （b ）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：MxF bx N =-- (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dtθ=+ (2)即：2cos sin N mxml ml θθθθ=+- 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dtθ-= (3)即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- 力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--= (4) 注意：此方程中力矩的方向，由于θπφ=+，cos cos φθ=-，sin sin φθ=-故等式前面有负号。
倒立摆系统的自摆起和稳定控制
式中用 U 来代表被控对象的输入力 F。 系统参数如下： 小车的质量 M 为 1 . 096Kg， 摆杆的质量 m 为 0. 109Kg， 小车的摩擦系数 6 为 0 . 1N / m / sec， 摆杆长度 2 l 为 0. 5， 摆杆转动惯量 I 为 0 . 0034Kg X m2 。
3
3. 1
合等特性， 是控制理论的典型研究对象。 许多研究人员针对 该研究对象探寻各种控制方法， 以便将所研究的控制方法应 用到其它待解决的领域中。 本文将主要研究倒立摆系统的自 摆起和稳定问题。 倒立摆系统的自摆起和稳定控制问题已有多种研究方
［1， 2， 3， 4］ 法 ， 但这些研究成果或者设计过程复杂， 或者还只停
Bang - Bang 控制 方程为：
是应用极小值原理求解时间最优
的一种简化控制方法。 假设一个能控的起过程要求不同， 在倒立摆稳定控制阶段， 一方面要 使稳态精度高， 一方面要使控制能量小， 因此， 可以考虑采用 线性二次型最优控制方法。 针对倒立摆线性化模型， 建立目 标函数： （ u） = 1 2
倒立摆系统的自摆起和稳定控制
湛力， 孙鹏， 陈雯柏
（ 北京信息工程学院信息与通信工程系， 北京 100101 ） 摘要： 为了实现一级倒立摆系统自摆起和稳定控制， 该文采用了最优控制与 PID 控制相结合的控制方法。 首先， 采用 Bang Bang 控制理论设计开环时间最优控制器， 实现倒立摆的平稳快速摆起， 同时设计经典 PID 控制器控制小车位置； 然后采取线 性二次型最优控制理论设计 LOR 控制器， 将倒立摆稳定在平衡位置。 计算机仿真和倒立摆系统实时仿真表明， 文中提出的 控制策略和控制算法得到了很好的验证， 取得了满意的效果。 关键词： 倒立摆； 开关控制； 比例 - 积分 - 微分控制； 线性二次型最优控制 中图分类号： TP273 文献标识码： B
倒立摆的LQR控制器算法的设计与仿真
Fig 4.1 Conventional LQR control system structure对于状态方程式所表示的连续时间的线性被控对象有：(4-1)0)0(),()()(x x t Bu t Ax t x =+=上式中，x(t)为n 维状态向量；u(t)为m 维控制向量；A ，B 分别为n×n 及n×m 阶的常数矩阵。
在进行线性二次最优控制系统设计时，比较令人感兴趣的是如何选择控制向量u(t)，使得给定的性能指标达到最小，线性二次最优调节器( LQR) 是针对系统状态方程，寻找最优控制，使得控制性能指标 J 达到最小，其中 Q 、R 分别表示了对状态变量和输入变量的加权值。
二次型性能指标函数：(4-2)dt RU U QX X J T T )(+=⎰+∞∞-则有如下状态反馈控制律：(4-3))()(t Kx t U -=式中，K 为最优反馈矩阵：(4-4)P B R K T 1-=在式(4-4)中，P 为Riccati 方程非负定对称解。
而Riccati 方程为：(4-5)01=+-+-Q P B PBR P A PA T T 如此，可得到状态反馈增益向量K ：(4-6)P B R K T 1-= 由此可见最优控制器的设计的关键是选择合适的加权矩阵Q 和R ，并根据式(4-6)可以算出P ，这样就能求出反馈增益K 了。
而加权矩阵Q 和R 的具体作用为：Q 中某元素相对增加时，其对应的状态变量的响应速度增加，其他状态变量的响应速度相对减慢；R 增加时，控制力减小，角度变化变小，跟随速度变慢。
改变矩阵Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 主对角线元素的值在一定范围之内越大，系统调整时间越短，而且抵抗干扰的能力越强，但是Q 不能过大，不然将对实验结果有一定的影响[16]。
上述推导过程即为线性二次最优控制的控制原理。
而当今现在，随着计算机技术的飞速发展，已经可以不使用上述公式进行繁琐的计算，而利用 MATLAB 的lqr 命令轻松的得到反馈矩阵K 的值：(,,,)K lqr A B Q R = 4.3 二次最优控制器的参数调整二次最优控制器的参数调整关键在于选择好合适的加权矩阵Q 和R ，这样就能得出反馈增益K [17]。
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光电码盘1
光电码盘2
• 倒立摆系统原理图
三、理论分析
•二次型最优调节器问题 ： 已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方 程为：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
确定下列最优控制向量：
x(0) x0
u* (t ) Kx(t )
使得下列二次型性能指标达到最小值:
1 T J (u ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 0
LQR控制器的设计
• 要设计LQR控制器，必须要根据需要设定参数加权矩阵Q 和R，通过调整他们的元素的大小，调整对“状态变量接 近于平衡状态”和“控制能量不能太大”这两个不同目 标的重视的程度。 • 确定了加权矩阵Q和R以后，找出确定反馈控制规律的K。 • Matlab提供了lqr函数，可以得到最优控制对应的K。其 调用格式：
LQR控制器的设计
可以通过改变Q阵的非零元素来调节控制器以得到期望 的响应。 (2)取Q=diag（3000 0 1000 0），R=1时： K=[-54.772，-34.419，117.17，21.918]
此时的目标泛函:
1 J 2 [3000 x 2 (t ) 1000 2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0
LQR控制器的设计
• 取Q=diag(1,0,1,0)时：LQR控制的阶跃响应曲线
LQR控制器的设计
• 取Q=diag(3000,0,1000,0)时，LQR控制的阶跃响应曲线
倒立摆稳定的实时控制
五、实验步骤
1.根据建模结果进行开环仿真并验证模型的能控能观性。 2.寻找合适的理论控制器参数，进行闭环仿真。 3.通过闭环仿真，找出几组合适的控制器参数进行实时控制。 4.如果控制效果不理想，调整控制器参数，直到取得满意的
理论分析
• 最优调节器问题的解 ：
u* (t ) Kx(t )
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
四、LQR控制器的设计
• 直线一级倒立摆的数学模型
0 x 1 0 0 0.08832 0.6293 x 0 0 0 0 0.2357 27.83 0 x 0 x 0.8832 0 u 1 0 0 2 . 357
控制效果。
5.认真完成实验并提交实验报告，分析理论结果与实际效果
的差异。
六、实验注意事项：
1. 实际控制前，仔细检查硬件连接，仔细阅读使用说明书。 2. 实时控制时，先开电控箱然后再运行程序。 3. 注意人身安全，控制时不要站在倒立摆的侧面，请远离
摆杆。
思考题
1. 刚刚演示的两种情况，设计方法相同，控制效果不同，
[ K , P, ev] lqr( A, B, Q, R)
LQR控制器的设计
此时的目标泛函:
• Q和R的选择：
பைடு நூலகம்
1 2 J1 [ x (t ) 2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0
(1)最简单的情况，取：
Q C ' C, R 1
即： Q=diag（1 0 1 0），R=1 K=[-1.0000 -2.0381 30.1662 5.7548]
原因在那里？
2. 要改善系统响应，使稳定时间和上升时间变短，角度
变化减小，应当调节什么参数？
3. LQR设计与极点配置设计有哪些异同？
欢迎同学们课后利用开放实验室的机会进 行二级倒立摆控制的研究！
x 0 x 1 0 0 0 x y u 0 0 1 0 0
LQR控制器的设计
• 开环仿真
LQR控制器的设计
• 使用完全状态反馈设计控制器
• 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置， 小车可以到达新的指定位置。
倒立摆的LQR稳定 控制器设计
——现代控制理论实验（二）
一、实验目的和要求
• 熟悉倒立摆的系统组成 • 学习利用MATLAB软件进行控制器的设计与仿真
• 运用LQR理论设计倒立摆的稳定控制器
• 设计的控制器能够成功进行倒立摆实时控制
二、倒立摆系统原理
计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 倒立摆