2008倒立摆的LQR稳定控制器设计

光电码盘1
光电码盘2
• 倒立摆系统原理图
三、理论分析
•二次型最优调节器问题 ： 已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方 程为：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
确定下列最优控制向量：
x(0) x0
u* (t ) Kx(t )
使得下列二次型性能指标达到最小值:
1 T J (u ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 0
LQR控制器的设计
可以通过改变Q阵的非零元素来调节控制器以得到期望 的响应。 (2)取Q=diag（3000 0 1000 0），R=1时： K=[-54.772，-34.419，117.17，21.918]
此时的目标泛函:
1 J 2 [3000 x 2 (t ) 1000 2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0
倒立摆的LQR稳定 控制器设计
——现代控制理论实验（二）
一、实验目的和要求
• 熟悉倒立摆的系统组成 • 学习利用MATLAB软件进行控制器的设计与仿真
• 运用LQR理论设计倒立摆的稳定控制器
• 设计的控制器能够成功进行倒立摆实时控制
二、倒立摆系统原理
计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 倒立摆
原因在那里？
2. 要改善系统响应，使稳定时间和上升时间变短，角度
变化减小，应当调节什么参数？
3. LQR设计与极点配置设计有哪些异同？
欢迎同学们课后利用开放实验室的机会进 行二级倒立摆控制的研究！
LQR控制器的设计
• 取Q=diag(1,0,1,0)时：LQR控制的阶跃响应曲线
LQR控制器的设计
• 取Q=diag(3000,0,1000,0)时，LQR控制的阶跃响应曲线
倒立摆稳定的实时控制
五、实验步骤
1.根据建模结果进行开环仿真并验证模型的能控能观性。 2.寻找合适的理论控制器参数，进行闭环仿真。 3.通过闭环仿真，找出几组合适的控制器参数进行实时控制。 4.如果控制效果不理想，调整控制器参数，直到取得满意的
[ K , P, ev] lqr( A, B, Q, R)
LQR控制器的设计
此时的目标泛函:
• Q和R的选择：
1 2 J1 [ x (t ) 2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0
(1)最简单的情况，取：
Q C ' C, R 1
即： Q=diag（1 0 1 0），R=1 K=[-1.0000 -2.0381 30.1662 5.7548]
LQR控制器的设计
• 要设计LQR控制器，必须要根据需要设定参数加权矩阵Q 和R，通过调整他们的元素的大小，调整对“状态变量接 近于平衡状态”和“控制能量不能太大”这两个不同目 标的重视的程度。 • 确定了加权矩阵Q和R以后，找出确定反馈控制规律的K。 • Matlab提供了lqr函数，可以得到最优控制对应的K。其 调用格式：
控制效果。
5.认真完成实验并提交实验报告，分析理论结果与实际效果
的差异。
六、实验注意事项：
1. 实际控制前，仔细检查硬件连接，仔细阅读使用说明书。 2. 实时控制时，先开电控箱然后再运行程序。 3. 注意人身安全，控制时不要站在倒立摆的侧面，请远离
摆杆。
思考题
1. 刚刚演示的两种情况，设计方法相同，控制效果不同，
理论分析
• 最优调节器问题的解 ：
u* (t ) Kx(t )
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
四、LQR控制器的设计
• 直线一级倒立摆的数学模型
0 x 1 0 0 0.08832 0.6293 x 0 0 0 0 0.2357 27.83 0 x 0 x 0.8832 0 u 1 0 0 2 . 357
xபைடு நூலகம் 0 x 1 0 0 0 x y u 0 0 1 0 0
LQR控制器的设计
• 开环仿真
LQR控制器的设计
• 使用完全状态反馈设计控制器
• 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置， 小车可以到达新的指定位置。