三角形中线段的相关应用专题练习
三角形中线专题
中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积；1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】DC A例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD第 1 题图 A B FD EC【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。
在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。
2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。
2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。
解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。
2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。
2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。
解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。
利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。
2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。
2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。
解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。
通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。
3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________ °．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β° （α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE= _________ =_________（2）∠BAD=_________ _________（3）∠AFB=_________ =90°（4）S△ABC= _________ S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB 的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC 的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED =S△ABC =×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．3．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BA C﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．6．∵AD是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD，∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD，∵∠BAC=180°﹣∠DAB，∴∠BAC=180°﹣∠O，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC =AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC 的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠B AC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．17．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．19．∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．20．（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°∠BIC的度数110° 120° 135°∠BDI的度数110° 120°135° （2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．22．（1）∵AE是中线，∴BE=CE =BC，（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S△ABC =，S△ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，223．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM=AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．-----精心整理，希望对您有所帮助!。
专题 中线四大模型在三角形中的应用(专项训练)(解析版)
专题02 中线四大模型在三角形中的应用（专项训练）1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为．【答案】1＜AD＜5【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，AD＝BD，∠BDC＝45°，点E在BC边上，AE 交CD于点F，CE＝EF，若S△F AC＝4，则线段AD的长为．【答案】2【解答】解：延长CD到点G，使DG＝CD，连接AG，过点H作AH⊥CG，垂足为H，∵AD＝BD，∠BDC＝∠ADG，∴△BDC≌△ADG（SAS），∴∠G＝∠BCD，∵EF＝EC，∴∠BCD＝∠EFC，∴∠G＝∠EFC，∵∠EFC＝∠AFG，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF，∵AH⊥FG，∴HG＝HF，∴S△AHG＝S△AHF，∵S△ADG＝S△BCD，S△BCD＝S△ADC，∴S△ADG＝S△ADC，∴S△AGH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△AFH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△ADH+S△ADF+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴2S△ADH＝S△AFC，∵S△F AC＝4，∴S△ADH＝2，∵∠BDC＝45°，∴∠BDC＝∠ADH＝45°，∴AH＝DH，∴AH•DH＝2，∴AH＝2或AH＝﹣2（舍去），∴AD＝AH＝2，故答案为：2．3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD ＝∠CBE，则AE＝．【答案】3【解答】解：过点B作BF∥AC，交AD的延长线于点F，∴∠CBF＝∠C，∠DAC＝∠F，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝AB＝4，∵D是BC中点，∴BD＝CD BC＝2，∴△ADC≌△FDB（AAS），∴AC＝BF＝4，∵∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠F，∴△BCE∽△FBD，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，故答案为：3．4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB ＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：C．（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED，在△ABE与△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF与△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．5．某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，点D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证：∠BFD＝∠CAD．【解答】（1）证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD（中点定义），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：对顶角相等；SAS；（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（3）证明：延长AD到H，使DH＝AD，由（1）得，△ADC≌△HDB，∴BH＝AC，∠BHD＝∠CAD，∵AC＝BF，∴BH＝BF，∴∠BFD＝∠BHD，∴∠BFD＝∠CAD．6．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4；（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中线，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．7．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5．（2）结论：AD＝AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠F AD，∴∠F AD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．8．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长是．【解答】方法一：解：连接DB，延长DA到F，使AD＝AF．连接FC，∵AD＝5，∴AF＝5，又∵点E是CD的中点，∴EA为△DFC的中位线，则AE＝CF，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝DB2，∴BD＝＝13，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，又∵DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形，∴FC＝DB＝13，∴AE＝．故答案为：．方法二：连接BE并延长，延长DA交BE延长线于点F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DEF和△CEB中，，∴△DEF≌△CEB（ASA），∴DF＝BC＝10，BE＝FE，∵DA＝5，∴AF＝5，在Rt△ABF中，AF2+AB2＝FB2，∴BF＝＝13，∴AE＝BF＝．故答案为：．9．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．【解答】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．10．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为．【答案】5【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴FD、FE、DE为△ABC中位线，∴DF＝AC，FE＝AB，DE＝BC；∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，故答案为：5．33．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD ＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°，故答案为：40°．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC，连结DM、DN、MN，求DN的长．（1）求DN的长；（2）直接写出△BDM的面积为．【考点】三角形中位线定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【解答】解：（1）连接CM，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，∵M，N分别是AB、AC的中点，BC＝6，∴MN∥BC，MN＝BC＝3，∵CD＝BC，∴CD＝BC＝3，∴CD＝MN，∵MN∥BC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN＝CM＝5；（2）由（1）知，CD＝3，则BD＝CD+BC＝3+6＝9．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝＝＝8．∵N是AC的中点，∴NC＝AC＝4．∴S△BDM＝BD•CN＝×9×4＝18．故答案为：18．12.【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，GH∥AB交BC于点H，则△EGH与△ABC的面积的比值为．【解答】解：【教材呈现】连接DE，如图①，∵D、E分别为BC、BA的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，即；【结论应用】∵D、F分别是边BC、AB的中点，∴，BD＝CD，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴，∴，同理可得，，∴．故答案为：13．直角三角形两边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为．【解答】解：①当6和8均为直角边时，斜边＝10，则斜边上的中线＝5；②当6为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．故斜边上的中线长为：4或5．故答案为：4或5．14．已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为．【解答】解：∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝16，∴CD＝AB＝8，故答案为：8．15．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线等于cm．【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，CD为斜边AB上的中线，则根据勾股定理知，AB＝＝13cm，CD＝AB＝cm；故答案是：．。
专题02 中线四大模型在三角形中的应用(能力提升)(解析版)
专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1．直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（）A．4B．4C．4或4D．4或2【答案】D【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2；②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．故选：D．2．如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为．【答案】13【解答】解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q，在△BDP和△CDF中，，∴△BDP≌△CDF（SAS），∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠PBD+∠ABC＝90°，即∠ABP＝90°，∵BE＝CF，∴BE＝BP，∴△BEP为等腰直角三角形，∴EP＝BE，∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，∴∠BDE+∠CDF＝135°，∴∠EDQ＝45°，∵ED＝，∴EQ＝DQ＝7，∴EP＝＝，∴BE＝13．故答案为：13．3．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP 的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．△ABP和△CRP的面积和不变【答案】A【解答】解：连接AR，∵E，F分别是AP，RP的中点，∴EF＝AR，∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，∴线段EF的长逐渐增大．S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．∵CR随着点R的运动而减小，∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．4．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．求证：OB＝AC．证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：①∵∠ABC＝90°，②∵OB＝OD，OA＝OC，③∴四边形ABCD是平行四边形，④∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是（）A．①④②③B．①③②④C．②④①③D．②③①④【答案】D【解答】解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是②③①④，故选：D．5．如图，AB为⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD＝CD，AB＝5，则AF的长为（）A．B．C．D．4【答案】A【解答】解：连接AD交OF于点G，∵E是的中点，∴OE⊥AD，∴∠AGO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AGO＝90°，∴BC∥OF，∵OA＝OB，∴AF＝CF，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝BC，∵BD＝CD，∴BD＝BC，∵CA与⊙O相切于点A，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∴25＝BC2，∴BC＝10，∴OF＝BC＝5，∵OA＝AB＝2.5，∴AF＝＝＝2.5，故选：A．6．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB 且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：设AF与DE相交于点G，由折叠得：∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分线，AE＝EF，∵点F是BC的中点，点E不是AC的中点，∴EF不是△ABC的中位线，∴EF不平行于AB，2EF≠AB，故①不正确；∵AB≠AC，点F是BC的中点，∴∠BAF≠∠CAF，故②不正确；∵AF⊥DE，∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△AEF＝AF•DG+AF•EG＝AF（DG+EG）＝AF•DE，故③正确；∵∠BDF是△ADF的一个外角，∴∠BDF＝∠DAF+∠AFD，∵∠CEF是△AEF的一个外角，∴∠CEF＝∠EAF+∠EF A，∴∠BDF+∠FEC＝∠DAF+∠AFD+∠EAF+∠EF A＝∠DAE+∠DFE＝2∠DAE，故④正确；∴上列结论中，正确的个数是2，故选：B．7．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．【答案】【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠P AH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2∴GP＝＝2∴GH＝GP＝故答案为：8．如图，在△ABC中，延长CA到点D，使AD＝AC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC＝4，则BF＝．【答案】【解答】解：过点B作BG∥CD，交DF的延长线于点G，∴∠D＝∠G，∠DAE＝∠EBG，∴点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BGE（AAS），∴AD＝BG，∵AD＝AC，∴AD＝AC＝BG，∴DC＝2BG，∵CD∥BG，∴∠C＝∠FBG，∵∠D＝∠G，∴△DCF∽△GBF，∴＝＝2，∴BF＝BC＝，故答案为：．9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC 于点F，∠F AC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为．【答案】【解答】解：延长AE至点G，使得AE＝EG，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△ADE和△GBE中，，∴△ADE≌△GBE（SAS），∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，过点B作BH⊥GE于点H，在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴GH＝＝，BH＝＝，在Rt△ABH中，AH＝＝，∴AG＝AH+GH＝8，∴AE＝GE＝4，过点D作DM∥EF，交BC于点M．∴，设EF＝x，则DM＝2x，∵DM∥EF，∴，∴AF＝7x，∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，∴x＝，∴EF＝，故答案为：．10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．【解答】证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．或方法二：如图2中，作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．11．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，F A＝FE．求∠ADC的度数．【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，∵F A＝FE，∴∠CAD＝∠AEF，∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，∴BG＝BE＝AC，∵AE＝DC＝BD，∴AE+ED＝DH+ED，∴AD＝EH，在△DAC和△HEB中，，∴△DAC≌△HEB（SAS），∴CD＝BH，∴BD＝BH＝DH，∴△BDH为等边三角形，∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．12．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠F AD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE．13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC ＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再证明“△ADC≌△EDB”．（1）探究得出AD的取值范围是；（2）【问题解决】如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE ⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．【解答】解：（1）AD的取值范围是1＜AD＜7；故答案为：1＜AD＜7（2）延长AD交EC的延长线于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（ASA）∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝614．如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BC＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，OE，∵AB切⊙O于B点，∴∠OBE＝90°，∵E为AB中点，O为BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠C，∠DOE＝∠CDO，∵OC＝OD，∴∠C＝∠CDO，∴∠BOE＝∠DOE，∵OB＝OD，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝BC＝4，AC＝2BC＝8，∠C＝90°﹣∠A＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，OC＝OD＝CD＝BC＝2，∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝120°，AD＝AC﹣DC＝8﹣2＝6，∴OF＝OC•sin60°＝2×＝，∵∠ODE＝90°，∴∠ADE＝180°﹣∠ODE﹣∠CDO＝30°，∴∠A＝∠ADE＝30°，∴AE＝DE，∴AG＝DG＝AD＝3，∴GE＝AG•tan30°＝3×＝，∴阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△COD的面积﹣扇形BOD的面积﹣△DEA的面积＝AB•BC﹣CD•OF﹣﹣AD•EG＝×4×4﹣×2×﹣π﹣×6×＝4﹣π，∴阴影部分的面积为4﹣π．15．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD 边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，∵点E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC，故答案为：DE∥BC，DE＝BC；（2）延长GE，CD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AGE≌△DHE（AAS），∴AG＝DH＝3，GE＝EH，∵DF＝4，∴FH＝DH+DF＝7，∵∠GEF＝90°，∴FE是GH的垂直平分线，∴GF＝FH＝7，∴GF的长为7．16．如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵点F是OC的中点，∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，∴DG＝FG＝AD＝7.5，∵点E，点F分别是OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，∴EF＝DG，EF∥AD，∴四边形GEFD是平行四边形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周长为24．17．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠F AG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．18．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，“旋补中距”CE长度＝2；（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∵∠ACB＝90°，∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，∴点A，点C，点B'共线，点B，点C，点A'共线，∴AB′、A′B的交点O与点C重合，∴△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，∴△ACB≌△A'CB'（SAS），∴AB＝A'B'＝4，∵点E是A'B'的中点，∠A'CB'＝90°，∴CE＝2，故答案为：90°，2；（2）△ABC“旋补交差角”度数不变，△ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∴∠ACB'＝∠BCA'，在△ACB'和△A'CB中，，∴△ACB'≌△A'CB（SAS），∴∠CAB'＝∠CA'B，∴点A，点A'，点C，点O四点共圆，∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，如图2，延长CE至F，使CE＝EF，连接A'F，B'F，∵CE＝EF，A'E＝B'E，∴四边形A'CB'F是平行四边形，∴∠A'CB'+∠F A'C＝180°，A'F＝B'C，∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，∴∠ACB＝∠CA'F，又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，∴△ACB≌△CA'F（SAS），∴AB＝CF＝4，∴CE＝2；（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：如图3，取A'B'中点E，连接CE，CO，EO，∵△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，∵点E是A'B'中点，∠A'OB'＝90°，∴OE＝A'B'＝3，在△OCE中，OC＞OE﹣CE，∴当点C在线段OE上时，OC有最小值为OE﹣CE＝1．19．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF．（1）求证：△ACD∽△BCF；（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．①求证：∠PMN＝135°；②若AD＝2，求△PMN的面积．【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°+∠ECF，∠ACD＝45°+∠ECF，∴∠ACD＝∠BCF，∵BC：AC＝CF：CD＝1：，∴BC：CF＝AC：CD，∴△ACD∽△BCF；（2）①证明：∵△ACD∽△BCF，∴∠ADC＝∠BFC＝90°，∵∠CDF＝45°，∴∠ADB＝45°，如图，作PM延长线，交AD于点H，∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，∴MH∥DN、MN∥DH，∴四边形MNDH为平行四边形，∴∠HMN＝∠ADB＝45°，∴∠PMN＝135°；②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G，∵△ACD∽△BCF，∴，∴BF＝＝2，∵PM为△ABF中位线，∴PM＝BF＝1，同理MN＝AD＝，又∵∠PMN＝135°，∴∠PMG＝180°﹣135°＝45°，∴PG＝＝，∴S△PMN＝•MN•PG＝××＝．。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
三角形中线练习题
三角形中线练习题三角形中线练习题三角形是几何学中常见的图形之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，中线是三角形内部的一条特殊线段，它连接三角形的一个顶点与对边中点。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用三角形中线的性质。
练习题一：证明三角形中线相等已知三角形ABC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。
请证明：AD=BE=CF。
解析：要证明AD=BE=CF，我们可以利用向量的性质来推导。
设向量→AB=a，→AC=b，则→AD=(→AB+→AC)/2=(a+b)/2。
同理，→BE=(→BA+→BC)/2=(b+c)/2，→CF=(→CA+→CB)/2=(c+a)/2。
由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有(a+b)/2=(b+c)/2=(c+a)/2，即AD=BE=CF。
因此，三角形中线相等。
练习题二：求三角形中线长度已知三角形ABC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。
已知AB=6，AC=8，BC=10，求AD、BE、CF的长度。
解析：根据练习题一的证明，我们知道AD=BE=CF。
由于D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，所以AD=BC/2=10/2=5，BE=AC/2=8/2=4，CF=AB/2=6/2=3。
因此，AD=5，BE=4，CF=3。
练习题三：证明三角形中线平行已知三角形ABC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。
请证明：AD∥BE∥CF。
解析：要证明AD∥BE∥CF，我们可以利用向量的性质来推导。
设向量→AB=a，→AC=b，则→AD=(→AB+→AC)/2=(a+b)/2。
同理，→BE=(→BA+→BC)/2=(b+c)/2，→CF=(→CA+→CB)/2=(c+a)/2。
由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有(a+b)/2=(b+c)/2=(c+a)/2，即AD∥BE∥CF。
因此，三角形中线平行。
练习题四：求三角形中线的交点坐标已知三角形ABC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。
初中数学直角三角形斜边中线性质应用专项练习题(附答案详解)
初中数学直角三角形斜边中线性质应用专项练习题（附答案详解）1．如图，在ABC 中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC 边的长为 ．2．如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2,AD =3,求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点,连接BG 和DG ,求证：DG =BG .3．如图所示，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求证：MN DE ⊥.4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM ⊥AD 。
5．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE .6．如图所示，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于V ，EA CD ⊥于A ，求证：2CE AB =.7．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求DCE ∠的度数.8．如图所示，90DBC BCE ∠=∠=︒，M 为DE 的中点，求证：MB MC =.9．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 延长线上一点，过D 作DE AD ⊥，且DE AD =，求DBE ∠的度数．10．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=是AC 的中点，,DE DF DE ⊥交BA 的延长线于点,E DF 交AC 的延长线于点F ，求证：BE AF =．11．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，G 为AC 上一点，AE BG ⊥于点E ，连结DE ．求证：2BE AE DE -=．12．如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.13．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求线段DH 长度的最小值.14．如图所示，ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 为AB 的中点，求证：2BC DE =.15．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求CE CD的值.16．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 上有一点P ，连接BP 、DP ，过点P 作PE ⊥PB 交CD 于点E ，连接BE ．（1）求证：BP=EP；（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．参考答案1．【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出,4D B F D ==，再根据等边三角形的判定与性质得出4,60DH BDH =∠=︒，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出60EHD BDH ∠=∠=︒，从而可得EHD B ∠=∠，BDF HDE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出DE DF ==据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】如图，过点D 作DG BC ⊥于点G3,5BF CF ==8BC BF CF ∴=+=在Rt BCD 中，60B ∠=︒，9030BCD B ∠=︒-∠=︒142BD BC ∴== 在Rt BDG 中，60B ∠=︒，9030BDG B ∠=︒-∠=︒12,2BG BD DG ∴====1GF BF BG ∴=-=，DF ==取BC 的中点H ，连接DH 、EH142DH BH BC BD ∴==== BDH ∴是等边三角形60BDH ∴∠=︒点E 是AC 边的中点∴EH 是ABC 的中位线//EH AB ∴60EHD BDH ∴∠=∠=︒60EHD B ∴∠=∠=︒又60BDF FDH BDH ∠+∠=∠=︒，60HDE FDH EDF ∠+∠=∠=︒BDF HDE ∴∠=∠在HDE 和BDF 中，EHD B DH DB HDE BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HDE BDF ASA ∴≅13DE DF ∴==则在Rt ACD △中，12DE AC =，即2213AC DE == 故答案为：213．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 2．（1）EF 2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AE 平分∠BAD ，可得∠DAF ＝45°，从而∠F ＝45°，可证△ADF ，△ECF 都是等腰直角三角形，求出CF 的长，最后根据勾股定理即可求出EF 的长；（2）连结CG ，易证∠BEG ＝∠DCG ＝135°，根据“SAS ”可证△BEG ≌△DCG ，从而可得DG ＝BG .【详解】解：（1）在矩形ABCD 中∵AE 平分∠BAD ,∴∠DAF ＝45°, ∴∠F ＝45°，∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.在Rt△CEF中,∴EF＝2.（2）连结CG,∵G是EF中点,∴CG⊥EF,∠ECG＝∠CEF＝45°.∴∠BEG＝∠DCG＝135°.∴EG＝12EF＝CG.∵AB＝BE＝CD,∴BE＝CD.∴△BEG≌△DCG,∴DG＝BG.【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键.3．见解析【解析】【分析】连接ME、MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；【详解】证明：连结MD ，ME ，点M 分别是Rt EBC ∆和Rt DBC ∆斜边的中点，MD ME ∴==1BC 2，又N 是DE 的中点， MN DE ∴⊥.【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM =EM 是解题的关键． 4．见解析.【解析】【分析】 过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，根据∠B=∠BCE=45°，CD=BD ，∠1=∠2证明△CDF ≌△BDM ，得到CF=BM ，然后再由AC=BC 及通过SAS 证明△ACF ≌△CBM ，得到∠CAF=∠BCM ，再根据角之间的等量代换可证明∠CFG+∠ECM=90°，问题得证.【详解】证明：过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠B=∠BCE=45°，在△CDF 和△BDM 中，，∴△CDF ≌△BDM （ASA ），∴CF=BM ，在△ACF 和△CBM 中，，∴△ACF ≌△CBM （SAS ），∴∠CAF=∠BCM，∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°，∴∠ECM =∠EAF，∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°，∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°，∴CM⊥AD.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，寻找合适的全等三角形是解题关键，有一定难度．5．见解析【解析】【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【详解】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质.灵活运用中点的有关性质解题是解题关键.6．见解析【解析】【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2可得AF=2AB，然后证明即可．【详解】证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF=EF=BF=CF=12 CE，在△CDE中，∵∠CDE=135°，∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB，∴CE=2AF=2×22AB=2AB，即CE=2AB．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．7．30【解析】【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AB=BE，CE=12AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；【详解】证明：连接DE，∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，∴DE=12AB =BE ，CE =12AB =BE ， ∴ED =EC ，∠EDB =∠EBD ，∠ECB =∠EBC ，∴∠DEC =∠AED +∠AEC =2∠DBC =120°，∵ED =EC ，∴∠DCE =12×（180°-120°）=30°； 【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DE =CE 是解题的关键． 8．见解析【解析】【分析】延长BM 交CE 于N ，易得DBM ENM ∆∆≌，BM =MN ，由直角三角形斜边中线性质可得CM =MN =BM .【详解】证明：延长BM 交CE 于N ，∵90DBC BCE ∠=∠=︒，∴CE ∥DB ，∴∠D =∠E ，在DBM ∆和ENM ∆中D=E DM=EMDMB=EMN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴DBM ENM ∆∆≌，BM MN =∴，∵∠BCE =90°，12CM BN BM ∴==． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．构造直角三角形.9．45°【解析】【分析】分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，由等腰直角三角形的性质可得AF BF CF ==，由同角的余角相等得FAD FDE ∠=∠，结合已知可证ADF DEG ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得DF=EG ，AF=DG ，则EG FD FG GD FG AF FG BF BG ==+=+=+= ，即△BEG 为等腰直角三角形,即可得DBE ∠的度数．【详解】解：分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，则AF BF CF ==，90FAD ADF ADF FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴FAD FDE ∠=∠，AD DE ⊥ AD DE =，ADF DEG ∴∆∆≌，DF EG ∴=，AF DG =，EG FD FG GD FG AF FG BF BG ∴==+=+=+=，∴△BEG 为等腰直角三角形,45DBE BEG ∴∠=∠=︒．故答案为45°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中作辅助线证出△BEG 为等腰直角三角形是解题的关键．10．详见解析【解析】【分析】连结AD ，根据等腰直角三角形的性质得AD ⊥BC ，AD=BD ，由同角的余角相等得B FAD ∠=∠ ，证明BDE ADF ∆∆≌ ，即可得出结论．【详解】证明：连结AD ，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD DC = AD BC ∴⊥AD BD ∴=90B BAD BAD FAD ∠+∠=∠+∠=︒B FAD ∴∠=∠BDE BDA ADE ∠=∠+∠ FDA FDE ADE ∠=∠+∠ 90BDA FDE ∠=∠=︒ BDE FDA ∴∠=∠BDE ADF ∴∆∆≌BE AF ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．详见解析【解析】【分析】连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，由等腰直角三角形的性质可得AD BD =，AD ⊥BC ，由等角的余角相等得ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠，根据ASA 可证出ADE BDF ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF ，DE=DF ，则△EDF 为等腰直角三角形，即可得BE 2EF BF BE AE DE ∴=-=-=.【详解】 证明：连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，∵,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，∴AD BD =，AD ⊥BC ，∵DF DE ⊥，∠BAC=90°，AE BG ⊥∴ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠， ∴ADE BDF ∆∆≌（ASA ）∴AE=BF ，DE=DF ，∵DF DE ⊥∴2EF DE =∴BE EF 2BE AE BF DE -=-==. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证ADE BDF ∆∆≌是解题的关键．12．见解析【解析】【分析】连接OD.因为∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点；所以有OE OD =OB=OC ，进而∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE ；又因为∠BAC=120°；所以有∠CBD+∠BCE=60°，∠COD+∠BOE=120°；所以∠DOE=60°；从而证得△DOE 是等边三角形，所以DE=OE.【详解】连OD ，∵O为BC的中点，∵OE OD=OB=OC，∴∠COD=2∠CBD,∠BOE=2∠BCE.∵∠BAC=120°，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠COD+∠BOE=120°，∴∠DOE=60°，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OE.【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是要掌握分析题中的各种信息条件，找到相应的知识来解决问题，然后根据以往做题经验找出解决问题的方法.13．DH51【解析】【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=12AB=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出OD的值；根据三角形的三边关系，可得OH+DH＞OD，于是当O、D、H三点共线时，DH的长度最小为OD-OH，据此解答.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，取AB的中点O，连OH、OD，∴112OH AB==，225OD OA AD=+=，在OHD∆中有DH OD OH>-，即51DH>-.故O、H、D三点共线时DH最小，∴DH最小值为51-.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三条边的关系，确定出点H的位置是解答本题的关键.14．见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，∴∠FEA=∠B=2∠A ，在直角三角形ACD 中，F 是斜边BC 的中点，∴DF=CF=AF ，∴∠FDA=∠A ，即有2∠FDA=∠FEA ，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE ，∴∠DFE=∠FDA ，∴DE=EF ，∴BC=2DE ．【点睛】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．33CE CD = 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得出DE=CE=BE ，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出30DCE ∠=︒，过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，可求出CE 、CM 、CD 的值.【详解】证明：连结DE ，在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，∵E 是AB 的中点，∴12DE AB =，12CE AB =， ∴DE CE EB ==，∴2DEA DBE ∠=∠，2AEC EBC ∠=∠，∴2120DEC DBC ∠=∠=︒，30DCE ∠=︒.过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，则2CE =，CM =，∴CD =，∴CE CD =【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．（1）证明见解析；（2）∠EBC=30°；（3）BE 2＝AP 2+PC 2，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出△CBP ≌△CDP ，得出BP ＝DP ，利用四边形的内角和，得出EP ＝DP ，从而得出结论；（2）取BE 的中点F ，得出△CEF 是等边三角形，利用撒尿行内角和定理，得出∠EPC ＝30°； （3）过点P 作PC /⊥AC ，得出△BPC ≌△EPC /, 近而得出四边形ABEC /为平行四边形，在Rt △APC /中，利用勾股定理得出结论即可.【详解】（1）∵ 四边形ABCD 是正方形，∴CB ＝CD ，AC 平分∠BCD ， 即 ∠BCP ＝∠DCP ， 又CP 是公共边 所以△CBP ≌△CDP ∴ BP ＝DP , ∠PBC ＝∠PDC∵ ∠BPE －∠BCE ＝90°，∠BPE +∠BCE +∠PBC +∠PEC ＝360°∴∠PBC +∠PEC ＝90°∵ ∠PED +∠PEC ＝90°∴∠PED ＝∠PBC ∴∠PED ＝∠PDC ∴EP ＝DP ,∴ BP ＝DP ．（2）取BE 的中点F ，连CF ，则CE ＝CF －EF ＝3, ∴△CEF 是等边三角形，则∠BEC ＝60°，∵∠BCE ＝90°，∴∠EBC +∠BEC ＝90°, ∴∠EBC ＝30°, ∵∠EBC +∠BCP ＝∠PEB +∠EPC , ∠PEB ＝∠BCP ＝45°∴∠EBC ＝∠EPC ＝30°﹒（3）过点P作PC/⊥AC，交CD的延长线于C/,得△BPC≌△EPC/, CP＝C/P,BC＝EC/, ∵AB＝BC，∴AB＝EC/∵AB∥EC/∴四边形ABEC/为平行四边形，∴AC/＝BE,∵在Rt△APC/中，C/A2＝AP2+C/P2∴BE2＝AP2+PC2﹒。
解三角形(中线问题)(解析版)
专题4解三角形(中线问题)目录一、必备秘籍二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化)方法二：角互补三、专项训练一必备秘籍1、向量化(三角形中线问题)如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷)2、角互补∠ADC +∠ADB =π⇒cos ∠ADC +cos ∠ADB =0二典型题型方法一：向量化1(2023·四川泸州·校考三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2sin C +3a cos C =3b ，A =60°．(1)求a 的值；(2)若BA ⋅AC =-12，求BC 边上中线AT 的长．【答案】(1)3(2)52【解析】【详解】(1)由正弦定理得：a sin A sin C +3sin A cos C =3sin B =3sin A +C ，∴a sin A sin C =3sin A cos C +3cos A sin C -3sin A cos C =3cos A sin C ，∵0°<C <120°，∴sin C ≠0，∴a sin A =3cos A ，又A =60°，∴32a =32，解得：a =3．(2)∵BA ⋅AC =bc cos 180°-A =-bc cos A =-12bc =-12，∴bc =1，由余弦定理得：b 2+c 2=a 2+2bc cos A =a 2+bc =4，∵AT =12AB +AC ，∴AT 2=14c 2+b 2+2bc cos A =14×4+1 =54，∴AT =52，即BC 边上中线AT 的长为52．2(2023·四川宜宾·统考模拟预测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知c sin C sin A -c =b sin B sin A -a ，b =2．(1)若a =2c ，求△ABC 的周长；(2)若AC 边的中点为D ，求中线BD 的最大值．【答案】(1)2+23(2)3【解析】【详解】(1)∵c sin C sin A -c =b sin B sin A -a ，由正弦定理可得：c 2a -c =b 2a-a ，则a 2+c 2-b 2=ac ，若a =2c ，则4c 2+c 2-4=2c 2，解得c =233，故△ABC 的周长a +b +c =b +3c =2+23．(2)∵2BD =BC +BA ，∴4BD 2=BC +BA 2=BC 2+BA 2+2BC ⋅BA =a 2+c 2+2ac ⋅cos B =a 2+c 2+2ac ⋅a 2+c 2-b 22ac=2a 2+2c 2-b 2，由(1)可得：a 2+c 2-b 2=ac ，即a 2+c 2-4=ac ，∵ac ≤a 2+c 22，当且仅当a =c =2时，等号成立，∴a 2+c 2-4≤a 2+c 22，则a 2+c 2≤8，故4BD 2=2a 2+2c 2-b 2=2a 2+c 2 -4≤2×8-4=12，则BD ≤3，所以BD 的最大值为3．3(2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测)已知函数f x =sin 2x +π3 -cos 2x +π6 +31-2sin 2x ．(1)求f x 的单调递增区间；(2)记a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且f A 2=3，BC 的中线AD =3，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)-5π12+k π,π12+k π ， k ∈Z (2)33【解析】【详解】(1)f x =sin 2x +π3 -cos 2x +π6+31-2sin 2x =12sin2x +32cos2x -32cos2x +12sin2x +3cos2x =sin2x +3cos2x =212sin2x +32cos2x =2sin 2x +π3由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π， k ∈Z ，解得-5π12+k π≤x ≤π12+k π， k ∈Z ，f x 的单调递增区间为-5π12+k π,π12+k π ， k ∈Z ；(2)因为f A 2 =3，可得sin A +π3 =32，因为A ∈0,π ，所以A +π3=2π3即A =π3，由AD =12AB +12AC 及AD =3可得，AD 2=9=14AB 2+14AC 2+12AB ⋅AC =14c 2+14b 2+12cb cos A =14b 2+c 2+bc ，所以b 2+c 2+bc =36所以36=b 2+c 2+bc ≥2bc +bc即bc ≤12，当且仅当b =c =23时取到等号，所以S △ABC =12bc sin A =34bc ≤33，故△ABC 面积的最大值为33．方法二：角互补1(2023·全国·高三专题练习)在①sin Asin B +sin Bsin A+1=c2ab；②(a+2b)cos C+c cos A=0；③3a sinA+B2=c sin A，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若c=4，求AB的中线CD长度的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)233【解析】【详解】(1)选择条件①：由sin Asin B+sin Bsin A+1=c2ab及正弦定理，得：ab+ba+1=c2ab，即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得cos C=a 2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件②：由(a+2b)cos C+c cos A=0及正弦定理，得：(sin A+2sin B)cos C+sin C cos A=0，即sin A cos C+cos A sin C=-2sin B cos C．即sin(A+C)=-2sin B cos C．在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π-B)=sin B，即sin B=-2cos C sin B，因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos C=-1 2，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件③：由3a sin A+B2=c sin A及正弦定理，得：3sin A sin A+B2=sin C sin A，因为0<A<π，sin A≠0，所以3sin A+B2=sin C．在△ABC中，A+B+C=π，则sin A+B2=cos C2，故3cos C2=2sin C2cos C2．因为0<C<π，所以cos C2≠0，则sin C2=32，故C=2π3；(2)因为∠ADC+∠BDC=π，所以4+CD2-b22×2×CD +4+CD2-a22×2×CD=0，整理得2CD2=a2+b2-8，在三角形ABC中，由余弦定理得42=a2+b2-2ab cos2π3=a2+b2+ab．因为ab≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，所以16=a2+b2+ab≤a2+b2+12a2+b2=32a2+b2，即a2+b2≥323，所以2CD2=a2+b2-8≥323-8=83，即CD≥233，即CD长度的最小值为23 3．。
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线(原卷版)
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线常见考点考点一中线问题典例1．ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c sin cosC c B+=，且23Cπ=．（1）求A的大小；（2）若ABC的周长为8+AC边上中线BD的长度．变式1-1．已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c sin cosC c B+，且2π3 C=.（1）求A的大小；（2）若ABC的面积为AC边上中线BD的长度.变式1-2．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos()cos sin cos0c B A c C A C-++=.（1）求C；（2）若4c=，求AB的中线CD长度的最小值.变式1-3．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝a cos C sin A，点M 是BC的中点.（1）求A 的值；（2）若a AM 长度的最大值.考点二 垂线问题典例2．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c B C b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c ，求cos C ．变式2-1．在△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos +=a c B b C A . （1）求角A .（2）若2,3b c ==，求a 边上的高AH .变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4.（1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长.变式2-3．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边c 上的高为2cos ,ab C ab c= （1）求cos C ；（2）若ABC 的周长为4，求边c 的长.考点三 角平分线问题典例3．在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+sin sin 2B C a B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.变式3-1．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 （1）若1cos 4A =，求BDC 的面积;（2）若4CD AD -=，求CD 长.变式3-2．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC AD==2CD=.（1）求sin BAC∠的值；（2）求边AB的长.变式3-3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cos C+c cos A=0.（1）求角C的大小；（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.巩固练习练习一中线问题1．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin0-=.a b A（1）求角B 的大小；（2）若23C π=，ABC 的周长为4+BC 边上的中线AD 的长.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 24sin(3)sin ()cos(2)124A A A πππ-+-- （1）求角A 的大小；（2）若角A 为锐角，1,b S ==BC 上的中线AD 的长.3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若222b c a bc +-=. （1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 的最大值.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；（2）若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值．练习二 垂线问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .222sin sin sin sin sin A C B A C +=+. （1）求角B ；（2）若b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高.6．已知锐角三角形ABC 中，sin(A +B )=35，sin(A - B )=15（1）求证: tan A =2tan B（2）设AB =3，求AB 边上的高CD .7．在①2sin cos cos cos a C B C C =；②2cos 2c B b a +=；③(2)cos cos b a C c A -= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足． （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，ABC ∆ABC ∆的边AB 上的高h ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足()2cos cos b a C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4c =，5a b +=，求ABC 的边AB 上的高h ．练习三 角平分线问题9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足()cos cos sin cos 0b C c B B A +=. （1）求A ；（2）若2c =，a =B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.10．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin sin ()sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =3a b =，（1）求角C ；（2）求c 的值11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若角C 的角平分线交AB 于点D ，13ACD ABC S S =△△，3AB =，求AC 和CD 的长度.12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，且满足222b c a +-=. （1）求角A 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，且512a B π==，求线段AD 的长.。
三角形中线练习题
三角形中线练习题在解决三角形相关问题时，了解和运用中线的性质是非常重要的。
中线是三角形内部连接一个顶点和对边中点的线段。
本文将通过一系列中线练习题，帮助读者掌握中线的性质和应用技巧。
1. 题目一已知三角形ABC的边长分别为AB = 8 cm，BC = 12 cm，AC = 10 cm。
求三角形的中线长。
解答：三角形ABC的中线在连接顶点A和底边BC上的中点D，所以BD = DC = BC/2 = 12/2 = 6 cm。
根据中线的性质，中线的长度等于底边的一半，所以AD = BD = 6 cm。
因此，三角形ABC的中线长为6 cm。
2. 题目二已知三角形ABC的中线AD长度为6 cm，而且BD = CD = 4 cm。
求三角形ABC的底边BC的长度。
解答：根据中线的性质，底边BC的长度等于中线的长度乘以2，即BC =2 * BD = 2 * 4 = 8 cm。
因此，三角形ABC的底边BC的长度为8 cm。
3. 题目三已知三角形ABC的边长分别为AB = 7 cm，BC = 9 cm，AC = 5 cm。
求三角形ABC的中线AD和CE的交点F到底边BC的距离。
解答：首先，我们需要确定中线AD和CE的交点F。
由于中线AD连接顶点A和底边BC上的中点D，中线CE连接顶点C和底边AB上的中点E，所以中线AD和CE的交点F就是底边BC上的中点。
因此，点F距离底边BC的距离为0 cm。
4. 题目四已知三角形ABC的中线AD长度为6 cm，而且CE的长度为4 cm。
求三角形ABC的底边BC的长度。
解答：由于中线AD连接顶点A和底边BC上的中点D，中线CE连接顶点C和底边AB上的中点E，所以中线AD和CE的交点F就是底边BC上的中点。
因此，BF = FC = BC/2 = (AD + CE)/2 = (6 + 4)/2 = 5 cm。
所以，三角形ABC的底边BC的长度为10 cm。
通过以上练习题，我们深入了解了三角形中线的性质和应用技巧。
直角三角形中线专练
直角三角形中线专练一．解答题（共30小题）1．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN交AC 于点D ，已知AB=10，AC=16．（1）求证：BN=DN ；（2）求MN 的长．2．如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：EF=12（AC ﹣AB ）； （2）如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系．3．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，连接GF 、EG 、DG ．求证：（1）EG=DG ；（2）GF ⊥DE ．4．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是斜边BC 的中点，BN ⊥AM ，垂足为点N ，且BN 的延长线交AC 于点D ．（1）求证：△ABC∽△ADB；（2）如果BC=20，BD=15，求AB的长度．5．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．6．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=12 AB．8．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分∠ABF．10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．11．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB．13．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试判断点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一圆上？并说明理由．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，G，H分别是AC，BD的中点．如果∠BEC=80°，求∠GHE的度数为？16．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，求证：∠DME=180°﹣2∠A；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，CF=12 AC．（1）DC=EF吗？说明理由；（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE的面积．18．如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别为AB、CD的中点．求证：MN⊥CD．19．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点．求证：EF⊥BD．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．21．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一点．①当PA+PC最小时，求点P的坐标；②当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标．22．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．23．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．小尧同学思路如下：因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到MD=OD，…课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D 是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．24．如图，BD、CE是△ABC的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．25．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB=PD？请说明理由．26．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且CD=12 AB，DE⊥CF于E．求证：CE=EF．27．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=6，CD=AC=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC．（2）求MN的长．28．如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，E，F分别是BD，AC的中点．（1）求证：AE=CE；（2）判断EF与AC的位置关系，并说明理由．29．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF=3，BC=8，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF的度数．30．在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是对角线AB、CD的中点，连接MN，MN与CD有怎样的特殊位置关系？证明你的结论．直角三角形中线专练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN交AC 于点D ，已知AB=10，AC=16．（1）求证：BN=DN ；（2）求MN 的长．【分析】（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而得出MN ．【解答】证明：（1）∵AN 平分∠BAC∴∠1=∠2，∵BN ⊥AN∴∠ANB=∠AND ，在△ABN 和△ADN 中，{∠1=∠2AN =AN ∠ANB =∠AND，∴△ABN ≌△ADN （ASA ）∴BN=DN ；（2）∵△ABN ≌△ADN∴AD=AB=10，DN=NB ，∴CD=AC ﹣AD=16﹣10=6，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线，∴MN=12CD=3． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，关键是根据全等三角形的判定证明△ABN ≌△ADN ．2．如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：EF=12（AC ﹣AB ）； （2）如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系．【分析】（1）先证明AB=AD ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．（2）结论：EF=12（AB ﹣AC ），先证明AB=AP ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE ⊥BD ，∴∠AED=∠AEB=90°，∴∠BAE +∠ABE=90°，∠DAE +∠ADE=90°，∵∠BAE=∠DAE ，∴∠ABE=∠ADE ，∴AB=AD ，∵AE ⊥BD ，∴BE=DE ，∵BF=FC ，∴EF=12DC=12(AC −AD)=12（AC ﹣AB ）． （2）结论：EF=12（AB ﹣AC ）， 理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．∵AE⊥BP，∴∠AEP=∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°，∵∠BAE=∠PAE，∴∠ABE=∠ADE，∴AB=AP，∵AE⊥BD，∴BE=PE，∵BF=FC，∴EF=12PC=12（AP﹣AC）=12（AB﹣AC）．【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF、EG、DG．求证：（1）EG=DG；（2）GF⊥DE．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；（2）由（1）知DG=EG=12BC，再根据等腰三角形三线合一的证明即可．【解答】证明：（1）∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE=12BC，GD=12BC，∴GE=GD；（2）证明：如图，连接EG 并延长至H 使EG=GH ，∵点G 是BC 中点，∴BG=CG=12BC ， ∴四边形BHCE 是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形BHCE 是矩形，∴EH=BC ，∴EG=12BC ， 连接DG ，同理，DG=12BC ∴GE=GD=12BC ， ∴△GED 是等腰三角形，∵F 是DE 的中点，∴GF ⊥DE ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．4．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是斜边BC 的中点，BN ⊥AM ，垂足为点N ，且BN 的延长线交AC 于点D ．（1）求证：△ABC ∽△ADB ；（2）如果BC=20，BD=15，求AB 的长度．【分析】（1）根据直角三角形的性质和相似三角形的判定证明即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵M是斜边BC的中点，∴AM=CM，∴∠MAC=∠C，∵∠MAC+∠BAN=90°，∠ABD+∠BAN=90°，∴∠MAC=ABD，∴∠C=∠ABD，∵∠BAC=∠DAB=90°，∴△ABC∽△ADB；（2）∵△ABC∽△ADB，∴ACAB =BCBD=2015=43，设AC=4x，AB=3x，可得：（4x）2+（3x）2=202，解得：x=±4（负值舍去），∴AB=3x=12．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答．5．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．【分析】（1）在AD 上取点P ，MP ∥CE ∥BD ，再根据平行线分线段成比例定理可得P 是BC 的中点，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可求解；（2）取AD 、AE 的中点F 、G ，连接BF 、MF 、MG 、CG ，由M 是BE 的中点可知，线段MG 、MF 都是△ADE 的中位线，根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理可判断MFAG 是平行四边形，可用AD ．AE 表示出MG ．MF 的长，再由直角三角形的性质可求出BF 的长，再根据∠BAD=∠CAE 通过等量代换可得∠BFM=∠MGC ，可求出△BFM ≌△MGC ，由三角形全等即可得出答案．【解答】证明：（1）作点M 作MP ⊥AB 于点P ，∵∠ABD=∠ACE=90°．∴MP ∥CE ∥BD ．∵M 为DE 的中点，∴CP=BP ，∴MP 是BC 的中垂线，∴△BCM 是等腰三角形，∴MB=MC ；（2）MB=MC 成立．取AD 、AE 的中点F 、G ，连接BF 、MF 、MG 、CG 显然线段MG 、MF 都是△ADE的中位线，∴四边形MFAG 是平行四边形，MG=12AD ，MF=12AE ， ∴∠MFA=∠AGM ，又∵∠DBA=∠ACE=90°，∴Rt△斜边中线BF=12AD=MG，CG=12AE=MF，∵∠DAB=∠CAE，∴∠BDA=∠CEA，∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA，∴∠BFM=∠BFA﹣∠MFA=∠CGA﹣∠AGM=∠MGC，∴△BFM≌△MGC，∴MB=MC．【点评】此题比较复杂，（1）主要是利用线段垂直平分线的性质；在解（2）时要作出辅助线，构造出平行其性质求解四边形及直角三角形的中线是解答此题的关键．6．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为1．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC 的内部，且∠MAC=∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ．求证：DE=DF ．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB ≠CA”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE=DF ；（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB ≌△MFA （AAS ），得到DE=DF ．（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS 证明△DHE ≌△FGD 可得．【解答】解：（1）∵AE ⊥BC ，BF ⊥AC∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形∵D 是AB 的中点∴DE 和DF 分别为Rt △AEB 和Rt △AFB 的斜边中线∴DE=12AB ，DF=12AB （直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ∴DE=DF∵DE=kDF∴k=1；（2）∵CB=CA∴∠CBA=∠CAB∵∠MAC=∠MBE∴∠CBA ﹣∠MBC=∠CAB ﹣∠MAC即∠ABM=∠BAM∴AM=BM∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC∴∠MEB=∠MFA=90又∵∠MBE=∠MAF∴△MEB ≌△MFA （AAS ）∴BE=AF∵D 是AB 的中点，即BD=AD又∵∠DBE=∠DAF∴△DBE ≌△DAF （SAS ）∴DE=DF ；（3）DE=DF如图1，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，∵点 D 是 边 AB 的 中点∴DG ∥BM ，DG=12BM 同理可得：DH ∥AM ，DH=12AM ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点∴在Rt △BEM 中，HE=12BM=BH ∴∠HBE=∠HEB∠MHE=∠HBE +∠HEB=2∠MBC又∵DG=12BM ，HE=12BM ∴DG=HE同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC ∵DG∥BM，DH∥GM∴四边形DHMG是平行四边形∴∠DGM=∠DHM∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC 又∵∠MBC=∠MAC∴∠MGF=∠MHE∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE∴∠DGF=∠DHE在△DHE与△FGD中{DG=HE∠DGF=∠DHEDH=FG，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF．【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．7．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=12 AB．【分析】连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明．【解答】证明：如图，连接BE，∵在△BCD 中，DB=BC ，E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∵F 是AB 的中点，∴在Rt △ABE 中，EF 是斜边AB 上的中线，∴EF =12AB【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．8．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点．求证：EF ⊥CD ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可以求得DE=CE ，再根据等腰三角形的性质可以得到EF ⊥CD ，从而可以证明结论成立．【解答】证明：连接DE 、CE ，∵△ABC 中，∠ACB=90°，E 是AB 中点，∴CE=12AB ， 同理可得，DE=12AB ， ∴DE=CE ．∵△CDE 中，F 是CD 中点，∴EF ⊥CD ．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分∠ABF．【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD，根据等边对等角得到∠ABC=∠DCB，根据平行线的性质证明即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=BD，∴∠ABC=∠DCB，∵DC∥EF，∴∠CBF=∠DCB，∴∠CBF=∠ABC．∴BC平分∠ABF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=12AB ，DE=12AB ，得到CE=DE ，证明结论；（2）过点E 作EH ⊥CD ，根据三角形的面积公式求出EH ，根据勾股定理求出DH ，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E 为AB 的中点，∴CE=12AB ，DE=12AB ∴CE=DE ，即△ECD 是等腰三角形；（2）∵AD=BD ，E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E 作EH ⊥CD ，∵∠FED=90°，EH ⊥DF ，∴EH=EF⋅ED DF =125， ∴DH=√DE 2−EH 2=165， ∵△ECD 是等腰三角形，∴CD=2DH=325．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．11．如图，△ABC 中，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，M 为BC 的中点．（1）求证：ME=MF ；（2）若∠A=50°，求∠FME 的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=12BC ，MF=12BC ，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B 、C 、E 、F 四点共圆，根据圆周角定理得到答案．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，M 为BC 的中点，∴ME=12BC ，MF=12BC ， ∴ME=MF ；（2）解：∵CF ⊥AB ，∠A=50°，∴∠ACF=40°，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴B 、C 、E 、F 四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和四点共圆的知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB．【分析】取ED的中点O，连接AO，结合已知，可知∠EBC=∠D，OD=AO=OE，∠AOE=2∠D，即可推出∠ABD=∠AOB，所以DE=2AB=2OA．【解答】证明：取ED的中点O，连接AO，∵∠CAD=90°，∴OD=AO=OE，∴∠AOE=2∠D，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠D，∴∠AOE=2∠EBC，∵∠ABD=2∠EBC，∴∠ABD=∠AOB，∴AB=OA，∴DE=2AB=2OA．【点评】本题主要考查平行线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键在于作出斜边DE上的中线，求证OA=AB即可．13．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试判断点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一圆上？并说明理由．【分析】分别连接ME 、MF ，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME=MD=MC=MB ，可证得结论．【解答】证明：连接ME 、MD ，∵BD 、CE 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点，∴ME=MD=MC=MB=12BC ， ∴点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=MF=MC=MB 是解题的关键．14．如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE 于点G ．求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE ．【分析】（1）连接DE ，根据直角三角形的性质得到DC=DE ，根据等腰三角形的三线合一证明；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠EDB ，根据三角形的外角的性质证明．【解答】证明：（1）连接DE ，∵CE 是△ABC 的中线，∴DE 是△ABD 的中线，∵AD 是高，∴∠ADB=90°，又DE 是△ABD 的中线，∴DE=12AB=BE ， ∵DC=BE ，∴DC=DE ，又DG ⊥CE ，∴G 是CE 的中点；（2）∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∵DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ，∴∠EDB=2∠BCE ，∴∠B=2∠BCE ．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD=∠BAD=90°，AC ，BD 相交于点E ，G ，H 分别是AC ，BD 的中点．如果∠BEC=80°，求∠GHE 的度数为？【分析】连接AH 、CH ，利用直角三角形的性质可证得AH=CH ，利用等腰三角形的性质可求得GH ⊥AC ，则可求得∠GHE 的度数．【解答】解：如图，连接AH 、CH ，∵∠BAD=∠BCD=90°，H 为BD 的中点，∴AH=CH=12BD ， ∵G 为AC 的中点，∴GH ⊥AC ，即∠HGE=90°，∵∠BEC=80°，∴∠GEH=80°，∴∠GHE=10°．【点评】本题主要考查直角三角形的性质及等腰三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AH=CH 是解题的关键．16．如图，△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点．（1）求证：MN ⊥DE ；（2）连结DM ，ME ，求证：∠DME=180°﹣2∠A ；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC ，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．【分析】（1）连接DM 、ME ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=12BC ，ME=12BC ，从而得到DM=ME ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC +∠ACB=180°﹣∠A ，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD +∠CME ，然后根据平角等于180°表示出∠DME ，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC +∠ACB=180°﹣∠A ，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME +∠CME ，然后根据平角等于180°表示出∠DME ，整理即可得解．【解答】证明：（1）如图，连接DM ，ME ，∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 是BC 的中点，∴DM=12BC ，ME=12BC ， ∴DM=ME又∵N 为DE 中点，∴MN ⊥DE ；（2）∵DM=ME=BM=MC ，∴∠BMD +∠CME=（180°﹣2∠ABC ）+（180°﹣2∠ACB ），=360°﹣2（∠ABC +∠ACB ），=360°﹣2（180°﹣∠A ），=2∠A ，∴∠DME=180°﹣2∠A ；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC 中，∠ABC +∠ACB=180°﹣∠A ，∵DM=ME=BM=MC ，∴∠BME +∠CMD=2∠ACB +2∠ABC ，=2（180°﹣∠A ），=360°﹣2∠A ，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A ），=2∠A ﹣180°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，CF=12 AC．（1）DC=EF吗？说明理由；（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE的面积．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．【解答】解：（1）证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，∴CD=BD，∴∠B=∠DCE，∵∠FEC=∠B，∴∠FEC=∠DCE，∵点E是BC的中点，∴∠CED=90°，∴∠CED=∠ECF=90°，在△CDE和△ECF中，{∠CED =∠ECF =90°CE =EC ∠FEC =∠DCE∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴CF=DE ；（2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=8，∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE=12AC=3，CE=12， ∴S 四边形DCFE =3×4=12．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．18．如图，∠ACB=∠ADB=90°，M 、N 分别为AB 、CD 的中点．求证：MN ⊥CD ．【分析】连接CM 、DM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=DM=12AB ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】证明：如图，连接CM 、DM ，∵∠ACB=∠ADB=90°，M 为AB 的中点，∴CM=12AB ，DM=12AB ， ∴CM=DM=12AB ， ∵N 为CD 的中点，∴MN ⊥CD ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．19．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E 为AC 中点，点F 为BD 中点．求证：EF ⊥BD ．【分析】连接BE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=12AC ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明． 【解答】证明：如图，连接BE 、DE ，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E 是AC 的中点，∴BE=DE=12AC ， ∵点F 是BD 的中点，∴EF ⊥BD ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是AC 的中点，作∠ADB 的角平分线DE 交AB 于点E ，（1）求证：DE ∥BC ；（2）若AE=3，AD=5，点P 为线段BC 上的一动点，当BP 为何值时，△DEP 为等腰三角形．请求出所有BP 的值．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=12AC ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE ⊥AB ，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；（2）利用勾股定理列式求出DE 的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE ，然后分DE=EP 、DP=EP 、DE=DP 三种情况讨论求解．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，点D 是AC 的中点，∴BD=AD=12AC ， ∵DE 是∠ADB 的角平分线，∴DE ⊥AB ，又∵∠ABC=90°，∴DE ∥BC ；（2）解：∵AE=3，AD=5，DE ⊥AB ，∴DE=√AD 2−AE 2=4，∵DE ⊥AB ，AD=BD ，∴BE=AE=3，①DE=EP 时，BP=√42−32=√7，②DP=EP 时，BP=12DE=12×4=2， ③DE=DP 时，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF=BE=3，由勾股定理得，FP=√42−32=√7，点P 在F 下边时，BP=4﹣√7，点P 在F 上边时，BP=4+√7，综上所述，BP 的值为√7，2，4﹣√7，4+√7．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论．21．抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一点．①当PA +PC 最小时，求点P 的坐标；②当△PAC 是直角三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）求出直线BC 与对称轴的交点就是点P ．（3）分三种情形讨论：①当∠ACP 1=90°时，求出直线P 1C 为y=﹣13x +3即可．②当∠CAP 2=90°，求出直线AP 2为y=﹣13x ﹣13即可．③当∠AP 3C=90°时，作CE ⊥对称轴于E ，设P （1，k ），由△P 3CE ∽△AP 3F 得到CE P 3F =EP 3AF，即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A （﹣1，0）和C （0，3），代入y=﹣x 2+bx +c 得{−b +c =0c =3， 解得{b =2c =3． 故抛物线解析式为y=﹣x 2+2x +3．（2）①设直线BC 为y=kx +b ，直线BC 与对称轴的交点就是点P ．∵抛物线对称轴x=1，点B 坐标（3，0），则{3k +b =0b =3解得{k =−1b =3， ∴直线BC 为y=﹣x +3，与对称轴的交点为（1，2），∴点P 坐标（1，2）．②当∠ACP 1=90°时，∵直线AC 解析式为y=3x +3，∴直线P 1C 为y=﹣13x +3， ∴点P 1（1，83）． 当∠CAP 2=90°，直线AP 2为y=﹣13x ﹣13， ∴点P 2（1，﹣23）． 当∠AP 3C=90°时，作CE ⊥对称轴于E ，设P （1，k ）由△P 3CE ∽△AP 3F 得到CE P 3F =EP 3AF， ∴1k =3−k 2， ∴k=1或2，∴点P 坐标（1，1）或（1，2）．综上所述点P 坐标（1，1）或（1，2）或（1，83）或（1，﹣23）．【点评】本题考查二次函数性质、最小值问题、直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论思想，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．22．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E 在BC 上，点F 在AD 上，BE=EC ，AF=FD ．求证：EF ⊥AD ．【分析】连接AE ，DE ，由直角三角形斜边的中线是斜边的一半易得AE=DE=12BC ，由全等三角形的判定定理可得△AEF ≌△DEF ，由全等三角形的性质定理可得∠AFE=∠DFE=90°，即得出结论．【解答】解：连接AE ，DE ，∵∠BAC=∠BDC=90°，BE=EC ，∴AE=12BC ，DE=12BC ， ∴AE=DE ，在△AEF 与△DEF 中，{AE =DE EF =EF AF =FD，∴△AEF ≌△DEF （SSS ），∴∠AFE=∠DFE=90°，即EF ⊥AD ．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键．23．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．小尧同学思路如下：因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到MD=OD，…课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D 是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．【分析】根据直角三角形的性质得到MD=OD，得到∠DOM=∠DMO，根据三角形的外角性质得到∠PDM=2∠AOP，结合图形解答．【解答】证明：如图1，∵PM⊥OA，D是OP的中点，∴MD=OD，∴∠DOM=∠DMO，∴∠PDM=2∠AOP，同理，∠PDN=2∠BOP，∴∠MDN=∠PDM +∠PDN=2（∠AOP +∠BOP ）=2∠MON ，如图2，由1得，∠PDM=2∠AOP ，∠PDN=2∠BOP ，∴∠MDN=∠PDN ﹣∠PDM=2（∠BOP +∠AOP ）=2∠MON ．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．24．如图，BD 、CE 是△ABC 的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得DG=EG ，然后利用三线合一定理即可求得．【解答】证明：∵BD 是△ABC 的高，即∠BDC=90°，又∵G 是BC 的中点，∴DG=12BC ， 同理，EG=12BC ， ∴DG=EG ，∵F 是DE 的中点，∴FG ⊥DE ．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一定理，正确作出辅助线是关键．25．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．（1）求证：MN ⊥BD ；（2）在边AD 上能否找到一点P ，使得PB=PD ？请说明理由．【分析】（1）连接BM、CM，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=12AC，DM=12AC，根据等腰三角形的三线合一得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可．【解答】解：（1）连接BM、CM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴BM=DM，又N为BD的中点，∴MN⊥BD；（2）作线段BD的垂直平分线交AD于P，根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等可知，PB=PD．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．26．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且CD=12 AB，DE⊥CF于E．求证：CE=EF．【分析】连接DF ，根据直角三角形的性质得到DF=12AB ，根据题意得到DF=DC ，根据等腰三角形的三线合一证明结论．【解答】证明：连接DF ，∵AD 是边BC 上的高，CF 是边AB 上的中线，∴∠ADB=90°，AF=FB ，∴DF=12AB ，又CD=12AB ， ∴DF=DC ，又DE ⊥CF ，∴CE=EF ．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．27．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=6，CD=AC=8，M 、N 分别是对角线BD 、AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ．（2）求MN 的长．【分析】（1）连接AM 、CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=CM=BM=DM=12BD ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）利用勾股定理类似求出BD ，再求出AM 、AN ，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】（1）证明：如图，连接AM 、CM ，∵∠BAD=∠BCD=90°，M 是BD 的中点，∴AM=CM=BM=DM=12BD ， ∵N 是AC 的中点，∴MN ⊥AC ；（2）解：∵∠BCD=90°，BC=6，CD=8，∴BD=√BC 2+CD 2=√62+82=10，∴AM=12×10=5， ∵AC=8，N 是AC 的中点，∴AN=12×8=4， ∴MN=√AM 2−AN 2=3．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质与定理并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．28．如图所示，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，E ，F 分别是BD ，AC 的中点．（1）求证：AE=CE ；（2）判断EF 与AC 的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=12BD ，CE=12BD ，。
(完整版)三角形的中位线专题训练
三角形的中位线例题精讲例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值.例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：()12MF AC AB=-.例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且12CE CD=.求证：∠ACB=2∠B.FED CBA图1 图2 图3 图4 图5巩固基础练1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长等于( )A .1 B. 2 C. 4 D. 82. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE面积是△ABC'面积的( )A .12B.13C.14D.183. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF与AB+CD的关系是( )A .2EF AB CD=+ B. 2EF AB CD>+ C. 2EF AB CD<+ D. 不确定4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF的长为.图6 图7 图8 图9 图105. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG=.6.(呼和浩特市中考题)如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为.7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长.8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE.9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD.求证：CD=2EC.10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点.求证：(1)DE∥AB; (2)()12DE AB AC=+.提高过渡练1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是( )A. E P>FHB. EP=FHC. EP<FHD.不确定4. 如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为.5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.图11 图12 图13 图14 图156. 已知在△ABC中，∠B=600，CD、AE分别为AB、BC边上的高，DE=5，则AC的长为.7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.图16 图17 图18 图19 图20顶级超强练1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27 图28。
三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用(原卷版)
三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用【解题策略】三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段.在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.题型01三角形的高在求线段长中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，90,8,10,ACB AC AB CD ∠=°==是斜边的高，则CD =（ ）A ．3B ．4.2C ．4.8D ．5【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为 ．【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ； (2)求AE 的长．【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，CD 是斜边的高，则CD 的长为（ ）A ．245B ．125C ．5D ．10【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，6,5,4AB AD BC ===，则CE 的长为 ．【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，AD 为边BC 上的高，连接AE ．(1)当AE 为边BC 上的中线时，若6AD =，ABC 的面积为24，求CE 的长； (2)当AE 为BAC ∠的平分线时，若66C ∠=°，36B ∠=°，求DAE ∠的度数．题型02三角形的高在求角的度数中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC ∠交AC 边于E ，60BAC ∠=°，22ABE ∠=°，则DAC ∠的大小是（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．16°【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知ABC 中，50A ∠=°，AB ，AC 边上的高所在的直线交于H ，则BHC ∠=度． 【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在ABC 中，50ABC ∠=°，CE 为AB 边上的高，AF 与CE 交于点G ．若80∠=°AFC ，求AGC ∠的度数．【变式演练】【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在ABC 中，5525B C AD ∠=°∠=°，，是BC 边的高，AE 平分BAC ∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．12.5°B ．15°C ．17.5°D ．20°【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且38B ∠=°，74C ∠=°，则DAE ∠= ．【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC °∠=，70C ∠=°．(1)求EAD ∠的度数； (2)求BOA ∠的度数．题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用【典例分析】【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，,AE CD 是ABC 的高，5,3AE CD ==，则ABBC=（ ）A ．53B ．45C ．35D ．25【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 相交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F .若5AB =，4BC =，6AC =，则CE ：AD ：BF 的值为 .【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 与CE 是ABC 的高．(1)若7cm,10cm,8cm AB BC CE ===，求AD ； (2)若2,3,AB BC ABC ==△的高AD CE 的比是多少？【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在ABC 中，高2,4AD CE ==．则边:AB BC 是（ ） A ．1:2B ．2:1C ．3:1D ．1:3【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在ABC 中，2AB =，4BC =，ABC 的高AD 与CE 的比是 ．【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的中线，DE AC DF AB ⊥⊥，，E ，F 分别是垂足．已知2AB AC =，求DE 与DF 的长度之比．题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用【典例分析】【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC ∆中，2ABAC ==，P 是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若1ABC S ∆=，则PE PF +值为（ ）A ．1B ．1.2C ．1.5D ．2【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰ABC 中，4ABAC ==，30BAC ∠=°，D 是BC 上任意一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF +=．【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在ABC 中，2ABAC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．若6ABC S = ，求PE PF +的长．【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，连接AD ，过B 、C 两点分别作直线AD 的垂线，垂足为E 、F ，若8BC =，6AC =，9AD =，则BE CF +的值是（ ）A ．6B ．163C ．8D ．203【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在ABC 中，5ABAC ==，F 是BC 边上任意一点，过F 作FD AB ⊥于D ，FE AC ⊥于E ，若10ABC S =△，则FE FD +=．题型05三角形的中线在求线段长中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，ABC 中，159AB BC ==，，BD 是AC 边上的中线，若ABD △的周长为35，则BCD △的周长是（ ）A ．20B ．29C ．26D ．28【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，已知5cm AD =，6cm CE =，则ABC 的面积为 ．【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知ABC ，AD 是BC 边上的中线，且4AC =，若ABD △的周长比ACD 的周长大5，求AB 的长．【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若3AD =，6ABC S = ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在ABC 中，AD 为BC 边的中线．若ABD △与ADC △的周长差为3,8AB =，则AC = ．【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【典例分析】【例6】如图，ABC ∆中，AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且40ABC S ∆=，CM AD ⊥于M ． （1）ABD S ∆= ；（2）若5AE =，求CM 的长；（3）若BN AD ⊥交AD 的延长线于N ，求证：CM BN =．题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在ABC 中，DE BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若36FG DE ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的角平分线分别交ED 于点G ，F ，若4BE =，6CD =，3FG =．则ED 的长为 ．【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．(1)求证：DE BC ∥；(2)若65A ∠=°，45AED ∠=°，求EBC ∠的度数．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若37FG ED ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为 ．【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点，若40ADE ∠=°，求证：DE AB ∥．题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用【典例分析】【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，70B ∠=°，34C ∠=°，则DAE ∠=（ ）A ．18°B ．34°C ．20°D ．38°【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,若60,16B DAE ∠=°∠=°,则C ∠= ．【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，70C ∠=°，60∠°，求DAE ∠的度数．【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．若60BAC ∠=°，70C ∠=°，则EAD ∠的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，角平分线AE ，BF 相交于点O ，30BAE ∠=°，20DAC ∠=°，则AOB ∠ 的度数是 ．【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，若38B ∠=°，70C ∠=°．求AEC ∠和DAE ∠的度数．。
三角形中线练习题
三角形中线练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，若AB=5，AC=7，BC=9，求中线BD的长度。
A. 3√2B. 4√2C. 5√2D. 6√22. 三角形ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，若AG:GD=2:1，求GD:GC的比值。
A. 1:2B. 2:1C. 3:2D. 2:33. 在三角形ABC中，若中线BE平分角ABC，求角ABE的度数。
A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题4. 三角形ABC中，若中线AD的长度为7，且BD=5，则AC的长度为______。
5. 在三角形ABC中，若中线BE与AC的夹角为30°，且BE=6，求AC 的长度。
6. 三角形ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，若AG=4，DG=2，则G 是三角形ABC的______心。
三、计算题7. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,0)，B(4,0)，C(2,3)，求中线BD的长度。
8. 在三角形ABC中，若中线BE的长度为10，且BE平分角ABC，求BC 的长度。
9. 三角形ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，若AG=3，GD=1，求G 点到BC边的距离。
四、证明题10. 证明：在三角形ABC中，中线AD、BE、CF相交于一点G，若G是重心，则AG:GD=2:1。
11. 证明：在三角形ABC中，若中线AD、BE、CF相交于点G，且G是内心，则G点到三角形ABC三边的距离相等。
五、解答题12. 已知三角形ABC的边长分别为AB=6，AC=8，BC=10，求中线BD的长度，并说明中线BD的性质。
13. 在三角形ABC中，若中线BE平分角ABC，且BE=8，求角ABC的度数，并说明中线BE的性质。
14. 已知三角形ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，若G是三角形ABC的外心，求证G点到三角形ABC三边的距离相等。
六、综合题15. 已知三角形ABC的边长分别为AB=5，AC=7，BC=9，中线AD的长度为7.5，求证中线BD、CE、AF的长度相等，并求出它们的具体长度。
三角形中线与角平分线应用专题(一)
三角形中线与角平分线专题（一）1、中线与面积：例1：如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.图一图二图三例2：如图2，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且=16，则为.变式：如图3，=6，若==，则=______．例3：在如图3至图5中，△ABC的面积为a（1）如图3, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图4，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．2、倍长中线原则的应用：例1：(2012·通化)在△ABC中，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？练习：如图1，在ABC中，点D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，求证：BDE≌CDF．图一图二图三例2：如图2，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC 于F，AF=EF，求证：AC=BE．变式：如图3，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为ABC的角平分线.例3：如图4，已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，求证：BE+CF>EF．图四图五变式1：如图5，在RtABC中，A=，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？变式2：如图5，在ABC中，D是BC的中点，DEDF，如果，求证终极变式：(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE=．若AD=3，BE=4 ，则线段DE的长度为_________．。
专题 直角三角形斜边上的中线的运用(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 直角三角形斜边上的中线的运用【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD ＝5，则EF 的长为 ．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为 ．【变式1-2】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE ∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）A．2.5B．3C．3.5D．4【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）A．2B．3C．4D．【变式1-4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式1-5】（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB ＝∠ACB ＝90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AB ＝26，CD ＝24，则△DEF 的周长为（ ）A ．12B ．30C ．27D ．32【变式1-6】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线，交BC 于E ，连接CD ，AE ，CD ＝4，AE ＝5，则AC ＝（ ）A ．3B ．245C ．5D ．247【变式1-7】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，三角形DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于F ，BE ⊥AC 于E ，且点D 是AB 的中点，则AF ＝（ ）A B C D ．7【变式1-8】如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF ＝7，BC ＝10，则△EFM 的周长是（ ）A ．17B ．21C ．24D ．27【例题2】（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝62°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是BC 的中点，连接ED ，则∠EDB 的度数是 ．【变式2-1】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线，ED ⊥BC 于D ，交BA 延长线于点E ，若∠E ＝35°，则∠BDA 的度数是．【变式2-2】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝ °．【变式2-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=ACD＝（ ）A．15°B．30°C．22.5°D．45°【变式2-4】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝ 度．【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是 度．【变式2-6】（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（ ）A．5°B．10°C．20°D．30°【变式2-8】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E 在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．【例题3】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：（1）MD ＝MB ；（2）MN ⊥BD ．【变式3-1】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC 中，BE 平分∠ABC ，BE ⊥AF 于F ，D 为AB 中点，请说明DF ∥BC 的理由．【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC 的高BD 、CE 相交于点O ，M 、N 分别是BC 、AO 的中点，求证：MN 垂直平分DE．【变式3-3】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【变式3-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD 的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．【变式3-6】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．求证：∠CBA＝3∠CBE．【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【变式3-8】（2021•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=12 AC；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．【变式3-9】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）A．1.5B．1C．0.5D．2【变式4-1】（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F 是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）A．2B．3C．4D．5【变式4-2】（2022•金乡县三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．【变式4-3】如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt △ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）A．6B．7C．8D．9【变式4-4】（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF＝2，则DE的长为（ ）A．2B．1C D+1【变式4-5】（2021春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交△ABC 的外角∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论．【变式4-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．【变式4-7】（2022春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．（1）求证：DH＝EF；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．【变式4-8】（2021春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．。
三角形中线的应用
5月4日几何作业 学号： 姓名：主要内容：三角形中线的三个应用（周长、面积、中线倍长法构造全等三角形）；求作一点到两定点的距离和最小问题，利用截长法或者补短法证明一条线段等于两条线段的和的问题；一次全等两次全等问题。
1、在△ABC 中，∠B=24°，∠C=104°，求∠A 的平分线和BC 边上的高的夹角。
（先画图再计算）2、如图，已知BE=CD ，∠1=∠2。
求证；BD=CE 。
3、4、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，D 为AC 上一点，分别过C 、A 作 BD 的垂线，垂足为E 、F 。
求证：EF=CE －AF 。
如图所示，BE 是△ABD 的中线，AD=AB ，F 是BA 延长线上的一点，AB=2AF.（1）求证：△ABE ≌△ADF. (2) 探究BE 和DF 的关系12A B CED ED F A C5、如图，AB=CD ，AD=BC ，EF 过BD 的中点O ，求证OE=OF 。
（两次全等）6、AD 为△ABC 中BC 边上的中线，若AB=2，AC=4，求AD 的取值范围。
7、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证:AB ＝AC+BD.证法一：补短法 证法二：截长法 证明： 证明：B8. 如图：已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1=∠3，求证：AD平分∠BAC。
证明：9．已知：∠C+∠4=1800，∠D与∠1互余，∠A与∠2互余，求证：∠B+∠4=1800证明：10、如图，已知A、B两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水站到两村距离之和最小，问水站应该建在哪里？（在图中画出图形并加以证明）水站BA4321FED CBA探究题：1如图，已知A 、B 两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水站到两村距离之差最大，问水站应该建在哪里？（在图中画出图形并加以证明）2．沿虚线，画出四种不同的图案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形．水站BA。
知识专题1_三角形中线段的相关应用
《小专题1 三角形中线段的相关应用》类型1 三角形的三边关系1.已知一个三边都不相等的三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于___________2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，其周长为20，则AB边的取值范围为__________. 类型2 三角形高的应用3.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为__________.4.（等面积法的变式应用）（娄底中考改编）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？类型3 三角形中线的应用5.如图，已知BE=CE，ED为△EBC的中线，BD=8，△AEC的周长为24，则△ABC 的周长为__________.6.（广东中考改编）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG:GD=2：1.若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是___________.7.在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点（1）如图1，若S△ABC=1，则△BEF的面积为____________;（2）如图2，若S△BFC=1，则S△ABC=__________（提示：对比第（1）问，先作辅助线）类型4 三角形角平分线的应用8.（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，以AE为角平分线的三角形有____________.（2）如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线参考答案1.152.5<AB<103.90°或504.解：BE+CF的值逐渐减小5.406.47.（1）（2）48.解：（1）△ABC和△ADF（2）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE.∵∠1=∠2=15°，∴∠BAE=∠1+∠2=30，∴∠CAE=∠BAE=30°，即∠CAE=∠4+∠3=30°.又∵∠4=15°，∴∠3=15°.∴∠2=∠3=15°.∴AE是△DAF的角平分线。
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《小专题1 三角形中线段的相关应用》
1.已知一个三边都不相等的三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于___________
2.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，其周长为20，则AB 边的取值范围为__________.
3.已知AD 是△ABC 的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC 的度数为__________.
4.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B ，C 不重合），作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，在D 点的运动过程中，试判断BE+CF 的值是否发生改变？
5.如图，已知BE=CE ，ED 为△EBC 的中线，BD=8，△AEC 的周长为24，则△ABC 的周长为__________.
6.（广东中考改编）如图，△ABC 的三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG:GD=2：1.若S △ABC =12，则图中阴影部分的面积是___________.
7.在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点
（1）如图1，若S △ABC =1，则△BEF 的面积为____________;
（2）如图2，若S △BFC =1，则S △ABC =__________。
8.（1）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 是边BC 上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，以AE 为角平分线的三角形有____________.
（2）如图，若已知AE 平分∠BAC ，且∠1=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE 是△DAF 的角平分线
参考答案
1.15
2.5<AB<10
3.90°或50
4.解：BE+CF的值逐渐减小
5.40
6.4
）（2）4
7.（1
8.解：（1）△ABC和△ADF
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE.
∵∠1=∠2=15°，
∴∠BAE=∠1+∠2=30，
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∴∠CAE=∠BAE=30°，即∠CAE=∠4+∠3=30°. 又∵∠4=15°，
∴∠3=15°.
∴∠2=∠3=15°.
∴AE是△DAF的角平分线
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