《概率论与数理统计》第九章

第一类错误是：原假设H。符合实际情况，而检验 结果把它否定了，这称为弃真错误。
记 α＝p{拒绝H0/H0真} 第二类错误：原假设H。不符合实际情况，而检验 结果把它肯定下来了，这称为取伪错误。 =p {接受H0/H0假}
自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好。但对 于一定的样本容量n ，一般来说，不能同时做到犯这两类 错误的概率都很小，往往是先固定“犯第一类错误”的概 率，再考虑如何减小“犯第二类 错误”的概率。这类问 题超出本书的范围，因此不予介绍。
能否据此样本认为这批钢索的断裂强度为 800 ㎏/c㎡(α =0.05)? 解: （1）提出待检假设H。：μ =800 （2）根据H0选取统计量 在H0成立的条件下U~N(0,1)
U X μ0 σ0 n
(3)对于给定的检验水平α=0.05构造小概率事件 P{|U|>U }＝ 确定拒绝区域为|U|>U 2
“ ξ=0”分别表示“出现正面”和“出现反面”，上
述问题就是要检验ξ是否服从P=1/2的0-1分布？
例2 从1975年的新生儿中随机地抽取20个，测得 其平均体重为3160g,样本标准差为300g。而根据 过去统计资料，新生儿（女）平均体重为3140g。 问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异 （假定新生儿体重服从正态 分布）？ 若把所有1975年新生儿（女）体重视为一个总体， 用ξ描述，问题就是判断Eξ =3140是否成立？
2
(4)根据样本观察值计算统计量U的值
解:
（1）提出待检假设H。：μ =800
X μ0 （2）根据H0选取统计量 U σ0 n 在H0成立的条件下U~N(0,1) (3)对于给定的检验水平α=0.05构造小概率事件 P{|U|>U 2 }＝ 确定拒绝区域为|U|>U (4)根据样本观察值计算统计量U的值
(5) 下结论：
例3 从1975年的新生儿中随机地抽取20个，测得其平 均体重为3160g,样本标准差为300g。而根据过去统计资 料，新生儿（女）平均体重为3140g。问现在与过去的 新生儿（女）体重有无显著差异（假定新生儿体重服 从正态 分布）？（α＝0.01） 解：方差σ2未知的正态总体，检验期望μ (1) 提出待检假设H。: μ=μ0 ＝3140 （2）因而选取统计量
例3 在10个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行 品比试验，得如下资料（单位：kg） 甲 951 966 1008 1082 983
乙
730
864
742
774
990
假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米 有无显著差异? 从直观上看，二者差异显著。 但是一方面由于抽样的随机性，我们不能以个别值 进行比较就得出结论； 另一方面直观的标准可能因人而异。因此这实际 上需要比较两个正态总体的期望值是否相等？
2、非参数假设检验
X1， ，X n ~X， 总体分布未知, 由观测值x1, …, xn 检验假设H0：F(x)=F0(x;); H1： F(x)≠F0(x;)
iid
i.i.d
任何一个有关随机变量未知分布的假设称 为统计假设或简称假设。 一个仅牵涉到随机变量中几个未知参数的 假设称为参数假设。 这里所说的假设只是一个设想，至于它是否成 立，在建立假设时并不知道，还需要进行考察。
确定拒绝区域为|U|>U 2
若 |U|> μα/2 ，则否定H。； 若 |U|<μα/2 ，则不能否定H。一般情况就接受H。；
若 |U|= μα/2 ，或 |μ|与μα/2 很接近，为了慎重，
一般先不下结论，而要再进行一次抽样检验。
例 2 假定某厂生产一种钢索，它的断裂强度ξ （ kg/cm2）服从正态分布N( μ，402 ) 。从中选取 一个容量为9的样本，得 x =780 kg/cm2
H 0真

X μ σ n
~ N( 0， 1)
根据给定的检验水平α，查表确定分位数
U
2
2
使p{ U U } α， 确定拒绝域： U U
2
计算, 比较大小, 得出结论
例 1 根据长期经验和资料的分析，某砖瓦厂生产砖的 “抗断强度”ξ服从 正态分布，方差 σ2 =1.21。从该厂 产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下(㎏/㎡) ：
解:
（1）提出待检假设H。：μ =32.50
X μ0 （2）根据H0选取统计量 U σ0 n 在H0成立的条件下U~N(0,1) (3)对于给定的检验水平a=0.05构造小概率事件 P{|U|>U 2 }＝ 确定拒绝区域为|U|>U 2 (4)根据样本观察值计算统计量U的值
u x μ0 σ0 n ＝ 31.13-32.50 1.1 6 3.05
选取统计量 T X 0 S n X 0
S n ~ t ( n 1)

2

2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t 附表四： p{|t(n)|>t}=,
在H 0成立的条件下 : T
由p{|T|>t(n 1)} =, 得检验水平为的拒绝域为 |T|>t(n1),
关于方差未知的正态总体期望值 μ 的检验步骤 ： (1) 提出待检假设H。: μ=μ0 (μ0已知) （2）选取样本(Χ1,…,Χn )的统计量
U X μ0 σ0 n
在H。成立的条件下所选统计量U～N（0，1）
（3）根据给定的检验水平 α 查表确定临界值 Uα/2， 使P(|U|> Uα/2)= α ； 确定拒绝区域为|U|>U 2
(4)根据样本观察值计算统计量U的值并与临界值Uα/2比较；
(5)下结论：
P{|U|>U 2 }＝
这种作为检验对象的假设称为待检假设， 通常用 H0表示。比如， 例2中的待检假设为：H0：Eξ=3140
如何根据样本的信息来判断关于总体分布的 某个设想是否成立，也就是检验假设H0成立 与否的方法是本章要介绍的主要内容。
二、假设检验的基本思想： 用置信区间的方法进行检验，基本思想是这样的： 首先设想H0是真的成立：然后考虑在H0成立的条件 下，已经观测到的样本信息出现的概率。如果这个 概率很小，这就表明一个概率很小的事件在一次试 验中发生了。而小概率原理认为，概率很小的事件 在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是说导出 了一个违背小概率原理的不合理现象。这表明事先 的设想H0是不正确的，因此拒绝原假设H0 。否则， 不能拒绝H0 。
第九章
假设检验
§9.1假设检验的基本概念 §9.2两类错误 §9.3 一个正态总体的假设检验 §9.4 两个正态总体的假设检验
§9.1假设检验的基本概念和思想 一、基本概念 (一) 两类问题
1、参数假设检验
X1， ，X n ~ f ( x； )， ， 总体分布已知, 参 数未知, 由观测值x1, …, xn检验假设 H0：=0； H1：≠0

2 a

2 b
＝
2 a
2 1
2
2 2 b＝
2
2 由p{ 2 <χ 2 (n 1 ) 2 >χ (n 1 )} α 1 2 2
得水平为的拒绝域为
<
2
2 1 / 2
(n 1)或 > / 2 (n 1)。
2 2
2 2 0 2 2 0
对一个样本进行考察，从而决定它是否能合理 地被认为与假设相符，这一过程叫做假设检验。 判别参数假设的检验称为参数假设检验。检验是 一种决定规则，它具有一定的程序，通过它来对假 设成立与否作出判断。
例1 抛掷一枚硬币100次，“正面”出现了40次， 问这枚硬币是否匀称？ 若用ξ描述抛掷一枚硬币的试验，“ξ=1”及
2 2 H 0： 2 0；H1： 2 0。 iid
假定未知, 双边检验:对于假设
H 0： ；H1：
2 2 0 2
2
2 0
(n - 1 )S 2 在H 0成立的条件下 ~ χ 2 (n 1 ) 2 σ0
2 2 a 2 2 b
由p{ <χ (n 1 ) >χ (n 1 )} α
下面将通过具体例子，给出检验规则
单正态总体的假设检验
iid
1、2已知的情形—U检验
值 x1， ，xn检验假设H 0： 0；H1： 0。
设X1， ，X n ~N ( ， 2 ), 给定检验水平，由观测
根据假设H0：=0；H1：0, 构造统计量
U
X μ0 σ n
780-800 = 1.5 40 3 σ0 n 查表确定分位数 U 2 =U 0.05 2 =1.96 u ＝ x μ0
2
∵|u|=1.5<1.96=U0.025
(5)结论：接受H0 即可以认为这批钢索的断裂强度为800 ㎏/c㎡。
2、2未知的情形— T检验 双边检验:对于假设 H0：=0；
对于单边问题H 0： ；H1： ， 可解得拒绝域： > (n 1)。
2 2
例4 某炼铁厂的铁水含碳量ξ在正常情况下服从正态分布。 现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得 含碳量数据如下： 4.421 4.052 4.357 4.287 4.683 据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1082（ α＝0.05）。
至于什么算是“概率很小”，在检验之 前都事先指定。比如概率为 5%，1%等，一 般记作α。 α是一个事先指定的小的正数，称为显著性 水平或检验水平。
§9.2 两类错误
由于人们作出判断的依据是一个样本，也就是由部 分来推断整体，因而假设检验不可能绝对准确，它也可 能犯错误。其可能性的大小，也 是以统计规律性为依据 的，所可能犯的错误有两类。
查表确定分位数 U 2 =U 0.05 2 =1.96
∵|u|=3.05>1.96=u0.025 (5)结论：拒绝H0 即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 ㎏/㎡。