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高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
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并集 A B ： A B {x | x A或x B} 交集 A B ： A B {x | x A且x B} 差集 A \ B ： A \ B {x | x A且x B} 全集 I 、E 补集 AC ：
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律、 A B B A A B B A
3、 区间和邻域
开区间 (a, b)
闭区间 a,b 半开半闭区间 a,b a,b
有限、无限区间
邻域：U (a) U(a, ) {x a x a }
a 邻域的中心
邻域的半径
去心邻域 U (a, )
左、右邻域
二、映射
1. 映射概念
定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中
1） 0 N n N (xn a)
2） 0 N n N xn O(a )
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没
有关系。
二、收敛数列的性质
定理 1：如果数列 xn 收敛，那么它的极限是唯一
定理 2 如果数列xn 收敛，那么数列xn 一定有界
定理
3：如果
lim
x
x x0
形式定义为：
0 x(0 x x0 ) f (x) A
注：左、右极限。单侧极限、极限的关系
2、 x 的极限
设： y f (x) x (,) 如果当时函数值 有一个总趋势------该
曲线有一条水平渐近线 y A-----则称函数在无限远点 有极限。记为：
lim f (x) A
的每一个元素 x ，按法则 f ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，
则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作
f：X Y 其中 y 称为元素 x 的像，并记作 f (x) ，即 y f (x)
(word完整版)高等数学(上册)第二章教案
第二章、一元函数微分学及其应用教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
所需学时：24学时（包括：22学时讲授与2学时习题）第一节：导数的概念及其基本求导公式1、引入（切线与割线）在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x 是时间t 的函数，y=f （x ），求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 0有增量△t 时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t 的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t 0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t 0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t 无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 0时的瞬时速度，为此就产生了导数的定义，如下： 2、导数的定义定义：设函数y=f （x ）在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x 在x 0处有增量△x(x+△x 也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y 与△x 之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f （x ）在x 0处的导数。
高等数学(上) 第2版教案4.2.1
教 案任课教师：序号授课日期学生年限 高中后三年制 班级 项目（章节） 第4.2节 换元积分法（1）授课时数2教学目标 与要求 会用第一换元积分法（凑微分法）求简单不定积分。
教学难点 与重点 重点：第一换元积分法（凑微分法）的应用。
难点：凑微分法的正确、灵活运用。
教学方法 和手段 课堂教学，讲授为主，习题为辅。
作 业习题4-2教学内容及过程时间分配 一、课程导入：复习：原函数的定义、不定积分的定义、基本公式、几何意义、基本性质；应用直接积分法求简单函数不定积分。
引言：用直接积分法能计算出的不定积分是很有限的，因此需要学习一些新的积分方法，换元积分法就是利用数学中常用的变量代换来求解不定积分的方法。
引例：1.求⎰=?5dx e x解：由基本公式得⎰+=C e dx e xx ，那么是否也有⎰+=C edx e xx 55呢？因为x x xe e C e5555)(≠='+，所以⎰+=C e dx e x x 是错误的。
我们尝试用下面的方法：⎰⎰⎰⎰+====C e du e u x x d e dx e dx e uu x x x 51515551551555令 C e x u x +=5515回代经验证，xx e C e 55)51(='+，所以这种方式和结果是正确的.二、主要内容：第一换元积分法定义：一般地：若)(u F 是)(u f 的原函数，即)()(u f u F ='，则⎰+=C u F du u f )()(当)(x u ϕ=时，根据一阶微分形式不变性，有⎰⎰⎰='du u f u x x d x f dx x x f )()()]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕ令凑微分C x F x u C u F +=+=)]([)()(ϕϕ回代积分用这种方法计算不定积分，就称为第一换元积分法，又称凑微分法，其中关键的一步就是凑微分。
例2： 例3： 例4：⎰+dx x 8)32( dx xe x ⎰2⎰dx xx )cos(ln 解题思路：被积函数可以变为两部分，一部分用来被积（较复杂的），即f(u)；一部分用来凑微分，凑du;把整个积分变为某一积分公式的“形式”，这种能够马上观察出来的能力来自对微积分基本公式的熟练掌握。
(完整word版)高等数学教案
高等数学教案教 学 过 程§3 函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x 无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x0 时, f(x)以A 为极限. 记作 0lim x x →f(x)A 或f(x)→A(当x →0x ).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ时, |f(x)-A|<ε .2. 单侧极限:若当x →x0- 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f(0x -)=A ;若当x →x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f(0x +)=A .3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε, 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x|>X 时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A 叫做函数f(x)当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f(x)→A(x →∞). A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论:A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .y y =x -1 -1 1 y =x +1 xO教 学 过 程§4 无穷大与无穷小.无穷大与无穷小1. 无穷小定义：如果函数f(x)当x →x0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n →∞时的无穷小.例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x0(或x →∞)中, 函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设Ax f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ时, 有|f(x)-A|< .令α=f(x)-A , 则α是x →x0时的无穷小, 且f(x)=A +α .这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f(x)=A +α , 其中A 是常数, α是x →x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|α|.因α是x →x0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|< 或|f(x)-A|这就证明了A 是f(x) 当 x →x0时的极限.简要证明: 令α=f(x)-A , 则|f(x)-A|=|α|.如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有f(x)-A|,就有|α|< ; 反之如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|<,就有f(x)-A| .这就证明了如果A 是f(x) 当 x →x0时的极限, 则α是x →x0时的无穷小; 如果α是x →x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x →x0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形. 例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 2. 无穷大定义：如果当x →x0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x(或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x0(或x →∞)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明: 如果0)(lim 0=→x f x x , 且f(x)≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f(x)≠0, 从而M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x0时的无穷大.如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时,有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小.简要证明:如果f(x)→0(x →x0)且f(x)≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|<ε , 即, 所以f(x)→∞(x →x0). 如果f(x)→∞(x →x0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|>M , 即, 所以f(x)→0(x →x0).教 学 过 程§5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A , lim g (x)=B , 那么(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)⋅g(x) = lim f (x) ⋅ lim g (x) =A ⋅B ;(3)B Ax g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x)=A , lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A +α,g (x)=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x) ±g (x)=(A +α) ± (B +β) =(A ± B) +(α± β),即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(α± β)之和. 因此lim [f (x) ± g (x)] =lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .定理2 如果(x)≥(x), 而lim (x)=a , lim ψ(x)=b , 那么a ≥b . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x)]=c lim f (x).推论2 如果lim f (x)存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x)]n =[lim f (x)]n .例3. 求93lim 2 3--→x x x .教 学 过 程§6 极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限 1. 夹逼准则准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn ≤xn ≤zn(n 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)ay n n =∞→lim ,az n n =∞→lim ,那么数列{xn }的极限存在, 且ax n n =∞→lim .证明:因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因yn ≤xn ≤zn , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了ax n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时，有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x);(2) lim g(x)=A , lim h(x)=A ; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A .第一重要极限：1sin lim 0=→xx x证明 首先注意到, 函数x xsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB x (0<x <2 π). 显然 sin x CB , x ⋂AB , tan x AD .因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x ,即 sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<x x x .注意此不等式当2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOBx (2 0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x ,从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要(x)是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u(x), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u .1sin lim 0=→xx x1)()(sin lim=x x αα((x)→0)2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限.如果数列{x n}满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n 1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n 1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n}满足条件x n ≤x n 1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.O CADB 1 x准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II , 可以证明极限nn n )11(lim +∞→存在.设nn n x )11(+= 现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式, 有nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n )11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n < x n +1 ,这就是说数列{xn}是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x第二重要极限：根据准则II , 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即en n n =+∞→)11(lim .我们还可以证明ex x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e 2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y e x 以及对数函数y ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要(x)是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e x x x =+∞→)11(lim , ex x =+)(1)](1lim[αα((x)→0).例3. 求xx x )11(lim -∞→.解: 令t x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x)11(lim -∞→tt t -∞→+=)11(lim e t t t 1)11(1lim=+=∞→.教 学 过 程§8 函数的连续性函数的连续性 1. 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u2u1.设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0x 时, 函数y 相应地从f(x0)变到f(x0x), 因此函数y 的对应增量为y f(x0x) f(x0).2. 函数连续的定义设函数y f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量x x x0趋于零时, 对应的函数的增量y f(x0x) f(x0 )也趋于零, 即 0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y f(x)在点x0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设xx0+x , 则当x →0时, x →x0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x0|< 的一切x , 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|< ,那么就称函数y f(x)在点x0处连续.3. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y f(x)在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y f(x)在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数y f(x)在点x0处连续⇔函数y f(x)在点x0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.4. 连续函数举例:1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(∞, ∞)内是连续的. 这是因为, f(x)在(∞, ∞)内任意一点x0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数x x f =)(在区间[0, ∞)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(∞, ∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(∞, ∞)内任意一点. 则有y =sin(x +x)-sin x)2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(∞, ∞)内是连续的.函数的间断点 1. 间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但limx x →f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0lim x x →f(x)存在, 但0limx x →f(x)≠f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1. 正切函数ytan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2.函数x y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x 0是函数x 1sin 的间断点. 当x →0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数x 1sin 的振荡间断点. 例3. 函数112--=x x y 在x1没有定义, 所以点x 1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x1时y 2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点.例4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x 1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f(x)的跳跃间断点.2. 间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1. 连续函数的和、积及商的连续性 定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)⋅g(x),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→.根据连续性的定义, f(x)±g(x)在点x0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y =f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2 ,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成,gf D x U⊂)(0. 若)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f(u)在0u 连续, 则)()(lim )][lim 00u f u f x g f u u x x ==(→→.简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|f[g(x)]-f(u0)|<ε .因为f(u)在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u0|<η 时, 有|f(u)-f(u0)|<ε .又g(x)→u0(x →x0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|g(x)-u0|<η. 从而 |f[g(x)]-f(u0)|<ε . (2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 0x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f[g(x)]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 0u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g(x),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=.把定理5 中的x →x0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim23--→x x x .解93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=.提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续 =g(x0)定理4 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成, U(x0)⊂Df og . 若函数u =g(x)在点x0连续, 函数y =f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y =f[(x)]在点x0也连续. 证明: 因为(x)在点x0连续, 所以limx x →(x)=(x0)=u0.又y =f(u)在点u =u0连续, 所以 0limx x →f[(x)]=f(u0)=f[(x0)].这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续.例4. 讨论函数x y 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及x u 1=复合而成的. sin u 当-∞<u<+∞时是连续的,x 1当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的,根据定理4, 函数x 1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的.2、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数ax (a>0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ≠1)作为指数函数ax 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x 的定义域随的值而异, 但无论为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则y =x =xa a log μ, 因此, 幂函数x 可看作是由y =au , u =logax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点, 则limx x →f(x)=f(x0).例5求21lim x x -→解 初等函数f(x)=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x .例6求xx sin ln lim 2π→解 初等函数f(x)=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x .例7. 求x x x 11lim 20-+→.解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x02011lim 20==++=→x x x .例8. 求x x a x )1(log lim0+→.教 学 过 程§1 导数概念一、 导数概念 1. 引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: S =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--,这个比值可认为是动点在时间间隔t =t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样:令t =t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令△x =x -x 0, 则△y =f (x 0+△x )-f (x 0)=f (x )-f (x 0), x →x 0相当于△x →0, 于是0)()(limx x x f x f x x --→成为xyx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量△x (点x 0+△x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0); 如果△y 与△x 之比当△x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f xyx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(0000,也可记为0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. 2. 导函数的定义式:xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(limhx f h x f h )()(lim-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系:A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00.三、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→hC C h . 即(C ) '=0.例2 求xx f 1)(=的导数解 hxh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3求x x f =)(的导数解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→ 例4．求函数f (x )x n (n 为正整数)在x a 处的导数.解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2⋅ ⋅ ⋅a n 1)=na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n 1, 即 (x n )'=nx n 1. (C )'=0, 21)1(xx-=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .例5．求函数f (x )sin x 的导数.解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h a a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==.特别地有(e x )′=e x .例7．求函数f (x )log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x hx f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(0-+=-+='→→h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a ah log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='.ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.1．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→都存在且相等.f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.2．导数与左右导数的关系:函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '(x 0) 和右导数f '(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '(a ) 和左导数f '(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. 例8．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f '(0)≠ f '(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f '(x 0)=tan , 其中是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x xk , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4xy 40. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x8y150.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-.根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.五、函数的可导性与连续性的关系设函数yf (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x yx xy y x x x x .这就是说, 函数y f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(∞, ∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.x(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )'=u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-5x 2)'+3x )'-7)'= 2(x 3)'- 5x 2)'+ 3x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2.2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '.解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.解: xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax aa a x y ya ln 1ln 1)(1)(log =='='.到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [(x )]也是常数, 此时导数为零,结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f xy ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ).简要证明x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u yx u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dxdy.解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xx y +=, 求dx dy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的,因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy .解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dyx x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy.解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ),v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy.解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．x e y 1sin =, 求dxdy.解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x xxe x x 1cos 11sin2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x )'= x -1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos xx --='.(15) 211)(arctan xx +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u vu '-'='. 反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dxdy1=.复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有(ch x )'=sh x . 例17. 求双曲正切th x 的导数解因为x x x ch sh th =, 所以xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数解 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='.类似地可得11)arch (2-='x x 211)arth (x x -='例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .教 学 过 程§4 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dxyd ,即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]'，)(22dxdydx d dx y d =.相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数 y '' y ''' y (4) ⋅ ⋅ ⋅ y (n )都称为高阶导数例1．y ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin t , 求s ''.解: s '=cos t , s ''=-sin t . 例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x xxx x y --=--=',22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,)24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )1, y ''=-(1+x )2,y '''(-1)(-)(1-x )3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )4, 一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(n -1)(1-x )n nn x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例7．求幂函数y =x (是任意常数)的n 阶导数公式.解: : y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .教 学 过 程§5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y e x yy +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3.求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x .从而 yx y 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k .所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得。
高等数学电子教案word
高等数学电子教案word一、教学内容二、教学目标1. 理解微分方程的基本概念，掌握微分方程的定义及常见类型。
2. 学会解可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程和伯努利方程。
3. 能够运用微分方程解决实际问题，提高数学素养。
三、教学难点与重点重点：微分方程的定义、常见类型的解法。
难点：一阶线性微分方程和伯努利方程的求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景，如人口增长模型，引出微分方程的概念。
2. 知识讲解：（1）微分方程的基本概念及分类。
（2）可分离变量的微分方程的解法。
（3）齐次方程的解法。
（4）一阶线性微分方程的解法。
（5）伯努利方程的解法。
3. 例题讲解：（1）解可分离变量的微分方程：dy/dx = x/y。
（2）解齐次方程：dy/dx = (y/x)。
（3）解一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
（4）解伯努利方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。
4. 随堂练习：（1）求解微分方程：dy/dx = sin(x)cos(y)。
（2）求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2。
六、板书设计1. 微分方程的基本概念及分类。
2. 各类微分方程的解法。
3. 例题及解答。
4. 随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求解微分方程：dy/dx = 1/y。
（2）求解微分方程：dy/dx 3y = 2x。
（3）求解微分方程：dy/dx + 4y = 3x^2y^2。
2. 答案：（1）y = ln|x| + C。
（2）y = (1/3)x^3 x + C。
（3）y = 1/(x^3 + C)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生了解微分方程的实际应用，提高学习兴趣。
讲解过程中，注意引导学生掌握各类微分方程的解法，培养其解决问题的能力。
高等数学教育教案(电子版)
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程
再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1
x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后，将初始条件代入，解得关系式：
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h
设
t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
高等数学上册教案
高等数学上册教案一、第一章：函数与极限1.1 函数定义：函数是一种关系，使一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。
性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限极限的定义：当自变量x趋近于某一值a时，函数f(x)趋近于某一值L，即lim(x →a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理、单调有界定理等。
1.3 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋近于0时，函数f(x)趋近于0。
无穷大的定义：当自变量x趋近于某一正无穷大值时，函数f(x)趋近于正无穷大或负无穷大。
1.4 极限运算法则极限的四则运算法则：lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，lim(x →a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)(1/g(x))。
极限的复合运算法则：lim(x→a)(f(g(x)))=lim(x→a)g(x)lim(x→a)f(g(x))。
1.5 极限存在的条件介值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=L1，f(b)=L2，对于任何介于L1和L2之间的实数L，都存在c∈(a,b)，使得f(c)=L。
单调有界定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上单调且有界，lim(x→a)f(x)和lim(x →b)f(x)都存在且相等。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h。
导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点处的切线斜率。
2.2 导数的计算法则基本导数公式：常数c的导数为0，x的导数为1，常数倍函数的导数等于常数乘以原函数的导数，幂函数的导数等。
和差、积、商的导数法则：和差函数的导数等于各函数导数的和差，积函数的导数等于原函数的导数乘以另一函数，除函数的导数等于除函数的导数乘以被除函数减去除函数，再除以被除函数的平方。
高等数学电子教案word
高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
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《高等数学》
授课教案
2008 ～2009 学年第一学期
教师姓名：李石涛
授课对象：1.化学工程与工艺0801－0803，应用化学0801，0802
2.高分子材料工程0801，0802；环境工程0801，0802 授课学时： 128/64
选用教材：《高等数学》大连理工大学出版社
史俊贤主编 2005 / 8 第一版
基础部数学教研室
沈阳工业大学教案
第 5 周授课日期08.9.23
沈阳工业大学教案
第 5 周授课日期08.9.25
沈阳工业大学教案
第 6 周授课日期08.9.30
沈阳工业大学教案
第 6 周授课日期08.10.2
沈阳工业大学教案
第7 周授课日期08.10.7
沈阳工业大学教案
第7 周授课日期08.10.9
沈阳工业大学教案
第8 周授课日期08.10.14
沈阳工业大学教案
第8 周授课日期08.10.16
沈阳工业大学教案
第9 周授课日期08.10.21
沈阳工业大学教案
第9 周授课日期08.9.23
沈阳工业大学教案
第10 周授课日期08.10.28
沈阳工业大学教案
第10 周授课日期08.10.30
沈阳工业大学教案
第11 周授课日期08.11.4
沈阳工业大学教案
第11 周授课日期08.11.6
沈阳工业大学教案
第12 周授课日期08.11.11
沈阳工业大学教案
第12 周授课日期08.11.13
沈阳工业大学教案
第13 周授课日期08.11.18
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第13 周授课日期08.11.20
沈阳工业大学教案
第14 周授课日期08.11.25
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第14 周授课日期08.11.27
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第14 周授课日期08.11.28
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第15 周授课日期08.12.2
沈阳工业大学教案
第15 周授课日期08.12.4
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第16 周授课日期08.12.9
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第16 周授课日期08.12.12
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第17 周授课日期08.12.16
沈阳工业大学教案
第17 周授课日期08.12.18
沈阳工业大学教案
第17 周授课日期08.12.19
沈阳工业大学教案
第18 周授课日期08.12.23。