二次函数动点的面积最值问题优质课
二次函数动点面积最值问题
二次函数最大面积例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间练习1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。
_ ___________________________________________ 2(1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀t的取值范围。
(2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。
A开始沿QBB边向点B以A2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。
2求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变量x的取值范围。
C3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。
(1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。
1(2 )当y= cm时，求x的值。
44如图所示，边长为在线段记CD(1)过ADPBB1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E,连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为t o1当t=丄时，求线段DE3如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式S,那么S是否以及此时(2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值；若不存在，请说明理由。
2 2(3)当OD DE的算术平方根取最小值时,(4)求点E的坐标。
二次函数最大面积交ABD BE能力提高例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动，(1)(2) t秒时梯形I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm当t=4时，求S的值。
《用二次函数求几何面积的最值 公开课 获奖课件(免费下载)
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用 的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件， 分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次 函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
1.必做:完成教材P20练习T1（2）（4）（6）, T3 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的 ，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样 一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱 笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得 她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样 一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成 绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
yòu shuāng ruò zhuó 又双叒叕
huǒ yán yàn yì
附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2020年“名师杯”全国教师公开 课大奖赛获奖作品
1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
3、世界会向那些有目标和远见的人让路。
4、必须从过去的错误学习教训而非依赖过去的成功。
5、美丽的花虽然会凋谢，可是盛开的时刻值得欣赏。要在美 好的时候创造出美好的东西，人生才会充满意义。
二次函数中动点图形的面积最值
图1：铅垂高CD为：6-2.5=3.5
(4,2)
图2：铅垂高CD为：2-（-1.5）=3.5
X轴
(4,-2) 图3：铅垂高CD为：-2-（-5.5）=3.5
图3 (-3,-5)
(0,-5.5)
水平宽：4-（-3）=7
(4,-6)
二、试题解析
变式2
A
C
D
B 水平宽a=6
交点三角形 顶点三角形
选择坐标轴上的边作为底边
二、试题解析
例题：如图二次函数
y 1 x2 4 x 4 33
与x轴交于点C，与y轴交于
点A，过点A作一条直线与x轴平行，与抛物线交于点B.
(1)求直线AC的解析式；
(2)连接BC，求ΔABC的面积.
SABC
1 2
AB • CD
1 2
44
8
D
二、试题解析
变式1： 若抛物线的顶点为B，求ΔABC的面积.
SABC SOAB SOBC SOAC
二、试题解析
变式2
若点B是线段AC下方的抛物线上的动点，那么，ΔABC
的面积有最大值吗？如果有，请求出最大面积和此时
点B的坐标.
SABC SABD SCBD
F
C
1 BD • AE 1 BD • CF
二次函数中动点图形的面积问题
2020/4/13
一、学前准备
1、如图，抛物线 y=-x2 +2x+3 与x 轴交于点A和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ．
则点A坐标为
，
点B坐标为
，
点Ｃ坐标为
，
ΔＡＢＣ的面积为
,
顶点坐标为
，对称轴为＿＿＿＿＿＿＿,
二次函数综合(动点)问题——四边形面积最值存在问题培优教案(横版)
教学过程一、课堂导入在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），问题：这是在平面直角坐标系那章我们经常遇到的求四边形面积的题目，这类问题相信大家都有不同的解题方法，在二次函数这一章，我们依然要研究四边形的面积，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线(直线、坐标轴等)上求作一点，使得四边形面积最大并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
二次函数动点的面积最值问题
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二次函数动点的面积最值问题
利用二次函数求以动态几何为背景的最值问题， 是中考中的一类重要题型，常作为中考的最后一 个大题，分值一般为9—12分，显然是非常重要 的知识。 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面 图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积 问题，是抛物线与直线的重要结合，解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、 等积变形、等比转化等数学方法，充分体现数形 结合的数学思想！
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二次函数动点的面积最值问题
教学目标：1.学会用代数法表示与函数图象相关的 几何图形的面积最值问题。 2.能用函数图象的性质解决相关问题 教学重点：二次函数中动点图形的面积最值的一般 及特殊解法 教学难点：点的坐标的求法及最值问题的解决
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一、学前准备
2、观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
交点三角形
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A B
(x 3)2 9
0 x 6 当x 3时，Smax 9
水平宽a=6
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四、练习
(2016•娄底)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、 c为常数，a≠0）经过点A(﹣1，0)， B(5，﹣6)，C(6，0)．
（1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物 线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
明理由.
由例题可知：点A（0，-4），点C（6,0）
直线AC： y 2 x 4
3
设点B（x, 1 x2 4 x 4),则点D（x, 2 x 4)
C
BD
(23ຫໍສະໝຸດ x4)3(1
x2
《利用二次函数求几何面积的最值问题》PPT课件
夯实基础
5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x ＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5， 最小值1，则m的取值范围是 __－__4_≤_m_≤_－__2____．
夯实基础
6．已知一个直角三角形两直角边边长之和为20 cm， 则这个直角三角形的最大面积为( B ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
整合方法
解：如图： 设裁掉的正方形边长为x dm， 由题意可得 (10－2x)(6－2x)＝12， 即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)． 答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
整合方法 (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并 将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元， 底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大 时，总费用最低，最低为多少？
夯实基础
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的 长方形，a的值不可能为( D ) A．20 B．40 C．100 D．120
夯实基础
8．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边 AD 上找一点
E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE 的长，当
剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选在( A )
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
探究培优
14．【中考·南宁】如图①，为美化校园环境，某校 计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地 上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的 空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m. (1)用含a的式子表示花圃的面积．
二次函数中的面积问题优秀教案
二次函数专题--面积问题二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用,其本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,二次函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.二次函数既是初中数学的核心内容、重要的基础知识，也是初中与高中知识衔接的重要部分.它与数学其他知识有着更为广泛的联系.因此成都市的中考数学试题的压轴题都是以二次丽数为题材设置的二次丽数综合题.二次兩数综合题除了考查二次丽数的相关的基础知识外，还特别注重考查考生的分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题,常涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识,是中考命题的热点.备受命题者的青睐。
【知识回顾】1、二次函数)0(2≠++=acbxaxy图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22，当0>a时，当abx2-=时，=最小值y；当0<a时，当abx2-=时，=最大值y；2、“铅垂高，水平宽”面积法三角形面积：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．【课前热身】1、已知二次函数1632+--=xxy，当=x时，=最大值y。
2、如图，二次函数342+-=xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点是D，则=∆DCBS。
【例题精讲】例1如图，抛物线322++-=xxy与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC。
使得△PBC 面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．变式1 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．过点P 作PH⊥CB 交CB 于H 点，求PH 最大值及此时P 点坐标。
二 次 函 数 综 合——动点、面积最值问题
自主练习
已知：抛物线 y ax2 bx c(a 0)
的对称轴为 x 1，与 x 轴交于
A，B两点，与 y 轴交于点C，其
中A(-3,0),C(0,-2) 1.求这条抛物线的函数解析式 2.已知在对称轴上存在一点P， 使得 PBC的周长最小，请求出 点P的坐标
已知：抛物线 y ax2 bx c(a 0)的对
经过点O（0,0）
x （1）.求 m的值和抛物线与
轴的另一个交点A的坐标
（2）.用配方法求该抛物线 的顶点B的坐标
（m=3, y x2 4x ）
B(2,4)
2.已知：
如图，抛物线 y x2 4x m 3
经过点O（0,0） （3）.若点P是位于该抛物线 点B至点A之间的一个动点， 则四边形OBPA的面积S能否等 于10？若能，请求出点P的坐 标；若不能，请说明理由
称轴为 x 1 ，与 x 轴交于A，B两点，
与 y 轴交于点C，其中A(-3,0),C(0,-2)
3.在2的条件下，若点D是线段OC上一个 动点。过点D作DE ∥PC交轴于点E，连 接PD,PE，设CD的长是m ,△PDE的面积 为S，求S与m之间的关系式，试说明S是 否存在最大值，若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由
1.如图，二次函数 y ax2 bx
的图像经过点B(2,4)与A（6,0） （2）.点C是该二次函数图像
C
上A,B两点间的一动点，横坐
标为 （x 2<x<6）,写出四边形
OACB的面积S关于点C的横坐标 x 的函数表达式，并求S的最大
值 S = x2 8x,16
跟踪练习
2.已知：如图，抛物线Fra biblioteky x2 4x m 3
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顶 点三 角 形
选择坐标轴上的边作为底边
二、重点知识
SABC SABD SCBD
F
C
1 BD • AE 1 BD • CF
2
2
1 BD( AE CF ) 2
D
铅垂高 推导公式：
A
E
B
SABC
1 2
ah
水平宽a
三、试题解析
若点B是线段AC下方的抛物线 y 1 x2 4 x 4上的动点，如果三 角形ABC有最大面积，请求出最大面积3 和此时点3 B的坐标；如果没有，请说
过程精讲
【解答】解：
（1）设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0)，
把B (5，﹣6)代入a(5+1)(5﹣6)=﹣6，a=1，
D
∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6。
（2）如图1，过P向x轴作垂线 交AB与点D，交X轴于M 设P（m，m2﹣5m﹣6），有A （-1，0），B （5，﹣6）， 得YAB=-x-1 则D（m，﹣m﹣1） ∴PD= ﹣m﹣1- （ m2﹣5m﹣6）=-m2 +4m+5
过程精讲
D
∴S△ABP=（（ -m2 +4m+5 ）X6 = -3m2 +12m+15 ∴当m=2时S△ABP最大 当m=2时，S四边形PACB有最大值为48，这时 m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12， ∴P（2，﹣12），
知识总结
“二次函数中动点图形的面积最值”试题 解析一般规律： 这类问题的特征是要以静代动解题，首先 找面积关系的函数解析式，关键是用含x的 代数式表示出相关的线段的长度，若是规 则图形则套用公式或用割补法，若为不规 则图形则用割补法.
二次函数动点的面积最值问题
二次函数动点的面积最值问题
利用二次函数求以动态几何为背景的最值问题， 是中考中的一类重要题型，常作为中考的最后一 个大题，分值一般为9—12分，显然是非常重要 的知识。 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面 图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积 问题，是抛物线与直线的重要结合，解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、 等积变形、等比转化等数学方法，充分体现数形 结合的数学思想！
知识回顾 Knowledge Review
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水平宽a=6
四、练习
(2016•娄底)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为 常数，a≠0）经过点A(﹣1，0)， B(5，﹣6)，C(6，0)．
（1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物 线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
二次函数动点的面积最值问题
教学目标：1.学会用代数法表示与函数图象相关的 几何图形的面积最值问题。 2.能用函数图象的性质解决相关问题 教学重点：二次函数中动点图形的面积最值的一般 及特殊解法 教学难点：点的坐标的求法及最值问题的解决
一、学前准备
2、观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
交点三角形
明理由.
由例题可知：点A（0，-4），点C（6,0）
直线AC： y 2 x 4
3
设点B（x, 1 x2 4 x 4),则点D（x, 2 x 4)
C
BD
(
2
3 x
4)
(31
x
2
4
x
4)
3
3
33
1 x2 2x
D
3
S ABC
1 6( 1
2
3
x2
2x)
A B
(
0 x
x 3)2
6
9
当x 3时，Smax 9