上海市上海市青浦高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
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（1）求函数 f (x) 的单调减区间； （2）若存在 x [0, ] ，使等式[ f (x)]2 f (x) m 0 成立，求实数 m 的取值范围.
2
19. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，扇形 CEF 是运动场的一部分，其半径是 80 m ，矩形 AGHM 就是拟建 的健身室，其中 G 、 M 分别在 AB 和 AD 上， H 在弧 EF 上，设矩形 AGHM 的面积为 S ， HCF . （1）将 S 表示为 的函数； （2）求健身室面积 S 的最大值，并指出此时的点 H 在弧 EF 何处？
5. 函数 f (x) 1 2sin 2 x 的最小正周期是
6.
利用数学归纳法证明不等式“1+ 1 1 23
1 2n 1
n 2
（ n 2 ， n N* ）”的过程中，
由“ n k ”变到“ n k 1 ”时，左边增加了
项
7. y arcsin x arctan x 的值域是
8. △ ABC 中， A 60 ， b 1 ，△ ABC 的面积为
2 经过有限步后，一定可以得到 1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请
你研究：如果对正整数 n （首项）按照上述规则施行变换后的第 6 项为 1（注：1 可以多次
出现），则 n 的所有不同值的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 32
16. 设函数 f (x) m cos(x ) n cos(x ) ，其中 m 、 n 、 、 为已知实常数， x R ，
44 11. 1
4. 2 5
2 39 8.
3
12. ①③④
二. 选择题 13. A
14. D
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 函数 y 2 sin(2x ) 的图像可以由 y 4
A. 向左平移 2
B. 向右平移 2ห้องสมุดไป่ตู้
2 sin(2x ) 的图像（ 4
）个单位得到
C. 向左平移 4
D. 向右平移 4
15. 德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数， 就将它减半（即 n ），如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n 1 ），不断重复这样的运算，
有下列四个命题：
（1）若
f
(0)
f
(
)
0
，则
f
(x)
0 对任意实数 x
恒成立；
2
（2）若 f (0) 0 ，则函数 f (x) 为奇函数；
（3）若
f
(
)
0
，则函数
f
(x)
为偶函数；
2
（4）当
f
2 (0)
f
2 ( ) 0 时，若 2
f
( x1 )
f (x2 )
0 ，则 x1 x2
2k
（ k Z ）；
50n
(
3 2
)
n
，且数列
{bn
}
是
T
数列，求常数
M
的取值范围；
（3）设数列 cn
|
p n
1|
（ n N*
，1
p
2
），若数列{cn} 是 T
数列，求
p 的取值范围.
-4-
参考答案
一. 填空题 1. 三
5. 9. (0, 2)
2. 19 6. 2k
145 10.
24
3. 3 7. [ 3 , 3 ]
有的 m 、 n 的值，若不存在，请说明理由.
21.
定义：对于任意 n N* ，满足条件 an
an2 2
an1 且 an
M
（M
是与 n 无关的常数）
的无穷数列{an} 称为 T 数列.
（1）若 an n2 8n （ n N* ），证明：数列{an} 是 T 数列；
（2）设数列{bn} 的通项为 bn
青浦高中高一期末数学试卷
2020.07
一. 填空题
1. 已知角 满足 sin 0 且 cos 0 ，则角 是第
象限的角
2. 在数列{an} 中，若 a1 3 ， an1 an 4 ，则 a5 3. 计算 lim 3n
n n 3 4. 设 m 0 ，角 的终边经过点 P(3m, 4m) ，那么 sin 2cos 的值等于
③
数列 a1 、 a2
a3 、 a4
a5
a6 、 a7
a8
a9
a10 、 的前 n 项和为 Tn
n2 n ； 4
④
若存在正整数 k ，使 Sk
10 ， Sk1
10 ，则 ak
5 7
；
其中正确的结论是
（将你认为正确的结论序号都填上）
二. 选择题
-1-
13.“ ”是“函数 f (x) sin(x ) 为偶函数”的（ ） 2
12. 数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若数列{an} 的各项按如下规律排列：
1 、 1 、 2 、 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 、 4 、、 1 、 2 、、 n 1、
2334445555
nn
n
有如下运算结论：
①
a24
3 8
；
② 数列 a1 、 a2 a3 、 a4 a5 a6 、 a7 a8 a9 a10 、 是等比数列；
3 ，则
abc
sin A sin B sin C
9. 若不等式 (a 1)sin x 1 0 对于任意 x R 都成立，则实数 a 的取值范围是
10.
设数列{an} 的通项公式为 an
(
n 1 2
)n
1n 3 n 3 ，则 lnim(a1 a2 an)
11. 关于 x 的方程 x2 4arctan(cos x) a2 0 只有一个实数根，则实数 a
则上述命题中，正确的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
三. 解答题
17.
已知数列{an} 满足 a1
5 6
，
an1
1 3
an
1 （ n N* ）. 3
（1）求证：数列 {an
1} 2
是等比数列；（2）求数列 {an }
的通项公式.
-2-
18. 已知函数 f (x) cos x(sin x 3 cos x) 3 ， x R . 2
-3-
20.
在等差数列{an} 中， a1 a2
7 ， a3
8 ，令 bn
1 an an 1
，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn .
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）求数列{bn} 的前 n 项和 Tn ；
（3）是否存在正整数 m 、 n （1 m n ），使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列？若存在，求出所
2
19. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，扇形 CEF 是运动场的一部分，其半径是 80 m ，矩形 AGHM 就是拟建 的健身室，其中 G 、 M 分别在 AB 和 AD 上， H 在弧 EF 上，设矩形 AGHM 的面积为 S ， HCF . （1）将 S 表示为 的函数； （2）求健身室面积 S 的最大值，并指出此时的点 H 在弧 EF 何处？
5. 函数 f (x) 1 2sin 2 x 的最小正周期是
6.
利用数学归纳法证明不等式“1+ 1 1 23
1 2n 1
n 2
（ n 2 ， n N* ）”的过程中，
由“ n k ”变到“ n k 1 ”时，左边增加了
项
7. y arcsin x arctan x 的值域是
8. △ ABC 中， A 60 ， b 1 ，△ ABC 的面积为
2 经过有限步后，一定可以得到 1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请
你研究：如果对正整数 n （首项）按照上述规则施行变换后的第 6 项为 1（注：1 可以多次
出现），则 n 的所有不同值的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 32
16. 设函数 f (x) m cos(x ) n cos(x ) ，其中 m 、 n 、 、 为已知实常数， x R ，
44 11. 1
4. 2 5
2 39 8.
3
12. ①③④
二. 选择题 13. A
14. D
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 函数 y 2 sin(2x ) 的图像可以由 y 4
A. 向左平移 2
B. 向右平移 2ห้องสมุดไป่ตู้
2 sin(2x ) 的图像（ 4
）个单位得到
C. 向左平移 4
D. 向右平移 4
15. 德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数， 就将它减半（即 n ），如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n 1 ），不断重复这样的运算，
有下列四个命题：
（1）若
f
(0)
f
(
)
0
，则
f
(x)
0 对任意实数 x
恒成立；
2
（2）若 f (0) 0 ，则函数 f (x) 为奇函数；
（3）若
f
(
)
0
，则函数
f
(x)
为偶函数；
2
（4）当
f
2 (0)
f
2 ( ) 0 时，若 2
f
( x1 )
f (x2 )
0 ，则 x1 x2
2k
（ k Z ）；
50n
(
3 2
)
n
，且数列
{bn
}
是
T
数列，求常数
M
的取值范围；
（3）设数列 cn
|
p n
1|
（ n N*
，1
p
2
），若数列{cn} 是 T
数列，求
p 的取值范围.
-4-
参考答案
一. 填空题 1. 三
5. 9. (0, 2)
2. 19 6. 2k
145 10.
24
3. 3 7. [ 3 , 3 ]
有的 m 、 n 的值，若不存在，请说明理由.
21.
定义：对于任意 n N* ，满足条件 an
an2 2
an1 且 an
M
（M
是与 n 无关的常数）
的无穷数列{an} 称为 T 数列.
（1）若 an n2 8n （ n N* ），证明：数列{an} 是 T 数列；
（2）设数列{bn} 的通项为 bn
青浦高中高一期末数学试卷
2020.07
一. 填空题
1. 已知角 满足 sin 0 且 cos 0 ，则角 是第
象限的角
2. 在数列{an} 中，若 a1 3 ， an1 an 4 ，则 a5 3. 计算 lim 3n
n n 3 4. 设 m 0 ，角 的终边经过点 P(3m, 4m) ，那么 sin 2cos 的值等于
③
数列 a1 、 a2
a3 、 a4
a5
a6 、 a7
a8
a9
a10 、 的前 n 项和为 Tn
n2 n ； 4
④
若存在正整数 k ，使 Sk
10 ， Sk1
10 ，则 ak
5 7
；
其中正确的结论是
（将你认为正确的结论序号都填上）
二. 选择题
-1-
13.“ ”是“函数 f (x) sin(x ) 为偶函数”的（ ） 2
12. 数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若数列{an} 的各项按如下规律排列：
1 、 1 、 2 、 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 、 4 、、 1 、 2 、、 n 1、
2334445555
nn
n
有如下运算结论：
①
a24
3 8
；
② 数列 a1 、 a2 a3 、 a4 a5 a6 、 a7 a8 a9 a10 、 是等比数列；
3 ，则
abc
sin A sin B sin C
9. 若不等式 (a 1)sin x 1 0 对于任意 x R 都成立，则实数 a 的取值范围是
10.
设数列{an} 的通项公式为 an
(
n 1 2
)n
1n 3 n 3 ，则 lnim(a1 a2 an)
11. 关于 x 的方程 x2 4arctan(cos x) a2 0 只有一个实数根，则实数 a
则上述命题中，正确的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
三. 解答题
17.
已知数列{an} 满足 a1
5 6
，
an1
1 3
an
1 （ n N* ）. 3
（1）求证：数列 {an
1} 2
是等比数列；（2）求数列 {an }
的通项公式.
-2-
18. 已知函数 f (x) cos x(sin x 3 cos x) 3 ， x R . 2
-3-
20.
在等差数列{an} 中， a1 a2
7 ， a3
8 ，令 bn
1 an an 1
，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn .
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）求数列{bn} 的前 n 项和 Tn ；
（3）是否存在正整数 m 、 n （1 m n ），使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列？若存在，求出所