初三数学培优练习题(含答案)
初三数学培优试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解为：A. x = 2，x = 3B. x = 1，x = 6C. x = 2，x = 4D. x = 3，x = 52. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B = ∠C = °。
4. 下列命题中，正确的是：A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等D. 矩形的对边平行且相等5. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则a^2 + b^2 + c^2的值为：6. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的值分别为：7. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为：8. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且BC = 6，AD是BC边上的高，则AD的长度为：9. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 2x ≤ 3x - 110. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 27，b^2 = ac，则a、b、c的值分别为：二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = ，x1x2 = 。
12. 函数y = 2x - 3的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（），（）。
13. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 45°，则∠B = ∠C = °。
14. 下列命题中，正确的是：平行四边形的对角线互相平分，等腰三角形的底角相等，矩形的对边平行且相等。
初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)
初三数学九上压轴题难题进步题培优题【1 】一．解答题（共8小题）1．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经由点A（﹣3,0）.B（1,0）.C（﹣2,1）,交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式;（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;（3）抛物线上是否消失一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO 类似（不包含全等）？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．2．如图,在平面直角坐标系xOy中,极点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经由点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式;（2）联络OM,求∠AOM的大小;（3）假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,求点C的坐标．3．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2,0）,B（6,0）两点,交y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式;（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E.F两点,求劣弧EF的长;（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试肯定P点的地位,使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图,在平面直角坐标系中,已知点A（﹣2,﹣4）,OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经由点A.O.B三点．（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;（3）在此抛物线上,是否消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）．（1）求抛物线的函数解析式;（2）求tan∠ABO的值;（3）过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标．6．如图1,已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B.C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值;（2）在（1）的前提下,求△BCE的面积;（3）在（1）的前提下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标; （4）在第四象限内,抛物线C1上是否消失点F,使得以点B.C.F为极点的三角形与△BCE类似？若消失,求m的值;若不消失,请解释来由．7．如图,已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分离交于点A.B（点A位于点B的左侧）,与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为,点C的坐标为（用含b的代数式暗示）;（2）请你摸索在第一象限内是否消失点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形？假如消失,求出点P的坐标;假如不消失,请解释来由; （3）请你进一步摸索在第一象限内是否消失点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似（全等可作类似的特别情形）？假如消失,求出点Q的坐标;假如不消失,请解释来由．8．如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个极点B（1,0）,C（3,0）,D（3,4）．以A 为极点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A动身,沿线段AB向点B活动．同时动点Q 从点C动身,沿线段CD向点D活动．点P,Q的活动速度均为每秒1个单位．活动时光为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;（2）过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大？最大值为若干？（3）在动点P,Q活动的进程中,当t为何值时,在矩形ABCD内（包含鸿沟）消失点H,使以C,Q,E,H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题进步题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经由点A（﹣3,0）.B（1,0）.C（﹣2,1）,交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式;（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;（3）抛物线上是否消失一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO 类似（不包含全等）？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式,得y=1．∴点M的坐标为（0,1）．设直线MA的表达式为y=kx+b,则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（）,则点F的坐标为（）．DF==．当时,DF的最大值为．此时,即点D的坐标为（）．（3）消失点P,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO类似．设P（m,）．在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形类似,由题意可知,点P不成能在第一象限．①设点P在第二象限时,∵点P不成能在直线MN上,∴只能PN=3AN,∴,即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0,故此时知足前提的点不消失．②当点P在第三象限时,∵点P不成能在直线MA上,∴只能PN=3AN,∴,即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8,﹣15）．③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3,即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时,．此时点P的坐标为（2,﹣）．若PN=3NA,则﹣,即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10,此时点P的坐标为（10,﹣39）．综上所述,知足前提的点P的坐标为（﹣8,﹣15）.（2,﹣）.（10,﹣39）．2．如图,在平面直角坐标系xOy中,极点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经由点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式;（2）联络OM,求∠AOM的大小;（3）假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,求点C的坐标．【解答】解：（1）如图,过点A作AD⊥y轴于点D,∵AO=OB=4,∴B（4,0）．∵∠AOB=120°,∴∠AOD=30°,∴AD=OA=2,OD=OA=2．∴A（﹣2,2）．将A（﹣2,2）,B（4,0）代入y=ax2+bx,得：,解得：,∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x;（2）过点M作ME⊥x轴于点E,∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣,∴M（2,﹣）,即OE=2,EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H,∵AH=2,HB=HO+OB=6,∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°,∵∠AOM=150°,∴∠OAM＜30°,∴∠OMA＜30°,∴点C不成能在点B的左侧,只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°,∵∠AOM=150°,∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM类似,有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM,②△BAC与∽△OMA∵OD=2,ME=,∴OM=,∵AH=2,BH=6,∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时,由=得,解得BC=4．∴C1（8,0）．②当△BAC与∽△OMA时,由=得,解得BC=12．∴C2（16,0）．综上所述,假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,则点C的坐标为（8,0）或（16,0）．3．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2,0）,B（6,0）两点,交y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式;（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E.F两点,求劣弧EF的长;（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试肯定P点的地位,使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经由点A（2,0）,B（6,0）,;∴,解得;∴抛物线的解析式为：;（2）易知抛物线的对称轴是x=4,把x=4代入y=2x,得y=8,∴点D的坐标为（4,8）;∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8;衔接DE.DF,作DM⊥y轴,垂足为点M;在Rt△MFD中,FD=8,MD=4,∴cos∠MDF=;∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°;∴劣弧EF的长为：;（3）设直线AC的解析式为y=kx+b;∵直线AC经由点,∴,解得;∴直线AC的解析式为：;设点,PG交直线AC于N, 则点N坐标为,∵S△PNA：S△GNA=PN：GN;∴①若PN：GN=1：2,则PG：GN=3：2,PG=GN;即=;解得：m1=﹣3,m2=2（舍去）;当m=﹣3时,=;∴此时点P的坐标为;②若PN：GN=2：1,则PG：GN=3：1,PG=3GN;即=;解得：m1=﹣12,m2=2（舍去）;当m=﹣12时,=;∴此时点P的坐标为;综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图,在平面直角坐标系中,已知点A（﹣2,﹣4）,OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经由点A.O.B三点．（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;（3）在此抛物线上,是否消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．【解答】解：（1）由OB=2,可知B（2,0）,将A（﹣2,﹣4）,B（2,0）,O（0,0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c, 得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由,可得,抛物线的对称轴为直线x=1,且对称轴x=1是线段OB的垂直等分线,衔接AB交直线x=1于点M,M点即为所求．∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线x=1对称,由A（﹣2,﹣4）,得P（4,﹣4）,则得梯形OAPB．②若OA∥BP,设直线OA的表达式为y=kx,由A（﹣2,﹣4）得,y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m,由B（2,0）得,0=4+m,即m=﹣4,∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由,解得x1=﹣4,x2=2（不合题意,舍去）当x=﹣4时,y=﹣12,∴点P（﹣4,﹣12）,则得梯形OAPB．③若AB∥OP,设直线AB的表达式为y=kx+m,则,解得,∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP,∴直线OP的表达式为y=x．由,得x2=0,解得x=0,（不合题意,舍去）,此时点P不消失．综上所述,消失两点P（4,﹣4）或P（﹣4,﹣12）使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形．答：在此抛物线上,消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形,点P的坐标是（4,﹣4）或（﹣4,﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）．（1）求抛物线的函数解析式;（2）求tan∠ABO的值;（3）过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）, ∴,解得,所以,抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1;（2）如图,过点B作BC⊥x轴于C,过点A作AD⊥OB于D,∵A（0,1）,B （4,3）,∴OA=1,OC=4,BC=3,依据勾股定理,OB===5,∵∠OAD+∠AOD=90°,∠AOD+∠BOC=90°,∴∠OAD=∠BOC,又∵∠ADO=∠OCB=90°,∴△AOD∽△OBC,∴==,即==,解得OD=,AD=,∴BD=OB﹣OD=5﹣=,∴tan∠ABO===;（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0,k.b是常数）,则,解得,所以,直线AB的解析式为y=x+1,设点M（a,﹣a2+a+1）,N（a,a+1）,则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a,∵四边形MNCB为平行四边形,∴MN=BC,∴﹣a2+4a=3,整顿得,a2﹣4a+3=0,解得a1=1,a2=3,∵MN在抛物线对称轴的左侧,抛物线的对称轴为直线x=﹣=, ∴a=1,∴﹣12+×1+1=,∴点M的坐标为（1,）．6．如图1,已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B.C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值;（2）在（1）的前提下,求△BCE的面积;（3）在（1）的前提下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标; （4）在第四象限内,抛物线C1上是否消失点F,使得以点B.C.F为极点的三角形与△BCE类似？若消失,求m的值;若不消失,请解释来由．【解答】解：（1）将x=2,y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2,解得：m=4,经磨练：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m）,解得x=﹣2或x=m,∴B（﹣2,0）,C（m,0）．由（1）得：m=4,∴C（4,0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2,∴E（0,2）．∴BC=6,OE=2．∴S△BCE=BC•OE=×6×2=6．（3）如图1所示：衔接EC交抛物线的对称轴于点H,衔接BH,设对称轴与x轴的交点为P．∵x=﹣,∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称,∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时,BH+EH的值最小．∵HP∥OE,∴△PHC∽△EOC．∴,即．解得HP=．∴点H的坐标为（1,）．（4）①如图2,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC,∴∠BCE=∠FBC．∴当,即BC2=CE•BF时,△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x,﹣（x+2）（x﹣m））,由,得．解得x=m+2．∴F′（m+2,0）．∵∠BCE=∠FBC．∴,得,解得：．又∵BC2=CE•BF,∴,整顿得：0=16．此方程无解．②如图3,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,∵OE=OB,∠EOB=90°,∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°,∴∠EBC=∠CBF,∴当,即BC2=BE•BF时,△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得（x+2）（x﹣m）=x+2,解得x=2m．∴F′（2m,0）．∴BF′=2m+2,∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF,得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0,∴m=2+2．综上所述,点m的值为2+2．7．如图,已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分离交于点A.B（点A位于点B的左侧）,与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b,0）,点C的坐标为（0,）（用含b的代数式暗示）; （2）请你摸索在第一象限内是否消失点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形？假如消失,求出点P的坐标;假如不消失,请解释来由; （3）请你进一步摸索在第一象限内是否消失点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似（全等可作类似的特别情形）？假如消失,求出点Q的坐标;假如不消失,请解释来由．【解答】解：（1）令y=0,即y=x2﹣（b+1）x+=0,解得：x=1或b,∵b是实数且b＞2,点A位于点B的左侧,∴点B的坐标为（b,0）,令x=0,解得：y=,∴点C的坐标为（0,）,故答案为：（b,0）,（0,）;（2）消失,假设消失如许的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x,y）,衔接OP．则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b,∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分离为D.E,∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB,即﹣=b﹣,解得b=＞2相符题意．∴P的坐标为（,）;（3）假设消失如许的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB＞∠AOQ,∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB类似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴．∵b＞2,∴AB＞OA,∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°,由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC类似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2,∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1,2+）．（II）当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,∴=,即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB,∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4,此时b=17＞2相符题意,∴点Q的坐标是（1,4）．∴综上可知,消失点Q（1,2+）或Q（1,4）,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似．8．如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个极点B（1,0）,C（3,0）,D（3,4）．以A 为极点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A动身,沿线段AB向点B活动．同时动点Q 从点C动身,沿线段CD向点D活动．点P,Q的活动速度均为每秒1个单位．活动时光为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;（2）过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大？最大值为若干？（3）在动点P,Q活动的进程中,当t为何值时,在矩形ABCD内（包含鸿沟）消失点H,使以C,Q,E,H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1,4）．由题意知,可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3,0）,∴0=a（3﹣1）2+4,解得,a=﹣1,∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4,即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1,4）,C（3,0）,∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1,4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时,S△ACG的最大值为1．（3）第一种情形如图1所示,点H在AC的上方,由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t,依据△APE∽△ABC,知=,即=,解得t=20﹣8;第二种情形如图2所示,点H在AC的下方,由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2﹣t,MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中,依据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2,解得,t1=,t2=4（不合题意,舍去）．综上所述,t=20﹣8或t=．。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校： 班级： 姓名： 分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校： 班级： 姓名： 分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案一、圆的综合1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ．（1）求证：∠ABD =2∠BDC ；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ；（3）在（2）的条件下，若OH =5，AD =24，求线段DE 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE =. 【解析】 【分析】（1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论； （3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到AB =22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β， 则∠CAB =∠BDC =α，∵点C 为弧ABD 中点，∴AC =CD ，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°， ∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ； （3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==，∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线CM ，延长BC 到点D ，使CD=BC ，连接AD 交CM 于点E ，若⊙OD 半径为3，AE=5， （1）求证：CM ⊥AD ； （2）求线段CE 的长.【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理证得AC 垂直平分BD ，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可. 详解：证明：（1）连接OC∵CM 切⊙O 于点C ， ∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=1AD2∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧().AB()1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)()2若AB的中点C到弦AB的距离为2080m AB m=，，求AB所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；()2连接OA OC OC，，交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到1OC AB AD BD AB402⊥===，，则CD20=，设O的半径为r，在Rt OAD中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可． 详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥，1402AD BD AB ∴===，设O 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD 中，222OA OD AD =+，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即AB 所在圆的半径是50m ．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．6．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD 3FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE33∠==设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．7．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210) 240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．8．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ． (1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）215. 【解析】 【分析】()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OHOC==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影定理得到212AF 916==，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】()1BD 为O 的直径，90BAD ∴∠=，90D ABD ∴∠+∠=，FB 是O 的切线， 90FBD ∴∠=， 90FBA ABD ∴∠+∠=，FBA D ∴∠=∠， AB AC =，C ABC ∴∠=∠， CD ∠=∠，ABF ABC ∴∠=∠；()2如图2，连接OC ，90OHC HCA ∠=∠=，//AC OH ∴，ACO COH ∴∠=∠， OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠， 即ABD ACO ∠=∠， ABC COH ∴∠=∠，90H BAD ∠=∠=，ABD ∴∽HOC ， 2AD BD CH OC ∴==， 12CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ，2AB BDOH OC∴==， 6OH =，O 的半径为10，212AB OH ∴==，20BD =，2216AD BD AB ∴=-=，在ABF 与ABE 中，90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ABF ∴≌ABE ，BF BE ∴=，AF AE =， 90FBD BAD ∠=∠=，2AB AF AD ∴=⋅，212916AF ∴==，9AE AF ∴==，7DE ∴=，2215BE AB AE =+=， AD ，BC 交于E ， AE DE BE CE ∴⋅=⋅，9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．9．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)CD=2523812n n- ;(3) n 9559155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3mOH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． 可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝．（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝，解得9n ：＝．即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝22233m m n m -+-（）（）n ＝，解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132nn n-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．10．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD . (1)求证：EF ∥BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2，求BE 的长.【答案】(1)见解析；(2) 233π【解析】 【分析】（1）根据EF ＝BD 可得EF ＝BD ，进而得到BE DF ，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF ，根据切线的性质及垂径定理求出GF 、GE 的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG ，进而求出∠BDE 的度数，确定BE 所对的圆心角的度数，根据∠DFH ＝90°确定DE 为直径，代入弧长公式即可求解. 【详解】 (1)∵EF ＝BD ， ∴EF ＝BD ∴BEDF∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA＝∠ABC；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）6334π-.【解析】 【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ； （2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B, ∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形， ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º, ∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA, 同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=3 Rt △ACM 中，易得AC=33=3＝OC,∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º, ∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝OA×tan30º=3 , ∵△CDO ≌△EDO(AAS)， ∴EG=CD=AC×sin60º=332， ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOES ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．13．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴332∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×332=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．14．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高．(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．且∴≤≤≠PQ1PQ1PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
初三上册培优数学试卷答案
1. 已知a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. -a - b > 0D. -a + b > 0答案：C2. 若x^2 - 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 3B. -1C. 3 或 -1D. 3 或 1答案：C3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：D4. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = b^2 - 4ac，若Δ = 0，则该方程有两个（）A. 相等的实数根B. 不相等的实数根C. 无实数根D. 有两个复数根答案：A5. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为（）A. 11B. 21C. 25D. 36答案：B二、填空题（每题5分，共50分）6. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。
答案：2 或 37. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
答案：105°8. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = 0，则该方程有两个______。
答案：相等的实数根9. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为______。
答案：2110. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为______。
答案：1 或 3三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解答：将方程因式分解得：(2x + 1)(x - 2) = 0，解得x = -1/2 或 x = 2。
12. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求∠C的度数。
初三数学实验班培优题
第 1 页 共 3 页初三数学实验班培优题（附答案） 一、选择题 1、设532x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。
如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。
A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)-3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定5、设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。
91 8、如图，双曲线2(0)y x x=>与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连接EF ，则AB CEDFyxCA B EFO第 2 页 共 3 页△OEF 的面积为＿＿＿＿＿；23三、解答题9、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. -3C. √2D. i2. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π3. 已知a=3，b=2，求下列表达式的值：a^2 + b^2A. 13B. 17C. 19D. 214. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 45. 下列哪个是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 3（方程为：x^2 - 4x + 4 = 0）二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
7. 一个正数的倒数是1/8，这个数是______。
8. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是______。
9. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
10. 一个二次方程的判别式是36，那么这个方程的根的情况是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0。
12. 证明：如果一个三角形的两边长度分别为a和b，且a < b，那么这个三角形的周长P满足P > 2a。
13. 一个工厂每天可以生产x个产品，每个产品的成本是c元，销售价格是p元。
如果工厂每天的利润是y元，写出y关于x的函数表达式。
四、综合题（每题15分，共20分）14. 一个圆的半径是7，圆心到一个点A的距离是5。
如果点A在圆内，求点A到圆上任意一点B的距离的最大值和最小值。
15. 一个班级有50名学生，其中30名学生喜欢数学，20名学生喜欢英语。
如果一个学生至少喜欢一门科目，求这个班级中同时喜欢数学和英语的学生人数的范围。
答案：一、选择题1. D2. B3. C4. A5. D二、填空题6. 5（根据勾股定理）7. 8（倒数的定义）8. -3（立方根的定义）9. 5，-5（绝对值的定义）10. 有两个不相等的实数根（判别式的定义）三、解答题11. 解：2x^2 - 5x - 3 = 0，使用求根公式，得到x1 = (5 + √41) / 4，x2 = (5 - √41) / 4。
初三数学培优试卷推荐答案
1. 若方程 2x-3=5 的解为 x=a，则 a 的值为（）A. 4B. 2C. 1D. -1答案：A解析：将方程两边同时加3，得到 2x=8，再将两边同时除以2，得到 x=4。
所以a=4。
2. 若 m、n 是方程 x^2-5x+6=0 的两个实数根，则 m+n 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，有 m+n=5。
3. 若等差数列 {an} 的前5项之和为 15，第3项为 3，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：设等差数列的公差为 d，则第3项 a3=a1+2d=3。
又因为前5项之和为 15，所以有 5a1+10d=15。
解得 d=1。
4. 若函数 y=2x+1 的图像上任意一点的横坐标为 x，则该点的纵坐标与 x 的关系为（）A. y=x+1B. y=2x+1C. y=2x-1D. y=x-1答案：B解析：由函数表达式可知，纵坐标 y 与横坐标 x 的关系为 y=2x+1。
5. 若 a、b、c 是等差数列 {an} 的前3项，且 a+b+c=12，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：设等差数列的公差为 d，则 a=b-d，c=b+d。
根据题意，有 b-d+b+b+d=12，解得 d=3。
关系为（）A. y=x+1B. y=|x-2|+3C. y=x-1D. y=x+3答案：B解析：由函数表达式可知，纵坐标 y 与横坐标 x 的关系为 y=|x-2|+3。
7. 若等比数列 {an} 的前4项之和为 24，第3项为 6，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：设等比数列的公比为 q，则第3项 a3=a1q^2=6。
又因为前4项之和为 24，所以有 a1+a1q+a1q^2+a1q^3=24。
解得 q=3。
8. 若 a、b、c 是等比数列 {an} 的前3项，且 a+b+c=12，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：设等比数列的公比为 q，则 a=b/q，c=bq。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：整式与因式分解【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：整式与因式分解一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．的项是，2B ．是二次三项式3x−23x 2x 2y +xy 2−x C ．与是同类项D ．单项式的系数是3x 2y −4yx 2−3πx 2y −32．若5x =125y ，3y =9z ，则x ：y ：z 等于（ ）A ．1：2：3B ．3：2：1C ．1：3：6D ．6：2：13．下列叙述中，正确的是（ ）A ．单项式 的系数是0，次数是3x 2y B ．a 、 、0、 都是单项式π22C ．多项式 是六次三项式3a 3b +2a 2+1D ． 是二次二项式m +n24．如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD 中，设小长方形的长为a ，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）A ．aB ．bC ．a+bD ．a-b5．下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2）3=a 8D ．a 3÷a 2=a6．下列运算正确的是（ ）A ．（x 3）3=x 9B ．（﹣2x ）3=﹣6x 3C ．2x 2﹣x=xD ．x 6÷x 3=x 27．下列单项式中，与 是同类项的是( )0.3ab 2A ．B ．C ．D ．2a 2ba 2b 2−14b 2a 3ab8．下列计算错误的是（ ）A ．3 =2B ．﹣2+|﹣2|=0C ．x 2•x 3=x 6D ．（﹣3）2=93−339．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．B ．a 2−2ab +b 2−1=(a−b)2−1x 4−1=(x 2+1)(x +1)(x−1)C ．D ．(x +2)(x−2)=x 2−42x 2+2x =2x 2(1+1x )10．长方形的一边为2a﹣3b ，另一边比它小a﹣b ，则此长方形的另一边为（ ）A ．3a﹣4bB ．3a﹣2bC ．a﹣2bD ．a﹣4b11．下列说法中，正确的是（ ） A ．单项式 的系数 12πxy 212B ．单项式 的次数为2−5x 2y C ．多项式x 2+2xy+18是二次三项式D ．多项式 x 3 - x 2y 2-1次数最高项的系数是 12231212．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝9，且AC+BC ＝10，则AB 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．62二、填空题13．已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．14．分解因式：x 3-4x 2+4x= ．15．若 ，则 的值为 ．2x =2,4y =4216．七年级一班有2a﹣b 个男生和3a+b 个女生，则男生比女生少 人．三、计算题17．计算： (26−5)2019×(26+5)202018．计算：（1）（﹣2）+（﹣3）﹣（+1）﹣（﹣6）；（2）﹣22﹣（﹣2）2×0.25÷；12（3）（3x﹣2）﹣（x﹣3）；（4）5﹣2（a 2b﹣ab 2）+（3a 2b+ab 2）．19．利用乘法公式计算：5002-499×501．20．已知，求代数式的值．x 2+2x−4=0x (x−2)2−x 2(x−6)−3四、综合题21．如图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形（m ＞n ），用剪刀沿图中虚线剪开，把得到的四块相同的长方形按图2那样拼成一个正方形．（1）图②中，中间的小正方形（阴影部分）的边长为 （用含m 、n 的式子表示）；（2）观察图②，可得到（m+n ）2、（m﹣n ）2和4mn 之间的等量关系，请直接写出这个等量关系式；（3）若m+n ＝5，mn ＝，利用（2）的关系式求（m﹣n ）2的值．9422．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底面（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（1）求图2中阴影部分图形的周长；（用含m 、n 的式子直接写出答案）（2）求图3中两个阴影部分图形的周长和．（用含有m 、n 的式子表示）23．已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．（1）求x 1，x 2 的值；（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．24．黑板上有一个正确的整式加法式，小明不小心擦去了前面的多项式，如下：+ (x 2-124xy+2y 2)=3x 2-xy.（1）求出擦去的多项式；（2）当x=-1，y=2时，求擦去的多项式的值.答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C13．【答案】a ＞b ＞c ＞d 14．【答案】x （x-2）215．【答案】1216．【答案】a+2b17．【答案】解：原式 =[(26−5)(26+5)]2019×(26+5)=(−1)2019(26+5)=−26−518．【答案】（1）解：原式＝﹣2﹣3﹣1+6＝0；（2）解：原式＝﹣4﹣4××214＝﹣4﹣2＝﹣6；（3）解：（3x﹣2）﹣（x﹣3）＝3x﹣2﹣x+3＝2x+1；（4）解：5﹣2（a 2b﹣ab 2）+（3a 2b+ab 2）＝5﹣2a 2b+2ab 2+3a 2b+ab 2＝a 2b+3ab 2+5．19．【答案】解：原式=5002-（500+1）（500-1）=5002-5002+1=1．20．【答案】解：原式=x(x 2−4x +4)−x 3+6x 2−3=x 3−4x 2+4x−x 3+6x 2−3=2x 2+4x−3∵，∴x 2+2x−4=0x 2+2x =4原式=2(x 2+2x)−3=2×4−3=521．【答案】（1）解：由图②可知，中间的小正方形（阴影部分）的边长为；m−n （2）解：由图②可得，大正方形的边长为，m +n ∴大正方形的面积可以表示为，(m +n)2又∵大正方形由4个小长方形和一个小正方形组成，∴大正方形的面积还可以表示为，(m−n)2+4mn ∴．(m +n)2=(m−n)2+4mn （3）解：∵，(m +n)2=(m−n)2+4mn ∴把m+n ＝5，mn ＝代入得：，94(m +n)2=(m−n)2+4mn 52=(m−n)2+4×94解得：．(m−n)2=1622．【答案】（1）解：图2中阴影部分图形的周长是：2m ＋2n（2）解：设小长方形的宽为x ，长为y ，根据题意得：2x ＋y ＝m ， PF ＝y ，EQ ＝2x ，PQ ＝EQ ＋PF﹣EF ＝y ＋2x﹣n ＝m﹣n ，EP ＋FQ ＝n﹣（m﹣n ）＝2n﹣m ，则两个阴影部分图形的周长和是：2m ＋2（2n﹣m ）＝4n23．【答案】（1）解：原方程变为：x 2－（m + 2）x + 2m = p 2－（m + 2）p + 2m ，∴x 2－p 2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0，即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0，∴x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ．（2）解：∵ 直角三角形的面积为 x 1x 2= p(m+2-p)1212= −12p 2+12(m +2)p= −12[p 2−(m +2)p +(m +22)2−((m +2)24)]= ，−12(p−m +22)2+(m +2)28∴ 当且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 p =m +22 （或 ）．(m +2)2812p224．【答案】（1）解：(3x 2−xy)−12(x 2−4xy +2y 2)=3x 2−xy−12x 2+2xy−y 2= 52x 2+xy−y 2（2）解：当x=-1，y=2时，原式= = = 52×(−1)2+(−1)×2−2252−2−4−72。
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 632. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．B ．C ．D ．3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =4. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN 的长为（）A．15 B．20 C．25 D．307. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）A EA．3 5B．23C．45D．329. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个ABC10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF13. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．15.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题（本大题共4道小题）19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>． FCGEBDA（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式； (2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22.（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．2. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．8. 【答案】 A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．9. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：ABC因此本题选A．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH ＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝1 2x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD22DF BF+221()2x x+5x，所以AD5x，所以CE＝AB＝2AD5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE5x．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．12. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．13. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．15. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.16. 【答案】2 5－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.18. 【答案】326()55-，或(43)-， 【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，． 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1．（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴EC CG＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．20. 【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CEDC＝1－a7a2－1＝33，解得a＝－2(舍去)或a＝12，(5分)∴AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA AF＝BAAC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， 解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2，∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F ， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)22. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB= ∴34CD x = ∴34CD x =∴AD ＝3－34x （2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x ∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=- ∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x =---=-+ 当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．。
初三下册数学试卷培优
1. 下列哪个数是绝对值大于1的整数？A. -2B. 0C. 1D. 2答案：A解析：绝对值大于1的整数有正负两种情况，而-2的绝对值是2，大于1，所以选A。
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值是？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：A解析：将x=3代入函数f(x) = 2x + 1中，得到f(3) = 23 + 1 = 7，所以选A。
3. 已知a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 15，则b的值是？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：由等差数列的性质知，a + c = 2b，代入a + b + c = 15得3b = 15，解得b = 5，所以选A。
4. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-2, 3)，则a、b、c的值分别是？A. a > 0，b = -4，c = 1B. a > 0，b = 4，c = 1C. a > 0，b = -4，c = 3D. a > 0，b = 4，c = 3答案：A解析：由于二次函数的图像开口向上，所以a > 0。
顶点坐标为(-2, 3)，代入二次函数公式得3 = a(-2)^2 + b(-2) + c，化简得4a - 2b + c = 3。
又因为顶点坐标在x轴上的投影是函数的对称轴，所以对称轴方程为x = -b/(2a)，代入x = -2得-2 = -b/(2a)，解得b = 4a。
将b = 4a代入4a - 2b + c = 3，得-4a + c= 3，解得c = 1。
因此，a > 0，b = -4，c = 1，所以选A。
5. 已知等比数列的首项为2，公比为3，则第10项是？A. 59049B. 19683C. 59047D. 19681答案：A解析：等比数列的通项公式为an = a1 q^(n-1)，代入首项a1 = 2，公比q = 3，项数n = 10，得到第10项为2 3^(10-1) = 59049，所以选A。
九年级数学培优题含详细答案
九年级培优竞赛1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．(1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝－14x 2＋ax ＋4经过点C ． ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P(点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】C 的坐标为（3，﹣1）；（2）①抛物线的解析式为y=﹣12x 2+12x+2； ②存在点P ，△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P 1（﹣1，1），P 2（﹣2，﹣1）两点．【解析】试题分析：（1）过点C 作CD 垂直于x 轴，由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ，根据旋转的旋转得到AB=AC ，且∠BAC 为直角，可得∠OAB 与∠CAD 互余，由∠AOB 为直角，可得∠OAB 与∠ABO 互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA 可证明三角形ACD 与三角形AOB 全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ，CD=OA ，由A 和B 的坐标及位置特点求出OA 及OB 的长，可得出OD 及CD 的长，根据C 在第四象限得出C 的坐标；（2）①由已知的抛物线经过点C ，把第一问求出C 的坐标代入抛物线解析式，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P 使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i ）A 为直角顶点，过A 作AP 1垂直于AB ，且AP 1=AB ，过P 1作P 1M 垂直于x 轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1，利用AAS 可证明三角形AP 1M 与三角形ACD 全等，得出AP 1与P 1M 的长，再由P 1为第二象限的点，得出此时P 1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 2垂直于BA ，且BP 2=BA ，过P 2作P 2N 垂直于y 轴，如图所示，同理证明三角形BP 2N 与三角形AOB 全等，得出P 2N 与BN 的长，由P 2为第三象限的点，写出P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 3垂直于BA ，且BP 3=BA ，如图所示，过P 3作P 3H 垂直于y 轴，同理可证明三角形P 3BH 全等于三角形AOB ，可得出P 3H 与BH 的长，由P 3为第四象限的点，写出P 3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P 的坐标． 试题解析：（1）过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，∴C的坐标为（3，﹣1）；（2）①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣92+3a+2，解得：a=12，则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2；②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，∴△AMP1≌△ADC，∴AM=AD=2，P1M=CD=1，∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，同理可证△BP2N≌△ABO，∴NP2=OB=2，BN=OA=1，∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，同理可证△BP3H≌△BAO，∴HP3=OB=2，BH=OA=1，∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD 沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=2CD；(2)设DE交AC于G，若53PEEF=，CD=6，求FG的长【答案】（1）证明见解析；（2）FG的长为152 14．【解析】试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝2CD；(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=2CD，和PF5EF3=，CD=6，求出CF=EF=322，作GK⊥EF于点K，易得FG的长为152 14．试题解析：.(1)连接CE，∵CA=CB,D 为AB 中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，由翻折可知∠B=∠DEP=45°，∴∠DCF=∠DEF=45°，CD=BD=DE ，∴∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF ，即∠FCE=∠FEC ，∴FC=FE ，∴CF+PF=PE=BP ，∴，∴△PCF；(2)∴设PF=5x,EF=CF=3x ，在Rt △FCP 中,PF 2=CP 2+CF 2，∴CP=4x ，∵，∴作GK ⊥EF 于点K ，∵tan ∠GFE=tan ∠ 设GK=4a,FK=3a,EK=4a ， G F D AB PC KFDAB PC∴EF=7a=322， a=3214， FG=5a=15214， ∴FG 的长为15214． 考点：三角形综合．3．如图，抛物线y=－x 2+4x+5交x 轴于A 、B （以A 左B 右)两点，交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为抛物线第一象限函数图象上一点，设P 点的横坐标为m ，△PBC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP ，抛物线上是否存在这样的点P ，使得线段PA 被BC 平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P 的坐标.【答案】(1) y=5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在，P(2,9)或P(3,8) 【解析】试题分析：（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程即可得到点A 、B 的坐标，再令x=0求出点C 的坐标，设直线BC 解析式为y=kx+b （k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于F ，根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ，再根据S △PBC =S △PCF +S △PBF 整理即可得解；（3）设AP 、BC 的交点为E ，过点E 作EG ⊥x 轴于G ，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG ∥PH ，然后判断出△AGE 和△AHP 相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG ，然后表示出BG ，根据OB=OC 可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG ，然后列出方程求出m 的值，再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标，即可得解．试题解析：（1）当y=0时，x 1=5，x 2=－1，∵A 左B 右，∴A(-1，0),B(5，O)当x=0时，y=5，∴C （0,5），设直线BC 解析式为y=kx+b,∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩ ∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为:y=5x -+；(2)作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于点F ，P(m ，-m 2+4m+5)，F(m,-m+5)PF=-m 2+5m ，S △PBC =S △PCF +S △PBF(3)存在点P ，作EG ⊥AB 于G,PH ⊥AB 于H ，∴EG ∥PH ，∴△AGE ∽△AHP ，∵P(m ，-m +4m+5)，AH=m-(-1)=m+1，HB=5-m ，GB=152mm ++-，∵OC=OB=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴EG=BG，∴2452m m-++=152mm++-，∴m1=2m2=3，当m=2时，P(2,9)，当m=3时，P(3,8)，∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．考点：二次函数综合题．4．如图：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F.(1)求证：BE=CF；(2)设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．【答案】(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为5．【解析】试题分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．试题解析：(1)连接DE、DF，∵AB=AC,AD⊥BC，∴∠B＝∠C,BD=CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA=∠DFA=90°，∴△DBE≌△DCF，∴BE=CF；(2)∵BE=CF，∴AE=AF，AE AFAB AC=且∠BAC=∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴设AG=8x,AD=10x，连接EO，在Rt△OEG中，∴OE2=OG2+EG2，∴(5x)2=(3x)2+42，x=1，∴5x=5，∴⊙O的半径为5．考点：1.相似三角形的判定与性质，2.全等三角形的判定与性质，3.勾股定理，4.圆周角定理．5．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（-4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x+4 （2）①见解析x （3）存在，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）【解析】解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=-1，则直线AB的函数解析式为y=-x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BDO≌△COD，∴∠BDO=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②如图，连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，第11页，总68页∵DF 是⊙Q 的直径， ∴∠DEF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DE ，即x ； （3）当BD ：BF=2：1时，如图，过点F 作FH ⊥OB 于点H ，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH ，又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD ∽△FHB ， ∴=2， ∴FH=2，OD=2BH ，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH 是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4-OD ， ∵DE=EF ， ∴2+OD=4-OD ， 解得：OD=，∴点D 的坐标为（0，）， ∴直线CD 的解析式为y=x+， 由，得：， 则点P 的坐标为（2，2）； 当时， 连结EB ，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP ，OB OD BDHF HB FB==12124343134314334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩22x y =⎧⎨=⎩12BD BF =试卷第12页，总68页而∠ADB=∠DEB+∠DBE ，∠EDP=∠DAP+∠DPA ， ∵∠DEP=∠DPA ，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF 是等腰直角三角形， 如图，过点F 作FG ⊥OB 于点G ，同理可得：△BOD ∽△FGB ， ∴， ∴FG=8，OD=BG ， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG 是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD ， ∵DE=EF ，∴8-OD=4+2OD ， OD=， ∴点D 的坐标为（0，-）， 直线CD 的解析式为：， 由，得：， ∴点P 的坐标为（8，-4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，-4）．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点D 、E 、F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿AFD 的方向运动到点D 停止；点Q 沿BC 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作12OB OD BD GF GB FB ===1243431433y x =--14334y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩84x y =⎧⎨=-⎩第13页，总68页平行四边形PMQN ．设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （cm 2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ）（1）当点P 运动到点F 时，CQ= cm ；（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】（1）5 （2）（cm ） （3）当3≤x＜4时，y=-x 2+x 当4≤x＜时，y=-6x+33 当≤x≤7时，y=6x-33 【解析】 解：（1）当点P 运动到点F 时， ∵F 为AC 的中点，AC=6cm ， ∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ， ∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm-3cm=5cm ， 故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t-3=8， t=， 11234214112112112试卷第14页，总68页BQ 的长度为×1=（cm ）； （3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点， ∴DE=AC=×6=3， DF=BC=×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°， ∵∠QBM=∠CBA ， ∴△MBQ ∽△ABC ， ∴， ∴， MQ=x ， 分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD =x （7-x ） 即y=-x 2+x ； ②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3， 11211212121212BQ MQBC AC =86x MQ =343434214112第15页，总68页y=3[（8-X ）-（X-3））] 即y=-6x+33； ③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x ）] 即y=6x-33．8．已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED 的周长；（2）若△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到△A 0E 0D 0，当A 0D 0与BC 重合时停止移动，设运动时间为t 秒，△A 0E 0D 0与△BDC 重叠的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED 停止移动后得到△BEC ，将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B 的对应点为B 1，E 的对应点为E 1，设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q ．是否存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）S 与t 之间的函数关系式为：112试卷第16页，总68页S= （3）存在，α=75°【解析】 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6．在Rt △ADE 中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3， ∴△AED 的周长为：6+3+3=9+3．（2）在△AED 向右平移的过程中：（I ）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D 0NK ．∵DD 0=2t ，∴ND 0=DD 0•sin30°=t，NK=ND 0•tan30°=t ，∴S=S △D0NK =ND 0•NK=t•t=t 2；（II ）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D 0E 0KN ．∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，NK=A 06-t ）．∴S=S 四边形D0E0KN =S △ADE -S △A0NK =×（6-t ）×（6-t ）=-t 2；（III ）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D 0IJKN ．222(0 1.5) 4.5)--6)6t S t t ≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩333312123321231231233363332第17页，总68页∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t=D 0C ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，D 0N=6-（6-t ）=t ，BN=A 0B•cos30°=（6-t ）； 易知CI=BJ=A 0B=D 0C=12-2t ，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S 梯形BND0I -S △BKJ =[t+（2t-6）]• （6-t ）-•（12-2t ）•（12-2t ）=-t 2+20t-42．综上所述，S 与t 之间的函数关系式为：S=． （3）存在α，使△BPQ 为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ ∽△B 1QC ，故当△BPQ 为等腰三角形时，△B 1QC 也为等腰三角形． （I ）当QB=QP 时（如答图4），则QB 1=QC ，∴∠B 1CQ=∠B 1=30°， 即∠BCB 1=30°， ∴α=30°；（II ）当BQ=BP 时，则B 1Q=B 1C ，若点Q 在线段B 1E 1的延长线上时（如答图5），∵∠B 1=30°，∴∠B 1CQ=∠B 1QC=75°，12312312331336332223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩试卷第18页，总68页即∠BCB 1=75°， ∴α=75°．9．如图1，已知直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（2）（3212--，3212--） （3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析：（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，-m 2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标；（3）设P 点坐标为（-1，n ）．先由B 、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC 2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB 2+BC 2=PC 2，据此列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t 值．试题解析：（1）∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0）， 当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），将A （-3，0），B （0，3）代入y=-x 2+bx+c ，得930c 3b c --+==⎧⎨⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=-1时，y=-1+3=2，∴E点坐标为（-1，2）．∵S△AEF=S △AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m-3）-12×2×（-1-m）=m2+3m，∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得：1321 2m--=，23212m-+=（舍去），当3212m--=时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=3212--，∴点F的坐标为（3212--，3212--）；（3）设P点坐标为（-1，n）．∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，第19页，总68页化简整理得6n=16，解得n=83，∴P点坐标为（-1，83），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-83=43，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t1=43；②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=-23，∴P点坐标为（-1，-23），试卷第20页，总68页第21页，总68页 ∵顶点D 的坐标为（-1，4）， ∴PD=4+23=143， ∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 4=143； 综上可知，当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．考点: 二次函数综合题.10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP ，作PF AP ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ，联结AF 交边CD 于点G ．（1）求证：AP PF =；（2）设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．【答案】（1）证明见解析；（2）()42022x y x x -=≤≤+；（3）改变，()24>22x y x x -=+. 【解析】试题分析：（1）欲证AP PF =利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，证明AHP ∆与PCF ∆全等即可．（2）由APM ∆∽GAN ∆列式化简即可得.（3）在AD 延长线上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===+ .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,45APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒+∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y yx -=+. 整理，得()24>22x y x x -=+.试卷第22页，总68页 试题解析：（1）在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，由正方形ABCD ，得90B BCD D AB BC AD ∠=∠=∠=︒==，，∵90APF ∠=︒，∴APF B ∠=∠.∵APC B BAP APF FPC ∠=∠+∠=∠+∠，∴PAH FPC ∠=∠.又∵90BCD DCE ∠=∠=︒，CF 平分DCE ∠，∴45FCE ∠=︒.∴135PCF ∠=︒. 又∵AB BC AH PC ==，，∴BH BP =，即得45BPH BHP ∠=∠=︒.∴135AHP ∠=︒，即得AHP PCF ∠=∠.在AHP ∆和PCF ∆中，PAH FPC AH PC AHP PCF ∠=∠=∠=∠，，，∴AHP ∆≌PCF ∆，∴AP PF =．（2）在AD 上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===- .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,135APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒-∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y y x-=-. 整理，得()42022x y x x -=≤≤+. （3）改变，()24>22x y x x -=+. 考点：1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.11．如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，抛物线y=-2x 2+bx+c(a ≠0)经过点A 、C.（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）-4）或-4）；（3）存在，点F坐标为（0M，点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．【解析】试题分析：1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ 的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．试题解析：（1）令x=0，则y=4，令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，所以，点A（2，0），C（0，4），∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，∴24204b cc-⨯++=⎧⎨⎩＝，解得24bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（2第23页，总68页∴点P的坐标为（12，92），如图，过点P作PD⊥y轴于D，又∵C（0，4），∴PD=12，CD=91422-=，∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，=12×（12+2）×92-12×2×4-12×12×12=4514 88--=32，令y=0，则-2x2+2x+4=0，解得x1=-1，x2=2，∴点B的坐标为（-1，0），∴AB=2-（-1）=3，设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，∴12×3h=4×32，解得h=4，∵4＜92，∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，即点Q的纵坐标为4或-4，当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，解得x1=0，x2=1，此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，解得x1=1172+，x2=1172-，试卷第24页，总68页此时点Q的坐标为（1172+，-4）或（1172-，-4）综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（1172+，-4）或（1172-，-4）；（3）存在．理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，∴设点M的坐标为（a，-2a+4），①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=|-2a+4|，即a=-2a+4或a=-（-2a+4），解得a=43或a=4，∴点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=12|-2a+4|，即a=12（-2a+4），解得a=1，-2a+4=2×1=2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a=12-（-2a+4），此时无解，综上所述，点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．考点: 二次函数综合题.12．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个第25页，总68页试卷第26页，总68页单位的速度向点B 运动；点N 从点C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥CD 交AC 于点Q ． （1）设△AMQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）在梯形ABCD 的对称轴上是否存在点P ，使△PAD 为直角三角形？若存在，求点P 到AB 的距离；若不存在，说明理由．（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使△AMQ 为等腰三角形？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233=-62S t t +（0＜t ≤2），233=-123S t t +（2≤t ＜4）；（2）233；（3）t=65，12-63，2. 【解析】试题分析：（1）求出t 的临界点t=2，分别求出当0＜t ≤2时和2≤t ＜4时，S 与t 的函数关系式即可，（2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，分3种情况进行讨论，①取AD 的中点G ，②以D 为直角顶点，③以A 为直角顶点，（3）当0＜t ≤2时，若△AMQ 为等腰三角形，则MA=MQ 或者AQ=AM ，分别求出t 的值，然后判断t 是否符合题意．试题解析：（1）当0＜t ≤2时，如图：过点Q 作QF ⊥AB 于F ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∵AB ∥CD ，∴QF ⊥CD ，∵NQ ⊥CD ，∴N ，Q ，F 共线，∴△CQN ∽△AFQ ，∴ CN NQ AF QF=， ∵CN=t ，AF=AE-CN=3-t ，∵NF=3，∴QF=33t 3-，第27页，总68页 13(323t - 23362t + 当2≤t ＜4时，如图：△FQC ∽△PQA ，∵DN=t-2，∴FD=DN •cos ∠FDN=DN •t-2）， ∴t-2） ∴FQ=FC •tan ∠FCQ=FC •tan30°=t+2）， ∴ 13[326t -23=-123t + （2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，情况一：取AD 的中点G ，GD=1，过G 作GH ⊥对称轴于H ，GH=1.5，∵1.5＞1，∴以P 为直角顶点的Rt △PAD 不存在，情况二：以D 为直角顶点：KP1 ∴P 1情况三：以A 为直角顶点，LP 2综上：P 到AB PAD 为Rt △， （3）0＜t ≤2时， 若MA=MQ ，∴试卷第28页，总68页若AQ=AM ，则t=23233t -， 解得t=12-63， 若QA=QM ，则∠QMA=30°而0＜t ≤2时，∠QMA ＞90°，∴QA=QM 不存在；2≤t ＜4（图中）若QA=QM ，AP ：AD=3：2，∴t=2，若AQ=AM ，23-33（t+2）=t ， ∴t=23-2，∵23-2＜2，∴此情况不存在若MA=MQ ，则∠AQM=30°，而∠AQM ＞60°不存在．综上：t=65，12-63，2时，△AMQ 是等腰三角形． 考点: 1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质. 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，3-）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP’C，那么是否存在点P ，使四边形POP’C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）存在，（2102+，32-）；（3）（32，-154），758. 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；第29页，总68页（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；（3） 由于△ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，易求得直线BC 的解析 式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．试题解析：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 9303b c c ++=-⎧⎨⎩＝解得：23b c =-⎧⎨=-⎩； 所以二次函数的表达式为：y=x 2﹣2x ﹣3.（2）存在点P ，使四边形POPC 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），PP′交CO 于E若四边形POP′C 是菱形，则有PC=PO ；连接PP′，则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC=32∴y=32-； ∴x 2﹣2x ﹣3=32- 解得:12102x +=，22102x -=（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，32-） （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣2x ﹣3），易得，直线BC 的解析式为y=x ﹣3则Q 点的坐标为（x ，x ﹣3）；S 四边形ABPC=S △ABC+S △BPQ+S △CPQ=12AB•OC+12QP•OF+12QP•BF 21143(3)322x x =⨯⨯+-+⨯试卷第30页，总68页 23375()228x =--+ 当32x =时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点坐标为（32，-154）四边形ABPC 的面积的最大值为758. 考点: 二次函数综合题.14．如图，直角坐标系中Rt △ABO ，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到Rt △A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．【答案】（1）y=-x 2+x+2；（2）P （1，2）；（4）四边形PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等.【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质得出A ′（-1，0），B ′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B =S △B′OA′+S △PB′O +S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可；（3）利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．试题解析：（1）（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的， 又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（-1，0），B′（0，2）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B ，∴0=2=c 042a b c a b c ⎧-+=++⎪⎨⎪⎩，解得：112a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x 2+x+2．（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，12×1×2+1212-x2+x+2）+1=-x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：12×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=-x2+2x+3，即x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=-12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．考点: 二次函数综合题．15．已知在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=-2x²+bx+c的图像经过点A（-3,0）和点B（0,6）。
华东师大版2024届九年级上学期期末综合培优检测数学试卷(含答案)
2023-2024学年华东师大版数学九年级上册期末综合培优检测试题一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.计算的结果是( )A. B. C. D.3.用配方法解方程时，下列配方错误的是( )A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为4.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且5.如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是( )A. B. C. D.6.如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为( )A. B. C. D.7.如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于( )A. B.C. D.8.若和两点关于轴对称，则的值是( )A. B. C. D.9.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡度为：，的坡度为：，则长为米．( )A. B. C. D.10.用如图所示的两个转盘分别进行四等分和三等分，设计一个“配紫色“的游戏，任意转动两个指针，当指针停止，分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功则能配紫色成功的概率为( )A. B. C. D.11.如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为参考数据：，( )A. 米B. 米C. 米D. 米12.如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转之后，点的坐标为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.若、为实数，且，则______．14.设、为关于的方程的两个实数根，则______ ．15.如图，于点，于点，，当时，∽．16.如图，已知点，，以点为位似中心，按：的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________17.如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是．三、计算题：本大题共2小题，共16分。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 数与式【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 数与式一、单选题1．若分式无意义，则x 的值是（ ）x|x|−1A ．0B ．1C ．-1D ．±12．下列说法中，正确的是（ ）A ．多项式 是二次三项式a 2+2a 2b +3B ．单项式 的系数是 −πx 2y −1C ．单项式 和 是同类项4m 2n −nm 2D ． 是单项式ab +3b 3．下列算式正确的是（ ）A ．0-（-3）=-3B ．-5+（-5）= 0C ．D ．-5-（-3）= -8−56+(+16)=−234．a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（ ）A ．，B ．a >0−b >0ab <0C ．D ．a +b >0b <−a <a <−b5．若代数式的值为（ ）x−2y =32(x−2y )2+4y−2x +1A ．7B ．13C ．19D ．256．已知是完全平方式，则m 的值是（ ）x 2+mx +9A ．B ．C ．D ．6−6±3±67．无理数在数轴上位置的描述，正确的是（ ）−πA ．在点-4的左边B ．在点-3的右边C ．和原点的距离小于3D ．和原点的距离大于38．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值应在（ ）a x 2−2x−1=02a 2−4a +5A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间9．据统计，云南省2020年城镇常住居民人均可支配收入3.75万元，对于3.75万元这个数据下列说法正确的是（ ）A ．精确到千分位B ．精确到十位C ．精确到百分位D ．精确到百位10．已知m ，n 满足6m-8n+4＝2，则代数式12n-9m+4的值为（ ）A ．0B ．1C ．7D ．1011．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）A ．B ．−a 2+b 216m 2−25n2C ．D ．4p 2−6pq +9q2(a +b)2+(a +b)+1412．下列运算正确的是（ ）A ．B ．5−3÷5−1=25(a 3)3=a 6C ．D ．(−2a 2b)3=−a 6bx 3⋅x 2=x5二、填空题13．当时，代数式 的值为 ．s =t +12s 2−2st +t 214．，，则的值是 ．|a|=4|b|=a−2a−b 15．在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 表示），设计了如图所12+122+123+124+⋯+12nn 示的若干个等腰直角三角形，三角形的面积如图所示．请你利用这个几何图形求 ．12+122+123+124+⋯+12n =16．计算： 的结果是 .(0.04)99×[(−5)99]217．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是 .18．计算：××＝ ．73767三、计算题19．计算（1）25+3−18−(−3)2−179（2）16+3−27+33−(−4)2（3）64−318+(−23)−2+(π−3.14)0−(32)2（4）3−8−1−1625+|2−5|+(−4)2−12022（5）6×19−327+(2)2−42−3220．计算：（1）3−6×(12−13)（2）−42÷(−2)3−94×(−32)2四、综合题21．（1）先化简．再求值：3（a 2﹣ab ）﹣2（ a 2﹣3ab ），其中a ＝﹣2，b ＝3；12（2）设A ＝2x 2﹣x﹣3，B ＝﹣x 2+x﹣5，其中x 是9的平方根，求A+B 的值．22．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请和两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1： 方法2： （2）观察图②请你写出下列三个代数式； mn 之间的等量关系；(m +n)2,(m−n)2,（3）根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知： 求 的值．a−b =3,ab =−2,(a +b)2②已知： ，求的值．a−2a =1a +2a 23．软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，练好软笔字还可以愉悦身心，陶冶性情，如图1是李叔叔的软笔作品，为了美观，李叔叔装裱此作品，装裱作品有三步，一是将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），二是在作品的后面装一层背板（背板与裱上边衬后的作品的大小相等），三是在边衬的外围嵌入边框（边框的宽度忽略不计）．装裱后的作品如图2（装裱前、后都是长方形）．180cm90cm（1）已知图1长，宽．在图2中，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，设上下xcm边衬的宽度是，则上下左右边衬的总面积为多少？（2）装裱作品的费用由三部分组成，一是边衬的费用，二是背板费用，三是边框费用，已知边衬x=10cm每平方米50元，背板每平方米60元，边框每米30元，当时，请你计算装裱此作品需要多少钱？24．如图，四边形ABCD和ECGF都是正方形.（1）写出表示阴影部分面积的代数式；（结果可以不化简）（2）当a＝4时，求阴影部分的面积.25．如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．AB（1）如果点C是的中点，那么a，b，c之间的数量关系是 ；b−4c+1（2）比较与的大小，并说明理由；−|a−2|+|b+1|+|c|（3）化简：．26．已知A＝3a2b－2ab2＋abc，小明错将“C＝2A－B”看成“C＝2A＋B”，算得结果C＝4a2b－3ab2＋4abc.（1）计算B的表达式；（2）求C 正确的结果的表达式；（3）小芳说(2)中结果的大小与c 的取值无关，对吗？若a ＝ ，b ＝ ，求(2)中代数式的值.1815答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】1414．【答案】或2615．【答案】1− 12n16．【答案】117．【答案】6618．【答案】719．【答案】（1）解：原式=5+(−12)−3−43=16（2）解：原式=4+(−3)+33−4=33−3（3）解：原式=8−12+94+1−32=374（4）解：原式=−2−35+5−2+4−1=−85+5（5）解：原式=6×13−3+2−7=1−720．【答案】（1）解：原式= 3−3+2= 2（2）解：原式=−16÷(−8)−94×94=2−8116= −491621．【答案】（1）解：3（a 2﹣ab ）﹣2（ a 2﹣3ab ）12 =3a 2﹣3ab﹣a 2+6ab =(3-1)a 2+(-3+6)ab =2a 2+3ab =2×(-2)2+3×(-2)×3 =8-18 =-10；（2）解：∵ x 是9的平方根，∴x 2=9，A+B ＝2x 2﹣x﹣3+(﹣x 2+x﹣5) =2x 2-x 2-x+x-3-5 = x 2-8 =9-8 =1.22．【答案】（1）（m ＋n ）2−4mn ；（m−n ）2（2）解： mn 之间的等量关系为：（m ＋n ）2−4mn ＝（m−n ）2；(m +n)2,(m−n)2,（3）解：①（a ＋b ）2＝（a−b ）2＋4ab ＝32＋4×（−2）＝1；②∵（a ＋ ）2＝（a− ）2＋4×a× ＝12＋8＝9，2a 2a 2a ∴a ＋ ＝±3．2a 23．【答案】（1）解：上下边衬的宽度是 ，则左右边衬的宽度是 ，xcm 2xcm 则 ，(180+2x +2x)(90+x +x)−180×90 ，=(180+4x)(90+2x)−180×90 ，=180×90+360x +360x +8x 2−180×90 ，=720x +8x 2答：上下左右边衬的总面积为 ；(720x +8x 2)cm 2（2）解：当 时，x =10cm 上下左右边衬的总面积为 ，720×10+8×102=8000(cm 2)=0.8(m 2)背板的面积为 ，(180+20+20)×(90+10+10)=24200(cm 2)=2.42(m 2)边框的周长为 ，2×(180+20+20+90+10+10)=660(cm)=6.6(m)则总费用为 （元），0.8×50+2.42×60+6.6×30=383.2答：装裱此作品需要383.2元．24．【答案】（1）解：S ＝a 2+62﹣ a 2﹣ （a+6）6＝a 2+62﹣ a 2﹣ a×6﹣ ×62＝ a 2﹣3a+18.121212121212（2）解：当a ＝4cm ，S ＝ ×42﹣3×4+18＝14.1225．【答案】（1）2c=a+b （答案不唯一）（2）解：，理由如下：b−4<c +1由数轴知：，，，0<a <1−1<c <0b <−1∴b-4<-5，c+1>0，∴b−4<c +1（3）解：由数轴知：，，，0<a <1−1<c <0b <−1∴a-2<0，b+1<0，∴−|a−2|+|b +1|+|c|=−(2−a)−(b +1)−c =−2+a−b−1−c =a−b−c−326．【答案】（1）解：∵2A ＋B ＝C ，∴B ＝C －2A＝4a 2b －3ab 2＋4abc －2(3a 2b －2ab 2abc)＝4a 2b －3ab 2＋4abc －6a 2b ＋4ab 2－2abc ＝－2a 2b ＋ab 2＋2abc.（2）解：2A －B ＝2(3a 2b －2ab 2＋abc)－(－2a 2b ＋ab 2＋2abc) ＝6a 2b －4ab 2＋2abc ＋2a 2b －ab 2－2abc ＝8a 2b －5ab 2.（3）解：对，与c 无关，将a ＝ ，b ＝ 代入，得：18158a 2b －5ab 2＝8×（18）2×15−5×18×（15）2=0。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333…D. 22/7答案：B2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 8答案：B3. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值是多少？A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A4. 一个圆的半径为4，那么这个圆的面积是多少？A. 16πB. 32πC. 64πD. 100π答案：C5. 下列哪个是二次函数的一般形式？A. y=ax^2+bx+cB. y=ax^3+bx^2+cx+dC. y=ax+bD. y=a(x-h)^2+k答案：A6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 0D. 以上都有可能答案：D8. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 2C. 4D. 1/8答案：A9. 一个数的平方根是3，那么这个数是多少？A. 9B. 3C. -3D. 6答案：A10. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是多少？A. 3B. 1/3C. -3D. -1/3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±52. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
答案：-23. 一个角的补角是120°，那么这个角是______。
答案：60°4. 一个角的余角是30°，那么这个角是______。
答案：60°5. 一个等腰三角形的顶角是100°，那么它的底角是______。
答案：40°6. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______。
答案：90°7. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第5项是______。
初三数学培优试卷4答案
初三数学培优试卷4答案初三培优试卷答案42.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为() A.C.3D.答案：A4、设S1=1112122,S2=1122132,S3=1132142,,Sn=11n21(n1)2;设S...则S=_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．、5．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是2022时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，乙同学需要拍手的次数为_______．1686．（本题8分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB＝6cm，CD＝10cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/的速度向点B移动，点Q以1cm/的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.(1)经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？(2)连结PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．解：（本题8分）（1）过点Q作QE⊥AB于点E过点A作AF⊥CD于点F∵AB=CF=6，CD=10∴DF=4n2nn12APBQC在Rt△ADF中，AFAD2DF23∴QE=AF=3∵AP=2t,CQ=t,∴PE=6-3t在Rt△PEQ中,∵PE2EQ2PQ2∴(6-3t)23252∴t∵0≤t≤3,∴t∴经过2323或t1032分103舍去秒钟，点P、Q之间的距离为5cm3分（2）假设存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ，则∠APD=∠DPQ∵AB∥CD,∴∠APD=∠PDQ∴∠PDQ=∠DPQ∴DQ=PQ4分∵PQ232(63t)2DQ2(10t)2∴32(63t)2(10t)26分3434解得t1=1t2=17分∵0≤t≤3∴两解均舍去∴不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ8分7：课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下甲、乙两图：甲图乙图⑴如果该矩形纸片的长为8，宽为6，则甲、（直接写出答案）⑵这时老师说，这两位同学折出的菱形周长都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如丙图所示：在矩形ABCD中，设AB=6，AD=8，请你在图中画出周长最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的周长．⑶借题发挥：如图，在正方形ABCD中，AB=6，若折叠该正方形，使得点D落在AB边上的点E处，折痕FG交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后EH与BC交于点M，设AE=a，试探究△EBM的周长与a的取值无关．解．（本题满分10分）BMHGCEAFD⑴20和24（2分）⑵如图：（以BD或AC为对角线，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）注意：只要画出图形，不必写画法，E、F略有位置误差视情况给分（4分）25解得：ED=DEBF的周长为25（6分）4⑶解：证得AEF∽BME（7分）BME的周长为12，与a的取值无关．（10分）8、(本题满分8分)阅读下面的材料，并解答问题：问题1：已知正数，有下列命题若ab2,1;若ab3,若ab6,32;3;根据以上三个命题所提供的规律猜想：若ab9,，以上规律可表示为：ab问题2：建造一个容积为8立方米，深2米的长方形无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元。
初三数学培优练习题(含答案)
．．． ．．p + qC ．2 pqp + qD ． p + q + 2 pq3．由 ⎨得 a>－3,则 m 的取值范围是（ ） x > y A 1初三数学培优练习题 131、自然数 4 、5 、 5 、 x 、 y 从小到大排列后，其中位数为 4 ，如果这组数据唯一的众数是 5 ,那么，所有满足条件的 x 、 y 中， x + y 的最大值是（）（A ） 3（B ） 4 （C ） 5（D ） 62、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p :1 ，而在另一个瓶子中是 q :1 ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A ．p + q2B ．p 2 + q 2p + q + 2⎧ x - y = a + 3 ⎪2 x + y = 5a⎪ ⎪⎩a > mA m>－3B m ≥ －3C m ≤ －3D m<－34、在 ∆ABC 中， BC = a, AB = c, CA = b 。
且 a 、 b 、 c 满足： a 2 - 8b = -23 ， b 2 - 10c = -34 ，c 2 - 6a = 7 。
则 2sin A + sin B =（ ）A ．1B ． 75C ．2D ． 1255．将一副三角板如下图摆放在一起，连结D ，则∠ADB 的正 切值为( )A ． 3 - 1B ． 3 + 1C ． 3 + 1D ． 3 -122BD6．给出下列四个命题：A C（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点 A 在直线 y =2x-3 上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为 5 的圆中，弦 AB=8，则圆周上到直线 AB 的距离为 2 的点共有四个； （4）若 A （a ，m ）、B （a –，n ）(a > 0)在反比例函数 y = 4 x的图象上，则 m < n .其中，正确命题的个数是( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D ． 4 个7．已知抛物线 y=ax 2+2ax+4(0<a<3)，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若 x 1<x 2，且 x 1+x 2=1－a ，则（ ）A y 1< y 2 By 1= y 2Cy 1> y 2 D y 1 与 y 2 的大小不能确定B C D C D B C D B8． 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C ，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间 为 t （单位：秒），他与教练的距离为 y （单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致 如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的（ ） A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q9、已知方程 x -1 + x - 2 + x -10 + x - 11 = m 无解，则实数 m 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°， AD＝DC ＝10，点 E ，F 分别在 AD ，BC 上，且 AE ＝4，BF ＝ x ， 设四边形 DEFC 的面积为 y ，则 y 关于 x 的函数关系式是ED CF（不必写自变量的取值范围）． 11．如图，对面积为 1 的 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操AB作，分别延长 AB 、BC 、CD 、DA 至点 A 1、 1、 1、 1，使得 A 1B =2AB ， B 1C =2BC ，C 1D =2CD ，D 1A =2AD ，顺次连接 A 1、B 1、C 1、D 1，B1 得到 A 1B 1C 1 D 1，记其面积为 S 1；第二次操作，分别延长 A 1B 1、B 1C 1、1D 1、1A 1 至点 A 2、 2、 2、 2，使得 A 2B 1=2A 1B 1， 2C 1=2B 1C 1， DCBA1C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接 A 2、B 2、C 2、D 2 记其面积 为 S 2；…；按此规律继续下去，可得到 A 5B 5C 5D 5，则其面积 S 5=__ _ ．12、如右图所示，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，C1 AA DD1BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高， 则下列结论正确的有 （填序号）． ①四边形 EHCF 为菱形； ②∠BCD=60°；E F③ S△BEH = 1S 2 △CEH； ④以 AB 为直径的圆与 CD 相切于点 F ．A BFH C 13、如图所示，已知 △Rt ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F 分别是三边 AB ，BC ，AC 上的点，则 DE ＋EF ＋FD 的最小值为_____ __．14. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ΔABC 的内切圆圆心 O ， 且点 E 在半圆弧上 . ①若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，则半圆 的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形 DEFG 的面积为 100，且 ΔABC 的内切圆半径 r =4，则半圆的直径 AB = __________ .DBE C15、某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额w（元）的范围200≤w＜400400≤w＜500500≤w＜700700≤w＜900…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
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C A BD初三数学培优练习题131、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A ．2p q+B ．22p q p q++C ．2pqp q+ D ．22p q pqp q ++++3．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是（ ）A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－34、在ABC ∆中，b CA c AB a BC ===,,。
且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ，762=-a c 。
则=+B A sin sin 2 （ ）A ．1B ．57C ．2D ．5125．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正切值为( ) A1 B1 C6．给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点A 在直线y =2x -3上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB 的距离为2的点共有四个； （4）若A （a ，m ）、B （a –1，n ）(a >0)在反比例函数xy 4=的图象上，则m <n . 其中，正确命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个 D ． 4个7．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3)，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2， 且x 1+x 2=1－a ，则（ ）A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q9、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°， AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是（不必写自变量的取值范围）．11．如图，对面积为1的 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CD 、DA 至点A 1、B 1、C 1、D 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1D =2CD ，D 1A =2AD ，顺次连接A 1、B 1、C 1、D 1，得到 A 1B 1C 1 D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1至点A 2、B 2、C 2、D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2、B 2、C 2、D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到 A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5=__ _ ．12、如右图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1， BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高， 则下列结论正确的有 （填序号）． ①四边形EHCF 为菱形； ②∠BCD=60°；③12BEH CEH S S =△△； ④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F ． 13、如图所示，已知Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，AC 上的点，则DE ＋EF ＋FD 的最小值为_____ __． 14. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上 .①若正方形的顶点F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形DEFG 的面积为100，且ΔABC 的内切圆半径r =4，则半圆的直径AB = __________ .ABCEFDH FEDCBA CDAA1B1C1BD C BA FE15、某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2＋30 = 110（元）。
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500≤w ＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于31的优惠率。
16、如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形ABCD 的边AD 与x 轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A （1，0），AB=2，AD=3，点E 为OD 的中点，以AD 为直径作⊙M ，经过A 、D 两点的抛物线y= ax 2＋b x ＋c 的顶点为P 。
（1）求经过C 、E 两点的直线的解析式；（2）如果点P 同时在⊙M 和矩形ABCD 内部， 求a 的取值范围；（3）过点B 作⊙M 的切线交边CD 于F 点，当PF ∥AD 时，判断直线CE 与y 轴的交点是否在抛物线上，并说明理由。
试问商品的标价购买商品获得的优惠额率设购买商品得到的优惠.17、把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与 三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=o，45C F ∠=∠=o，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此时，AP CQ =·____________．（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转如图2，设旋转角为α．其中090α<<oo，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．18、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，80cm OA =，60cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿y 轴匀速向点A 运动，到达点A 即停止．设点P 运动的时间为(s)t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求OPT ∆的面积y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线CP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线CP 的函数解析式；（3）探索：以C P T ，，三点为顶点的CPT △的面积能否达到矩形OABC 面积的980？请说明理由．ＢＥ E图1 图2 图3参考答案1、C ，2．答案：D ，由比例性质，21111211p q p q pq p q p q p q+++++=+++++3、C ，4、C ，5、D ，6、B ，7、A ，8、D9．答案：m<18，由绝对值的几何意义知，函数||||||()y x a x b a b a b =-+-≥-<当且 仅当a xb ≤≤时等号成立，∴121011(111)(210)y x x x x x x x x =-+-+-+-=-+-+-+-|111||210|18≥-+-=，当且仅当210x ≤≤时等号成立．故由方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，得18m <．10、35534+-=x y , 11、135或371293, 12、①②③S △CEH =21CH?EB= 21×2×EB=EB ， ∴S △BEH = 21S △CEH ．以AB 的直径的圆的半径为3，而EF=2，R≠EF ．所以AB 为直径的圆与CD 不相切于点F ． 则①②③正确．故选B ． 13、52413、分析：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″，作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD 的最小值． 解答：解：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″ 则FD=F ′D ，FE=F ″E ． DE+EF+FD=DE+F ′D+F ″E ．两点之间线段最短，可知当F 固定时，DE+F ′D+F ″E 的最小值就是线段F ′F ″的长．于是问题转化：F 运动时，F ′F ″什么时候最短． F ′，F ″是关于B 点对称的．作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．很容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．=5x, x=，高是， 故DE+EF+FD 的最小值为，此时F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．14、①5∶2 ；②2115、解（1）%3310001302.01000=+⨯（2）商品的标价为x 元，则800500≤≤x ，消费额：6408.0400≤≤x ，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0)(x x x Ⅰ 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+6408.0500311002.0)(x x x Ⅱ 不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为750625≤≤x因此，当顾客购买标价在750625≤≤x 元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。