动态电力系统分析第七章 线性最优控制系统

对于线性系统,我们可以分析得到其最优控 对于线性系统 我们可以分析得到其最优控 制规律.研究线性系统最优控制规律的问题称 制规律 研究线性系统最优控制规律的问题称 为线性最优控制. 为线性最优控制
二．线性最优控制系统设计原理 线性系统的状态方程一般为: 线性系统的状态方程一般为
X (t ) = A(t )X (t ) + B(t )U (t )
一．概述
由于以上原因,研究电力系统的某些控制 由于以上原因 研究电力系统的某些控制 问题时,可以采用线性化的方法 可以采用线性化的方法,将电力系统 问题时 可以采用线性化的方法 将电力系统 简化为线性系统,然后根据线性最优控制理 简化为线性系统 然后根据线性最优控制理 得到线性最优控制规律. 论,得到线性最优控制规律 得到线性最优控制规律 下面介绍怎样把非线性系统线性化. 下面介绍怎样把非线性系统线性化
一．概述 简单系统的状态方程为: 简单系统的状态方程为
. (ω − 1)ω0 δ ' ' . 2 EqU Xd − Xq U ω = Pe 0 − ' sin δ − sin (2δ ) TJ ' . Xd∑ 2 X d ∑ X q∑ ' Eq ' Xd∑ ' Xd − Xd ' − ' Eq − U cos δ − Eqe Td 0 ' X Xd∑ d∑
[
] [
]
[
= −X T Q(t )X +U T BT (t )P(t )X + X T P(t )B(t )U + X T P(t )B(t )R−1(t )BT (t )P(t )X
+ U T R (t )R −1 (t )B T (t )P (t )X + X T P (t )B (t )R −1 (t )R (t )R −1 (t )B T (t )P (t )X = − X T Q (t ) X + U T R (t )U − U T R (t )U + X T P (t )B (t )R −1 (t )R (t )U
Department of Electrical Engineering
Baoding
2008.5-7
动态电力系统分析与 控制
North China Electric Power University
目录
一．电力系统数学模型及参数 二．电力系统小干扰稳定性分析 三．电力系统次同步谐振分析 四．电力系统暂态稳定性分析 五．直接法在暂态稳定分析中的应用 六．电力系统电压稳定性分析 七．线性最优控制系统 八．非线性控制系统 九．电力系统控制(三) 电力系统控制 三
0 0
X (t0 ) C = ψ (t0 ) λ (t0 )
−1
所以,该方程的特解为 所以 该方程的特解为: 该方程的特解为 X (t0 ) X (t0 ) X (t ) −1 ψ λ (t ) = ψ (t ) (t0 ) λ (t ) = φ (t , t0 ) λ (t ) 0 0 其中: 为转移矩阵. 其中 φ (t ,t0 )为转移矩阵
.
设采用二次型性能指标 1 t J = ∫ [X T (t )QX (t ) + U T (t )RU (t )]dt 0
f
2
应用变分法解条件泛函的拉格郎日法可知,满足 应用变分法解条件泛函的拉格郎日法可知 满足 最优控制的条件为: 最优控制的条件为
∂H = A (t ) X (t ) + B (t )U (t ) ∂λ . ∂H = − QX (t ) − A T (t )λ (t ) λ =− ∂X ∂H = RU (t ) + B T (t )λ (t ) = 0 ∂U X =
.
.
. λ (t ) = − QX (t ) − A T (t )λ (t )
这是有2n个变量的一阶线性齐次微分方程组 称 这是有 个变量的一阶线性齐次微分方程组,称 个变量的一阶线性齐次微分方程组 为具有二次型性能指标的线性控制系统的哈密尔 庞特里亚金方程.该方程的通解为 顿-庞特里亚金方程 该方程的通解为 庞特里亚金方程 该方程的通解为:
.
二．线性最优控制系统设计原理
∴U * (t ) = − R −1 B T (t )λ (t )
此时 X = A (t )X (t ) − B (t )R −1 B T (t )λ (t ) 不是我们所需要的.要 以上两式中的协态变量 λ (t )不是我们所需要的 要 想办法消去 λ (t ). 令 S (t ) = B(t )R −1 BT (t ) 有: X (t ) = A (t )X (t ) − S (t )λ (t )
∴− Q + A
T . −1 T
. T −1 T
二．线性最优控制系统设计原理 当系统为定常系统,A,B为常数阵时 当系统为定常系统,A,B为常数阵时,数值计算显 为常数阵时, 一般不变化, 值才明显变化, 示 P(t ) 一般不变化,直到接近 t 时, P(t ) 值才明显变化, 趋于0.所以 所以, 在有限时间内, ,故有 故有: 趋于0.所以,当 t f → ∞ 时,在有限时间内, P (t ) = 0 ,故有:
0
为线性最优反馈阵. K * (t )为线性最优反馈阵. 的具体值. 以下解 P(t ) 的具体值.
∴U * (t ) = − R −1 B T (t )P(t )X (t ) = − K * (t )X (t )
二．线性最优控制系统设计原理 的表达式: 将 λ (t ) = P(t )X (t ) 代入 λ (t ) 和 X (t ) 的表达式:
δ , ω , E q' 其中: 其中
为状态变量, 为状态变量
E qe为控制变量 为控制变量.
一．概述
在运行点线性化,得 在运行点线性化 得:
. 0 0 ω0 ∆δ 0 ' ∆.δ E' U X − Xq q' cosδ0 +U 2 d TJ 0 − U sinδ0 ∆ω + 0 ∆Eqe ∆ω = − cos(2δ0 ) ' ' X Xd ∑ Xq∑ Xd ∑TJ ' 1 . ' d∑ ∆Eq ' ∆Eq T ' Xd ∑ Xd − Xd d0 − ' ' U sinδ0 0− ' ' X d ∑Td 0 Xd ∑Td 0
二．线性最优控制系统设计原理
X (t ) λ (t ) = ψ (t )C
其中: 阶矩阵, 维常数向量. 其中 ψ (t )为2nX2n阶矩阵 C 为2n维常数向量 阶矩阵 维常数向量 代入,解出向量 将初始条件 X (t ) |t = X (t0 ), λ (t ) |t = λ (t0 ) 代入 解出向量
. .
] 两边对时间求导: 并将 λ (t ) = P(t )X (t ) 两边对时间求导:
X (t ) = A (t ) − B (t )R − 1 B T (t )Pபைடு நூலகம்(t ) X (t )
.
λ (t ) = − [Q + A T (t )P (t )]X (t )
.
[
λ (t ) = P(t )X (t ) + P(t ) X (t )
]
[
]
二．线性最优控制系统设计原理
+ U R (t )R (t )B (t )P (t ) X + [R (t )B (t )P (t ) X ] R (t )[R (t )B (t )P (t ) X ] = −[X Q (t )X + U R (t )U ]+ [U + R (t )B (t )P (t )X ] R (t )U + [U + R (t )B (t )P (t ) X ] R (t )[R (t )B (t )P (t )X ] = −[X Q(t )X + U R (t )U ]+ [U + R (t )B (t )P(t )X ] R(t )[U + R (t )B (t )P(t )X ]
. . .
[ (t )P (t )]X (t ) = P (t )X (t ) + P (t )[A (t ) − B (t )R B (t )P (t )]X (t ) 化简后得: 化简后得: ∴ − P (t ) = P (t )A (t ) + A (t )P (t ) − P (t )B (t )R B (t )P (t ) + Q 这就是Riccati方程 方程.Riccati方程是一个矩阵微分 这就是Riccati方程.Riccati方程是一个矩阵微分 方程, 为未知量. 方程, P(t ) 为未知量.解出 P(t ) ,就可得到最优控制 U * (t ) . Riccati方程一般用数值解 Riccati方程一般用数值解。 方程一般用数值解。
二．线性最优控制系统设计原理 当 t f → ∞ ,且起始时间 t 为任意时,有 为任意时, X (∞ ) X (t ) φ11 (∞, t ) φ12 (∞, t ) X (t ) λ (∞ ) = φ (∞, t ) λ (t ) = φ (∞, t ) φ (∞, t ) λ (t ) 21 22 若控制系统稳定, 若控制系统稳定,则 X (∞ ) → 0, λ (∞ ) → 0,∴ φ11 (∞, t )X (t ) + φ12 (∞, t )λ (t ) = 0 φ21 (∞, t )X (t ) + φ22 (∞, t )λ (t ) = 0 −1 解得: 解得: λ (t ) = [φ22 (∞, t ) − φ12 (∞, t )] [φ11 (∞, t ) − φ21 (∞, t )]X (t ) = P(t )X (t )
d dt
[X
T
P (t ) X
]=
. T
X
P (t ) X + X
T
P (t ) X + X
.
T
P (t ) X
.
将状态方程和Riccati方程代入 将状态方程和Riccati方程代入: 方程代入:
d T X P(t )X = X T AT (t ) + U T BT (t ) P(t )X dt − X T P(t )A(t ) + AT (t )P(t ) − P(t )B(t )R −1 (t )BT (t )P(t ) + Q(t ) X + X T P(t ) AT (t )X + B(t )U
f
.
PA + A T P − PBR
−1
BT P + Q = 0
Riccati微分方程简化为代数方程，又称Riccati代 Riccati微分方程简化为代数方程，又称Riccati代 微分方程简化为代数方程 数方程. 数方程.
二．线性最优控制系统设计原理 根据变分法和极大值原理得到的仅是最优控制的 必要条件.但是,对于线性系统,该条件也是充分条件. 必要条件.但是,对于线性系统,该条件也是充分条件. 下面给予证明. 下面给予证明. 对时间求导: 构造一个二次型函数 X T P(t )X ,对时间求导:
第七章 线性最优控制系统
一．概述 二．线性最优控制系统设计原理 线性最优控制系统设计原理 三．发电机线性最优励磁控制 四．发电机实用线性最优励磁控制 五．积分型线性最优励磁控制
一．概述
从控制的角度看,电力系统是一个多输入、 从控制的角度看 电力系统是一个多输入、 电力系统是一个多输入 多输出的非线性系统.描述电力系统的方程 多输出的非线性系统 描述电力系统的方程 式是一组非线性微分方程. 式是一组非线性微分方程 研究线性最优控制系统在电力系统应用的 目的: 目的 1.线性最优控制理论已经发展的相当完善， 线性最优控制理论已经发展的相当完善， 线性最优控制理论已经发展的相当完善 而非线性最优控制理论的发展还远远落后； 而非线性最优控制理论的发展还远远落后； 2.某些非线性系统或非线性系统的某些问 某些非线性系统或非线性系统的某些问 题可以用线性化的方法进似成线性系统。 题可以用线性化的方法进似成线性系统。