陈维桓微分几何教学大纲.

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微分几何陈维桓第三章讲

目录第三章曲面的第一基本形式 (27)§ 3.1 正则参数曲面 (27)一、参数曲面 (27)二、参数变换 (28)三、正则曲面 (29)四、正则曲面的例子 (30)§ 3.2 切平面和法线 (33)一、曲面的切空间，切平面和法线 (33)二、连续可微函数的等值面 (34)三、微分dr的几何意义 (35)§ 3.3 第一基本形式 (35)§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 (38)§ 3.5 保长对应和保角对应 (40)一、曲面到曲面的连续可微映射 (40)二、切映射 (40)三、保长对应(等距对应) (42)四、保角对应(共形对应) (44)§ 3.6 可展曲面 (45)第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§ 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面2的一个区域(region ，即连通开集)D 到3E 中的一个连续映射3:()r D S r D E →=⊂的象集()S r D =称为3E 中的一个参数曲面(parameterized surface). 在3E 中取定正交标架{;,,O i j }k ，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面S 可以通过参数(parameter)(,)u v 表示成参数方程 (,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩2(,)u v D ∈⊆， (1.1)或写成向量参数方程 ()(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)r r u v x u v i y u v j z u v k x u v y u v z u v ==++=，(,)u v ∈Ω. (1.2) 为了使用微积分工具，本书中要求向量函数(,)r u v 都是3次以上连续可微的. u -曲线：让0v v =固定，u 变化，向量0(,)r u v 的终点描出的轨迹.v -曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面S 就是将平面中的区域D 经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间3E 中的结果.曲纹坐标()(,)()p S u v D ∈↔∈，即(,)(,)Op u v r u v =.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点(,)p u v 与该点的参数(,)u v 之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.定义设:(,)S r r u v =为3E 中的参数曲面. 如果在00(,)u v 点，两条参数曲线的切向量r 图3.1 00(,)r u v0000(,)(,)u u v r r u v u ∂=∂，0000(,)(,)v u v r r u v v ∂=∂ (1.3) 线性无关，即0000(,)0000(,):|[(,)][(,)]0u v u v u v u v r r u v r r r u v r u v ⨯=⨯=⨯≠，则称00(,)u v 或000(,)p u v 是S 的正则点(regular point). 如果S 上每一点都是正则点，则称S 是正则参数曲面.以下总假定S 是正则曲面. 在正则曲面上每一点000(,)P u v ，由于0000(,)(,),,0uu u u u u u v v v v v v v u v y z x z x y r r u v y z x z x y ⎛⎫⨯=-≠ ⎪⎝⎭， (1.4)通过重新选取正交标架{};,,O i j k ，不妨设 0000(,)(,)(,):0(,)uu v v u v u v x y x y x y u v ∂=≠∂.根据反函数定理，存在00(,)u v 的邻域U D ⊂，使得(,),(,)x x u v y y u v ==有连续可微的反函数(,)u f x y =，(,)v g x y =，即有((,),(,)),((,),(,))x f x y g x y x y f x y g x y y ≡≡.此时有()000000(,)(,),(,)x y x u v y u v =的邻域2V ⊂和同胚映射:V U σ→. 从而有连续映射:()|U r r V r U S S σ=→=⊂. 于是S 在000(,)P u v 的邻域|U S 内可用参数方程表示为()()(,)(,),(,),,((,),(,))r x y r u x y v x y x y z f x y g x y ==， (*)或表示为一个二元函数(,)z F x y =的图像，其中 ()(,)(,),(,)z F x y z f x y g x y ==. (1.5)上式称为曲面片|U S 的Monge 形式，或称为|U S 的显式方程.从(*)式可见():|:(,),,((,),(,))U r V S x y x y z f x y g x y →是一一对应，从而1:()|U r r U r U S S σ-=→=⊂也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了:r D S →局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面()S r D =与其定义域D 之间总是一一对应的，从而参数(,)u v 可以作为曲面上点(,)p u v 的曲纹坐标. 反之，由显式方程(,)z z x y =表示的曲面总是正则的：如果()(,),,(,)r r x y r x y z x y ==， (1.6)则()1,0,x x r z =，()0,1,y y z r =，从而 (),,10x y x y r r z z ⨯=--≠.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面:(,)S r r u v =，规定u v r r ⨯所指的一侧为S 的正侧. 由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换(,),(,)u u u v v v u v == (1.8)满足：(1) (,),(,)u u v v u v 是(,)u v 的3次以上连续可微函数；(2) (,)(,)u v u v ∂∂处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下， u u v u v r r r u u ∂∂=+∂∂， v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此 (,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭. (1.10) 上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将3E 与3等同，赋予普通的度量拓扑，即以3的标准度量确定的拓扑. 定义1.1 设S 是33E ≡的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点p S ∈，存在p 在S 中的一个邻域U (U V S =⋂，其中V 是p 在3E 中的邻域)，和2中的一个区域D ，以及同胚 ()::(,)(,)(,),(,),(,)r D U u v r u v x u v y u v z u v →=，使得(,)r u v 是3E 中一个正则参数曲面()r D ，则称S 是3E 中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域U 和同胚r 的逆映射1r ϕ-=合在一起，将(,)U ϕ称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart). 注 S 的拓扑是作为3E 的子集从3E 诱导的相对拓扑，即作为3E 的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化11(,)U ϕ，22(,)U ϕ满足12U U ⋂≠∅，那么正则参数曲面12U U ⋂就有两个参数表示111(,)r u v 和222(,)r u v . 由此自然产生了参数变换 211122121122:()():(,)(,)r U U U U u v u v ϕϕϕ⋂→⋂.利用正则参数曲面12U U ⋂的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面S 是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的112()U U ⋂1212()r U U -⋂1r 2r 1ϕ21r量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化{}(,)|U A ααϕα∈(A 为指标集)，使得{}|U A αα∈构成S 的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.例1.1 圆柱面(cylinder) 222x y a +=(,)(cos ,sin ,)r u v a u a u v =，2(,)u v D ∈⊂. (1.15) 其中0a >.当(0,2)D π=⨯时，圆柱面上少了一条直线 ,0,x a y z v ===. 如果取(,)D ππ=-⨯，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线,0,x a y z v =-==.显然(,)r u v 是任意阶连续可微的. 又 (sin ,cos ,0)u r a u a u =-，(0,0,1)v r =，(cos ,sin ,0)0u v r r a u a u ⨯=≠.所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：(,)r u v =，2(,)\{(0,0)}u v D ∈=.例1.2 球面(sphere) {}22222(,,)|S x y z x y z a =++=，参数方程为(,)r θϕ(,)r u v(,)(cos cos ,cos sin ,sin )r a a a θϕϕθϕθϕ=，222(,)(0,2)(,)ππθϕπ∈⨯-⊂. (1.16) 其中0a >. 由于(cos sin ,cos cos ,0)r a θϕθϕθ=-，(sin cos ,sin sin ,cos )r a ϕϕθϕθϕ=--，2cos (cos cos ,cos sin ,sin )0u v r r a ϕϕθϕθϕ⨯=≠，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)例1.3 旋转面(revolution surface)设:(),()((,))C x f v z g v v a b ==∈是xOz 平面上一条曲线，其中()0f v >. 将C 绕z 轴旋转得到的旋转面S 参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，2(,)(0,2)(,)u v a b π∈⨯⊂. (1.18)旋转面S 上的u -曲线称为纬线圆，v -曲线称为经线. 因为 ()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，||(u v r r f v ⨯= 所以当C 是正则曲线，并且()0f v >时，S 是正则曲面.(,)r u v例1.4 正螺面(hericoid)设两条直线1L 和2L 垂直相交. 将直线1L 一方面绕2L 作匀速转动，同时沿2L 作匀速滑动，1L 的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线1L 为x 轴，2L 为z 轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为 ()(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =，2(,)u v ∈. (1.19)由 ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v a =-，()sin ,cos ,0u v r r a v a v u ⨯=-≠可知正螺面是正则曲面.例1.5 直纹面(ruled surface)简单来说，直纹面就是由单参数直线族{}|(,)u l u a b ∈构成的曲面.()a u ()a u设:()C a a u = ((,)u a b ∈)是一条空间正则曲线. 在C 上对应于参数(,)u a b ∈的每一点有一条直线u L ，其方向向量为()l u . 这条直线的参数方程可以写成:(;)()()u L r v u a u vl u =+.让u 在区间(,)a b 内变动，所有这些直线就拼成一个曲面S ，称为直纹面. 它的参数方程为(,)()()r r u v a u vl u ==+，(,)(,)u v a b ∈⨯. (1.20)曲线C 称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线u L 都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面S 的v -曲线.为了保证直纹面的正则性，要求()()()0u v r r a u vl u l u ''⎡⎤⨯=+⨯≠⎣⎦. (1.21)因为直母线的方向向量()0l u ≠，通过参数变换u u =，|()|v v l u =，可设|()|1l u ≡. 再通过选取新的准线:()()()()C a u a u u l u λ=+，其中()u λ是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即()()0a u l u '⋅≡. 因为()a l a l l l a l λλλ''''''⋅=++⋅=⋅+，只须取()()()u a u l u du λ'=-⋅⎰即可.1. 当()l u c =为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面S 称为柱面(cylindrical surface).2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面S 称为锥面(cone).3. 当()//()l u a u '时，S 称为切线曲面(tangent surface)，由准线:()C a a u =的所有切线构成.这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.课外作业：习题2，5§ 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则曲面，(,)u v ∈Ω是曲面上点的曲纹坐标. 设00(,)p u v 是S 上任意一个固定点. 则S 上过p 点的一条可微(参数)曲线:()C r a t =可以表示为:(,):()((),())a r S t a t r u t v t αδδ=-→=， (2.2)其中 ():(,):(),()t u t v t αδδ-→Ω (2.1)是Ω中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足0(0)u u =，0(0)v v =. 因此00(0)((0),(0))(,)r r u v r u v α==，正是p 点的位置向量. 曲线C 在p 点的切向量为0000(0)(,)(0)(,)(0)u v a r u v u r u v v '''=+. (2.3)定义2.1 曲面S 上过00(,)p u v 点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S 在p 点的一个切向量(tangent vector).命题曲面S 在p 点的切向量全体记为p T S ，它是一个2维实向量空间，{}0000(,),(,)u v r u v r u v 是p T S 的一个基. 事实上，{}0000(,)(,)|,p u v T S ar u v br u v a b =+∈，称为曲面S 在p 点的切空间(tangent space).证明记{}0000(,)(,)|,u v V ar u v br u v a b =+∈. 由(2.3)可见p T S V ⊆. 反之，对任意0000(,)(,)u v X ar u v br u v V =+∈，令00()(,)a t r u at v bt =++. 则()a t 是过00(,)p u v 的可微曲线，并且0000(0)(,)(,)u v a ar u v br u v X '=+=.所以p X T S ∈. 因此p V T S ⊆，从而p T S V =.显然V 按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于0000(,),(,)u v r u v r u v 线性无关，它们构成V 的基. □在空间3E 中，经过点(,)p u v S ∈，以两个不共线向量(,),(,)u v r u v r u v 为方向向量的平面称为曲面S 在p 点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为(,)(,)(,)(,)u v X r u v r u v r u v λμλμ=++，2(,)λμ∈. (2.6) 它的单位法向量(unit normal vector)为(,)(,)||u v u v r r n u v u v r r ⨯=⨯. (2.7) 经过点(,)p u v S ∈且垂直于S 在p 点的切平面的直线称为曲面S 在p 点的法线(normal line). 它的参数方程为()(,)(,)X t r u v t n u v =+，t ∈. (2.8)曲面S 在p 点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 曲面上的自然标架：{}(,);(,),(.),(,)u v r u v r u v r u v n u v .r 图3.1x 00(,)r u v 0v =二、连续可微函数的等值面设3D E ⊂是一个区域，(,,)f x y z 是定义在D 上的连续可微函数. 对于一个常数c ∈，集合{}13()(,,)|(,,)f c x y z E f x y z c -=∈=称为函数f 的等值面. 如果在1()f c -的每一点，都有():,,0x y z f f f f ∇=≠， (2.9)则等值面1()f c -是一个正则曲面. 事实上，设在1000(,,)()p x y z f c -∈，有000(,,)0z f x y z ≠，则方程(,,)f x y z c = (2.10)在p 点的邻近确定了一个隐函数(,)z g x y =，使得(,,(,))f x y g x y c =，,x y ∀.于是等值面1()f c -局部地可以用参数方程表示为()(,),,(,)r r x y x y g x y ==. (2.11)由于(),,10x y x y r r g g ⨯=--≠，等值面1()fc -是正则曲面.在等值面上每一点p ，梯度向量(,,(,))f x y g x y ∇是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底{}(1,0,),(0,1,)x x y y r g r g ==. 由(2.10)两边分别对,x y 求偏导数并注意(,)z g x y =，得0x z x f f g +=，0y z y f f g +=，即有()(),,1,0,0xyz x f ff g ⋅=，()(),,0,1,0x y z y f f f g ⋅=.三、微分dr 的几何意义设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =. 微分得到(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+. (2.13)将,,,u v du dv 看作4个独立的变量，则对于(2.13)中,du dv 的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值:du dv 来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求,du dv 不能全为0.变量,du dv 是切向量(,)dr u v 关于切空间p T S 的基底{}(,),(,)u v r u v r u v 的分量，因此是向量空间p T S 上的线性函数，即,p du dv T S *∈(对偶空间). 事实上，按照定义121::()p u vdu T S R X X r X r du X X →=+=.n ur v r同理，2()dv X X =.注. 由于切空间的自然基底{},u v r r 一般不是单位正交的，在把(,)du dv 看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底{},u v r r 的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5.§ 3.3 第一基本形式设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则参数曲面. 则(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+ (3.1)是曲面上任意一点(,)r u v 处的切向量，这个向量作为3E 中的向量可以计算它的长度. 令()(,)(,)(,):(,)u u u u E u v r u v r u v r r u v =⋅=⋅，()()(,)(,)(,)u v v u F u v r r u v r r u v =⋅=⋅，()(,)(,)v v G u v r r u v =⋅. (3.2)这三个函数,,E F G 称为曲面S 的第一类基本量. 而矩阵E F F G ⎛⎫⎪⎝⎭(3.3) 称为切空间(关于基底{},u v r r )的度量矩阵(metric matrix). 由于3E 的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均0>：0u u E r r =⋅>，()()()2220u u v v u v u v EG F r r r r r r r r -=⋅⋅-⋅=⨯>. (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量,,E F G 的定义，有222()2u v dr dr r du r dv Edu Fdudv Gdv ⋅=+=++.这是一个关于变量,du dv 的二次型，称为曲面S 的第一基本形式(first fundamental form)，记为22I 2(,)E F du dr dr Edu Fdudv Gdv du dv F G dv ⎛⎫⎛⎫=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (3.4) 对曲面S 作可允许的参数变换(,)u u u v =，(,)v v u v =， (3.5) 并记(,)((,),(,))r u v r u u v v u v =. 则由微分形式的不变性得u v u v dr r du r dv r du r dv =+=+. (*)记参数变换(3.5)的Jacobi 矩阵为u v u uuv vv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (3.10) 则有uv u u u u uu v v v v vv r r r J r r r ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.7, 3.9) ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭. (3.8)因此在新的参数(),u v 下，度量矩阵成为()(),,u u T T u v u v v v r r E F E F r r J r r J J J r r F G F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.12)从而第一类基本量之间的关系为()()()()()2222222,,2.u u v v u u u u u u u u v u v v vu v u v u v v u u vu u v v v v v v v E r E F G F r r E F G G r E F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎧==++⎪⎪=⋅=+++⎨⎪==++⎪⎩(3.13)在新的参数(),u v 下，第一基本形式保持不变：I (,)(,)(,)I T du E F du E F du E F du dv du dv J J du dv dv F G dv F G dv F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此第一基本形式与参数选择无关，也与3E 的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：2I ||dr dr dr =⋅=.如果u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+是(,)r u v 处的两个切向量，则它们的内积为(,)()E F du dr r du dv Edu u F du v dv u Gdv v F G dv δδδδδ⎛⎫⎛⎫⋅==+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (3.15) 因此切向量u v dr r du r dv =+的长度为2||2dr Edu Fdudv =+两个切向量u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+之间的夹角(,)dr r δ∠满足cos (,)||||dr r dr r dr r Edu δδδ⋅∠==. (3.17)它们相互正交的充分必要条件是()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++=. (3.18)定理3.1 在参数曲面:(,)S r r u v =上，参数曲线网是正交曲线网0F ⇔≡. □ 对于参数曲面:(,)S r r u v =上的一条曲线:(),(),[,]C u u t v v t t a b ==∈，它的弧长为|||((),())|()b b baaaL dr r u t v t dt t dt '===⎰⎰⎰. (3.21)定义称d σ为曲面:(,)S r r u v =, (,)u v D ∈的面积元素，称DA d σ==⎰⎰⎰⎰(3.18)为曲面S 的面积.命题曲面上曲线的弧长L ，曲面的面积元素d σ以及曲面的面积A 都是几何量.1r r ϕ=1r 1D α证明假设参数变换为1::(,)(,)D D u v u v ϕ→，其中(,),(,)u u v v v u v ==.则在新参数(,)u v 下，S 的参数方程1(,)r u v 与原参数方程(,)r u v 之间满足11(,)((,),(,))(,)r u v r u u v v u v r u v ϕ==.1. 曲线的参数方程由((),())([,])r r u t v t t a b =∈变成了 1111((),())(((),()),((),()))((),())((),())r r u t v t r u u t v t v u t v t r u t v t r u t v t r ϕ=====.所以11||||b baaL dr dr L ===⎰⎰.2. 由(3.12)可见，在新参数(,)u v 下，第一类基本量,,E F G 满足()222(,)(,)T u v E F E F EG F J J EG F F G u v F G ∂⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭. 其中(,)(,)u v u v ∂∂是ϕ的逆映射1ϕ-的Jacobi 行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，(,)(,)u v dudv dudv u v ∂=∂.所以在新参数(,)u v 下的面积元素(,)(,)u v d dudv dudv d u v σσ∂===∂.3. 根据二重积分的变量代换公式，有11D D DA d dudv d A σσ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. □例1 求旋转面()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =的第一基本形式. 解 ()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=. 所以2(,)()E u v f v =，0F =，22(,)()()G u v f v g v ''=+.这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为22222I ()[()()]f v du f v g v dv ''=++. (3.24)这说明在旋转面上经线(v -曲线)和纬线(u -曲线)构成正交参数曲线网. □例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解设正则参数曲面:(,)S r r u v =的第一基本形式是22I 2Edu Fdudv Gdv =++.再设二等分角轨线的切向量为u v dr r du r dv =+.由题意，它与u -曲线的夹角要等于它与v -曲线的夹角，而u -曲线的切方向为0v δ=，v -曲线的切方向为0u δ=，所以||||||||u vu v dr r dr r dr r dr r ⋅⋅=±.将u v dr r du r dv =+和||,||u v r E r G ==代入上式，得))Edu Fdv Fdu Gdv +=+，即))E Fdu F dv -=.由于220u vEG F r r -=⨯>，即)0F F >-，所以上式可化简为0±=， (3.25)或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为22Edu Gdv =. □注求解一阶常微分方程初值问题du dv E=，00()u v u =(00(,)u v D ∈) 得到的解()u f v =是曲面S 上过00(,)r u v 点的一条曲线:()((),)C r v r f v v =，在C 的每一点()r v ，切方向()r v '与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定0v ，让初始条件0u 变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.课外作业：习题2，5，8§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：22I Edu Gdv =+. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设(,)(,)f u v du g u v dv ω=+是定义在区域2D ⊂上的连续可微的1次微分形式，且ω处处不为零. 则对于任意一点00(,)u v D ∈，ω在00(,)u v 的某个邻域U D ⊂内存在积分因子，即有定义在U 上的非零连续可微函数(,)u v λ，使得(,)u v λω是某个定义在U 上的连续可微函数(,)F u v 的全微分：[](,)(,)(,)(,)u v f u v du g u v du dF u v λ+=.引理的证明见附录§1定理1.2.定理4.1 假定在曲面:(,)S r r u v =上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场(,)a u v ,(,)b u v . 则对每一点p S ∈，必有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足//u r a ，//v r b .分析：设12u v a a r a r =+，12u v b b r b r =+. (4.2)则由,a b 线性无关可知121221120a a A a b a b b b ==-≠. (4.3) 如果这样的可允许参数变换(,),(,)u u v v u v 存在，则应有函数,λμ使得12()u v u uv u v u u r r r a a r a r λλ∂∂∂∂=+==+，12()u v v uv u v v v r r r b b r b r μμ∂∂∂∂=+==+， (4.5)即有1212u v u uuv vv a a J b b λλμμ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (4.7) 在上述等式两边取逆矩阵得221111u v u u u v v v b a J b a A μλμλλμ∂∂∂∂-∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.8) 因此逆参数变换(,),(,)u u v v u v 应满足121121(),().uu u v A v v uvAdu du dv b du b dv dv du dv a du a dv λμ∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎪⎨=+=-+⎪⎩ (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式21b du b dv α=-，21a du a dv β=-+. (4.10) 由引理可知存在积分因子(,),(,)u v u v ξξηη==使得,ξαηβ是全微分，即有函数(,)u u v ，(,)v u v 使得2121(),().u uu v v vu vdu du dv b du b dv dv du dv a du a dv ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎨=+=-+⎩ (4.11) 由此可见2211uv u uu v vv b a b a ξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.12) 因为0u u u v v v uvA ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=≠，参数变换(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v =是可允许的. 在新的参数(,)u v 下，()()()()12121212//.u v u vu v u v u v u u v v uu v v u v u u uvuva a r a r a rr a r r aar aar Ar r ξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++=+++=同理有//v b r . □注满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得,u v r a r b ==.定理4.2 在曲面:(,)S r r u v =上每一点p S ∈，有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足0u v F r r =⋅=.证明. 取向量场,u u v a r b Fr Er ==-+. 则,a b 线性无关，且0a b ⋅=. □ 注在曲面:(,)S r r u v =上，令 11u e r E =，()2211()u v e b Fr Er b E EG F ==-+-.则{}12,e e 是曲面上的单位正交切向量场，称为{},u v r r 的Schmidt 正交化.课外作业：习题1，3§ 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面11111111:(,),(,)S r r u v u v D =∈和22222222:(,),(,)S r r u v u v D =∈. 因为曲面上的点p 与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面1S 到曲面2S 的映射12:S S ϕ→可以通过它们的参数表示出来，即有映射12:D D ψ→使得121r r ϕψ-=，或121r r ψϕ-=.31E S ⊃ 32S E ⊂1r2r2D将映射12:S S ϕ→通过它们的参数用两个函数表示出来，则有211211(,),(,).u f u v v g u v =⎧⎨=⎩ (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射ϕ是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射ϕ有足够的连续可微性.二、切映射设两个曲面12,S S 的参数方程分别为111(,),(,)r r u v u v D =∈和22(,)r r u v =，2(,)u v D ∈. 映射12:S S ϕ→是连续可微的，它的参数表示为121r r ϕψ-=，其中12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==. (5.1)’则对每一点1p S ∈，可以通过下面的方法定义一个线性映射()()1()211::p p u vT S T S X a r b r X ϕϕϕ**→=+，其中()()()()()()()1111:u v uvX a r b r a r b r ϕϕϕϕ****=+=+()()()()22222()()u v u v u u v v u v u v u v a r r b r r a b r ϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤=+++≡+⎣⎦⎣⎦()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.9) 上面定义的映射ϕ*称为由连续可微映射ϕ诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射ϕ*把11()()p u v X a b r T S ∂∂∂∂=+∈映为[]12()2()()()()p u v u v a b r a b r T S ϕϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂+=+∈.在(5.9)中令,a du b dv ==，可知()()1111p u v dr r du r dv T S =+∈在切映射ϕ*下的象是()()()()()()()()122222u u v vu v u vu v u v dr du dv r du dv r r du r dv d r ϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂=+++=+=. (5.9)’ 由于每个切向量()()111p u v X a r b r T S =+∈都是1S 上的某一过p 点的曲线:()C u u t =，()v v t = (5.2)在p 点的切向量：()01|((),())dt dt X r u t v t ==，其中00((0),(0))(,)u v u v =为p 点的曲纹坐标，且(0)u a '=，(0)v b '=(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：ϕ将1S 上的曲线C 映为2S 上的曲线:()((),())C u t u u t v t =，()((),())v t v u t v t =. (5.3)定义()X ϕ*为C 在0t =处的切向量，即 [][]0202()|((),())|(((),()),((),())ddt t dt dtX r u t v t r u u t v t v u t v t ϕ*==== (5.5)1D ψ()[]()[]22(0)(0)(0)(0)u uv v u vu v u v r u v r u v ∂∂∂∂∂∂∂∂''''=+++()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.4)在(5.3)’中分别取(,)(1,0)a b =和(,)(0,1)a b =，可得()()()()()()1122,,u uu v u v u v v v u v r r r r ϕ∂∂∂∂*∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (5.7) 因此切映射ϕ*在自然基()(){}11,u v r r 下的矩阵恰好是映射ψ的Jacobi 矩阵. 由此可知在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，当且仅当在p 点映射(5.1)’的Jacobi 行列式(,)0(,)pu v u v ∂≠∂.定理 5.1 设映射12:S S ϕ→是(3次以上)连续可微的. 如果在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，则分别有p 点的邻域11U S ⊂和()p ϕ点的邻域22U S ⊂，12()U U ϕ⊂，以及12,U U 上的参数系11(,)u v 和22(,)u v ，使得映射1|U ϕ的参数表示为12112211id ::(,)(,)(,)u v u v u v ψ=Ω→Ω=，其中11111222(),()r U r U --Ω=Ω=. 这种参数系称为映射ϕ的适用参数系.证明设12,S S 的参数方程分别为11(,)r r u v =和22(,)r r u v =，ϕ的参数表示为12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==.由条件，(,)0(,)pu v u v ∂≠∂. 设p 点的曲纹坐标为00(,)u v ，()p ϕ点的曲纹坐标为00(,)u v .由于(,)(,)u v u v ∂∂是连续的，存在00(,)u v 在1D 中的邻域11D Ω⊂，使得在1Ω上(,)0(,)u v u v ∂≠∂，且在1Ω上1|ψΩ有连续可微的反函数121::(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v ψ-Ω→Ω=，其中212()D ψΩ=Ω⊂是00(,)u v 在2Ω中的邻域. 在1Ω上对曲面1111()U r S =Ω⊂作参数变换11,u u v v ==. 在2'Ω上对曲面2222()U rS '=Ω⊂作参数变换22(,),(,)u u u v v v u v ==. 则在新的参数下，ϕ的参数表示为112112211::(,)(,)((,),(,)(,)(,)(,)u v u v u u v v u v u v u v u v ψψ-Ω→Ω====.11S U ⊃ 22U S ⊂1r2r(,)u v 11D ⊃Ω 22D Ω⊂ (,)u v|| || 1ψ-1ψ-1Ω 三、保长对应(等距对应)设12:S S ϕ→是连续可微映射，(,)u v 和(,)u v 分别是12,S S 的曲纹坐标. ϕ的参数表示为ψ1|Uϕ1Ωψ11(,)u v 22(,)(,)u v u v =(,),(,)u u u v v v u v ==.因为(,)(,):(,)u v uu uv vvdu dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭，对于曲面2S 上的任意一个二次微分式22(,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv dv B C ω⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.11)我们可定义曲面1S 上的一个二次微分式22T (,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv J J dv B C ϕω*⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.12)其中u vu u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭，T u v uuuu uv u v v v v vuvA B A B A B J J B C B C B C ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5.15) 其中,,A B C 作为复合函数，是,u v 的函数，即()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,),u u vu u uvuA u v A u u v v u v u vB u u v v u v u v u vC u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++()()()()()()()()(,)((,),(,))(,)(,)((,),(,))[(,)(,)(,)(,)]((,),(,))(,)(,),u u u vu v v uuv v v uvuvB u v A u u v v u v u v u v B u u v v u v u v u v u v u vC u u v v u v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++(5.13)()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,).u u vv v vvvC u v A u u v v u v u v B u u v v u v u v u v C u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++二次微分式ϕω*称为2S 上的二次微分式ω经过映射ϕ拉回(pull back)到1S 上的二次微分式. 简单来说，ϕω*就是将(,)(,)(,)uv uu uv vvdu dv du dv J du dv ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭代入(5.11)右端而得.例曲面2S 上的第一基本形式222I 2Edu Fdudv Gdv =++是一个二次微分式. 拉回到1S 上，()()()222T (I )2(,)(,).A du B dudv C u v dv du A B du dv J J dv B C ϕψψψψψψψ*=++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()()222222I u v dr r du r dv ⎡⎤==+⎣⎦，上式可以简单地写成()222(I )d r ϕψ*=⎡⎤⎣⎦ (*)定义5.1设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 如果对每一点1p S ∈，切映射ϕ*都保持切向量的长度，即X X ϕ*=，1p X T S ∀∈，1p S ∀∈.则称ϕ是从1S 到2S 的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry ).注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若12:S S ϕ→是等距对应，则有()()X Y X Y ϕϕ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈.反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有()(())L C L C ϕ=.注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，从而局部地ϕ是微分同胚，存在适用参数系.由(5.9)’可知()()()()2122(,)u v r dr du dv J d r r ψϕψψ*⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭. 利用(*)得到()()()112I dr dr ϕϕϕ***⋅=，其中222I 2Edu Fdudv Gdv =++是2S 的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 则ϕ是等距对应的充分必要条件是 ()()()()()211111I I dr dr dr dr ϕϕϕ***=⋅=⋅=，即在对应点，成立T u v u u u u u v u v v v v v u v E F E F E F J J F G F G F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. □ (5.20) 将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面12,S S ，是否存在等距对应12:S S ϕ→？这相当于已知(5.20)中的函数,,,,,E F G E F G ，求解未知函数(,)u u u v =，(,)v v u v =，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难.利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3 曲面1S 和2S 之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在1S 和2S 上选取适当的相同参数系(,)u v ，使得在这个参数系下1S 和2S 有相同的第一基本形式. □例5.1 证明：螺旋面1S : 1(cos ,sin ,)r u v u v u v =+，2(,)u v ∈与单叶旋转双曲面 2:S 2(cos ,sin r ρθρθ=，(,)(1,)(0,2)ρθπ∈∞⨯之间可以建立等距对应.证明计算得到1S 和2S 的第一基本形式分别为2221I 22(1)du dudv u dv =+++，22222221I 1d d ρρρθρ-=+-. 对1S 作参数变换,arctan u u v u v ==+，这是可允许参数变换. 则 22222221222112I 2(1)(1)111du u du u dv du u dv u u u +⎛⎫⎛⎫=-+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 对2S 作参数变换2,u v ρθ==. 则22222212221I (1)I 1u u du u dv u u ⎛⎫+=++= ⎪+⎝⎭. 等距对应12:S S ϕ→的参数表示为arctan u v ρθ==+. □四、保角对应(共形对应)定义5.2设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 如果 ()(),,X Y X Y ϕϕ**∠=∠，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)其中0,0X Y ≠≠，则称ϕ是从1S 到2S 的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence ).注对于保角对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，否则(),X Y ϕϕ**∠无意义. 因此可以选取适用参数系(,)u v 使得映射ϕ就是具有相同参数的点之间的对应. 引理设,V W 是两个欧氏空间(即带有内积,⋅⋅的实向量空间)，:V W →是线性同构. 如果保持向量之间的夹角：(,)(,),,u v u v u v V ∠=∠∀∈，则λ+∃∈，使得2,,,,u v V u v u v λ=∀∈. (1) 反之，若λ+∃∈，使得(1)成立，则保持向量之间的夹角.证明取V 的单位正交基{}1,,n e e . 因为是同构，{}1,,n e e 是W 的基，且两两正交. 令 ||0i i a e =>， 1||i i i e e e =， 1,2,i n =. 则{}1,,n e e 是W 的单位正交基，且i i i e a e =， 1,2,i n =. (2)对于i j ≠，由条件，有(,)(,)ij i i i j j i i e e e a e a e a e ∠+=∠+，所以,,||||||||i j i i i j j i i i j i i i j j i i e e e a e a e a e e e e a e a e a e ++===++ 这说明1:0n a a λ===>. 于是对1n i i i u u e V =∀=∈∑，有11n ni i ii i i u u e u e λ====∑∑，从而(1)成立. 反之，设(1)成立. 则 2,,u u u u λ=，2,,v v v v λ=，2,,u v u v λ=, ,u v V ∀∈. (3) 从而对任意两个非零向量,u v V ∈，有,,cos (,)cos (,)||||||||u v u v u v u v u v u v ∠===∠. □ 推论设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 则ϕ是保角对应的充分必要条件是存在1S 上的正的连续函数1::()S p p λλ+→，使得()()()2(,)X Y u v X Y ϕϕλ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)’ 其中(,)u v 是p 点的曲纹坐标.当函数1λ≡时，ϕ其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)’等价于()()()()()22211111I I dr dr dr dr ϕϕϕλλ***=⋅=⋅=， (5.23)即有2T u v u u u u u v u v v v v v u v E F E F E F J J F G F G F G λ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以在适用参数系下，保角对应的条件(5.22)’就简化为222,,E E F F G G λλλ===. (5.24)综上所述，我们就有下面的定理. 定理5.4设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 则ϕ是保角对应的充分必要条件是存在1S 上的正的连续函数1:S λ+→，使得221I I ϕλ*=， (5.23)其中1I ，2I 分别是1S ，2S 的第一基本形式. □定理5.5 任意正则参数曲面S 必局部共形于平面，即S 上任意一点p 都有一个邻域U 可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.推论任意正则曲面S 上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数(,)u v 使得222I ()du dv λ=+，其中(,)u v λλ=是局部定义的函数.定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法. 例5.2 球面的Mercator 投影课外作业：习题1§ 3.6 可展曲面本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应.考虑下面的三种直纹面：1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，其中0l ≠是常向量，(,)(,)u v a b ∈⨯.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，其中a 是常向量，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞.3. 切线曲面(,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠. 它们的单位法向量分别是 1. ()|()|a u l n a u l '⨯='⨯；2. ()()|()()|l u l u n l u l u '⨯='⨯；3. ()()|()()|a u a u n a u a u '''⨯='''⨯. 这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线0u u =切平面相互重合. 定义6.1 设S 为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称S 为可展曲面. 定理6.1 设直纹面S 的方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则S 是可展曲面的充要条件是()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀. (6.1) 证明因为(,)()(),(,)()u v r u v a u vl u r u v l u ''=+=，所以()u v r r a vl l a l vl l ''''⨯=+⨯=⨯+⨯.由定义，S 是可展曲面的充要条件是：对0u ∀，沿着直母线0u u =，向量0(,)u v r r u v ⨯具有固定方向. 由第一章定理2，这等价于[][]00(,)(,)0d u v u v dv r r u v r r u v ⨯⨯⨯=，即000000()()()()()()0a u l u vl u l u l u l u '''⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦，也就是0000()()()()0a u l u l u l u ''⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦.用二重外积公式将上式左端展开，得()0000(),(),()()0a u l u l u l u ''=. 所以上式等价于 ()0000(),(),()0,a u l u l u u ''=∀ 这就是(6.1). □注1 如果直纹面S 上有2族不同的直母线，那么S 只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面.单叶双曲面2222221y x z a b c =+-，参数方程为 ()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+()()cos ,sin ,0sin ,cos ,a u b u v a u b u c =+-.双曲抛物面22222y x a b z -=，参数方程为()()()(,)(),(),2,,0,,2r u v a u v b u v uv au bu v a b u =+-=+-.注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关.定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类.证明设S 是可展曲面. 则S 是直纹面. 选取直母线的方向向量()l u 为单位向量，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即S 的参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+，其中|()|1l u ≡，()()0a u l u '⋅≡. 由定理6.1，有()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀.即(),(),()a u l u l u ''处处线性相关.如果()()0l u l u '⨯≡，则由()()0l u l u '⋅≡可知()l u 是常向量. 此时S 是柱面.假设()()0l u l u '⨯≠. 则()a u '可用(),()l u l u '线性表示. 由()()0a u l u '⋅≡得到()()()a u u l u λ''=. (6.2) 令()()()()b u a u u l u λ=-. (6.3)则()[()]()r b u v u l u λ=++.由(6.2)，(6.3)得()()()b u u l u λ''=-.如果()0b u '≡，则()b u c =是常向量，从而S 是锥面：(,)()r r u v c v l u ==+，其中()v v u λ=+.如果()0b u '≠，则()b u 是正则曲线，并且()0u λ'≠，从而S 是切线曲面：(,)()()r r u v b u vb u '==+，其中[()]/()v v u u λλ'=-+. □定理6.3 局部地，可展曲面可以与平面建立保长对应.证明根据定理6.2，可展曲面只有柱面，锥面和切线曲面三类. 下面分别证明它们都可以与平面建立保长对应.1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，(,)(,)u v a b ∈⨯.取单位常向量l 为直母线的方向向量，u 为准线C 的弧长参数，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即柱面的方程为 l v u a v u r +=)(),(，其中1||=l ，0=⋅l a . 于是由a r u =，l r v =可得1||2==a E ，0=⋅=l a F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为22I dv du +=. 它与xOy 平面)0,,(v u r = 有相同的第一基本形式.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞. 取)(u l 为单位向量，即1|)(|≡u l . 则有0)()(='⋅u l u l . 于是由)(u l v r u '= ，)(u l r v =可得22|)(|u l v E '= ，0=⋅'=l l F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为 2222|)(|I dv du u l v +'= . 由于0|)(|≠'u l (否则锥面退化为一条直线)，可作参数变换⎰'=du u l u |)(| ，v v =. 则第一基本形式化为222I v d u d v +=. 它与xOy 平面)0,sin ,cos (u v u v r = 有相同的第一基本形式. 3. 切线曲面:S (,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠.取u 为准线)(:u a a C =的弧长参数，它的Frenet 标架为{}γβα ,,;a ，曲率为κ.由βκα v r u +=，α =v r 可得)(122u v E κ+=，G F ==1. 所以第一基本形式为22222))(1(I dv dudv du u v +++=κ. (*) 根据曲线论基本定理，存在平面曲线)0),(),(()(:11u y u x u a C = ，以u 为弧长参数，以)(u κ为曲率.。

高等数学A课程教学大纲

《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：06122001课程名称：微分几何英文名称：Differential Geometry课程性质：限选适用专业：数学与应用数学开课学期：春期总学时：34总学分：2课程简介：微分几何是数学与应用数学专业的基础课, 内容包括曲面论、曲线论、活动标架法、整体微分几何初步。

本课程的教学目的是使学生掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，同时培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

本课程主要教学内容是曲线的切向量与弧长、曲率与扰率、Frenet标架与Frenet公式、曲线的局部结构、曲线论基本定理、曲面的表示、切向量、法向量、旋转曲面、直纹面与可展曲面、曲面的第一基本形式与内蕴量、曲面的第二基本形式、曲面上的活动标架与基本公式、Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线、Gauss曲率和平均曲率、曲面的局部结构、Gauss映照与第三基本形式、全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面、曲面论基本定理、测地曲率与测地线、向量的平移、曲面上的Gauss-Bonnet公式、向量场与孤立奇点的指标、球面的刚性、极小曲面中的Bernstein定理、完备曲面与Hopf-Rinow定理等等。

课程英文描述：Differential geometry is a basic course of applied mathematics subject. The content includes surface theory, curve theory, method of moving frames, and introduction to global geometry. The purpose of this course is to introduce the students to some basic geometrical concepts, and to some common methods in the study of curves and surfaces, so as to lay the foundation for the further study of modern geometry. Meanwhile it is contented to cultivate their intuitive analysis capabilities, the ability to solve geometric problems by analysis, algebra and other tools, and to develop the ability to conform theory with practice, so as to develop the skill to analyze and solve problems.This main content of this course is tangent vectors and arc length of curves, curvature and torsion, Frenet frames and Frenet formulas, local structure of a curve, fundamental theorem of curve theory, representation of a surface, tangent vector, normal vector, surface of revolution, ruled surfaces, developable surfaces, the first basic form of a surface, intrinsic quantities of a surfaces, the second basic form of a surface, moving frames on a surface and basic formulas, Weingarten transform, asymptotic curves and conjugate curves of a surface, normal curvature, main directions, main curvatures, Gauss and mean curvature, the local structure of a surface, Gauss mapping and the third basic form, totally umbilical surfaces, minimal surfaces, surfaces with constant Gauss curvature, the fundamental theorem of surface theory, geodesic curvature and geodesics, vector translation, Gauss-Bonnet formula on a surface, indicator of a vector fields with isolated singularities, rigidity of the sphere, Bernstein Theorem for minimal surfaces, complete surfaces and the Hopf-Rinow theorem, etc.推荐教材：《微分几何》（第四版），梅向明黄敬之编，高等教育出版社，2008.5《微分几何》，苏步青等编，高等教学出版社，1979参考书目：1.《微分几何》，彭家贵等编，高等教育出版社，20022.《微分几何初步》，陈维桓编，北京大学出版社，20043.《微分几何讲义》，吴大任编，高等教育出版社，19814.《微分几何讲义》，虞言林等编，高等教育出版社，1989二、课程总目标1．在知识理论方面，本课程教学要求学生掌握曲线的切向量与弧长、曲率与挠率，掌握Frenet标架与Frenet公式，熟悉曲线的局部结构，理解曲线论的基本定理，掌握曲面的表示、切向量、法向量，熟悉旋转曲面、直纹面与可展曲面，掌握曲面的第一基本形式与内蕴量，掌握曲面的第二基本形式，掌握曲面上的活动标架与基本公式，熟悉Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线，掌握Gauss曲率和平均曲率，熟悉曲面的局部结构，熟悉Gauss映照与第三基本形式，了解全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面，理解曲面论的基本定理，掌握测地曲率与测地线，掌握向量的平行移动，掌握曲面上的Gauss-Bonnet公式，理解向量场与孤立奇点的指标，理解球面的刚性，了解极小曲面中的Bernstein定理，熟悉完备曲面与Hopf-Rinow定理。

《微分几何》课程教学大纲

《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。

微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。

（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。

【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。

【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。

[整理]微分几何陈维桓第五章讲稿

目录第五章曲面论基本定理 (67)§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)§ 5.2 曲面的唯一性定理 (69)§ 5.3 曲面论基本方程 (71)§ 5.4 曲面的存在性定理 (75)§ 5.5 Gauss定理 (76)第五章曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理§ 5.1 自然标架的运动公式设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =⋅和2II d r n dr dn =⋅=-⋅是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =和:S *(,)r r u v **=有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？3S E ⊂Ω σ (见定理2.1)3S E *⊂答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2u v =. 注意12,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成()()23,uu αα，……，(1,2α=).这样，S 的参数方程为12(,)r r u u =. 从现在起，用r α表示向量函数12(,)r u u 对变量u α的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式212121dr r du r du r du ααα===+∑简记为 dr r du αα=. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，21112212211122122,1S TS T S T S T S T S T αβγαβγγγγγαβαβαβ===+++∑，212121P P P P ααααα===+∑.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S TS T S T αβγαεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγ表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ=.类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数12(,)r u u 的二阶微分可写成22d r r d u r du du ααβααβ=+.采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=⋅=⋅=，2II d r n b du du αβαβ=⋅=， (1.6)其中g r r αβαβ=⋅，b r n αβαβ=⋅， (1.5)即1111g r r E =⋅=，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =. rr r σ*=记()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)用()g αβ表示度量矩阵()g αβ的逆矩阵，则有1,,0,.g g αγαγββαβδαβ=⎧==⎨≠⎩(1.9)实际上，1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n . 下面来导出自然标架的运动方程.由于12,,r r n 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n 表示出来. 设,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-， (1.18)其中γαβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令:r r ξαβξαβΓ=⋅， (1.22)称为第一类克氏符号. 由r r αββα=可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：γαβγβαΓ=Γ，γγαββαΓ=Γ.用r ξ与(1.18)中的第1个式子作内积，得()r r r r b n g γγξαβξαβξαβγαβξγαβΓ=⋅=⋅Γ+=Γ. (1.20) 用g ξη乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得g g g ξηξηγηγηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ，即g γγξαβξαβΓ=Γ. (1.21)(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()g λμ将αβγΓ降标而得的；而αβγΓ则是用()gλμ将αβγΓ升标而得的.类似地，用r ξ-与(1.18)中的第2个式子作内积，得()b r n r b r g b γγξαξαξαγξγα=-⋅==， (1.14) 从而b b g βγβααγ=. (1.15)于是我们有自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式r u r αα∂∂=， (1.11)r u r b n αβγαβγαβ∂∂=Γ+，n u b r αβαβ∂∂=-， (1.18)其中b αβ是第二类基本量，b b gβγβααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel 记号γαβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=⋅得g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβγ∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ. 返回 (1.23) 由γαβγβαΓ=Γ可得 2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂+-=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，即有()12g g g u u u γαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-. 返回 (1.24)于是由(1.21)，()12g g g u u u g gγγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.Gauss 公式的几何意义：r αβ的切向部分是r γαβγΓ，法向部分是b n αβ. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten 公式的几何意义；矩阵()b βα正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r 下的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=.在正交参数网中，Christoffel 记号γαβΓ的计算公式(1.28). 例求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.解曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 因此1u x =，2u y =，()111,0,r f =，()220,1,r f =，)12,,1n f f =--.其中1x f f =，2y f f =. 因为()()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==，所以 ()()()()()1222120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβγαβγαβαβαβΓ=-⋅=---++()()()()()2212122212,,1f f f f f f f αβ=+++.另一方面()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γ.所以()()1122121f f f f αβαβΓ=++，()()2222121f f f f αβαβΓ=++，即有()()111221x xxx y f f f f Γ=++，()()112221x xyx y f f f f Γ=++，()()122221x yyx y f f f f Γ=++，()()211221y xxx y f f f f Γ=++，()()212221y xyx y f f f f Γ=++，()()222221y yyx y f f f f Γ=++.课外作业：习题4，5§ 5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)S r r u v =和:(,)S r r u v ***=有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ.定理2.1若12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=(12(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有3E 中的刚体运动σ使得()S S σ*=.证明因为()S r =Ω，()S r **=Ω，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得3:r r E σ*=Ω→. (1)不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)r r r n 和{}12(0);(0),(0),(0)r r r n ****. 选取3E中的刚体运动σ使得在1200(,)u u 点成立1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====. (2)[事实上，令3(0)e n =，11(0)e =，231e e e =⨯. 则由(0)21(0)(0)F E r e ⋅=，()()2(0)(0)(0)12223121(0)(0)(0),,(0),(0),(0)E G F E r er e e r n r -⋅===可知11(0)(0)r E e =，2(0)(0)(0)(0)212(0)E G F F r e e -=+，3(0)n e =. (3)同样，令3(0)e n **=，11(0)e **=，231e e e ***=⨯. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有 11(0)(0)r E e**=，2(0)(0)(0)212(0)(0)(0)E G F E E r e -***=+，3(0)n e **=. (4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+A将正交标架{}123(0);,,r e e e 变成{}123(0);,,r e e e ****，其中()(0)(0)a r r *=-A ，而 33123::()(,,)vv vA v v v A →==R R A A是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ 变成向量()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=A A A A . 所以刚体运动σ将向量1(0)r 变成向量()111111((0))(0)()(0)()(0)(0)(0)r E e E e E e r r σσ**=====A A .同理，22((0))(0)r r σ*=. 又33((0))()(0)n e e n σσ**===. ]设()S S σ=是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 的参数方程为()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+A .于是()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========A A A ，从而11()r r =A ，22()r r =A .由于保持定向的正交变换保持外积不变，有121212()()()r r r r r r ⨯=⨯=⨯A A A ，()1212121211()||||||r r r r r r n n r r r r r r ⎛⎫⨯⨯⨯==== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭A A A .由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S 的第一、第二基本形式分别为()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=⋅=⋅=⋅==A A ， ()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-⋅=-⋅=-⋅==A A .于是S 与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα==Γ+==-；,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******==Γ+==-.由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：()(0)(0)(0)r r r σ*==，()111(0)(0)(0)r r r σ*==，()222(0)(0)(0)r r r σ*==，(0)(0)n n *=.设1200(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，使得()()1212120(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.则限制在C 上{}12;,,r r r n 和{}12;,,r r r n ****满足同样的常微分方程组初值问题111222,(),(),.dr du r dt dtdr du r b n dtdt dr du r b n dt dtdn du b r dtdtααβγβγββγβγβαβαβ**********⎧=⎪⎪⎪=Γ+⎪⎪⎨⎪=Γ+⎪⎪⎪=-⎪⎩ 由常微分方程组解的唯一性得()121212000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==.由1200(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ*=. □定理2.2 设12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ϕ*→使得(I )I ϕ**=，(II )II ϕ**=，则存在3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. (选取适用参数系) □课外作业：无§ 5.3 曲面论基本方程曲面论存在性问题：设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分形式，是否存在3E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =，使得ϕ，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.假设有曲面:(,)S r r u v =使得它的第一、第二基本形式为I g du du αβαβ=， II b du du αβαβ=. (3.2)在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式,,rr u r r b n u n b r uααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩ 返回 (3.3) 其中()12g g g u u u g g γγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-，b b g βγβααγ=. (3.4)因为S 是三次以上连续可微的，必须有22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，,,αβγ∀. (3.5)将(3.3)代入(3.5)第1式，得()()r b n r b n u uδδαγδαγαβδαββγ∂∂Γ+=Γ+∂∂. (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)，左边()b r r b n n b b r u u δαγαγδηδδαγδβηδβαγβδββ∂Γ∂=+ΓΓ++-∂∂b b b r b n u u δαγαγηδδδαγηβαγβδαγδβββ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδαβηγαβγδαβδγγγ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 比较两边,r n δ的系数，得b b b b u uδδαβαγηδηδδδαβηγαγηβαβγαγβγβ∂Γ∂Γ-+ΓΓ-ΓΓ=-∂∂，,,,αβγδ∀， (3.8)b b b b b b u uαβαγδδδδαγδβαβδγβδαγγδαβγβ∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂，,,αβγ∀. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为:Ru u δδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， (3.10)称为曲面S 的Riemann 记号. 再记R g R ηαδβγδηαβγ=， (3.11)则自然就有R g R δδηαβγαηβγ=. (3.11)’与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δαβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)或等价地，R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：()()2221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程111211212121212221222121,.b b b b u ub b b b u u δδδδδδδδ∂∂⎧-=-Γ+Γ⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(3.20)这是因为有R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.[事实上，R g R g u u ηηηαβαγξηξηαδβγδηαβγδηαβξγαγξβγβ⎛⎫∂Γ∂Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ⎪∂∂⎝⎭g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξαβαγαβδξγαγδξβγβγβ∂Γ∂Γ∂∂=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂∂∂ ()()u u δαβδαγηηηηαβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ∂Γ∂Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ δαβδαγηηαγηδβαβηδγγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)：将(1.24)：2项，并注意()12g g ηξηηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ+ΓΓ，可得()()2222221122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηηαδβγαγηδβαβηδγβδαβγδαγαδαδγαγγβδβγββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+--+-+ΓΓ-ΓΓ()222212g g g g u u u u u u u u δβαβδγαγγαγδββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-()12ηηηηαγηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+ΓΓ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ]注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，b αβ是已知的函数，从而gαβ以及由(3.4)给出的,b γβαβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂， 22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγγγδδγγαααγγαγβδγβαδβγαγββαβββ⎛⎫∂∂∂∂==+Γ+=+Γ+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭，所以可积性条件(C)的第三式为b b b b u u γγβδγδγααδββδαβα∂∂+Γ=+Γ∂∂，b b b b γγαγββγα=. (3.14) 上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδηαγβαδγβαδγβαδββηα====.以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于g b g b b b b b u u u uγδδβγδγγγγδαααδγβββδγαββαα∂∂∂∂-+Γ=-+Γ∂∂∂∂. 将(1.23)g u βαγαβγαβγ∂∂=Γ+Γ代入上式得b b b b u uδβγγδααγδββγδαβα∂∂-Γ=-Γ∂∂，即b b b b b b u uδβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E Gg g g ===. 因此 111111112122222111211212222222,,,,,.u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=111111222222111222,,,222,,.222u v u v u vE E G E E EE G G G G GΓ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=由此得22212221222111212122112112111211221211122122222222222224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GRG v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G αα⎡⎤∂Γ∂Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡--=--+-+-⎤⎢⎥⎣⎦22244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G=-++-++ (见课本) 222424()()2424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EGE E EG G G EG EG EG ++=-+-+⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭=+-2222v u v u v u v u E G E G ⎫⎛⎫⎛⎫=++⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭v u v u ⎫⎫⎪=+=+⎬⎬⎪⎭⎭.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为21112212112121222211,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ⎧=-Γ+Γ=+=⎪⎪⎨⎪=Γ-Γ=+=⎪⎩返回 (3.23)课外作业：习题4，5§ 5.4 曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件. 设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，()1,2g g g u u u g γγδγαβαβδαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-Γ=Γ， (4.2-3) Ru uδδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， R g R ηδαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足()21122121212111211212121212221222121,,,b b b R b b b b u u b b b b uu δδδδδδδδ⎧-=-⎪∂∂⎪⎪-=-Γ+Γ⎨∂∂⎪∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩ (4.6) 则对任意一点()1200,u u ∈Ω，必有()1200,u u 的(连通)邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.证明唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组,,,rr u r r b n u n b r u ααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩(4.7) 其中12,,,r r r n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12,u u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点()1200,u u ∈Ω，有()1200,u u 的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数 1212121212(,),(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u ， (4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件120120120120001001200200(,),(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====. (4.9)现在选取初始标架{}000012;,,r r r n使得()0120000000012(,),0,1,,,0r r g u u r n n n r r n αβαβα⋅=⋅=⋅=>. (4.10)下面我们证明(4.8)中的函数31212::(,)(,)r U E u u r u u →定义了一个正则曲面S =()r U ，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组f r rg αβαβαβ=⋅-， f r n αα=⋅， 1f n n =⋅-. (4.11)其中12121212(,),(,),(,)r u u r u u n u u 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题111111000000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f uf u u f u u f u u αβδδαγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβββαβααβα∂⎧=Γ+Γ++⎪∂⎪∂⎪=-+Γ+⎪∂⎨⎪∂=-⎪∂⎪⎪===⎩ (4.12-13)事实上，()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αββαβαβαγγγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ∂∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂∂=Γ+⋅+Γ+⋅-Γ-Γ ()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γf f b f b f δδαγδββγδαγαβγβα=Γ+Γ++.()f r n n r r b n n b r r u u uγγααααβγαββγαβββ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+⋅-⋅∂∂∂ ()()1f b f b f g b f f b f γγγγαβγαββγαγαβγααβγαβ=Γ++-+=-+Γ+.222f n n b r n b f u uββαβαβαα∂∂=⋅=-⋅=-∂∂. 根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有r r g αβαβ⋅=， 0r n α⋅=， 1n n ⋅=. (4.14)由上式得()212det 0r r g αβ⨯=>，这说明S 是正则曲面. 又()120n r r ⨯⨯=，即n 与12r r ⨯共线，从而 ()()()222121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=⨯⋅=⨯=>⎡⎤⎣⎦.因为在()1200,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >. 因此1212/n r r r r =⨯⨯.因为12(,)r u u 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4§ 5.5 Gauss 定理由(3.18)得到2121222LN M R K EG F EG F-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem ).定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，v u K ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (5.4)特别，取等温参数网时，2:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时21ln K λλ=-∆， (5.5)其中2222u v ∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v 的Laplace 算子. 引理直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+是可展曲面的充要条件是0K =. 证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则u r a vl ''=+，v r l =，()2()u vu vr r n a vl l r r EG F⨯''==+⨯⨯-，uu r a vl ''''=+，uv r l '=，0vv r =.从而0N =，())11(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=⋅=+⨯⋅=.因此()()22222,,a l l LN MK EG F EG F ''-==---.根据第三章定理6.1即得引理. □定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L N E G κκ=≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，即有0,()u G G G v ==. (5.6)于是111122122221222211022u G g g g g E u u u E∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+-=-= ⎪∂∂∂⎝⎭， ()1222122222220vv v r r r r b n r N n r ⨯=Γ+Γ+⨯=⨯=. (5.8)根据第一章定理2.2，(5.7)说明v -曲线()0,r u v 的切向量()0,v r u v 具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.事实上，令1||v v r l r=，则()vv r r l G v l ==. 于是由(5.8)，()0vv v v v vr r G l G l G l G l l ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=⨯⎣⎦⎣⎦，即有0v l l ⨯=，从而0v l =. 这样()l l u =，()()v r G v l u =.令()()v v G v dv =⎰. 则()(,)()()0vr u v v v l u -=，故有(,)()()()r u v v v l u a u -=，也就是(,)()()()r u v a u v v l u =+.作参数变换,()u u v v v ==，则S 是直纹面：(,)()()r u v a u v l u =+. □定理5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地)可以与平面建立保长对应.证明根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率0K ≡，从而是可展曲面. □注根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例设常数,,,a b a b 满足0ab ab =≠. 证明曲面()2212:,,()S r a u bv a u bv =+与()2212:,,()S r a u b v a u b v =+ 之间在对应,u u v v ==下有相同的Gauss 曲率. 但是当2222(,)(,)a b a b ≠且22(,)a b ≠22(,)b a 时，曲面S 与S 之间不存在保长对应.证明对于曲面S ,(),0,u r a au =，()0,,v r b bv =，()0,0,uu r a =，0uv r =，()0,0,vv r b =.(),,1u v r r ab u v ⨯=--，)2..1n u v v=--.因此S 的第一、第二基本形式分别为222222I (1)2(1)a u du abuv dudv b v dv =++++，22II =.曲面S 的Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.9)同理，曲面S 的第一基本形式为222222I (1)2(1)a u du abu v dudv b v dv =++++， Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.10)因为ab ab =，所以在对应,u u v v ==下它们有相同的Gauss 曲率.设有保长对应():(,)(,)(,)(,),(,)u v u v u v u u v v uv ϕϕ==. (5.11) 则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得[][]2222(,)(,)u u v v u v u v +=+. (5.12)因此(0,0)0,(0,0)0u v ==. (5.13)将(5.12)两边对,u v 求偏导数，得,u u v v uu v v u uu v v v +=+=.再对,u v 求偏导数，得()()221uu u uu u uu u v v v +++=，0uv u v uv u v uu u u v v v v +++=，()()221vv v vv v uu u v v v +++=.在0u v ==处取值，可得()()221u u u v +=，0u v u v u u v v +=，()()221v v u v +=. (5.14)这说明()(0,0),(0,0)u u u v 和()(0,0),(0,0)v v u v 是相互正交的单位向量. 可设()()(0,0),(0,0)cos ,sin u u u v θθ=，()()(0,0),(0,0)sin ,cos v v u v θθ=±-.另一方面，将0u v ==代入S 和S 的第一基本形式得()[][]22222222I(0,0,,)I u v u v du dv a du b dv a u du u dv b v du v dv ϕ*=+==+++()()()()2222222222222u u u v u v v v a u b v du a u u b v v dudv a u b v dv ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 因此在0u v ==处成立22222cos sin a b a θθ+=，22()cos sin 0a b θθ-=，22222sin cos a b b θθ+=.如果22a b =，则有2222a b a b ===，与已知条件矛盾.如果22a b ≠，则有sin 0θ=或cos 0θ=. 当sin 0θ=时，有()()2222,,a b a b=；当cos 0θ=时，有()22,b a ()22,a b =，同样导致矛盾. □下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4 设:S S ϕ*→是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p S ∈处，():p p T S T S ϕϕ**→保持所有方向的法曲率不变，则有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=.证明由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L NE Gκκ=≠=≠. 不妨设12κκ<.设S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,)(,),(,)u v u u v v u v ϕ=. 对于S 的两个主方向,u v r r ，对应的方向是()u r ϕ*和()v r ϕ*. 则()0u r ϕ*≠，()0v r ϕ*≠，且()u r ϕ*与()v r ϕ*线性无关，因为沿()u r ϕ*和()v r ϕ*方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点p S ∈处():p p T S T S ϕϕ**→是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S *上选取适用参数系,u v 使得S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,),u v u v ϕ=.下面证明在相同参数的对应下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向u r *，:1:0du dv =，法曲率/n L E κ=达到最小值1κ，因此u r *是S *的主方向. 同理，v r *也是S *的主方向. 又由12κκ<可知u r *与v r *正交. 因此在S *上参数曲线网也是正交的曲率线网.于是在S *上也有0F M ==，并且12L L N N E E G Gκκ==<==. (5.22) 另外，沿着切方向:1:1du dv =，也有n L N L NE G E Gκ++==++.将(5.22)代入可得1212E G E GE G E Gκκκκ++=++，即()()()()1212E G E G E G E G κκκκ++=++，也就是12()()EG GE EG GE κκ-=-. (5.24)所以E GE Gλ==，11E L L E κλκ==，22G N N G κλκ==. (5.26-27)剩下的只要证明1λ=.由Codazzi 方程(3.23)得,v v u u L HE N HG ==. (5.28) ,v v u u L HE N HG ==. (5.29)其中1122()H κκ=+. 将(5.26-27)代入(5.29)，得(),()v v v v u u u u L L H E E N N H G G λλλλλλλλ+=++=+.再与(5.28)比较，得12,v v u u E H E G H G λκλλκλ==.于是0u v λλ==，λ是一常数.最后由(5.4)，(5.26)，有1v u K K λ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭.但120K K κκ==≠，只有1λ=.于是在适用参数系下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. □课外作业：习题1(2,4,6)，2。

微分几何课程标准

微分几何课程标准
一、课程概况
课程目标1：培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生进一步学习本学科的后继课程打下良好的基础，同时，使学生认识到数学来源于实践，又应用于实践，从而树立改革、创新观念。

课程目标2:理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想
象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。

课程目标3:掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论；学习曲面的第一、二基本形式，以及由这两个形式决定的几何量及其性质；掌握微分几何常用的思想方法和技巧，如微分法、活动标架法、张量分析法等；了解微分几何在数学、物理、生物医学等学科中的应用。

三、课程目标与毕业要求的关系
1、课程目标与毕业要求的对应关系
参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。

九、本课程各个课程目标的权重
依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重
根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。

十一、推荐教材及参考书目
1推荐教材
梅向明、黄敬之编，微分几何，北京，高等教育出版社，2008.
2.参考书目
陈维桓编，微分几何，北京，北京大学出版社，2004.
丘成桐，孙理察编，微分几何，北京，科学出版社，1988.。

微分几何初步 (陈维桓著) 北京大学出版社第四章

1 fx2 f y2
ww
w.
Ⅱ 0,即S 必定是平面
5.直接证明:若在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族,则S 必定是平面. 证明:S : r u , v (u ) vl (u ) v um v , 则ru (u ) vl (u ) m v , rv l (u ) 从而ruu rvv 0, ruv l (u ), 又 ru rv ruv vl , l , l , l , l 0 M n ruv 0, L ruu n 0, N rvv n 0

课

kh

y y | r |3 n
r1 s = ( s ) ( s ) ( s0 ), ( s ) ( s ) n s0 r1 s = ( s ) s0 , s n s0 ，
4.设c为曲面上一非直线的渐近曲线,其参数方程为u u ( s ), v v( s), 其中s为弧参.
co

m
证明 : c的挠率等于 =
1 EG F 2
v E L
2
uv F M
u G
2
EG F 2
的方程.
ww
1 2 rr 1 n 2 2 2 2n2 r r n t Ⅱ t 0 n t 0 Ⅰ t 0 1 2 r r r r 2 1 r 2 1 n 1 t 0 1 1 已知曲率中心C在以 n (t ) nn (t )为中心，为半径的圆cn上 2 n 2 n n 2, t 0时, n (t ) r , 0, 0 , n (t ) 0, r , 0 nn (t ) 1, 0, 0 r r cn都可表示为 x z 2 , 得证. 2 2

陈维桓微分几何教学大纲

《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息1二、课程内容及基本要求第一章为预备知识。

要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。

第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。

了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。

会熟练地计算曲线的曲率、挠率。

掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。

了解曲线论基本定理的内容和证明方法。

第三章介绍曲面的第一基本形式。

掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。

能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。

了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。

掌握可展曲面的定义和分类定理。

第四章介绍曲面的第二基本形式。

能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。

掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。

了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。

能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。

了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。

了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。

第五章介绍曲面论基本定理。

了解曲面的Gauss-Codazzi方程。

会计算Christoffel符号和Riemann 曲率。

了解曲面论基本定理的内容。

掌握Gauss定理的内容及其应用。

第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。

掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。

了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。

了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。

掌握Gauss-Bonnet公式的内容。

三、学时分配表：四、课程教学的有关说明要求学生课前预习，认真完成课外作业。

每周安排一次课外答疑时间。

在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。

2南昌大学课程教学进度表(2006—2007学年第二学期适用)任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。

微分几何课程教学大纲

“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。

二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。

三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。

第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。

重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。

第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。

重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。

第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。

大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。

．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

微分几何_陈维桓_绪论-第一章-第二章讲稿

目录绪论 (1)内容简介 (1)第一章预备知识 (2)引言 (2)§ 1.1 三维欧氏空间中的标架 (2)一、向量代数复习 (2)二、标架 (3)三、正交标架流形 (3)四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 (3)§ 1.2 向量函数 (4)第二章曲线论 (6)§ 2.1 参数曲线 (6)§ 2.2 曲线的弧长 (8)§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 (9)§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 (13)§ 2.5 曲线论基本定理 (15)§2.7 存在对应关系的曲线偶 (21)§2.8 平面曲线 (21)绪论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r . 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：a -.向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠ 外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.ba⨯a b二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC . 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k . 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3R .三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e 被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e 的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩ (1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e 是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e 中的坐标分别为(,,)x y z 和QOPki1e j2e 3e(,,)x y z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e ，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点(,,)Q x y z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3R 中的映射3::()r p r p →R D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤.如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t 是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t 是连续可微的. 向量函数()r t 的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即000()()limt t t r t t r t drdtt∆→=+∆-=∆QO()P O σ=ki1e j2e 3e ()Q Q σ=0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbbb bi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆=. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t a t t a t t a t λλλ''''''+=+=+.定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t 是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡.反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t 必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''==，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t 方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -=. 则()()()a t f t b t =，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c =是常向量，()0b t c ''==. 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t '处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'=. 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t b t b t b t λ''=⋅=⋅≡. 于是()0b t '≡，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡. 求导得到1()0a t e '⋅≡，1()0a t e ''⋅≡. 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡.反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡. 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '=()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡ 根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e =. 用()a t 作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡，即()a t 与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3R 为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→R R A . 如果()O O σ=，证明A是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k ，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3) 其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim(),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t 是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.()()()X u r t ur t '=+， (1.5)其中t 是固定的，u 是切线上点的参数，()X u 是切线上参数为u 的点的位置向量.定义. 如果()r t 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠，则称曲线()r t 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1) ()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d ddudt t t u r t u r t t u ='=⋅. 这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t 是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)()r t ()X u ()r t t +∆()r t '()r t btQαβγ例1.1 圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈R ，其中,a b 是常数，0a >.()()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，22|()|0()0r t a b r t ''=+>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈R .2()(3,2)r t t t '=，(0)0r '=.这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较）平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|bas r t dt '=⎰ (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r tr t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=}2,,n . (为什么？)y令()|()|tas t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t 给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1dsr t dt'==. □ 以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,r r 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1)对于给定的s ，令θ∆是()s α与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理表示向量()s s α+∆0lim()|ss s α∆∆→=. (3.2)证明. ()1||lim lim d ds s ααα∆==∆ ()()220002sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθ∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆，因为θ∆=定义 ()|s α为曲线()s 为该曲把曲线)s 平移到原点，其端点所描出的曲线称为. 其方程就是(3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆2()πα圆柱螺线()(cos r t a =()(r t a '=-221()(a b t a α+=-(0)α(0)α2()πα()απ()απ32()πα32()πα当然，s αα()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆|()|()ds s ds s ds ακ==. (3.4)所以dss dsκ==， (3.5) 即曲率κ是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.由|()|1s α=可知()()0s s αα⋅=. 所以曲率向量()s α是曲线的一个法向量场. 如果在一点s 处()0s κ≠，则向量11()|()|()()()s s s s s βαακα--==称为曲线在该点的主法向量场. 于是在该点有()()()s s s ακβ=. (3.6) 在()0s κ≠处，令()()()s s s γαβ=⨯. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场).这样，在正则曲线上()0s κ≠的点，有一个完全确定的正交标架{}();(),(),()r s s s s αβγ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+；次法线：()()()u r s u s ργ=+ 法平面：[()]()0X r s s α-=；从切平面：[()]()0X r s s β-=；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.()s α()s γ()s β()r s3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯=='，()|()|r t r t α'='，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯. (3.13) 证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|dss t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12) 由曲率κ的定义，||0κα=≥，可知主法向量||αβα=满足ακβ=. 上式再对t 求导，得 2d d dsr s s s s s s ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333)()||s s s s s r r s αακβκαβκγκ''''''''''⨯+=⨯=⇒⨯=所以3|()|r t κ='. |()()|r t r t '''⨯. 例求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t =∈R 的曲率和Frenet 标架，其中0>. 解. 2a =sin ,cos t ab -2a a 所以3||()|r a r t '='sin ,cos ,)t a t b 22()((sin |()()|r t r b r t r t a bγ'''⨯=='''⨯+(cos βγα=⨯=-维维安尼(Viviani)例.数为22t k ππ=+，其中k 为整数. 不妨设/2t π=. 22()(2sin cos ,cos sin ,cos )(sin2,cos2,cos )r t t t t t t t t t '=--=-，()(2cos2,2sin2,sin )r t t t t ''=---.于是当/2t π=时，(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1)r r r '''==-=-，||1,(1,0,2)r r r ''''=⨯=，(0,1,0)α=-，1,0,2)γ=，5(2,0,1)βγα=⨯=-.所以在(0,0,1)点处的曲率5κ=，Frenet 标架为(0,0,1)r =，(0,1,0)α=-，1)β=-，,0,2)γ. □解法2. 设曲线的弧长参数方程为(),(),()x x s y y s z z s ===，(,)s εε∈-，点(0,0,1)对应的参数为0s =. 则有(0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s x s y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0x z ==，(0)1y =±. 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y =，于是(0)((0),(0),(0))(0,1,0)x y z α==. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩ (3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y =；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =-；再由(3.17)第2式得(0)2x =. 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y z α===-.由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|5κα==，Frenet标架为：(0)(0,0,1)r =；(0)(0,1,0)α=，115(0)(0)(2,0,1)βα==-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=⨯=--. □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义 4.1 函数τγβ=-⋅，即()()()s s s τγβ=-⋅称为曲线的挠率. 注. 由0γγ⋅=，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅=可知//γβ. 因此可设γτβ=-， (4.1)从而||||τγ=，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-=上，其中a 是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n 均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ, 由于|()|||1s n γ==，所以()s n γ=±是常向量，从而0γ≡，||||0τγ=≡. 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-=. 所以()0s c γ=≠是常向量. 由(())()()()0dr s c r s c s s dsαγ=== 可知()r s c 是一个常数，即0()()r s c r s c =，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -=，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c 是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式0000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9)作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r ，即有()220()r s r a -=. (4.11)求导得到()0()()0r s r s α-=.这说明0()r s r -垂直于()s α，可设0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-.比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ=，μλτ=-， (4.13)其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯. (4.18)证明. 因为()|()|dss t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+ 于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯=，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t r t r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t =是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □ 例求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=- 所以2(,,)r r r a b ''''''=，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C . 设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα=，()123()(),(),()s s s s ββββ=，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|tas t r d ξξ'=⎰，2C 的弧长为()23322()()|()||()|(())()ttt aa a dr s t r d d d s t r du λλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰.由条件，可取132()()()s s t s t s t λ===作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----====，12s λμ-=. 于是 1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡.同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s R 1κ2κμ定理 5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.drds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩ (5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ==== (5.7)’的解，其中{};,,O i j k 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s =是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3iij j j de dre a e i dsds ====∑ (5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()ij i j j ij i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g dsds ds ds =====+=+=+∑∑∑，由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s =是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s 构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dre ds==. 所以()r r s =是正则曲线，并且s 是:()C r r s =的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ=是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-=. □例求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22a a b +和22b a b +. 根据定理5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba b τ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=+. 因为C 的弧长参数s bt κ=+=，将上式中的t 就可得到C 的弧长参数方程：))()00022001()cos ,sin,r s κκτκτ=+. □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()1100000000!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x fx x x o x x '''=+-+-++-+-. 同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++， (6.1)其中3()o s 是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中000(0),(0),(0)κκκκττ===.以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4) 上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'==，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)rκτκτγ'''==，从而1(0)1r '=，111(0)(0)(0)(0)r r αα'=='，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=， 110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯=='，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯， 111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯. 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.α0γβ(0)r在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r ==. 取1122,p C p C ∈∈，使得0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|limlim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理 6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n =，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠. (6.10) 证明在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，12()()12121()()()(0)(0)!k n n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑. 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s ++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠，则12121200||()()limlim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆，从而120||lim0ns p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k m =，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()ns ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s =上一点()r s 处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是：()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++. 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略)课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.注在平面上，每一条正则曲线():()(),()C r r s x s y s ==都有侣线，构成Bertrand 曲线偶. 证明设s 是C 的弧长参数，()()(),()s x s y s α=是C 的单位切向量场，()s κ是C 的曲率.令()()(),()n s y s x s =-. 取充分小的非零实数λ使得|()|1s λκ<,[0,]s b ∀∈. 则11:()()()C r s r s n s λ=+是曲线C 的侣线.事实上，因为221n n x y αα⋅=+=⋅=，所以0nn =，n n ⊥. 另一方面由0n α=可知n α⊥. 因此//n α. 设r n κα=. 于是C 的曲率()2()|()|||)()|()|||(),()r s s s y s n s x s y s κακ===+==.当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s (的终)点且垂直于()s α的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈R .同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()rs s α'的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α). 由定义可知1()r s 在直线l 上，所以l 与1l 重合. □αn下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s =，Frenet 标架为{}1111();(),(),()rs s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s =，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()s s s =.由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=±. 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ=， (7.3)其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]s s s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d s s dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=，所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s ，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C 和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s 是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ=， (7.3)1()()[1()]()()()s s s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5)其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|[10s s '=≠，1()[1s s ε'=其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s sc αα=是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而 1():()s s λκμτ-== 是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得1.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠.所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于21||r τλ'=1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s 是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds ds ακβθκθτβ==±-. 如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s 处的主法线上).如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7)证明设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s 点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8)由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+.由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()r s r s r s s α-⊥=，可设1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11)求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++- [1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.因为11()//[()()]()()()()r s r s r s s s s s λβμγ'-=+，所以1()[()()()()]0r s s s s s λβμγ'⨯+=，即有()()1s s λκ=，()[()()()]()[()()()]s s s s s s s s μλμτλμλτ''-=+. (7.12)所以()1/()s s λκ=，且由(7.12)第2式得22()μλλμμλτ''-=+，arctan μτλ'⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()()()tan ()s s s ds μλτ⇒=-⎰. 所以有(7.10). □课外作业：习题4，8§2.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质.一、平面曲线的Frenet 标架在平面2E 上取定一个正交标架(右手直角标架){};,O i j . 则平面曲线C 的弧长参数方程为 ()((),())r s x s y s =， [,]s a b ∈.(8.1) 它的单位切向量为()()()(),()cos(()),sin(())s x s y s s s αθθ==， (8.2) 其中()(,())s i s θα=是由i 到()s α的有向角(允许相差2π的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[,]a b 是闭区间时，函数()s θ可以成为定义在整个[,]a b 上的连续可微函数.将()s α右旋/2π，得到与()s α正交的单位向量()s β，()()()22()cos(()),sin(())sin(()),cos(())(),()s s s s s y s x s ππβθθθθ=++=-=-. (8.3)这样，得到沿曲线C 的(平面)Frenet 标架{}();(),()r s s s αβ.C y x 0s =s l =O()s α()s β(),()x f x i。

《微分几何》教学大纲09

《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。

通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。

本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。

（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。

学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。

本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。

要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。

理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。

（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。

（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。

本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。

（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。

教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。

难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。

第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。

湖州师范学院微分几何教学大纲.

《微分几何》教学大纲一、课程说明1．课程学时、学分及分配课程总学时：40 周学时：4 学分：2 开课学期：7 2．课程类别微分几何是数学与应用数学专业的一门专业选修课程，是通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，是线性代数，数学分析，微分方程等学科知识的综合运用。

3．课程教学目的与要求本课程的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法，通过分析中的一些运算去研究几何有关问题；培养学生的几何直观和图形想象的能力、从具体到抽象的能力。

通过教学应使学生：（1）对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念，向量分析方法能运用自如，从而达到数与形的统一，统一的数量与空间的唯物辨证观念。

（2）能具备空间想象能力，娴熟的分析计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

4．参考教材与参考书目参考教材：《微分几何与微分流形》纪永强编著高等教育出版社2000 年9 月第一版参考书目：《微分几何》首都师范大学梅向明黄敬之编高等教育出版社2003 年第三版《微分几何讲义》陈省身陈维桓北京大学出版社1983 《微分几何》苏步表胡和生等高等教育出版社1983 《整体微分几何初步》沈一兵杭州大学出版社1998 《微分几何讲义》吴大任人民教育出版社19825．课程教学重点与难点课程教学重点在于学习研究微分几何的一种基本方法：用向量分析法来讨论曲线和曲面的局部性质。

难点是由于知识的综合运用程度较高，要求学生有较好的分析能力和几何想象力。

6．课程教学方法与手段（1）备课：备课是教学活动的关键环节，任课教师必须保证充分的时间，在备课上下力气，应注意到①了解先前的教学情形及学生的学习基础，从实际出发进行教学活动。

②认真钻研大纲、教材和参考资料，明确每个章节的基本要求、重点、难点，选择恰当的教学方法和手段，合理科学地安排教学内容，写出比较详细的教案。

③实行集中备课和临时备课的结合，即于每章开始前集中备好全章的教案。

新疆大学微分几何课程教学大纲.

新疆大学《微分几何》课程教学大纲英文名称：Differential Geometry课程编号：E052744，E052844，E052943 课程类型：跨专业选修课程总学时：64 学分：4适用对象：数学与系统科学学院各专业本科生（汉）先修课程：《解析几何》、《高等代数》、《数学分析》、《微分方程》使用教材：《微分几何》，北京师范大学梅向明、黄敬之编，高等教育出版社，1988年第二版。

参考书：《微分几何讲义》，陈省身、陈维桓，北京大学出版社，1983。

《微分几何》，苏步表、胡和生等，高等教育出版社，1983。

《整体微分几何初步》，沈一兵，杭州大学出版社，1998。

《微分几何讲义》，吴大任，人民教育出版社，1982。

一、课程性质、目的和任务微分几何是大学数学本科专业的一门跨专业选修课程。

该课程是通过数学分析中的运算理论去研究几何的有关问题，它是线性代数，数学分析、微分方程，高等几何等学科知识的综合运用。

微分几何课程的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法，培养学生的几何直观和图形想象的能力、从具体到抽象的能力。

二、教学基本要求通过教学应使学生对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念，向量分析方法能运用自如，从而达到数与形的统一，统一的数量与空间的唯物辨证观念；能具备空间想象能力，娴熟的分析计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

三、教学内容及要求第一章曲线论教学内容：向量代数复习、向量函数、曲线的概念、空间曲线、特殊曲线教学要求：1．正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。

2．正确理解向量函数、向量函数的极限、连续性、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。

3．正确理解曲线、光滑曲线、曲线的正常点、切线和法平面、弧长、自然参数的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。

4．正确理解空间曲线、空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念，熟练掌握空间曲线的切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运算，熟记伏雷内公式并能灵活运用。

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《微分几何》课程教学大纲
Differe ntial Geometry
理学院数学系
数学系数学与应用数学专业
、课程基本信息课程编号 X55010005 课程名称
微分几何
先修课程数学分析，解析几何，高等代数，常微分方程
课程类别指导性选修课
选用教材微分几何陈维桓编著北京大学出版社2006年6月第一版主要教学参考书
吴大任，微分几何讲义，高等教育出版社苏步青等，微分几何，高等教育出版社
微分几何是用数学分析为工具研究空间图形性质的数学分支，主要讨论光滑曲线和曲面的性质。

本课程主要为经典微分几何，包括少量整体微分几何和近代微分几何，使学生既学会应用数学分析工具研究光滑曲线和曲面的经典方法和内
本课程任务和目的
容，又稍微了解近代方法和内容，为进一步学习近代数学各分支打下基础。

教学大纲制订单位
理学院数学系教学大纲制订时间 2009年1月
课程英文名称总学时数
64
授课学时
48
实践学时
实验学时
习题课学时
16
开课单位适用专业
设计学时
、课程内容及基本要求
第一章为预备知识。

要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。

了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。

会熟练
地计算曲线的曲率、挠率。

掌握运用
Frenet 标架和Frenet 公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的
基本方法。

了解曲线论基本定理的内容和证明方法。

第三章介绍曲面的第一基本形式。

掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。

能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。

了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。

掌握可展曲面的定义和分类定理。

第四章介绍曲面的第二基本形式。

能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。

掌握法曲率、高斯映射和 Weingarten 变换的概念。

了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。

能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。

了解Du pin 标形和曲面的局部近似形状。

了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。

第五章介绍曲面论基本定理。

了解曲面的 Gauss-Codazzi 方程。

会计算 Christoffel 符号和 Riemann
曲率。

了解曲面论基本定理的内容。

掌握
Gauss 定理的内容及其应用。

第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。

掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville
公式。

了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲
率的曲面相互等距。

了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。

掌握
三、学时分配表:
四、课程教学的有关说明
要求学生课前预习，认真完成课外作业。

每周安排一次课外答疑时间。

在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。

第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。

Gauss-B onnet 公式的内容。

南昌大学课程教学进度表
（2006— 2007学年第二学期适用）
任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表” 在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。

系主任签字:
,经教研室讨论院: 理学院系: 数学系任课教师:
黎镇琦
别:
龄:
58 职称: 历:
博士所学专业: 基础数学任课班级:
数学系061班
课程名称:
微分几何。