慈溪市期末试卷---初三数学上学期期末考试试卷
浙江省宁波市慈溪市九年级数学上学期期末试卷(含解析)
2016—2017学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．必然事件的概率是( ）A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于12．三角形的外心是两条（）A．中线的交点B．高的交点C．角平分线的交点D．边的中垂线的交点3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinB等于（）A．B．C．D．4．下列两个三角形不一定相似的是( ）A．两个等边三角形B．两个全等三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个30°角的两个等腰三角形5．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是( ）A．天气预报明天下雨的概率是99％，说明明天一定会下雨B．从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形，事件“这个三角形是等腰三角形”是随机事件C．某同学连续10次投掷质量均匀的硬币,3次正面向上,因此正面向上的概率是D．事件A发生的概率是,若在相同条件下重复试验，则做100次这种实验，事件A可能发生7次7．说明命题“平分弦的直径垂直于弦”是假命题的反例可以是（）A．弦和直径平行B．弦和直径垂直C．两条不垂直的直径D．两条垂直的直径8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16，EB=4，则AE=（）A．20 B．18 C．16 D．149．如图，锐角△ABC内接于⊙O，AO=3，AC=4，则tanB=（）A．B．C．D．10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE:ED=1:3，BE的延长线交AC于F，AF：FC=（）A．1：3 B．1：4 C．1:5 D．1:611．三条线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c（)A．一定能构成三角形B．一定不能构成三角形C．不一定能构成三角形D．不能构成直角三角形12．如图，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形一边,BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于（)A．12 B．15 C．18 D．20二、填空题(每小题4分，共24分）13．若α是锐角，且tanα=，则α=度．14．在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如下表：试验种子155020050010003000数n（粒）发芽频数m04451884769512850发芽频率00。
浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷-教师用卷
浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷1.下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．直接利用旋转的定义得出答案即可．本题考查了旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．2.气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是()A. 明天30%的地区不会下雨B. 明天下雨的可能性较大C. 明天70%的时间会下雨D. 明天下雨是必然事件【答案】B【解析】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．根据概率的意义找到正确选项即可．此题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．3.把二次函数y=(x−1)2−3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为()A. y=(x+2)2+1B. y=(x−2) 2+1C. y=(x+4) 2+1D. y=(x−4) 2+1【答案】A【解析】解：把二次函数y=(x−1)2−3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y=(x−1+3)2−3+4，即y=(x+2)2+ 1．故选：A．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为()A. 3：2B. 1：√3C. 1：√2D. √2：√3【答案】C【解析】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为√2R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：√2R=1：√2．故选：C．设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．5.如图，直线l1//l2//l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于()A. 18B. 20C. 25D. 30【答案】C【解析】解：∵l1//l2//l3，∴ABAC =DEDF，即25=DF−15DF，∴DF=25．故选：C．利用平行线分线段成比例定理得到ABAC =DEDF，然后把已知条件代入计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6. 在4×5网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点(正方形的顶点)，则下列等式正确的是( )A. sinA =√32B. cosA =12C. tanA =√33D. cosA =√22【答案】D【解析】解：由网格构造直角三角形可得，AB 2=12+32=10，AC 2=12+22=5，BC 2=12+22=5， ∵AB 2=AC 2+BC 2， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A =∠B =45°， ∴sinA =sin45°=√22，cosA =cos45°=√22，tanA =tan45°=1，∴选项D 是正确的， 故选：D ．根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC 的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．本题考查勾股定理及逆定理，特殊锐角三角函数值，掌握勾股定理及逆定理和特殊锐角三角函数值是正确判断的前提．7. 如图，已知⊙O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，∠A =30°，则BD⏜的长为( )A. πB. 2πC. 3πD. 6π【答案】B【解析】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴AC⏜=BC⏜，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∴∠AOB=180°−30°−30°=120°，∴∠COB=1∠AOB=60°，2∴∠DOB=180°−60°=120°，=2π，∴BD⏜的长=120⋅π⋅3180∘故选：B．连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．本题考查弧长公式，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需()(精确到0.1米.参考值：sin10°=0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)A. 8.5米B. 8.8米C. 8.3米D. 9米【答案】A【解析】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，≈8.5(米)．斜坡的水平宽度AB至少为AB= 1.53 tan10∘故选：A．根据坡度坡角定义即可求出结果．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．9.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm.则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为()A. x=yB. 3x=2yC. x=1，y=2D. x=3，y=2【答案】B【解析】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有ABEF =ADEH，∴88−2x =1212−2y，可得3x=2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有ABEH =ADEF，∴812−2y =128−2x，推不出：x=y或3x=2y或x=1，y=2或x=3，y=2.故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x=2y，故选：B．分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a，b，c为常数)与二次函数y=12x2+ex+f(e,f为常数)的图象的顶点分别为A、B，且相交于C(m,n)和D(m+8,n)，若∠ACB=90°，则a的值为()A. −12B. −14C. −18D. −116【答案】C【解析】解：∵C(m,n)和D(m+8,n)，∴CD//x轴，且二次函数的对称轴x=m+4，∴AB⊥CD，x2+ex+∵点C，D在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a，b，c为常数)与二次函数y=12f(e,f为常数)的图象上，(x−m)(x−m−8)+n，∴y=ax2+bx+c=a(x−m)(x−m−8)+n，y=12∴A(m+4,n−16a)，B(m+4,n−8)，设AB与CD的交点为E，则E(m+4,n)，则CE=4，AE=−16a，BE=8；在△ABC中，∠ACB=90°，且AB⊥CD，则CE2=AE⋅BE，∴42=−16a×8，解得，a=−1．8故选：C．根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握并运用二次函数的性质是解决本题的关键．11.如图，已知P(4,3)为∠α边上一点，则cosα=______ ．【答案】45【解析】解：过点P(4,3)作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ=3，OQ=4，在Rt△POQ中，OP=√OQ2+PQ2=√42+32=5，所以cosα=OQOP =45，故答案为：45．过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．本题考查坐标的意义和解直角三角形，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确计算的前提．12.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6.则这两个判断正确的是______ (若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”)．【答案】②【解析】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．13.已知点A(−1,y1)，B(−0.5,y2)，C(4,y3)都在二次函数y=−ax2+2ax−1(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．【答案】y3<y1<y2【解析】解：∵y =−ax 2+2ax −1(a >0)， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x =−2a2×(−a)=1， ∴A(4,y 3)关于直线x =1的对称点是(−2,y 3)， ∵−2<−1<−0.5， ∴y 3<y 1<y 2， 故答案为y 3<y 1<y 2．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x =1，根据x <1时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．14. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC⏜=2BC ⏜，M 为BC ⏜的中点，过M 作MN//OC 交AB 于N ，连接BM ，则∠BMN 的度数为______ ． 【答案】45°【解析】解：连接OM ．∵AB 是直径，AC⏜=2BC ⏜， ∴∠BOC =13×180°=60°， ∵CM ⏜=BM⏜， ∴∠MOB =∠COM =30°， ∵OM =OB ，∴∠B =∠OMB =12(180°−30°)=75°，∵OC//MN ，∴∠MNB =∠COB =60°，∴∠BMN =180°−∠BNM −∠NBM =180°−60°−75°=45°， 故答案为：45°．连接OM.想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为______ ．【答案】245【解析】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC=12BC⋅AM=10，BC=5，∴AM=4．∵DE//BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴ANAM =DEBC，即AN4=25，∴AN=85，∴平行四边形DEGF的高MN=AM−AN=4−85=125，∴平行四边形纸片的面积=2×125=245．故答案为：245．如图，由DE//BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，三角形的面积等知识，需要熟练掌握相关性质及其应用．16.如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明.同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：______ ；②m=______ (用含S1，S3的代数式表示m)．【答案】S2=12(S1+S3)2S1S3S1+S3．【解析】解：①观察图像(2)可知，S1=8S△AEH+S3，4S△AEH=S2−S3，∴S1=2(S2−S3)+S3，∴2S2=S1+S3，∴S2=12(S1+S3)，故答案为：S2=12(S1+S3).②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK//EF，同理：BL//GF，DJ//HE，CI//GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN//GF//EH，∴∠LMK=∠EKH=90°，∠MLK=∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴MLKE =MKKH=LKEH，设AE=x，PE=y，则：ML x =MK y =22， ∴ML =22，MK =22=LN ， ∴MN =√x 22√x 22=22√x 22， ∴m =MN 2=(2222)2=(x+y)2(x−y)2x 2+y 2， ∵S 1=(x +y)2，S 2=x 2+y 2，S 3=(x −y)2，∴m =S 1S 3S 2=S 1S 312(S 1+S 3)=2S 1S 3S 1+S 3． 故答案为：2S 1S 3S 1+S 3．①由题意可得：S 1=8S △AEH +S 3，4S △AEH =S 2−S 3，代入化简即可得到答案； ②先证明△MLK∽△KEH ，设AE =x ，PE =y ，结合四边形MNOP 的面积为m ，可得答案．本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等重要知识，属于基础题，解答本题的关键在于熟练运用相似三角形的判定和性质及勾股定理．17. 计算求值：(1)已知a b =34，求a−ba 的值；(2)2sin30°−tan60°⋅cos30°． 【答案】解：(1)∵a b =34，∴设a =3x ，则b =4x ，∴a−b a =3x−4x 3x =−13；(2)原式=2×12−√3×√32=1−32=−12．【解析】(1)直接利用一个未知数表示出a ，b ，进而代入化简得出答案；(2)直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．此题主要考查了比例的性质以及特殊角的三角函数值，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC(正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形)，在图1、图2中分别画一个格点三角形(所画的两个三角形不全等)，使其同时符合下列两个条件．(1)与△ABC有一公共角；(2)与△ABC相似但不全等．【答案】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．【解析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．本题考查了作图−应用与设计作图，全等三角形的判定，相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定．19.某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道.一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．(1)求小丽通过A通道进入校园的概率；(2)利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率(要求画出树状图或表格)．【答案】解：(1)小丽通过A通道进入校园的概率为1；3(2)列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为69=23．【解析】(1)直接利用概率公式求解可得答案；(2)先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD=α，AO=70cm，BO=DO=80cm，CO=40cm．(1)若α=56°，求点A离地面的高度AE；(参考值：sin62°=cos28°≈0.88，sin28°=cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53.)(2)调节α的大小，使A离地面高度AE=125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【答案】解：(1)如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG//AE，∵BO=DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG=12∠BOD=12×56°=28°，∴∠EAB=∠BOG=28°，在Rt△ABE中，AB=AO+BO=70+80=150(cm)，∴AE=AB⋅cos∠EAB=150×cos28°≈150×0.88=132(cm)，答：点A离地面的高度AE约为132cm；(2)∵OG//AE，∴∠EAB=∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF//OG，∴∠DCF=∠DOG，∵∠BOG=∠DOG，∴∠BAE=∠DCF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB∽△CFD，∴CFAE =CDAB，∴CF=CD⋅AEAB =120×125150=100(cm)，答：C点离地面的高度CF为100cm．【解析】(1)过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB=∠BOG=28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；(2)根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．21.如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场(靠墙一面不用篱笆)．(1)求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a=15；②a=10．(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【答案】解：(1)设矩形的长为x米，则宽为24−x2米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S=x×24−x2=−12x2+12x=−12(x−12)2+72，∵−12<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=12，∴当0<x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a=15时，x≤a即x≤15；∴当x=12时，S有最大值为72平方米；②a=10时，x≤a即x≤10，∴当x=10时，面积的最大值为−12×(10−12)2+72=70(平方米)．(2)令S=67.5得：−12(x−12)2+72=67.5，解得x=9或x=15，由x≤a可知，当x=15时，a≥15，由(1)知，此时矩形最大值在x=12时取得，面积最大值为72平方米，故x=15舍去．∴a=9．【解析】(1)设矩形的长为x米，则宽为24−x米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，2根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a=15；②a=10计算求得相应的最大值即可．(2)令S=67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由(1)的结论可得答案．本题考查了二次函数与一元二次方程在几何图形问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22.如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接PA，PB，分别交⊙O于点C，D，AC⏜=BD⏜．(1)求证：PA=PB；(2)若∠P=60°，CD⏜=3AC⏜.△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵AC⏜=BD⏜，∴AC=BD，∵OA=OC=OB=OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM=AM，BN=DN，∠OMC=∠OND=90°，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，{CM=DNOC=OD，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴OM=ON，在Rt△POM和Rt△PON中，{OP=OPOM=ON，∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，∴PM=PN，∵AM=BN，∴PA=PB．(2)解：∵∠APB=60°，∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MON=120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM=∠PON=60°，∵CD⏜=3AC⏜，∴∠COE=3∠COM，∴∠COM=15°，∴∠AOC=2∠COM=30°，过点A作AJ⊥OC于J.设OA=OB=R，则AJ=12R ∴S△AOC=9，∴12⋅R⋅12⋅R=9，∴R=6，∴S阴=S阴=S阴−S△AOC=30×π×62360−9=3π−9．【解析】(1)连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E.证明Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，推出OM=ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON(HL)，可得结论．(2)过点A作AJ⊥OC于J.设OA=OB=R，则AJ=12R，首先证明∠AOC=30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．本题考查扇形的面积公式，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，E(1,3)，与y轴交于点C．(1)求该二次函数表达式；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ//AC ，交直线BC 于点Q ，作PM//y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM∽△COA ；②求线段PQ 的长度的最大值．【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，E(1,3)， ∴{0=a −b +c 0=16a +4b +c 3=a +b +c，解得：{a =−12b =32c =2，∴二次函数表达式为y =−12x 2+32x +2；(2)△ABC 是直角三角形，理由如下：∵抛物线y =−12x 2+32x +2与y 轴交于点C ，∴点C(0,2)，又∵点A(−1,0)，B(4,0)，∴AB =5，AC =√OA 2+OC 2=√1+4=√5，BC =√OC 2+OB 2=√4+16=2√5， ∵AB 2=25，AC 2+BC 2=25，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形；(3)①∵∠ACB =∠AOC =90°，∴∠ACO +∠BCO =90°=∠ACO +∠CAO ，∴∠BCO =∠CAO ，∵PQ//AC ，PM//y 轴，∴∠ACB =∠CQP =∠PQM =90°，∠PMQ =∠BCO =∠CAO ，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ=∠BMH，∠PQM=∠PHB=90°，∴∠QPM=∠CBA，∵B(4,0)，点C(0,2)，∴直线BC解析式为y=−12x+2，设P(m,−12m2+32m+2)，则点M(m,−12m+2)，∴PM=−12m2+32m+2−(−12m+2)=−12(m−2)2+2，∵cos∠CBA=cos∠QPM，∴BCAB =PQPM，∴2√55=PQ−12(m−2)2+2，∴PQ=−√55(m−2)2+4√55，∴当m=2时，PQ有最大值为4√55．【解析】(1)利用待定系数可求解析式；(2)先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；(3)①由平行线的性质可得∠ACB=∠CQP=∠PQM=90°，∠PMQ=∠BCO=∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P(m,−12m2+32m+2)，则点M(m,−12m+2)，由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24.如图，⊙O的半径为5，弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．⏜的中点；(1)如图1.①求证：点P为BAC②求sin∠BAC的值；(2)如图2，若点A为PC⏜的中点，求CE的长；(3)若△ABC为非锐角三角形，求PA⋅AE的最大值．【答案】(1)①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF=∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∵∠BAP=∠PCB，∴∠PCB=∠PBC，∴PB=PC，∴PC⏜=PB⏜，⏜的中点；∴点P为BAC②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴PB⏜=PC⏜，∴PH是直径，∵∠BPC=∠BAC，∠BOG=12∠BPG=∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG=12BC=3，Rt△BOG中，∵OB=5，∴sin∠BAC=sin∠BOG=BGOB =35；(2)解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由(1)知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5，∴OG=4，∴PG=4+5=9，∴PC=√CG2+PG2=√32+92=3√10，设∠APC=x，∵A是PC⏜的中点，∴AP⏜=AC⏜，∴∠ABC=∠ABP=x，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=2x，△PCE中，∠PCB=∠CPE+∠E，∴∠E=2x−x=x=∠CPE，∴CE=PC=3√10；(3)解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴PAAC =ABAE，∴PA⋅AE=AC⋅AB，∵sin∠BAC=CQAC，∴CQ=AC⋅sin∠BAC=35AC，∴S△ABC=12AB⋅CQ=310AB⋅AC，∴PA⋅AE=103S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=8，此时PA⋅AE=103×12×6×8=80．【解析】(1)①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB=∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG=3，∠BOG=∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；(2)如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC=∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；(3)如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：PA⋅AE=AC⋅AB，根据三角形面积公式得PA⋅AE=103S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2023届浙江省慈溪市附海初级中学九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．12．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．购买一张彩票，中奖B ．射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是180°D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯3．抛物线2(1)4y x =--的顶点坐标为( )A ．(4,1)B ．(1,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)- 4．下列说法，错误的是（ ）A ．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B ．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8C ．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度D ．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差5．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（ ）A ．2560(1)1850x +=B ．2560560(1)1850x ++=C ．()25601560(1)1850x x +++=D ．()25605601560(1)1850x x ++++= 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-7．在同一坐标系中，反比例函数y ＝k x与二次函数y ＝kx 2+k (k ≠0)的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y 随x 值的增大而减小时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜2D ．x ＞2 9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数b y x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝9，将△ABC 沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)12．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．中位数是2，众数是3C ．中位数是4，众数是2D ．中位数是3，众数是4 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在矩形ABCD 中，2,7AB BC ==，点E 在边BC 上，25tan DAE ∠=，则BE =__________；若EF AE ⊥交AD 于点F ，则FD 的长度为________．14．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形''AB C D '位置，此时AC 的中点恰好与D 点重合，'AB 交CD 于点E .若6AB =，则AEC 的面积为__________．15．如果方程x 2+4x+n ＝0可以配方成（x+m ）2＝3，那么（n ﹣m ）2020＝_____.16．如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB 的度数是______度．17．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （72, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）． 18．如图,AB 是以点O 为圆心的圆形纸片的直径，弦CD AB ⊥于点E ,AB 10,BE 3==.将阴影部分沿着弦AC 翻折压平，翻折后，弧AC 对应的弧为G ，则点O 与弧G 所在圆的位置关系为____________.三、解答题（共78分）19．（8分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次 第二次 第三次 第四次 甲9 8 8 7 乙 10 6 7 9（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．20．（8分）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC, AB 上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB ．21．（8分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AE BD = ；② 当时，AE BD = （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE DB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．（10分）已知反比例函数y ＝12m x-(m 为常数)的图象在第一、三象限 (1)求m 的取值范围； (2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD 的顶点D ，点A 、B 的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．求出函数解析式.23．（10分）如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()1,0A -.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当ACM ∆周长最小时，求点M 的坐标及ACM ∆的最小周长.24．（10分）已知在平面直角坐标中，点A(m ，n)在第一象限内，AB ⊥OA 且AB ＝OA ，反比例函数y ＝k x 的图象经过点A ，（1）当点B 的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式； （2）当点B 在反比例函数y ＝k x的图象上，且在点A 的右侧时（如图2），用含字母m ，n 的代数式表示点B 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求m n 的值．25．（12分）计算:(1)()3122;x x x -=-(2)23740x x -+=26．如图，已知直线y ＝12-x +2与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，抛物线y ＝12-x 2+bx +c 过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P 是x 轴上方抛物线上一点，连接OP ．①若OP 与线段BC 交于点D ，则当D 为OP 中点时，求出点P 坐标．②在抛物线上是否存在点P ，使得∠POC ＝∠ACO 若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a 、b 的值即可.【详解】∵点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，∴a =﹣2，b =﹣1，∴a +b =﹣3.故选B.【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.2、C【解析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故A 不符合题意；B 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B 不符合题意；C 、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C 符合题意；D 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件，随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3、D【解析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.【详解】∵解析式为2(1)4y x =--∴顶点为(1,4)-故答案为：D.【点睛】本题考查了已知二次函数顶点式求顶点坐标，注意点坐标符号有正负.4、A【分析】利用抽样调查、普查的特点和试用的范围和众数、方差的意义即可做出判断.【详解】A．灯泡数量很庞大，了解它的使用寿命不宜采用普查的方法，应该采用抽查的方法，所以A错误；B.众数是一组数据中出现次数最多的数值，所以8，8，7，10，6，8，9的众数是8正确；C. 方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度，正确；D. 对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差，正确；故选A.【点睛】本题考查的是调查、众数、方差的意义，能够熟练掌握这些知识是解题的关键.5、D【解析】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.6、D【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，33∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯3S 扇形BAC =2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣﹣ 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．7、D【解析】根据k ＞0，k ＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论： ①当k ＜0时，反比例函数y=k x，在二、四象限，而二次函数y=kx 2+k 开口向上下与y 轴交点在原点下方，D 符合； ②当k ＞0时，反比例函数y=k x ，在一、三象限，而二次函数y=kx 2+k 开口向上，与y 轴交点在原点上方，都不符． 分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D ．故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．8、A【分析】首先根据抛物线与坐标轴的交点确定对称轴，然后根据其开口方向确定当x 满足什么条件数值y 随x 值的增大而减小即可．【详解】∵二次函数的图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，∴AB 中点坐标为（1，0），而点A 与点B 是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵开口向上，∴当x ＜1时，y 随着x 的增大而减小，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及判断方法是解题的关键．9、B【解析】试题分析：∵由二次函数2y ax bx c =++的图象知，a ＜1， b 2a-＞1，∴b ＞1．∴由b＞1知，反比例函数byx=的图象在一、三象限，排除C、D；由知a＜1，一次函数y cx a=+的图象与y国轴的交点在x轴下方，排除A．故选B．10、B【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.11、C【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12得出即可．【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选C．【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．12、A【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．【详解】解：将这组数据从小到大排列为：2，2，2，3，5，6，8，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；2出现了三次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；故选：A.【点睛】此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．二、填空题（每题4分，共24分）13、5 65【分析】根据矩形的性质得出∠DAE=∠AEB ，再由AB 和∠DAE 的正切值可求出BE ，利用勾股定理计算出AE 的长，再证明△ABE ∽△FEA ，根据相似三角形的性质可得=BE AE AE AF ，代入相应线段的长可得EF 的长，再在在Rt △AEF 中里利用勾股定理即可算出AF 的长，进而得到DF 的长．【详解】解：∵点E 在矩形ABCD 的边BC 上， ∴225tan AEB tan FAE BE∠=∠==， ∴5BE =.在ABE △中，222AE AB BE =+，∴2,5AB BE ==，∴AE ==∵,.EAF BEA B AEF ∠=∠∠=∠∴△ABE ∽△FEA ，∴=BE AEAE AF AF ，解得295AF =. ∵7AD BC ==. ∴296755FD =-=. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．14、【分析】根据旋转后AC 的中点恰好与D 点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE 为30°，进而得到∠EAC=∠ECA ，利用等角对等边得到AE=CE ，设AE=CE=x ，表示出AD 与DE ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出EC 的长，即可求出三角形AEC 面积．【详解】∵旋转后AC 的中点恰好与D 点重合，即AD=12 AC′=12AC ， ∴在Rt △ACD 中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE ，在Rt △ADE 中，设AE=EC=x ，∵AB=CD=6∴DE=DC-EC=AB-EC=6-x ，AD=CD×tan ∠，根据勾股定理得：x 2=（6-x ）2+（）2，解得：x=4，∴EC=4，则S △AEC =12故答案为：【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．15、1【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m 、n 的值，即可得到结果．【详解】解：由（x+m ）2=3，得：x 2+2mx+m 2-3=0，∴2m=4，m 2-3=n ，∴m=2，n=1，∴（n ﹣m ）2020=（1﹣2）2020=1，故答案为：1．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16、1【分析】根据题意易得∠AOB=70°，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．【详解】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°，∴18070552OAB︒-︒∠==︒；故答案为1．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17、y1＜y3＜y1【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y＝-mx1 +4mx+m1 +1（m＞0），对称轴为x＝422mm-=-，观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y1．故答案为：y1＜y3＜y1．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．18、点在圆外【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系. 【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，∵AB 10,BE 3==，∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,∵CD AB ⊥,∴222225221CE OC OE =-=-=，∴222221770AC CE AE =+=+=，∵OF ⊥AC ，∴CF=12AC, ∴222211557042OF OC CF =-=-⨯=, ∵2155()22>， ∴52OF >, ∴52FG <, ∴OF FG >,∴点O 与弧G 所在圆的位置关系是点在圆外.故答案是：点在圆外.【点睛】本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．【详解】（1）甲的平均成绩是：（9+8+8+7）÷4＝8， 乙的平均成绩是：（10+6+7+9）÷4＝8， （2）甲的方差是：()()()()22229-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣⎦＝12， 乙的方差是：()()()()2222-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣⎦10＝52． 所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适．【点睛】本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．20、见解析【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C ，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证ADC DEB . 【详解】证明：∆ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°, ∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，∵∠ADE=60°，∴∠ADB=∠BDE+60°, ∴∠CAD=∠BDE,∴ADC DEB 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.21、（1,.（2）无变化；理由参见解析.（3）5. 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出AE BD的值是多少． ②α=180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC BC AE BD =，求出AE BD 的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB ，再根据2EC AC DC BC ==，判断出△ECA ∽△DCB ，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AE BD的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A ，D ，E 所在的直线和BC 平行时；②点A ，D ，E 所在的直线和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt △ABC 中，∠B=90°，∴AC=2222(82)845AB BC+=÷+=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴45252AE==,BD=8÷2=4，∴25542 AEBD==．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵AC BC AE BD=，∴45582 AE ACBD BC===（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AEBD的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵5 EC ACDC BC==，∴△ECA∽△DCB，∴52 AE ECBD DC==．（3）①如图3，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ，∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45．②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=5CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---=， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2， ∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得5AE BD =， ∴1255=．综上所述，BD 的长为45125．22、（1）m ＜12；（2）y =6x【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质得出不等式解之即可；（2）本题根据平行四边形的性质得出点D 的坐标，代入反比例函数求出解析式.【详解】解：（1）根据题意得1-2m ＞0解得m ＜12（2）∵四边形ABOC 为平行四边形，∴AD ∥OB ，AD =OB =2，而A 点坐标为（0，3），∴D 点坐标为（2，3），∴1-2m =2×3=6，∴反比例函数解析式为y =6x.23、（1）213222y x x =--，D 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）ABC ∆是直角三角形，见解析；（3）35,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别求出AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M 点位置，求出直线BC 的解析式，可得M 点坐标，然后易求此时△ACM 的周长．【详解】解：（1）∵点()1,0A -在抛物线2122y x bx =+-上， ∴()()2111202b ⨯-+⨯--=， 解得：32b =-. ∴抛物线的解析式为213222y x x =--， ∵22131325y x x 2x 22228⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴顶点D 的坐标为：325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）ABC ∆是直角三角形，证明：当0x =时2y =-，∴()0,2C -，即2OC =，当0y =时，2132022x x --=， 解得：11x =-，24x =，∴()4,0B ，∴1OA =，4OB =，5AB =，∵225AB =，2225AC OA OC =+=，22220BC OC OB =+=，∴222AC BC AB +=，∴ABC ∆是直角三角形；（3）如图所示：BC 与对称轴交于点M ，连接AM ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时MC MA +的值最小，即ACM ∆周长最小，设直线BC 解析式为：y kx d =+，则240d k d =-⎧⎨+=⎩， 解得：212d k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 故直线BC 的解析式为：122y x =-， ∵抛物线对称轴为32x =∴当32x =时，54122x y --==， ∴35,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ACM ∆最小周长是：52535AC AM MC AC BC ++=+=+=.【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用、利用轴对称求最短路线以及勾股定理的逆定理等知识，得出M 点位置是解题关键．24、（1）y ＝4x ；（2）B(m+n ，n ﹣m)；（3）152-+ 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，三线合一，得到点A 坐标，代入解析式即可得到4y x=． （2）过点A 作平行于x 轴的直线CD ，过点B 作垂直于x 轴的直线交CD 于点D ，CD 交y 轴于点C ，构造一线三等角全等，得到AC BD m ==，OC AD n ==，所以(m n,n m)B （3）把点A 和点B 的坐标代入反比例函数解析式得到关于m 、n 的等式，两边除以2m ，换元法解得n m 的值是152+ 【详解】解：（1）过A 作AC OB ⊥，交x 轴于点C ，OA AB =，90OAB ∠=︒，AOB ∴∆为等腰直角三角形，122AC OC BC OB ∴====， (2,2)A ∴，将2x =，2y =代入反比例解析式得：22k =，即4k =， 则反比例解析式为4y x=； （2）过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥， 90OAB ∠=︒，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD n ∴==，OE AD m ==，DE AE AD n m ∴=-=-，OE BD m n +=+， 则(m n,n m)B ；（3）由A 与B 都在反比例图象上，得到()()mn m n n m =+-，整理得：22n m mn -=，即2()10m m n n+-=， 这里1a =，1b =，1c =-，△145=+=，∴m n =， (,)A m n 在第一象限，0m ∴>，0n >，则m n 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．25、 (1)1221,3x x ==-;(2) 1241,3x x == 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解:()()3121x x x -=-()()31210x x x -+-=()()3210x x ∴+-=.320x ∴+=或10x -=解之: 1221,3x x ==- （2）解:将原方程整理为:()()3410x x --=10x ∴-=或340x -=，解之: 1241,3x x ==【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．26、（2）y ＝﹣12x 2+32x +2；（2）①点P 坐标为（2，3）；②存在点P ﹣27）使得∠POC ＝∠ACO【分析】（2）122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，2），由题意可得1164022b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩即可求解；（2）①过点P 作PE ∥OC ，交BC 于点E ．根据题意得出△OCD ≌△PED ，从而得出PE ＝OC ＝2，再根据22131122222222PE m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解； ②当点P 在y 轴右侧，PO ∥AC 时，∠POC=∠ACO ．抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，则点A 坐标为（-2，0）．则直线AC 的解析式为y=2x+2．直线OP 的解析式为y=2x ，即可求解；当点P 在y 轴右侧，设OP 与直线AC 交于点G ，当CG=OG 时，∠POC=∠ACO ，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G 坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭即可求解．【详解】（2）∵y ＝﹣12x+2与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，2）． 由题意可得1164022b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为y ＝﹣12x 2+32x+2； （2）①如图，过点P 作PE ∥OC ，交BC 于点E ．∵点D 为OP 的中点，∴△OCD ≌△PED （AAS ），∴PE ＝OC ＝2，设点P 坐标为（m ，﹣12m 2+32m+2），点E 坐标为（m ，﹣12m+2）， 则PE ＝（﹣12m 2+32m+2）﹣（﹣12m+2）＝﹣12m 2+2m ＝2， 解得m 2＝m 2＝2．∴点P坐标为（2，3）；②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．理由：分两种情况讨论．如上图，当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，∴点A坐标为（﹣2，0）．∴直线AC的解析式为y＝2x+2．∴直线OP的解析式为y＝2x，解方程组2132222y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=⎩，解得：x＝12-（舍去负值）∴点P坐标为（12-2）．如图，当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，过点G作GF⊥OC，垂足为F．根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．∴可得点G坐标为（﹣12，2）∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x．∴点P7）．综上所述，存在点P（122）或（72-7）使得∠POC＝∠ACO．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．。
慈溪市期末试卷---初三数学上学期期末考试试卷
慈溪市期末试卷初三数学上学期期末考试试卷（100分钟完成，满分150分）一、 填空题（每小题3分，满分36分） 1. 方程211=-x 的根是______________. 2. 方程1112+=+x x x 的根是________________. 3. 分解因式：=-+422x x _______________________. 4. 在公式21111R R R +=中，已知正数R 、R 1（1R R ≠），那么R 2= ． 5. 用换元法解方程02711222=+---x x x x 时，可设y =12-x x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ．6. 某电子产品每件原价为800，首次降价的百分率为x ，第二次降价的百分率为2x ，那么经过两降价后每件的价格为_____________________元(用x 的代数式表示).7. 如图1，已知舞台AB 长10米，如果报幕员从点A台的黄金分割点P 处，且BP AP <，则报幕员应走 米 报幕（236.25≈，结果精确到米）．8. 如图2，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，5:2:=AC AE ，则=BC DE : ．9. 已知ABC ∆与DEF ∆相似，且点A 与点E 是对应点，已知∠A =50º，∠B =︒60，则∠F = ．10. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，要使△ADE 与△ABC 相似，只须添A CE B 图图2加一个条件，这个条件可以是___________(只要填写一种情况) ．11. 在△ABC 中，中线AD 和CE 相交于G ，则=AD AG :_________．如图3, 在△ABC 中, 点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE 4,3==∆∆CDE ADE S S二、选择题（每小题4分，满分16分）12. 下多项式中,在实数范围内能分解因式的是………………………………………（ ） （A ）12+-x x ; （B ）222+-x x ; （C ）332+-x x ; （D ）552+-x x .13. 下列方程中, 有实数根的是………………………………………………………（ ）（A ）x x -=11； （B ）11-=-x x ； （C ）111112--=+-x x x ； （D ）11111+-=+-x x x ．14. 如果点D 、E 分别在ΔABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是（ ）（A ） AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23 ；（C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD =34，AE EC = 34．15. 如图4，小正方形的边长均为l ，△ABC 与△DEF 的顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF 与△ABC 相似的是……………………………………………………………( )（A ） （B ） （C ） （D ）三、（第17、18题每小题9分，第19、20、21题每小题10分，满分48分） 17．解方程：1113112=----x x x .图4 A B C E DD ED F F DE 图18．方程组: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+-.1223,4122yx x y x x19. 函数542--=x x y 图象上一点P 的纵坐标比横坐标多1, 求这个点的坐标.20. 如图5，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，C ADE ∠=∠，且3=AD 厘米，5=BD 厘米，6=AC 厘米，求线段EC 的长．21.已知：如图6，在四边形ABCD 中，AD FBCE CD FC ⋅=⋅ABDDAE ∠=∠DB DE AD ⋅=2ACB DEC ∠=∠在矩形ABCD 中，2=AB ，5=BC ，点P 在BC 上，且3:2:=PC BP ，动点E 在边AD 上，过点P 作PE PF ⊥分别交射线AD 、射线CD 于点F 、G ．BC A DE 图5A B(1) 如图9，当点G 在线段CD 上时，设AE =x ，△EPF 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； (2) 当点E 在移动过程中，△DGF 是否可能为等腰三角形如可能，请求出AE 的长；如不可能，请说明理由．初三数学期中考试试卷参考与评分意见一、1．23=x ； 2. 1=x ； 3. );51)(51(-+++x x 4. RR RR -11； 5. ;02742=-+y y 6. )21)(1(800x x --; 7. ； 8. 2:5 ； 9. 60º或70º; 10. 可填DEABAEAC AD =2：3； 12. 3：4. 二、13．D ； 14. B; 15. C; 16. B.三、17．解：11312-=+-+x x x ，（3分） ,0322=-+x x （2分）1,321=-=x x ，（2分）经检验：3-=x 是原方程的根，1=x 是增根．（2分）所以原方程的根是3-=x ．18. 解：设a x =-21，b y x =-1（1分） 则原方程组可化为⎩⎨⎧-=-=+.123,42b a b a (2分) 解此方程得⎩⎨⎧==.2,1b a (2分) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.21,121yx x (1分) ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==.25,3y x (2分)经检验：⎪⎩⎪⎨⎧==25,3y x 是原方程组的解，∴所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==.25,3y x （1分）19. 解：设点)1,(+x x P ，（2分） 5412--=+x x x ，（2分） 0652=--x x ，（2分）ABCD（备用图）图91,621-==x x ，（2分） ∴点P 的坐标为)7,6(或()0,1-．（2分）20．解：∵C ADE ∠=∠，A A ∠=∠，（1分） ∴ADE ∆∽ACB ∆．（2分）∴AB AEAC AD =．（2分） ∵3=AD 厘米，5=BD 厘米，6=AC 厘米， ∴5363+=AE，（2分） 解得4=AE ．（2分） ∴2=-=AE AC EC 厘米．（1分）21. 证明：∵FB CE CD FC ⋅=⋅，∴CD CE FB FC =．（2分）∵AD .FA FE CD CE =FAFEFB FC =2分） ∴DE （2分）∴四边形ABCD 是平行四边形．（1分） ∴∠B =∠D ．（1分）四、22．证明：（1）∵ABD DAE ∠=∠，BDA ADE ∠=∠，∴ADE ∆∽BDA ∆．（2分）∴ADDEBD AD =，（2分） 即DB DE AD ⋅=2．（1分） （2）∵D 是AC 边上的中点，∴DC AD =．∵AD DEBD AD =，∴DCDE BD DC =，（2分） 又∵BDC CDE ∠=∠．（1分）∴CDE ∆∽BDC ∆．（2分）∴ACB DEC ∠=∠．（2分） 23. 解：甲货车每次各运x 吨，（1分） 则乙货车每次各运（2+x ）吨．（1分）由题意得52200200=+-x x ．（3分） 化简整理得 08022=-+x x ．（2分） 解得10,821-==x x ． （2分） 经检验10,821-==x x 都是原方程的根，但10-=x 不合题意舍去，（1分） ∴8=x ，.102=+x （1分）答：甲、乙两辆货车每次各运8吨、10吨．（1分）24．解：道路出入口的边的长度为x 米．（1分）过点F 作FM ⊥EH ，可求得EH =x 23，可得小正方形的边长为x 23米．（2分） 1374340302=-+x x x ，（3分） 054828032=+-x x ，（1分） 0)2)(2743(=--x x , （1分） 2,327421==x x ．(2分)3274=x 不符合题意，舍去．（1分）答：道路出入口的边的长度为2米．（1分） 25. 解：（1）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．（1分）∵3:2:=PC BP ，5=BC ，∴2=BP ，3=PC ；∵x AE =，∴x HP -=2；∵EH =AB =2， ∴x S EHP -=∆2 ，（2分） ∵︒=∠=∠=∠90GCP EPF EHP ，∴∠EPH =90º–∠GPC =∠PGC ，（1分）∴EHP ∆∽PCG ∆．（1分）∴.236,232,xCG x CG EH CP PH CG -=∴=-∴=（1分）∴9924∆=-PCG S x ．（1分） ∵PCG EPH EHCD S S S y ∆∆--=矩形，∴2745+=x y ，（2分） （232<≤x ）．（1分） （2）当点G 在线段CD 上，DG DF =，DF -=23，1-=DF 不可能．（2分） 当点G 在线段CD 的延长线上时，DG DF =，DF +=23，1=DF ．此时可解得0=AE ，即当点E 与点A 重合时，DGF ∆是等腰三角形．（2分）。
浙教新版初中数学九年级上册期末测试题(2017-2018学年浙江省宁波市慈溪市
2017-2018学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）已知3x＝2y（x，y均不为0），则x，y一定满足（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝2C．＝D．＝2．（4分）如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）A．60°B．72°C．90°D．120°3．（4分）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP＝5B．OE＝OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF4．（4分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为5．（4分）对于二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（）A．x≤1时，y随x的增大而增大B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）C．图象的开口向下D．图象与y轴交于点（0，2）6．（4分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，∠A＝α，则AB的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．7．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，C，D是圆上AB同侧的两点，∠ACD＝130°，则∠BAD＝（）A．50°B．40°C．35°D．25°8．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2＝BC•CD D．＝9．（4分）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且＝，DF＝15，则DE＝（）A．3B．6C．9D．1010．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，CD⊥AB，CD＝6，则阴影部分的面积为（）A．12πB．8πC．4πD．3π11．（4分）如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，且CD＝BC，直线DE分别交AB，AC于E，F．若＝，则＝（）A．B．C．D．12．（4分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（）A．﹣﹣1或﹣1B．﹣或﹣1C．﹣1或﹣D．或﹣1二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）写出一个图象顶点在y轴上，开口向下的二次函数解析式．14．（4分）15瓶牛奶中有3瓶已过保质期，则在这15瓶牛奶中任取一瓶是没过保质期的概率为．15．（4分）已知AB，AC分别是⊙O的内接正六边形和正方形的一边，则∠CAB＝．16．（4分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．17．（4分）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），C（6，0），AB∥x轴，射线AB在第一象限，P为射线AB上一点，连接OP，AC交于点E，若△AOP与△OEC相似，则点P的坐标为．三、解答题（共78分）19．（6分）某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m（分别用A1、A2表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）求该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率；（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．20．（8分）二次函数y＝2x2﹣8x+6（1）求它的图象的顶点坐标；（2）把已知函数的图象向右平移一个单位，再向下平移两个单位，求平移后的抛物线解析式及它与x轴的交点坐标．21．（8分）画图题：在5×5的网格中画图（用实线画出图形；小正方形的顶点为格点，顶点在格点处的多边形称为格点多边形）（1）在图1中，点P为格点，画出一个以点P为重心的格点三角形．（2）在图2中，A，B，C，D为格点，画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，且相似比为无理数．（3）在图3中，A，B，C是格点，直角三角板PQR（∠P＝90°）可以运动，但A，B 两点始终分别在两条直角边上，画出使CP最大的点P的位置，并用字母P′标注（保留画图痕迹）．22．（10分）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．23．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB 上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD．（1）求证：∠ACF＝∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB．25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是的中点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）已知＝．①求证：AE＝2AO；②连接AC，若AC＝2，求⊙O的半径．26．（14分）如图（1），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P．（1）①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段BC有交点，点B，C到直线l的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值，并说明理由；（2）如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作PH⊥AB于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作QM⊥AP于M，△PQM与△APH相似，求点Q的坐标．（3）直线l与AC的夹角为α（α为锐角），若tanα＝，直接写出点P的坐标．2017-2018学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）已知3x＝2y（x，y均不为0），则x，y一定满足（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝2C．＝D．＝【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：∵3x＝2y，∴．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2．（4分）如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）A．60°B．72°C．90°D．120°【分析】把此图案绕看作正五边形，然后根据正五边形的性质求解．【解答】解：图形看作正五边形，而正五边的中心角为72°，所以此图案绕旋转中心旋转72°的整数倍时能够与自身重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．3．（4分）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP＝5B．OE＝OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．4．（4分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为【分析】根据随机事件和必然事件对A进行判断；根据概率的意义对B进行判断；根据频率估计概率对C进行判断；根据概率公式对D进行判断．【解答】解：A、事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，此选项错误；B、体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票大约有10张中奖，此选项错误；C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，此选项正确；D、掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为，此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了概率的意义：概率是对随机事件发生的可能性的度量．表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．也考查了全面调查和抽样调查、随即事件以及概率公式．5．（4分）对于二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（）A．x≤1时，y随x的增大而增大B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）C．图象的开口向下D．图象与y轴交于点（0，2）【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2+3，∴a＝﹣2，当x≤1时，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意，图象的顶点坐标是（﹣1，3），故选项B不符合题意，a＝﹣2，则该函数图象开口向下，故选项C不符合题意，图象与y轴的交点坐标为（0，1），故选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．6．（4分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，∠A＝α，则AB的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．【分析】直接根据题意画出图形，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：cosα＝＝，则AB＝．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确数形结合是解题关键．7．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，C，D是圆上AB同侧的两点，∠ACD＝130°，则∠BAD＝（）A．50°B．40°C．35°D．25°【分析】根据内接四边形的性质得出∠ABD＝50°，进而利用互余得出∠BAD的度数即可．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C，D是圆上AB同侧的两点，∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣130°＝50°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．8．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2＝BC•CD D．＝【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②＝；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．9．（4分）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且＝，DF＝15，则DE＝（）A．3B．6C．9D．10【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∴，∵DF＝15，∴DE＝6，故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，CD⊥AB，CD＝6，则阴影部分的面积为（）A．12πB．8πC．4πD．3π【分析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【解答】解：连接BC，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，又∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵CD＝6，∴EC＝3，∴sin60°×CO＝3，解得：CO＝6，故阴影部分的面积为：＝12π．故选：A．【点评】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．11．（4分）如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，且CD＝BC，直线DE分别交AB，AC于E，F．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】如图，作EP∥BC交AC于P．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：如图，作EP∥BC交AC于P．∵AE：EB＝2：3，∴＝＝＝，∵BC＝CD，∴＝＝，设PF＝2k，则FC＝5k，∴PC＝7k，∵P A：PC＝AE：EB＝2：3，∴P A＝k，∴AF＝k+2k＝，AC＝k＝7k＝k，∴＝＝，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（）A．﹣﹣1或﹣1B．﹣或﹣1C．﹣1或﹣D．或﹣1【分析】分类讨论：a＜﹣2，﹣2≤a≤1，a＞1，根据函数的增减性，可得答案．【解答】解：当a＜﹣2，x＝﹣2时，y＝12+12a+4a2+2a+2＝4a2+14a+14＝4，解得：a＝﹣1（不合题意舍去），a2＝﹣，当﹣2≤a≤1时，x＝a时，y最小＝3a2﹣6a2+4a2+2a+2＝4，解得：a3＝﹣1﹣（舍），a4＝﹣1+，当a＞1，x＝1时，y最小＝3﹣6a+4a2+2a+2＝4，解得：a5＝a6＝（不合题意舍去），综上所述：a的值为﹣或﹣1，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）写出一个图象顶点在y轴上，开口向下的二次函数解析式y＝﹣x2+1．【分析】根据题意可以写出一个符合要求的函数解析式，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，图象顶点在y轴上，开口向下的二次函数解析式是：y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出形应的函数解析式，本题是一道开放性题目，符合要求即可．14．（4分）15瓶牛奶中有3瓶已过保质期，则在这15瓶牛奶中任取一瓶是没过保质期的概率为．【分析】直径利用概率公式计算即可；【解答】解：15瓶牛奶中有3瓶已过保质期，则在这15瓶牛奶中任取一瓶是没过保质期的概率＝＝，故答案为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．15．（4分）已知AB，AC分别是⊙O的内接正六边形和正方形的一边，则∠CAB＝15°或105°．【分析】有两种情形：①如图1中，∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO，②如图2中，∠BAC＝∠BAE+∠EAC，分别计算即可．【解答】解：如图1中，∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°，如图2中，∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°+15°＝105°，故答案为15°或105°．【点评】本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．16．（4分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB＝90°，根据tan∠ABC＝，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF ＝60°，AE＝a，EB＝2a∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，tan∠ABC＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（4分）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 3.4cm．【分析】作OH⊥BC于H，如图，则CH＝BH，先利用勾股定理计算出BC＝，则CH＝，再证明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比计算OC即可．【解答】解：连接BC，作OH⊥BC于H，则CH＝BH，在Rt△ACB中，BC＝＝，∴CH＝BC＝，∵∠OCH＝∠BCA，∴Rt△COH∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得，OC＝3.4．故答案为：3.4cm．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），C（6，0），AB∥x轴，射线AB在第一象限，P为射线AB上一点，连接OP，AC交于点E，若△AOP与△OEC相似，则点P的坐标为（10，2）．【分析】首先证明△AOE∽△ACO，可得OA2＝AE•AC，求出AE，再利用平行线的性质求出AP即可．【解答】解：∵AB∥OC，∴∠APO＝∠EOC，∠P AC＝∠ACO，∵△AOP与△OEC相似，∴只有∠OEC＝∠OAP，∴∠OAE+∠AOE＝∠OAE+∠P AE，∴∠AOP＝∠P AE＝∠ACO，∵∠OAE＝∠CAO，∴△AOE∽△ACO，∴OA2＝AE•AC，∵A（2，2），C（6，0），∴OA＝4，AC＝2，∴AE＝，∵AP∥OC，∴＝，∴＝，∴AP＝8，∴P（10，2）．【点评】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共78分）19．（6分）某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m（分别用A1、A2表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）求该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率；（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率＝；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8，所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（8分）二次函数y＝2x2﹣8x+6（1）求它的图象的顶点坐标；（2）把已知函数的图象向右平移一个单位，再向下平移两个单位，求平移后的抛物线解析式及它与x轴的交点坐标．【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式，据此可得；（2）根据“上加下减、左加右减”的平移规律解答可得抛物线解析式，再求出y＝0时x的值即可得．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；（2）根据题意平移后的解析式为y＝2（x﹣1﹣2）2﹣2﹣2＝2（x﹣3）2﹣4，即平移后抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣4，当y＝0时，2（x﹣3）2﹣4＝0，解得：x＝3±，则抛物线与x轴的交点坐标为（3﹣，0）、（3+，0）．【点评】本题考查了配方法的运用，二次函数图象的平移与顶点坐标的关系及几何变换．关键是熟练掌握配方法的灵活运用，图形的平移与顶点的平移的关系．21．（8分）画图题：在5×5的网格中画图（用实线画出图形；小正方形的顶点为格点，顶点在格点处的多边形称为格点多边形）（1）在图1中，点P为格点，画出一个以点P为重心的格点三角形．（2）在图2中，A，B，C，D为格点，画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，且相似比为无理数．（3）在图3中，A，B，C是格点，直角三角板PQR（∠P＝90°）可以运动，但A，B 两点始终分别在两条直角边上，画出使CP最大的点P的位置，并用字母P′标注（保留画图痕迹）．【分析】（1）根据三角形重心的定义画出三角形即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；（3）利用点与圆的位置关系，构造辅助圆即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求：（2）四边形A′B′C′D′即为所求，相似比为．（3）以AB为直径作⊙O，连接CO延长CO交⊙O于P′，点P′即为所求；【点评】本题考查作图相似变换，三角形的重心，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决最值问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．【分析】（1）根据坡角的定义直接代入数值解答即可．（2）在△ACD中先求出AD长，AB＝AD﹣BD．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD＝BC sin12°≈10×0.21＝2.1米．（2）在Rt△BCD中，BD＝BC cos12°≈10×0.98＝9.8米；在Rt△ACD中，米，AB＝AD﹣BD≈23.33﹣9.8＝13.53≈13.5米．答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．【点评】本题主要考查坡度坡角的定义，这两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．23．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；（2）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．则S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．（2）由题意可知，，解得6≤x≤13．由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195m2．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB 上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD．（1）求证：∠ACF＝∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB．【分析】（1）先根据CG2＝GE•GD得出＝，再由∠CGD＝∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC＝∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD＝∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE得出△BGF∽△CGE，故＝．再由∠FGE＝∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵CG2＝GE•GD，∴＝，又∵∠CGD＝∠EGC，∴△GCD∽△GEC．∴∠GDC＝∠GCE．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC．∴∠ACF＝∠ABD．（2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE．∴＝．又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC．∴＝．∴FE•CG＝EG•CB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是的中点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）已知＝．①求证：AE＝2AO；②连接AC，若AC＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC＝∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC＝OB，于是得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）①由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到＝＝，＝＝，即可得到结论；②先求出sin E＝＝，在判断出OCH＝∠E，进而得出sin∠OCH＝＝sin E＝，设OH＝x，则OA＝OC＝3x，得出AH＝OA﹣OH＝2x，利用勾股定理得出CH2＝8x2，再利用勾股定理得出AC2＝AH2+CH2，建立方程即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，∵AC＝CG，∴＝，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）①解：如图1，连接OC，∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴＝＝，∴＝＝，∴3BE＝4OE，∵OA＝OB，∴BE＝AE+2OA，OE＝AE+OA，∴3（AE+2OA）＝4（AE+OA）∴AE＝2OA；（3）解：如图2，连接AC，OC，∵AE＝2OA，∴OE＝3OA＝3OC，在Rt△BOE中，sin E＝＝，过C作CH⊥BE于H，∴∠ECH+∠E＝90°，∵∠ECH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠E，在Rt△OCH中，sin∠OCH＝＝sin E＝，设OH＝x，则OA＝OC＝3x，∴AH＝OA﹣OH＝2x，在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝9x2﹣x2＝8x2，在Rt△ACH中，AC＝2，根据勾股定理得，AC2＝AH2+CH2，∴12＝4x2+8x2，∴x＝﹣1（舍）或x＝1，∴OC＝3x＝3，即：⊙O的半径为3．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（14分）如图（1），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P．（1）①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段BC有交点，点B，C到直线l的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值，并说明理由；（2）如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作PH⊥AB于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作QM⊥AP于M，△PQM与△APH相似，求点Q的坐标．（3）直线l与AC的夹角为α（α为锐角），若tanα＝，直接写出点P的坐标．【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题；②如图1中，作BM⊥直线l于M，CN⊥直线l于N．则d1＝BM≤BD，d2＝CN≤CD，可得d1+d2≤CD+BD，推出d1+d2≤BC，即可解决问题；（2）如图2中，延长PQ交X轴于N．首先证明AN＝NP，设AN＝NP＝m，在Rt△PHN 中，利用勾股定理求出m的值，再求出直线AN的解析式，构建方程组确定点P坐标即可；（3）如图3中，设直线P A交y轴与D，作DE⊥AC于E．设DE＝k．首先求出直线AP 的解析式，利用方程组确定解得P坐标，再根据对称性，求出直线AP关于直线AC的对称的直线AD′的解析式，利用方程组确定交点坐标即可；【解答】解：（1）①把点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c 得到，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．②如图1中，作BM⊥直线l于M，CN⊥直线l于N．则d1＝BM≤BD，d2＝CN≤CD，∴d1+d2≤CD+BD，∴d1+d2≤BC，∵OC＝OB＝3，∴BC＝3，∴d1+d2的最大值为3．（2）如图2中，延长PQ交X轴于N．由题意P（1，4）．∵△PQM与△APH相似，观察图象可知，只有∠QPM＝∠P AH，∴NA＝PN，设NA＝PN＝m，在Rt△PNH中，∵PH2+NH2＝PN2，∴m2＝42+（m﹣2）2，解得m＝5，∴ON＝4，∴N（4，0），∴直线PN的解析式为y＝﹣x+，由，解得或，∴Q（，）．（3）如图3中，设直线P A交y轴与D，作DE⊥AC于E．设DE＝k．∵tan∠EAD＝，tan∠DCE＝，∴AE＝2k，EC＝3k，∴AC＝5k，∵AC＝＝，∴k＝，∴DE＝，EC＝，∴CD＝＝2，∴D（0，1），∴直线AP的解析式为y＝x+1，由，解得或，∴P（2，3）．作点D关于直线AC的对称点D′，∵E（﹣，），∴D′（﹣，），∴直线AD′的解析式为y＝﹣7x﹣7，由解得或，∴P（10，﹣77），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（10，﹣77）．【点评】本题考查二次函数综合题、垂线段最短、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标解决问题，属于中考压轴题．。
2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷
2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（4分）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣3D．直线x＝33．（4分）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（）A．黄河入海流B．大漠孤烟直C．汗滴禾下土D．手可摘星辰4．（4分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（）A．d≤3B．d＝3C．d＞3D．0≤d＜35．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．6．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，DE＝3，EF ＝6，AB＝4，则AC的长为（）A．15B．12C．10D．87．（4分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（）A．B．C．1D．8．（4分）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝6寸，求直径CD的长？”依题意得CD的长为（）A．4寸B．5寸C．8寸D．10寸9．（4分）二次函数y＝mx2﹣2m2x+n图象经过点A（﹣3，y1），B（7，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．0＜m＜2B．m＜0或m＞2C．﹣3＜m＜0D．m＜﹣3或m＞710．（4分）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形ABCD∽矩形BEFG．设矩形ABCD与矩形AHIE的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（）A．4m B．2m+3n C．m+3n D．3m+n二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）若3x＝4y，则x：y＝．12．（5分）写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点：．13．（5分）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝130°，则∠C 的度数为 ．14．（5分）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：每次试验粒数50 100 300 400 600 1000发芽频数 47 96 284 380 571 948 估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）15．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为6，点F 为AB 的中点，点E 在AD 上，且ED ＝2AE ，在边CD 上找一点P ，使以E ，D ，P 为顶点的三角形与△AEF 相似，则DP 的长为 ．16．（5分）如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＞AC ，AC ＝4，连接CO 并延长至点E ，使∠EAC ＝∠ABC ＝60°．（1）⊙O 的半径为 ．（2）若BC ＝2，则BE的长为．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（1）计算：2sin30°﹣4cos60°+tan45°；（2）已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象过点（1，0）和（3，0），求b ，c 的值．18．宁波方特东方欲晓是一座以红色文化为主题的大型主题公园，公园精心策划了多个历史主题区域，其中最有特色的三个游玩项目如下表所示．AB C 《圆明园》 《致远致远》 《鹰击长空》小慈和小溪两名同学去景区游玩，他们各自在这3个项目中任选一个进行游玩，每个项目被选择的可能性相同．（1）求小慈选择《致远致远》的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小慈和小溪选择不同项目的概率．19．如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．（1）将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C．（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得．（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上黑点，注上字母）20．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，过点A作AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：△ABC∽△CAE．（2）若AC＝8，AB＝10，求AE的长．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）求证：点D为线段BC的中点．（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．22．如图1，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，水平底座长AD＝10cm，伸缩臂AB长度可调节（10cm ≤AB≤15cm），并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是0°＜α≤90°，手机支撑片EC可绕点B 上下转动，BC＝10cm，转动角β变动范围是0°＜β≤90°．小明使用该支架进行线上学习，当β≥30°，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适．（1）如图3，当α＝90°，β＝50°，AB＝12cm时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求．（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）（2）如图2，当α＝60°，β＝90°的情况下，AB至少要伸缩到多少cm时才能恰好满足小明使用的舒适要求？（精确到1cm．参考数据≈1.73）23．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值及cos∠BAO．（2）求PN的最大值．（3）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若，求此时m的值．24．如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且．（1）求证：．（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求AG的长．（3）设．①若点E为AG中点，求x．②若，求y与x的函数表达式．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C；2．A；3．D；4．C；5．C；6．B；7．D；8．D；9．B；10．D；二、填空题（每小题5分，共30分）11．4：3；12．y＝﹣x2+2（答案不唯一）；13．50°；14．0.95；15．6或；16．4；；三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（1）0；（2）．；18．（1）；（2）．；19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．；20．（1）见解析；（2）．；21．（1）见解析；（2）半径为3，．；22．（1）托片底部点C离底座的高度为5.6cm，不符合小明的舒适要求；（2）至少要将AB伸缩至14cm时才能符合小明的舒适要求．；23．（1），；（2）3；（3）m＝2．；24．（1）证明见解析；（2）；（3）①；②。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+14．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．306．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：；②m＝（用含S1，S3的代数式表示m）．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可．【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+1【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：A．4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：【分析】设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．【解答】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．30【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后把已知条件代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DF＝25．故选：C．6．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sin A＝sin45°＝，cos A＝cos45°＝，tan A＝tan45°＝1，∴选项D是正确的，故选：D．7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果．【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，斜坡的水平宽度AB至少为AB＝≈8.5（米）．故选：A．9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，∴＝，可得3x＝2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，∴＝，推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．【解答】解：∵C（m，n）和D（m+8，n），∴CD∥x轴，且二次函数的对称轴x＝m+4，∴AB⊥CD，∵点C，D在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f （e，f为常数）的图象上，∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，y＝（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，∴A（m+4，n﹣16a），B（m+4，n﹣8），设AB与CD的交点为E，则E（m+4，n），则CE＝4，AE＝﹣16a，BE＝8；在△ABC中，∠ACB＝90°，且AB⊥CD，则CE2＝AE•BE，∴42＝﹣16a×8，解得，．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．【分析】过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．【解答】解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000600058961162954846013601到白球的次数m0.580.640.580.590.6050.6010.600摸到白球的频率小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是②（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为45°．【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．【解答】解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC＝BC•AM＝10，BC＝5，∴AM＝4．∵DE∥BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴＝，即＝，∴AN＝，∴平行四边形DEGF的高MN＝AM﹣AN＝4﹣＝，∴平行四边形纸片的面积＝2×＝．故答案为：．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：S2＝（S1+S3）；②m＝．（用含S1，S3的代数式表示m）．【分析】①由题意可得：S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，代入化简即可得到答案；②先证明△MLK∽△KEH，设AE＝x，PE＝y，结合四边形MNOP的面积为m，可得答案．【解答】解：①观察图像（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，∴2S2＝S1+S3，∴S2＝（S1+S3），故答案为：S2＝（S1+S3）．②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK∥EF，同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN∥GF∥EH，∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴＝＝，设AE＝x，PE＝y，则：＝＝，∴ML＝，MK＝＝LN，∴MN＝+＝，∴m＝MN2＝2＝，∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，∴m＝＝＝．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．【分析】（1）直接利用一个未知数表示出a，b，进而代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）∵，∴设a＝3x，则b＝4x，∴＝＝﹣；（2）原式＝2×﹣×＝1﹣＝﹣．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．【解答】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为＝．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB ＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【分析】（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a＝15；②a＝10计算求得相应的最大值即可．（2）令S＝67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案．【解答】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S＝x×＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣12）2+72，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝12，∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a＝15时，x≤a即x≤15；∴当x＝12时，S有最大值为72平方米；②a＝10时，x≤a即x≤10，∴当x＝10时，面积的最大值为﹣×（10﹣12）2+72＝70（平方米）．（2）令S＝67.5得：﹣（x﹣12）2+72＝67.5，解得x＝9或x＝15，由x≤a可知，当x＝15时，a≥15，由（1）知，此时矩形最大值在x＝12时取得，面积最大值为72平方米，故x＝15舍去．∴a＝9．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O 于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON （HL），可得结论．（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵＝，∴AC＝BD，∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM＝PN，∵AM＝BN，∴P A＝PB．（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MON＝120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON＝60°，∵＝3，∴∠COE＝3∠COM，∴∠COM＝15°，∴∠AOC＝2∠COM＝30°，过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R∴S△AOC＝9，∴•R••R＝9，∴R＝6，∴S阴＝S阴＝S阴﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．【分析】（1）利用待定系数可求解析式；（2）先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；（3）①由平行线的性质可得∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，∴点C（0，2），又∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC＝＝＝，BC＝＝＝2，∵AB2＝25，AC2+BC2＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①∵∠ACB＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°＝∠ACO+∠CAO，∴∠BCO＝∠CAO，∵PQ∥AC，PM∥y轴，∴∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ＝∠BMH，∠PQM＝∠PHB＝90°，∴∠QPM＝∠CBA，∵B（4，0），点C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣（m﹣2）2+2，∵cos∠CBA＝cos∠QPM，∴，∴＝，∴PQ＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PQ有最大值为．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．【分析】（1）①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB＝∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG＝3，∠BOG＝∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC＝∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；（3）如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：P A•AE＝AC •AB，根据三角形面积公式得P A•AE＝S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠P AF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠P AF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠P AF＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴，∴P A•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时P A•AE＝×＝80．。
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（4分）如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是( )A ．轴对称B ．平移C ．绕某点旋转D ．先平移再轴对称2．（4分）如图所示，若ABC DEF ∆∆∽，则E ∠的度数为( )A ．28︒B ．32︒C ．42︒D ．52︒3．（4分）下列事件中是随机事件的是( ) A ．校运会上立定跳远成绩为10米B ．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C ．慈溪市明年五一节是晴天D ．在标准大气压下，气温3C ︒ 时，冰熔化为水4．（4分）如图，O 中，点D ，A 分别在劣弧BC 和优弧BC 上，130BDC ∠=︒，则(BOC ∠= )A ．120︒B ．110︒C ．105︒D ．100︒5．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则下列等式正确的是( ) A ．3sin 5A =B ．3cos 5A =C ．3tan 5A =D ．4cos 5A =6．（4分）如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是( ) A ．①B ．②C ．①②D ．①③7．（4分）下列命题是真命题的是( ) A ．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等 B ．平分弦的直径垂直于弦C ．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D ．三角形外心是三条角平分线的交点8．（4分）在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =绕原点旋转180︒，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( ) A ．22(1)2y x =-- B ．22(1)2y x =+-C ．22(1)2y x =---D ．22(1)2y x =-+-9．（4分）如图，在ABC ∆中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，且//EF BC ，//FD AB ，则下列各式正确的是( )A ．AE CDEB BD=B ．EF AEBC DF=C ．EF DFBC AB=D ．AE BDAB BC=10．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD cm ==，则球的半径长是( )A ．2cmB ．2.5cmC ．3cmD ．4cm11．（4分）已知，当12x -时，二次函数2(1)51(0y m x m m =--+≠，m 为常数）有最小值6，则m 的值为( ) A ．5-B ．1-C ． 1.25-D ．112．（4分）如图，已知，M ，N 分别为锐角AOB ∠的边OA ，OB 上的点，6ON =，把OMN ∆沿MN 折叠，点O 落在点C 处，MC 与OB 交于点P ，若5MN MP ==，则(PN = )A ．2B ．3C ．83D ．103二、填空题（每题4分，共24分）13．（4分）写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式 ． 14．（4分）若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是 ．15．（4分）已知，O 的半径为6，若它的内接正n 边形的边长为62，则n = ． 16．（4分）如图，某营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31︒，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度BC 为 米．（参考数据：sin 310.515︒=，cos310.857︒=，tan 310.601)︒=17．（4分）如图，O 过正方形网格中的格点A ，B ，C ，D ，点E 也为格点，连结BE 交O 于点F ，P 为CD 上的任一点，则tan P = ．18．（4分）若二次函数的图象与x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象1T ，2T ，3T ⋯⋯是标准抛物线，且顶点都在直线33y x =上，1T 与x 轴交于点1(2,0)A ，22(A A 在1A 右侧），2T 与x 轴交于点2A ，3A ，3T 与x 轴交于点3A ，4A ，⋯⋯，则抛物线n T 的函数表达式为 ．三、解答题（第19、20题各7分，第21题8分，第22～24题每题10分，第25题12分，第26题14分，共78分） 19．（7分）解下列两题： （1）已知34a b =，求23a ba+的值； （2）已知α为锐角，且23sin 4cos30tan 60α=︒-︒，求α的度数．20．（7分）如图，转盘A 中的4个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A 、B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？21．（8分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．ABC ∆是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC = ；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与ABC ∆相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出ABC ∆的重心M ．（保留痕迹，点M 用黑点表示，并注上字母)M22．（10分）如图，二次函数2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B 和点(4,5)C ． （1）求该二次函数的表达式及最小值． （2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点． ①当4m =-时，求n 的值；②已知点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．23．（10分）如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB 水平的矩形，8AB =米，2BC =米，前端档板高0.5DE =米，底边AB 离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB 的仰角37α=︒（如图3)，求此时档板最高点E 离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈24．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数），每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x 在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．（12分）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形． （1）判断下列命题是真命题，还是假命题？ ①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60︒的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，(090)ABC αα∠=︒<<︒，E 为BC 中点，则在ABE ∆，AED ∆，EDC ∆中，相似的三角形只有ABE ∆与AED ∆．（2）如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，ABC ∠是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan DBC ∠的值．26．（14分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆弧上一点，在AC 上取一点D ，使BC CD =，连结BD 并延长交O 于E ，连结AE ，OE 交AC 于F ． （1）求证：AED ∆是等腰直角三角形；（2）如图1，已知O的半径为5．①求CE的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若:7:3BC=，求O的半径．AF FD=，且4参考答案一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是()A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A．2．（4分）如图所示，若ABC DEF∠的度数为()∽，则E∆∆A．28︒B．32︒C．42︒D．52︒解：110∠=︒，C∠=︒，28A∴∠=︒，B42∽，ABC DEF∆∆∴∠=∠．B E∴∠=︒．42E故选：C．3．（4分）下列事件中是随机事件的是()A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D．在标准大气压下，气温3C︒时，冰熔化为水解：“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A 不符合题意； “在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B 不符合题意； “慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C 符合题意；“在标准大气压下，气温3C ︒ 时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．4．（4分）如图，O 中，点D ，A 分别在劣弧BC 和优弧BC 上，130BDC ∠=︒，则(BOC ∠= )A ．120︒B ．110︒C ．105︒D ．100︒解：四边形ABDC 为圆内接四边形 180A BDC ∴∠+∠=︒ 130BDC ∠=︒ 50A ∴∠=︒2100BOC A ∴∠=∠=︒故选：D ．5．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则下列等式正确的是( ) A ．3sin 5A =B ．3cos 5A =C ．3tan 5A =D ．4cos 5A =解：如图所示：90C ∠=︒，5AB =，3AC =， 4BC ∴=，4sin 5A ∴=，故A 错误； 3cos 5A =，故B 正确； 4tan 3A =；故C 错误； 3cos 5A =，故D 错误；故选：B．6．（4分）如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是()A．①B．②C．①②D．①③解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．7．（4分）下列命题是真命题的是()A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C ．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D ．三角形外心是三条角平分线的交点解：A 、在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题； B 、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；C 、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；D 、三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；故选：A ．8．（4分）在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =绕原点旋转180︒，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( ) A ．22(1)2y x =-- B ．22(1)2y x =+- C ．22(1)2y x =--- D ．22(1)2y x =-+-解：把抛物线22y x =绕原点旋转180︒， ∴新抛物线解析式为：22y x =-，再向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后抛物线的解析式为22(1)2y x =---．故选：C ．9．（4分）如图，在ABC ∆中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，且//EF BC ，//FD AB ，则下列各式正确的是( )A ．AE CDEB BD=B ．EF AEBC DF=C ．EF DFBC AB=D ．AE BDAB BC=解：//EF BC ，//FD AB ， ∴四边形EBDF 是平行四边形，BE DF ∴=，EF BD =， //EF BC ， ∴AE AF BE FC =，AE EF AFAB BC AC==，∴AE BDAB BC =，故B 错误，D 正确； //DF AB ，∴AF BD FC DC =，DF FCAB AC =， ∴AE BDBE DC=，故A 错误； EF AFBC AC =，DF FCAB AC=，故C 错误； 故选：D ．10．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD cm ==，则球的半径长是( )A ．2cmB ．2.5cmC ．3cmD ．4cm解：EF 的中点M ，作MN AD ⊥于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， 四边形ABCD 是矩形， 90C D ∴∠=∠=︒， ∴四边形CDMN 是矩形，4MN CD ∴==，设OF x =，则ON OF =，4OM MN ON x ∴=-=-，2MF =，在直角三角形OMF 中，222OM MF OF += 即：222(4)2x x -+= 解得： 2.5x = 故选：B ．11．（4分）已知，当12x -时，二次函数2(1)51(0y m x m m =--+≠，m 为常数）有最小值6，则m 的值为( ) A ．5-B ．1-C ． 1.25-D ．1解：当12x -时，二次函数2(1)51(0y m x m m =--+≠，m 为常数）有最小值6， 0m ∴>，当1x =时，该函数取得最小值，即516m -+=，得1m =-（舍去）， 0m <时，当1x =-时，取得最小值，即2(11)516m m ---+=，得5m =-，由上可得，m 的值是5-， 故选：A ．12．（4分）如图，已知，M ，N 分别为锐角AOB ∠的边OA ，OB 上的点，6ON =，把OMN ∆沿MN 折叠，点O 落在点C 处，MC 与OB 交于点P ，若5MN MP ==，则(PN = )A ．2B ．3C ．83D ．103解：MN MP =， MNP MPN ∴∠=∠， CPN ONM ∴∠=∠，由折叠可得，ONM CNM ∠=∠，6CN ON ==， CPN CNM ∴∠=∠，又C C ∠=∠， CPN CNM ∴∆∆∽，CP CNCN CM=，即2CN CP CM =⨯， 26(5)CP CP ∴=⨯+，解得4CP =， 又PN CPNM CN =， ∴456PN =， 103PN ∴=， 故选：D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．（4分）写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式 22y x =-（答案不唯一） ．解：由题意可得：22y x =-（答案不唯一）． 故答案为：22y x =-（答案不唯一）．14．（4分）若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是 4:9 ． 解：两个相似三角形的周长比为2:3， ∴这两个相似三角形的相似比为2:3， ∴它们的面积比是4:9．故答案为：4:9．15．（4分）已知，O 的半径为6，若它的内接正n 边形的边长为62，则n = 4 ． 解：如图所示：连接AO ，BO ，过点O 做OD AB ⊥，O 的半径为6，它的内接正n 边形的边长为6232AD BD ∴==，322sin 62AOD ∴∠==45AOD ∴∠=︒， 90AOB ∴∠=︒，360490n ︒∴==︒． 故答案为：4．16．（4分）如图，某营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31︒，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度BC 为 6.18 米．（参考数据：sin 310.515︒=，cos310.857︒=，tan 310.601)︒=解：由题意可得：sin 310.51512BC BCAB ︒===则 6.18()BC m =． 故答案为：6.18．17．（4分）如图，O 过正方形网格中的格点A ，B ，C ，D ，点E 也为格点，连结BE 交O 于点F ，P 为CD 上的任一点，则tan P = 2 ．解：连接DF ，如图，则P BDF ∠=∠， BD 为直径， 90BFD ∴∠=︒，90DBF BDF ∠+∠=︒，90EBD BED ∠+∠=︒，BDF BED ∴∠=∠， P BED ∴∠=∠， tan 2BDBED DE∠==， tan 2P ∴∠=．故答案为2．18．（4分）若二次函数的图象与x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象1T ，2T ，3T ⋯⋯是标准抛物线，且顶点都在直线33y x =上，1T 与x 轴交于点1(2,0)A ，22(A A 在1A 右侧），2T 与x 轴交于点2A ，3A ，3T 与x 轴交于点3A ，4A ，⋯⋯，则抛物线n T 的函数表达式为 12113(32)232n n n y x ---=--⨯+ ．解：设抛物线1T ，2T ，3T ⋯的顶点依次为1B ，2B ，3B ⋯，连接11A B ，21A B ，22A B ，32A B ，33A B ，43A B ⋯，过抛物线各顶点作x 轴地垂线，如图所示：△112A B A 是等边三角形， 11260B A A ∴∠=︒，顶点都在直线33y x =上，设13()3B m ， 1OC m ∴=，1133B C =，∴11111tan B C B OC OC ∠== 1130B OC ∴∠=︒， 1130OB A ∴∠=︒， 111122OA A B A B ∴===，1111cos601A C A B ∴=︒=，1111sin 60B C A B =︒= 11113OC OA A C ∴=+=，∴1B ，2(4,0)A ，设1T的解析式为：2(3)y a x =-+则20(23)a =-∴a =，21:3)T y x ∴=-+，同理，2T的解析式为：26)y x =-+ 3T的解析式为：212)y x =-+， ⋯则n T的解析式为：1232)2n n y x --=-⨯+故答案为：1232)2n n y x --=-⨯+三、解答题（第19、20题各7分，第21题8分，第22～24题每题10分，第25题12分，第26题14分，共78分） 19．（7分）解下列两题： （1）已知34a b =，求23a ba+的值； （2）已知α为锐角，且4cos30tan 60α=︒-︒，求α的度数．解：（1）34a b =， ∴设3a k =，4b k =， ∴2361263a b k ka k++==； （2）323sin 4cos30tan 604332α=︒-︒=⨯-=， 1sin 2α∴=， ∴锐角30α=︒．20．（7分）如图，转盘A 中的4个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A 、B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？解：列表如下：1 1234 2 2 4 6 9 336912以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果， P ∴（甲胜）23=，P （乙胜）13=， P （甲胜）P >（乙胜）， ∴规则不公平．21．（8分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．ABC ∆是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC5 ；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与ABC∆相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出ABC ∆的重心M ．（保留痕迹，点M 用黑点表示，并注上字母)M解：（1）22125BC =+=； 故答案为：5；（2）①如图1，2所示：△A B C '''，△A B C ''''''即为所求；②如图3所示：M 即为所求．22．（10分）如图，二次函数2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B 和点(4,5)C ． （1）求该二次函数的表达式及最小值． （2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点． ①当4m =-时，求n 的值；②已知点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．解：（1）将点(1,0)A -，(3,0)B 和点(4,5)C 代入2y ax bx c =++， 得：1a =，2b =-，3c =-， ∴函数表达式为223y x x =--；（2）①当4m =-时，168321n =+-=； ②点P 到y 轴的距离为||m ， ||4m ∴，44m ∴-，2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，421n -．23．（10分）如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB 水平的矩形，8AB =米，2BC =米，前端档板高0.5DE =米，底边AB 离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB 的仰角37α=︒（如图3)，求此时档板最高点E 离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈解：如图3所示，延长DA 交水平虚线于F ，过E 作EH BF ⊥于H ， 90BAF ∠=︒，37ABF ∠=︒，Rt ABF ∴∆中，tan 370.7586AF AB =︒⨯≈⨯=（米)，8.5EF AF AD DE ∴=++=，90EHF BAF ∠=︒=∠，BFA EFH ∠=∠， 37E ∴∠=︒，Rt EFH ∴∆中，cos370.808.5 6.8EH EF =︒⨯≈⨯=（米)， 又底边AB 离地面的距离为1.3米，∴点E 离地面的高度为6.8 1.38.1+=（米)．24．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x 在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？解：（1）设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数），每个月的销售利润为y 元，由题意得： (13080)(5002)y x x =-+-2240025000x x =-++每件售价不能高于240元130240x ∴+110x ∴y ∴与x 的函数关系式为2240025000y x x =-++，自变量x 的取值范围为0110x <，且x 为正整数．（2）2240025000y x x =-++22(100)45000x =--+∴当100x =时，y 有最大值45000元．∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．（3）令40000y =，得：224002500040000x x -++=解得：150x =，2150x =0110x <50x ∴=，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50110x ，且x 为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50110x ，且x 为正整数时，每个月的利润不低于40000元．25．（12分）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60︒的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，(090)ABC αα∠=︒<<︒，E 为BC 中点，则在ABE ∆，AED ∆，EDC ∆中，相似的三角形只有ABE ∆与AED ∆．（2）如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，ABC ∠是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan DBC ∠的值．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，AB CD ∴=，BE CE =，90ABE DCE ∠=∠=︒，在ABE ∆和DCE ∆中，AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCE SAS ∴∆≅∆，ABE DCE ∴∆∆∽，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60︒的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下： 如图4所示：连接AC ，四边形ABCD 是菱形，AB BC CD ∴==，//AD BC ，//AB CD ，60B ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，120DCE ∠=︒，点E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，90AEB DAE ∴∠=∠=︒，∴只能AEB ∆与DAE ∆相似，//AB CD ，∴只能B AED ∠=∠，若60AED B ∠=∠=︒，则180906030CED ∠=︒-︒-︒=︒， 1801203030CDE ∴∠=︒-︒-︒=︒，CED CDE ∴∠=∠，CD CE ∴=，不成立，∴有一个内角为60︒的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD 是自相似菱形，(090)ABC αα∠=︒<<︒，E 为BC 中点， 则在ABE ∆，AED ∆，EDC ∆中，相似的三角形只有ABE ∆与AED ∆，是真命题；理由如下： (090)ABC αα∠=︒<<︒，90C ∴∠>︒，且180ABC C ∠+∠=︒，ABE ∆与EDC ∆不能相似， 同理AED ∆与EDC ∆也不能相似，四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，AEB DAE ∴∠=∠，当AED B ∠=∠时，ABE DEA ∆∆∽，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，(090)ABC αα∠=︒<<︒，E 为BC 中点， 则在ABE ∆，AED ∆，EDC ∆中，相似的三角形只有ABE ∆与AED ∆；（2）①菱形ABCD 是自相似菱形，ABC ∠是锐角，边长为4，E 为BC 中点， 2BE ∴=，4AB AD ==，由（1）③得：ABE DEA ∆∆∽， ∴AB BE AE DE AE AD ==， 2248AE BE AD ∴==⨯=，22AE ∴=，422422AB AE DE BE ⨯===， ②过E 作EM AD ⊥于M ，过D 作DN BC ⊥于N ，如图2所示： 则四边形DMEN 是矩形，DN EM ∴=，DM EN =，90M N ∠=∠=︒，设AM x =，则4EN DM x ==+，由勾股定理得：22222EM DE DM AE AM =-=-， 即2222(42)(4)(22)x x -+=-，解得：1x =，1AM ∴=，5EN DM ==，2222(22)17DN EM AE AM ∴==-=-=， 在Rt BDN ∆中，257BN BE EN =+=+=，7tan 7DN DBC BN ∴∠==．26．（14分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC CD=，连结BD并延长交O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：AED∆是等腰直角三角形；（2）如图1，已知O的半径为5．①求CE的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若:7:3BC=，求O的半径．AF FD=，且4解：（1）BC CD=，AB是直径，∴∆是等腰直角三角形，BCDDBD∴∠=︒，45∠=∠=︒，CBD EAD45∠=︒，90AEB∴∆是等腰直角三角形；AED（2）①45∠=︒，EAD90EOC ∴∠=︒，EOC ∴∆是等腰直角三角形，O ，CE ∴的弧长124π=⨯⨯=； ②D 为EB 中点，ED BD ∴=，AE ED =，在Rt ABE ∆中，222(2)AE AE =+， 2AE ∴=，AD ∴=ED AE =，CD BC =，90AED BCD ∠=∠=︒， AED BCD ∴∆∆∽，BC ∴=（3）:7:3AF FD =， 710AF AD ∴=， 过点E 作EG AD ⊥， 12EG AD ∴=， 15GF AD ∴=， 5tan 2EFG ∴∠=， ∴52CO r FO FO==， 25FO r ∴=，在Rt COF ∆中，FC =， 35EF r ∴=， 在Rr EFG ∆中，222311()()()525r AD AD =+，62929AD r ∴=， 2129145AF r ∴=， 102929AC AF FC r ∴=+=，4CD BC ==， 6294429AC AD r ∴=+=+，∴102962942929r r =+，29r ∴=．。
浙江省宁波市慈溪市部分学校2022-2023学年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A．B．C．D．2．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有个9菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（）A．17B．21C．25D．293．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）4．已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过（﹣2，﹣4），则b的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．45．一元二次方程2 340x x ﹣﹣＝的常数项是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．1D ．26．服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数7．不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．3个都是黑球B ．2个黑球1个白球C ．2个白球1个黑球D ．至少有1个黑球8．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴上，反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．929．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数 y 1=x 2（x≥0）与 y 2=13x 2（x≥0）的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2（x≥0）的图象于点D ，直线DE ∥AC 交 y 2=13x 2（x≥0）的图象于点E ，则DE AB =（ ）A ．33B ．1C ．22D ．3﹣ 310．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45二、填空题(每小题3分,共24分)11．一个正n 边形的一个外角等于72°，则n 的值等于_____．12．如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D E F 、、分别是切点，5AD =，则ABC ∆的周长为____．13．如图，已知A(1，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y ＝2x图象上的两点，一个动点P(x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_________．14．如图，ABC ∆与DEC ∆关于点C 成中心对称，若2AB =，则DE =______．15．在平面直角坐标系xOy 中，过点P （0，2）作直线l ：y=12x+b （b 为常数且b ＜2）的垂线，垂足为点Q ，则tan ∠OPQ=_____．16．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是54π，则O 的半径是__________．17．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0A ，点()0,1B ，作第一个正方形111OA C B 且点1A 在OA 上，点1B 在OB 上，点1C 在AB 上；作第二个正方形1222A A C B 且点2A 在1A A 上，点2B 在12A C 上，点2C 在AB 上…，如此下去，其中1C 纵坐标为______，点n C 的纵坐标为______．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形，点D 恰好在双曲线上k y x=，则k 值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？20．（6分）如图，抛物线y ＝﹣13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ． （1）求此抛物线的表达式； （2）求过B 、C 两点的直线的函数表达式；（3）点P 是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由；21．（6分）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 2k 0-+++=有两个实数根x 1，x 1． （1）求实数k 的取值范围；（1）是否存在实数k 使得221212x x x x 0⋅--≥成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．22．（8分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第x 天的销售价格为y （元/盒），销售量为m （盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x ≤≤时，38y =；当3150x ≤≤时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；40x =时，35y =.②m 与x 的关系为330m x =+．（1）当3150x ≤≤时，y 与x 的关系式为 ；（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？23．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．24．（8分）如图，已知点O 是坐标原点，B C 、两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将OBC ∆放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的''OB C ∆；（2）若OBC ∆内部一点M 的坐标为(),a b ，则点M 对应点M '的坐标是______；（3）求出变化后''OB C ∆的面积 ______ .25．（10分）已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．26．（10分）如图①，抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积为1．（1）求这条抛物线相应的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使得∠POB ＝∠CBO ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，M 是抛物线上一点，N 是射线CA 上的一点，且M 、N 两点均在第二象限内，A 、N 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d ，△MNB 的面积为2d ，且∠MAN ＝∠ANB ，求点N 的坐标．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】根据旋转的定义即可得出答案.【详解】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选B．【点睛】本题考查的是旋转：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．2、D【解析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=7求解即可．【详解】观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片；第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片；第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片，…第n个图形中有4n+1个菱形纸片，当n=7时，4×7+1=29个菱形纸片，故选:D.【点睛】属于规律型：图形的变化类，找出图中菱形纸片个数的变化规律是解题的关键.3、B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ， ∴136BO BO =+， 解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．4、C【分析】将点()24--，的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】因为抛物线y =﹣x 1+bx +4经过(﹣1，﹣4)，所以﹣4=﹣(﹣1)1﹣1b +4，解得：b =1．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数的性质，明确抛物线经过的点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键．5、A【分析】一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)中a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：一元二次方程2 340x x ﹣﹣＝的常数项是﹣4，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a 、b 、c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6、D【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多.【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数.故选D【点睛】本题考查了数据的选择，根据题意分析，即可完成。
浙江省宁波市慈溪市2019-2020年九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（）A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°3．下列事件中是随机事件的是（）A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D．在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（）A．120°B．110°C．105°D．100°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③7．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D．三角形外心是三条角平分线的交点8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣29．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（）A．﹣5B．﹣1C．﹣1.25D．112．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．二．填空题（共6小题）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式．14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝．16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tan P＝．18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．三．解答题（共8小题）19．解下列两题：（1）已知＝，求的值；（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．（1）求该二次函数的表达式及最小值．（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．①当m＝﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（）A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称【分析】根据平移变换、轴对称变换和旋转变换进行分析即可．【解答】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A．2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．3．下列事件中是随机事件的是（）A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D．在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水【分析】根据各个事件发生的可能性，逐个做出判断即可．【解答】解：“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A不符合题意；“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B不符合题意；“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C符合题意；“在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D不符合题意；故选：C．4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（）A．120°B．110°C．105°D．100°【分析】根据圆内接四边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的关系定理，可求得答案．【解答】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠A+∠BDC＝180°∵∠BDC＝130°∴∠A＝50°∴∠BOC＝2∠A＝100°故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．7．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D．三角形外心是三条角平分线的交点【分析】直接利用圆的相关性质分析得出答案．【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；C、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；D、三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；故选：A．8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2【分析】直接利用旋转的性质得出新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，∴新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：C．9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】证得四边形EBDF是平行四边形，得到BE＝DF，EF＝BD，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥BC得到＝，＝＝，则＝，可对以B、D进行判断；再由DF∥AB得＝，＝，则＝，于是可对A、C进行判断．【解答】解：∵EF∥BC，FD∥AB，∴四边形EBDF是平行四边形，∴BE＝DF，EF＝BD，∵EF∥BC，∴＝，＝＝，∴＝，故B错误，D正确；∵DF∥AB，∴＝，＝，∴＝，故A错误；∵＝，＝，故C错误；故选：D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（）A．﹣5B．﹣1C．﹣1.25D．1【分析】根据当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，可知当x＝1时取得最小值，即﹣5m+1＝6，从而可以求得m的值．【解答】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，∴m＞0，当x＝1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1＝6，得m＝﹣1（舍去），m＜0时，当x＝﹣1时，取得最小值，即m（﹣1﹣1）2﹣5m+1＝6，得m＝﹣5，由上可得，m的值是﹣5，故选：A．12．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．【分析】依据∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根据相似三角形的性质，即可得到CP＝4，进而得出PN的长．【解答】解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．二．填空题（共6小题）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式y＝﹣2x2（答案不唯一）．【分析】直接利用二次函数顶点在原点得出一次项系数和常数项都为零，且开口向下则a ＜0，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y＝﹣2x2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝4．【分析】直接利用正多边形的性质得出sin∠AOD＝＝，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，∴AD＝BD＝3，∴sin∠AOD＝＝，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝90°，∴n＝＝4．故答案为：4．16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为 6.18米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31°＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sin31°＝＝＝0.515则BC＝6.18（m）．故答案为：6.18．17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tan P＝2．【分析】连接DF，如图，根据圆周角定理得到∠P＝∠BDF，∠BFD＝90°，再证明∠P ＝∠BED，然后根据正切的定义得到tan∠BED＝2，从而得到tan∠P的值．【解答】解：连接DF，如图，则∠P＝∠BDF，∵BD为直径，∴∠BFD＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠EBD+∠BED＝90°，∴∠BDF＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵tan∠BED＝＝2，∴tan∠P＝2．故答案为2．18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．【分析】设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，根据一次函数的解析式求出∠B1OA1的度数，再等边三角形与等腰三角形的知识，求出B1点的坐标，进而用待定系数法求出T1的解析式，进而用同样的方法求出T2，T3的解析式，再根据规律求出最后结果．【解答】解：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵顶点都在直线y＝x上，设，∴OC1＝m，，∴，∴∠B1OC1＝30°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1＝2＝A1B2，∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，，∴OC1＝OA1+A1C1＝3，∴，A2（4，0），设T1的解析式为：，则，∴，∴T1：，同理，T2的解析式为：，T3的解析式为：，…则T n的解析式为：，故答案为：．三．解答题（共8小题）19．解下列两题：（1）已知＝，求的值；（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．【分析】（1）利用已知条件设a＝3k，b＝4k，然后把它们代入中计算分式的运算即可；（2）根据特殊角的三角函数值得到2sinα＝，所以sinα＝，从而得到锐角α的度数．【解答】解：（1）∵＝，∴设a＝3k，b＝4k，∴＝＝6；（2）∵2sinα＝4cos30°﹣tan60°＝4×﹣＝，∴sinα＝，∴锐角α＝30°．20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表如下：1123422469336912以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∵P（甲胜）＞P（乙胜），∴规则不公平．21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）【分析】（1）直接利用勾股定理得出BC的长；（2）①利用相似三角形的判定与性质将对应边扩大倍以及2倍进而得出答案；②利用中线的交点得出重心位置．【解答】解：（1）BC＝＝；故答案为：；（2）①如图1，2所示：△A′B′C′，△A″B″C″即为所求；②如图3所示：M即为所求．22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．（1）求该二次函数的表达式及最小值．（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．①当m＝﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，即可求表达式；（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；②点P到y轴的距离为|m|，则有﹣4≤m≤4，又因为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；②点P到y轴的距离为|m|，∴|m|≤4，∴﹣4≤m≤4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，先求得Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB＝6，进而得到Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF＝6.8，依据底边AB离地面的距离为1.3米，即可得到点E离地面的高度．【解答】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，∵∠BAF＝90°，∠ABF＝37°，∴Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB≈0.75×8＝6（米），∴EF＝AF+AD+DE＝8.5，∵∠EHF＝90°＝∠BAF，∠BF A＝∠EFH，∴∠E＝37°，∴Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF≈0.80×8.5＝6.8（米），又∵底边AB离地面的距离为1.3米，∴点E离地面的高度为6.8+1.3＝8.1（米）．24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可；（2）将（1）中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；（3）令y＝40000，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围．【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）＝﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤110∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x 为正整数．（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000＝﹣2（x﹣100）2+45000∴当x＝100时，y有最大值45000元．∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．（3）令y＝40000，得：﹣2x2+400x+25000＝40000解得：x1＝50，x2＝150∵0＜x≤110∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出＝＝，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）由已知可得△BCD是等腰直角三角形，所以∠CBD＝∠EAD＝45°，因为∠AEB＝90°，可证△AED是等腰直角三角形；（2）①已知可得∠EAD＝45°，∠EOC＝90°，则△EOC是等腰直角三角形，所以CE 的弧长＝×2×π×＝；②由已知可得ED＝BD，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，所以AE＝2，AD＝2，易证△AED∽△BCD，所以BC＝；（3）由已知可得AF＝AD，过点E作EG⊥AD，EG＝AD，GF＝AD，tan∠EFG ＝，＝＝，FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，EF＝r，在Rr△EFG 中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，求出AD＝r，AF＝r，所以AC＝AF+FC ＝r，AC＝4+AD＝4+r，可得r＝4+r，即可求r＝．【解答】解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．。
2020-2021学年宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点逆时针旋转，得△AB′C′，连接CC′，当CC′//AB′时，旋转角的大小为()A. 35°B. 45°C. 50°D. 65°2.下列事件属于必然事件的是()A. 足球比赛中梅西罚进点球B. 小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C. 今年成都12月份下雪D. 我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班3.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是()A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位4.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①△ABF≌△ADF；②S△ADF=2S△CEF；③tan∠EBF=1；2④S△ABF=4S△BEF，其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是()A. AEEC =EFCDB. EFCD =EGABC. AFFD =BGGCD. CGBC =AFAD6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 5B. 4√2C. 7D. 5√27.量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器O刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，当第20秒时，点E在量角器上对应的读数是()A. 150°B. 120°C. 75°D. 60°8.汽车在沿坡比为1：√3的斜坡上前进150米，则汽车上升的高度为()A. 75米B. 75√3米C. 50√3D. 150米9.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等10.在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y=x2−2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y=x2−2x+2，则抛物线B的顶点坐标为()A. (−1,2)B. (1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在△ABC中，AB=6，AC=8，S△ABC=12√3，则∠A=______．12.2021年3月12日是我国第43个植树节，植树造林对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义.区林业部门要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数(棵)1002500400080002000030000幼树移植成活数(棵)872215352070561758026430幼树移植成活的频率0.8700.8860.8800.8820.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______ .(结果精确到0.01)13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+3(a<0)交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9，则a的值为______．14. 如图，BA为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C.点D在⊙O上，连接CD、AD，∠ABO=32°，则∠ADC=______ °.15. 四边形ABCD是平行四边形，AB=6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE=2，则▱ABCD的周长为______ ．16. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个？设梨买x个，可列方程为：______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17. 某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8°，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30°，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A、E、D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE.(结果保留整数)(√3≈1.73,sin21.8°≈0.37,cos21.8°≈0.93,tan21.8°≈0.40)四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18. 计算：√12−2sin60°−(−2013)0+3−1．19. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16．(1)尺规作图：求作BC的中点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接AD，求AD的长．20. 一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．(1)随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法或树形图画出所有的可能性，并求两次摸取的小球的标号的和为5的概率．21. 某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下：阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m.预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．(1)设一块绿化区的长边为xm，写出工程总造价y与x的函数关系式(写出x的取值范围)．(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：22. 如图，已知等腰△ABC，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是AC⏜上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE=AD．(1)求证：①∠DAE=∠BAC；②EC=BD；(2)若EC//AB，判断AE与⊙O的位置关系；(3)若∠CAB=30°，BC=6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为______．23. 已知抛物线y=x2+mx+n．(1)设抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，求点C的坐标；(2)若m=1，且当−1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围；(3)求使得不等式|x2+mx+n|≤2，当1≤x≤5时恒成立的实数对(m,n)．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(0,4)，动点C在以半径为2的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，连接AB．(1)若点C在第二象限的⊙O上运动，当OC//AB时，∠BOC的度数为______；(2)若点C在整个⊙O上运动，当点C运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；(3)若点C在第一、二象限的⊙O上运动，连接AD，当OC//AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵CC′//AB′，∴∠AC′C=∠C′AB′∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴∠C′AB′=∠CAB=65°，AC=AC′，∴∠AC′C=∠C′AB′=65°，∠ACC′=∠AC′C=65°，∴∠CAC′=180°−2∠ACC′=180°−2×65°=50°，故选：C．由平行线的性质得出得∠AC′C′=∠C′AB′，由旋转的性质可得∠C′AB′=∠CAB=65°，AC=AC′，由等腰三角形两底角相等求∠CAC′=65°即可．本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．2.答案：D解析：解：A、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；B、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒属于不可能事件，选项不合题意；C、今年成都12月份下雪是随机事件，选项不合题意；D、我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班是必然事件，符合题意．故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.答案：C解析：解析：试题分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵，∴平移过程为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位．故选C．考点：二次函数图象与平移变换．4.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD//CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，在△AFD和△AFB中，{AF=AF∠FAD=∠FAB AD=AB，∴△AFD≌△AFB，故①正确，∴S△ABF=S△ADF，∵BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，∴CEAD =EFDF=CFAF=12，∴S△ADF=4S△CEF，S△CFE=4S△BEF，故②错误；④正确；延长BF交CD于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∴CMAB =CFAF，∵CFAF =12，∴CMAB =12，∴CM=12AB=12CD=12BC，∴tan∠EBF=CMBC =12，故③正确；即正确的个数是3，故选：C．根据SAS可以推出△AFD≌△AFB，故①正确；即可推出S△ABF=S△ADF，由BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，推出ECAD =EFDF=CFAF=12，可得S△ABF=S△ADF=4S△CEF，S△CEF=S△BEF，故②错误，④正确，求出CM=12BC，即可判断③．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．解：∵EF//BC，∴AFFD =AEEC，∵EG//AB，∴AEEC =BGGC，∴AFFD =BGGC，故选：C．6.答案：C解析：【试题解析】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．解：连接AE，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，则12×CD×AE=9√2，解得，AE=4√2，∴AF=2√2，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72，∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．7.答案：B解析：解：连接OE，∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，∴第20秒时，∠ACE=3°×20=60°，∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上，∴∠EOA=2∠ECA=2×60°=120°．故选B．首先连接OE，由∠ACB=90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA=2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是证得点C在⊙O上，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8.答案：A解析：解：如图：AE⊥BC于E，由题意得：AE：BE=1：√3，AB=150米，∵tan∠B=AEBE =1√3=√33，∴∠B=30°，∴在Rt△ABE中，AE=12AB=12×150=75(米)．故选A．首先根据题意作图，然后由汽车在沿坡比为1：√3，即可求得∠B的度数，继而根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得汽车上升的高度．此题考查了坡角坡度问题．此题难度不大，解题的关键是根据题意作出图形，利用数形结合的思想求得坡角的度数，继而利用直角三角的性质即可求得答案．9.答案：B解析：解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有；B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质；C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有；D、对角线相等，菱形不一定具有的性质；故选：B．菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．10.答案：C解析：解：抛物线A：y=x2−2的顶点坐标是(0,−2)，抛物线C：y=x2−2x+2=(x−1)2+1的顶点坐标是(1,1)．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=(x−1)2−2，所以其顶点坐标是(1,−2)．故选：C．平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．11.答案：60°或120°解析：解：过点C作CD⊥AB于点D，如图1，当△ABC为锐角三角形时，∵S△ABC=12AB⋅CD，且AB=6、S△ABC=12√3，∴CD=2S△ABCAB =24√36=4√3，在Rt△ACD中，∵sinA=CDAC =4√38=√32，∴∠A=60°；如图2，当△ABC为钝角三角形时，由①知，CD=4√3，∵sin∠DAC=CDAC =4√38=√32，∴∠DAC=60°，则∠BAC=120°，故答案为：60°或120°．分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，先根据三角形的面积求得AB边上的高，再根据AC所在直角三角形的正弦函数求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及分类讨论思想的运用、三角函数的概念．12.答案：0.88解析：解：∵根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.88左右，∴这种幼树在此条件下移植成活的概率是0.88；故答案为：0.88．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．此题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．13.答案：−1解析：解：如图，抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于▱ABOC的面积，∵平移过程中扫过的面积为9，∴3⋅OA=9，解得OA=3，∴点A的坐标为(3,0)，代入得a⋅32+2×3+3=0，解得a=−1．故答案为：−1．根据二次函数的性质，平移过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，然后列方程求出OA，从而得到点A的坐标，再代入抛物线解析式求解即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解并判断出平移扫过的面积等于平行四边形的面积是解题的关键．14.答案：29解析：解：∵BA为⊙O的切线，∴OA⊥BA，∴∠BAO=90°，∵∠ABO=32°，∴∠BOA=90°−32°=58°，∴∠ADC=12∠COA=12×58°=29°．故答案为：29．根据BA为⊙O的切线，可得OA⊥BA，根据圆周角定理即可求出结果．本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质和圆周角定理．15.答案：20或28解析：解：当E点在线段BC上时，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC//AD，∴∠BEA=∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB，∵AB=6，∴BE=6，∵CE=2，∴BC=BE+CE=6+2=8，∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+8)=28，当E点在线段BC延长线上时，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC//AD，∴∠BEA=∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB，∵AB=6，∴BE=6，∵CE=2，∴BC=BE−CE=6−2=4，∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+4)=20，综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．本题主要考查平行四边形的性质，证明BE=AB，求解BE的长是解题的关键．16.答案：119x+47(1000−x)=999解析：解：设梨买x个，则果买(1000−x)个，由题意，得119x+47(1000−x)=999．故答案是：119x+47(1000−x)=999．设梨买x个，根据梨的花费+果的花费=999列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．17.答案：解：过点B作BG⊥CD于点G，则四边形BEDG是矩形，∴BG=ED，BE=DG，在Rt△CBG中，CG=CD−DG=226−100=126(米)．∴BG=CGtan∠CBG =126tan30∘≈218.0(米)，在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan∠CAD =226tan21.8∘=2260.4=565(米)，∴AE=AD−DE=AD−BG=565−218.0≈347(米)．答：小明与楼BE间的水平距离AE为347米．解析：过点B作BG⊥CD于点G，解直角三角形求出BG和AD的长，则可求出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．18.答案：解：原式=2√3−2×√32−1+13=√3−23．解析：本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．19.答案：解：(1)如图所示：(2)∵AB=AC，D为BC中点，∴BD=12BC=8，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD=√102−82=6．解析：(1)直接利用线段垂直平分线的画法得出答案；(2)直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出AD的长．此题主要考查了勾股定理以及复杂作图，正确掌握勾股定理是解题关键．20.答案：解：(1)随机摸取一个小球，共4种可能性，它们的可能性相等．恰好摸到标号为2的小球的可能有1种．∴P(恰好摸到标号为2的小球)=14；(2)树状图如下：由上可知，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共16种可能性，它们的可能性相等．两次摸取的小球标号的和为5(记为事件A)的共有4种可能．∴P(A)=14．解析：本题考查概率的求法：得到两次摸取的小球的标号的和为5的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)用摸到标号为2的小球的情况数除以总的情况数即可；(2)列举出所有情况，看两次摸取的小球的标号的和为5的情况数占总情况数的多少即可．21.答案：(1)解：矩形的宽为=x−10，∴y=50⋅x(x−10)⋅4+60[100×80−4x(x−10)]，即：y=−40x2+400x+480000，∵x>0，x−10>0，50≤100−2x≤60，即：x的取值范围是20≤x≤25．答：工程总造价y与x的函数关系式是y=−40x2+400x+480000，x的取值范围是20≤x≤25．(2)解：46.9万元=469000元，根据题意得：−40x2+400x+480000≤469000，即：(x−5)2−300≥0，解得：x≤−12.32，或x≥22.32∵由(1)知20≤x≤25，22.32≤x≤25，∴x能取23、24、25．所以只有3种方案：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=465000；答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务．x为整数的所有工程方案是：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=465000．解析：试题分析：(1)首先表示矩形的宽为x−10，再根据题意表示出活动区和绿化区的面积，进而列出解析式；(2)假设能列出不等式−40x2+400x+480000≤469000，解出不等式的解集，找出和x的取值范围20≤x≤25的公共部分，取整数x即可．22.答案：解：(1)①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠BAC=180°−2∠ABC，同理∠DAE=180°−2∠ADE，∴∠EAD=∠BAC，②∵∠EAD=∠BAC，∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，又∵AE=AD，AC=AB，∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴EC=DB；(2)连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，∵BO=CO，AB=AC，∴AH垂直平分BC，即AH⊥BC，∵CE//AB，∴∠E+∠EAB=180°，∵∠E=∠ADE，∠ADE=∠ABC，∴∠E=∠ABC，∴∠ABC+∠EAB=180°，∴AE//BC，∴∠EAH=180°−∠AHC=90°，∴EA⊥AH，且OA是半径，∴AE与⊙O相切；(3)7π．解析：证明：(1)①见答案；②见答案；(2)见答案；(3)连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC=∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，且OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=6，∵AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=75°，∵AF是直径，∴AF=12，∠ACF=90°，∵∠ACF=∠ACG=90°，∠GAC=∠FAC，AC=AC，∴△AGC≌△AFC(ASA)，∴AG=AF=12，∠AGF=∠AFG=∠ABC=75°，∴∠GAC=15°，∵∠ABC=∠AED，∠AGF=∠ABC，∴∠AGF=∠AED，∴点A，点E，点G，点C四点共圆，∵∠ACG=90°，∴AG是过点A，点E，点G，点C四点的圆的直径，即点E在以AG为直径的圆上．∵AH=HC，∴∠GAC=∠HCA=15°，∴∠AHC=150°，∵点D从点A运动到点C处，∴点E绕点H旋转210°，=7π，∴点E运动路径的长为=210°π×6180∘故答案为：7π．(1)①根据圆的内接四边形的性质，可求∠DAE=∠BAC，②由题意可证△EAC≌△DAB，可得EC= BD；(2)连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，由BO=CO，AB=AC，可得AH垂直平分BC，由圆的内接四边形的性质和平行线的性质，可求AE//BC，可得EA⊥AH，即可判断AE与⊙O的位置关系；(3)连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC=∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC.由题意可得BO=CO=BC=6，可证△AGC≌△AFC，可得AG=AF=12，∠AGF=∠AFG=∠ABC=75°，即可证点A，点E，点G，点C四点共圆，则可求点E运动路径的长．本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键．23.答案：解：(1)如图1，设点A在点B的左侧，设点A、B的横坐标分别为a、b(a<0,b>0)，对于y=x2+mx+n，令x2+mx+n=0，则ab=n，令x=0，则y=n，则点C(0,n)，∵△ABC是直角三角形，则只能∠ABC为直角，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵∠ACO +∠CAO =90°，∴∠BCO =∠CAO ，∴tan∠BCO =tan∠CAO ， ∴OB OC =OB OA ，即OC 2=AO ⋅OB ，∴(−n)2=−ab =−n ，解得n =0(舍去)或−1，故点C 的坐标为(0,−1)；(2)当m =1时，函数的表达式为y =x 2+x +n ，函数的对称轴为x =−b 2a =−12，当抛物线和x 轴有交点时，△=1−4n ≥0，解得n ≤14；①当n =−14时，抛物线在−1<x <1和x 轴只有一个交点，即抛物线的顶点(−12,0)； ②当n <14时，当x =−1时，y =x 2+x +n =n ，当x =1时，y =x 2+x +n =n +2，如图2，在−1<x <1抛物线与x 轴只有一个交点，则{n ≤02+n >0，解得−2<n ≤0； 故n 的取值范围为n =14或−2<n ≤0；(3)抛物线y =x 2+mx +n 可以看成y =x 2平移得到的，如图3，即左图y =x 2的小正方形内部分抛物线平移到右图的位置，此时抛物线的顶点为(3,−2)，则{x =−b 2a =−12m =34ac−b 24=4n−m 22=−2，解得{m =−6n =7， 故使得不等式|x 2+mx +n|≤2，当1≤x ≤5时恒成立的实数对(−6,7)．解析：(1)证明∠BCO =∠CAO ，则tan∠BCO =tan∠CAO ，即OC 2=AO ⋅OB ，即可求解；(2)①当n =−14时，抛物线在−1<x <1和x 轴只有一个交点，即抛物线的顶点(−12,0)；②当n <14时，在−1<x <1抛物线与x 轴只有一个交点，则{n ≤02+n >0，进而求解； (3)抛物线y =x 2+mx +n 可以看成y =x 2平移得到的，即左图y =x 2的小正方形内部分抛物线平移到右图的位置，即可求解．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、图象的平移等，数形结合是本题解题的关键． 24.答案：(1)45°；(2)当点C 到AB 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图1，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OE 的反向延长线交⊙O ，于C′，此时，点C′到AB 的距离最大，最大值为C′E 的长，∵△OAB 是等腰直角三角形，∴AB =√2OA =4√2，∴OE =12AB =2√2，∴CE =OC′+OE =2+2√2，∴△ABC 的面积为12C′E ×AB =4√2+8，即：当点C 在⊙O 上运动到第三象限的角平分线与⊙O 的交点的位置时，△ABC 的面积最大，最大值为4√2+8；(3)①如图2，当点C 为位于第二象限时，过点C作CF⊥x轴于F，∵OD⊥OC，OC//OD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°，∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴△OCF∽△AOD，∴CFOD =OCOA，∴CF2=24，∴CF=1，在Rt△OCF中，根据勾股定理得，OF=√3，∴C(−√3,1)，同理：点C在第一象限时，C(√3,1)；②直线BC是⊙O的切线，理由：当点C在第二象限时，在Rt△OCF中，OC=2，CF=1，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOD=60°，在△BOC和△AOD中，{OC=OD∠BOC=∠AOD OB=OA，∴△BOC≌△AOD，∴∠BCO=∠ADO=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线，同理：当点C在第一象限时，直线BC为⊙O的切线，即：当OC//AD时，直线BC是⊙O的切线．解析：解：(1)∵点A(4,0)，点B(0,4)，∴OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC//AB，∴∠BOC=∠OBA=45°，故答案为：45°；(2)见答案；(3)①见答案；②见答案．(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC//AB，有∠BOC=∠OBA=45°；(2)先判断出△ABC面积最大时，点C的位置，进而利用三角形面积公式即可得出结论；(3)①分两种情况：点C在第二象限时，先判断出△OCF∽△AOD，进而得出CF=1，即可得出结论；点C在第一象限时，同上的方法；②分两种情况：点C在第二象限时，判断出△BOC≌△AOD，即可得出结论；点C在第一象限时，同上的方法．此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想是解本题的关键．。
慈溪九上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 2B. 4C. 5D. 62. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = 2c^2，则角C 的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知数列{an}中，a1 = 1，an+1 = 2an - 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^n - 24. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,5)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3,4)B. (3,5)C. (4,4)D. (4,5)6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 在△A BC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 6，c = 7，则△ABC的面积S为（）A. 6B. 8C. 9D. 128. 已知数列{an}中，a1 = 1，an+1 = 3an + 2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3^n - 1B. an = 3^n + 1C. an = 3^nD. an = 3^n - 29. 若x^2 - 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -310. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,5)，则线段AB的长度为（）A. √2B. √5C. √8D. √10二、填空题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c应满足的条件是______。
2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是()A.向上B.向下C.向左D.向右2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是()A.5B.8C.10D.153.已知，则下列比例式成立的是()A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形.若OA：：3，四边形ABCD的周长是3，则四边形的周长是()A.1B.3C.9D.275.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是()抽取件数501001502005008001000件合格频数4898144193489784981A.12B.24C.1188D.11766.小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了()A. B.5m C. D.10m7.如图，在中，，劣弧的度数是()A. B. C. D.8.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，下列说法正确的是()A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1sB.小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C.小球的飞行高度可以达到25mD.小球从飞出到落地要用4s9.二次函数为常数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形≌≌和矩形EFGH拼成大矩形连结CH，设，若，，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为______.12.有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为______.13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦AB长为4米，半径为米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米.14.在中，若，则的值是______.15.如图，抛物线经过点和点作射线BA，P是线段上的动点，将射线BA绕点P逆时针旋转得射线若射线与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为______.16.如图，内接于，高AD，CE相交于点F，若，，，则的半径为______，AB的长为______.三、解答题：本题共8小题，共66分。
余姚慈溪九年级上册期末数学试卷
余姚慈溪九年级上册期末数学试卷一、选择题（每小题3分）1.若2x+3<7，则x的最大值是（A.2 B.3 C.4 D.5）2.如果n被5除以5有余数4，则一定有（A. n<4 B. n=4 C. n>4D. 不能确定）3.一个园的半径是10cm，则园的周长是（A.20cm B. 40cm C.60cmD. 80cm）4.若一个数的立方位1728，则这个数是（A.6 B.12 C.14 D.15）二、填空题（每小题3分）1.杨总共有50个糖果，他分给小红10个，小明18个，他还剩下____个2.若x＞3，则8x＋2＞_____3.正方形ABCD中，若AB=4，则ABCD的周长等于____4.若三角形ABC的两个顶点A、C分别在坐标轴上，且A(0,0)，C(6，0)，则BC的长度等于_____三、解答题（每小题7分）1．求式子 6a＋2b＝2a－10b的解（解：设x=a，y=b）⑴6a＋2b＝2a－10b⑵化简：4a＝12b⑶解得 a=3b；因此解是 x=3y。
2．求函数y＝2x2－6x－3在x＝－2点处的切线（解：设函数y＝2x2－6x－3，求该函数在x＝－2点处的切线）⑴当x＝－2时y＝2（－2）2－6（－2）－3＝－11，求该函数的导数，即△y/△x⑵y’＝4x－6；⑶将x的值代入y’，得y’＝4（－2）－6＝－10⑷该函数在x＝－2点处的切线斜率是－10，⑸式子为y－y0＝－10（x－x0），⑹即 y－－11＝－10（x＋2），⑺解得 y＝－10x－22。
因此，函数y＝2x2－6x－3在x＝－2点处的切线为y＝－10x－22。
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慈溪市期末试卷初三数学上学期期末考试试卷（100分钟完成，满分150分）一、填空题（每小题3分，满分36分）1. 方程211=-x 的根是______________. 2. 方程1112+=+x x x 的根是________________. 3. 分解因式：=-+422x x _______________________. 4. 在公式21111R R R +=中，已知正数R 、R 1（1R R ≠），那么R 2= ． 5. 用换元法解方程02711222=+---x x x x 时，可设y =12-x x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ．6. 某电子产品每件原价为800，首次降价的百分率为x ，第二次降价的百分率为2x ，那么经过两降价后每件的价格为_____________________元(用x 的代数式表示). 7. 如图1，已知舞台AB 长10米，如果报幕员从点A 出发站在舞台的黄金分割点P 处，且BP AP <，则报幕员应走 米 报幕（236.25≈，结果精确到0.1米）．8. 如图2，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，5:2:=AC AE ，则=BC DE : ．9. 已知ABC ∆与DEF ∆相似，且点A 与点E 是对应点，已知∠A =50º， ∠B =︒60，则∠F = ．10. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，要使△ADE 与△ABC 相似，只须添加一个条件，这个条件可以是___________(只要填写一种情况) ． 11. 在△ABC 中，中线AD 和CE 相交于G ，则=AD AG :_________． 12. 如图3, 在△ABC 中, 点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE//BC ,4,3==∆∆CDE ADE S S ，那么AD ：DB =____________.图1图2图3二、选择题（每小题4分，满分16分）13. 下多项式中,在实数范围内能分解因式的是………………………………………（ ）（A ）12+-x x ; （B ）222+-x x ; （C ）332+-x x ; （D ）552+-x x .14. 下列方程中, 有实数根的是………………………………………………………（ ）（A ）x x -=11； （B ）11-=-x x ； （C ）111112--=+-x x x ； （D ）11111+-=+-x x x ． 15. 如果点D 、E 分别在ΔABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是（ ）（A ） AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23； （C ）AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD =34，AE EC = 34． 16. 如图4，小正方形的边长均为l ，△ABC 与△DEF 的顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF 与△ABC 相似的是……………………………………………………………( )（A ） （B ） （C ） （D ）三、（第17、18题每小题9分，第19、20、21题每小题10分，满分48分）17．解方程：1113112=----x x x .18．方程组: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+-.1223,4122yx x y x x图4 A B C E D D F ED F F D E19. 函数542--=x x y 图象上一点P 的纵坐标比横坐标多1, 求这个点的坐标.20. 如图5，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，C ADE ∠=∠，且3=AD 厘米，5=BD 厘米，6=AC 厘米，求线段EC 的长．21.已知：如图6，在四边形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边CD 上，AE 的延长线与BC 的延长相交于点F ，FB CE CD FC ⋅=⋅． 求证：∠D =∠B ．四、（第22、23、24题每小题12分，第25题14分，满分50分） 22．已知：如图7，△ABC 中，点E 在中线BD 上, ABD DAE ∠=∠．求证：（1）DB DE AD ⋅=2； （2）ACB DEC ∠=∠．23．现有甲、乙两辆货车将一批货物从A 地运往B 地，每车都装满，乙车比甲车每车多运2吨, 甲车运200吨比乙车运200吨要多运5次，求甲、乙两辆货车每次各运几吨．BADE 图5 C E BF 图6图724．如图8，有一块长为40米，宽为30米的长方形绿地．其中有两条互相垂直的笔直的道路（图中的阴影部分），道路的一边GF 与长方形绿地一边的夹角为60º，且道路的出入口的边AB 、CD 、EF 、GH 的长度都相同，已知道路面积为137平方米，求道路出入口的边的长度．25. 在矩形ABCD 中，2=AB ，5=BC ，点P 在BC 上，且3:2:=PC BP ，动点E 在边AD 上，过点P 作PE PF ⊥分别交射线AD 、射线CD 于点F 、G ．(1) 如图9，当点G 在线段CD 上时，设AE =x ，△EPF 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；(2) 当点E 在移动过程中，△DGF 是否可能为等腰三角形？如可能，请求出AE 的长；如不可能，请说明理由．A B CD PFEGABD（备用图）图9初三数学期中考试试卷参考与评分意见一、1．23=x ； 2. 1=x ； 3. );51)(51(-+++x x 4. RR RR -11； 5. ;02742=-+y y 6. )21)(1(800x x --; 7. 3.8 ； 8. 2:5 ； 9. 60º或70º; 10. 可填DE //BC 或∠AED =∠B 或ABAEAC AD =等; 11. 2：3； 12. 3：4. 二、13．D ； 14. B; 15. C; 16. B.三、17．解：11312-=+-+x x x ，（3分） ,0322=-+x x （2分）1,321=-=x x ，（2分） 经检验：3-=x 是原方程的根，1=x 是增根．（2分）所以原方程的根是3-=x ．18. 解：设a x =-21，b y x =-1（1分） 则原方程组可化为⎩⎨⎧-=-=+.123,42b a b a (2分) 解此方程得⎩⎨⎧==.2,1b a (2分) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.21,121yx x (1分) ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.25,3y x (2分) 经检验：⎪⎩⎪⎨⎧==25,3y x 是原方程组的解，∴所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==.25,3y x （1分）19. 解：设点)1,(+x x P ，（2分） 5412--=+x x x ，（2分） 0652=--x x ，（2分）1,621-==x x ，（2分） ∴点P 的坐标为)7,6(或()0,1-．（2分） 20．解：∵C ADE ∠=∠，A A ∠=∠，（1分） ∴ADE ∆∽ACB ∆．（2分）∴AB AE AC AD =．（2分） ∵3=AD 厘米，5=BD 厘米，6=AC 厘米， ∴5363+=AE，（2分） 解得4=AE ．（2分） ∴2=-=AE AC EC 厘米．（1分）21. 证明：∵FB CE CD FC ⋅=⋅，∴CD CE FB FC =．（2分）∵AD //BC ,∴.FAFECD CE =（2分） ∴FAFEFB FC =.（2分） ∴DE //BC . （2分） ∴四边形ABCD 是平行四边形．（1分） ∴∠B =∠D ．（1分）四、22．证明：（1）∵ABD DAE ∠=∠，BDA ADE ∠=∠，∴ADE ∆∽BDA ∆．（2分）∴ADDEBD AD =，（2分） 即DB DE AD ⋅=2．（1分） （2）∵D 是AC 边上的中点，∴DC AD =．∵AD DEBD AD =，∴DCDE BD DC =，（2分） 又∵BDC CDE ∠=∠．（1分）∴CDE ∆∽BDC ∆．（2分）∴ACB DEC ∠=∠．（2分） 23. 解：甲货车每次各运x 吨，（1分） 则乙货车每次各运（2+x ）吨．（1分）由题意得52200200=+-x x ．（3分） 化简整理得 08022=-+x x ．（2分） 解得10,821-==x x ． （2分） 经检验10,821-==x x 都是原方程的根，但10-=x 不合题意舍去，（1分） ∴8=x ，.102=+x （1分）答：甲、乙两辆货车每次各运8吨、10吨．（1分）24．解：道路出入口的边的长度为x 米．（1分）过点F 作FM ⊥EH ，可求得EH =x 23，可得小正方形的边长为x 23米．（2分） 1374340302=-+x x x ，（3分） 054828032=+-x x ，（1分） 0)2)(2743(=--x x , （1分） 2,327421==x x ．(2分) 3274=x 不符合题意，舍去．（1分）答：道路出入口的边的长度为2米．（1分） 25. 解：（1）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．（1分）∵3:2:=PC BP ，5=BC ，∴2=BP ，3=PC ；∵x AE =，∴x HP -=2；∵EH =AB =2， ∴x S EHP -=∆2 ，（2分）∵︒=∠=∠=∠90GCP EPF EHP ，∴∠EPH =90º–∠GPC =∠PGC ，（1分） ∴EHP ∆∽PCG ∆．（1分）∴.236,232,xCG x CG EH CP PH CG -=∴=-∴=（1分） ∴9924∆=-PCG S x ．（1分） ∵PCG EPH EH CD S S S y ∆∆--=矩形，∴2745+=x y ，（2分） （232<≤x ）．（1分） （2）当点G 在线段CD 上，DG DF =，DF -=23，1-=DF 不可能．（2分） 当点G 在线段CD 的延长线上时，DG DF =，DF +=23，1=DF ．此时可解得0=AE ，即当点E 与点A 重合时，DGF ∆是等腰三角形．（2分）。