浙江专用高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

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2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质含答案

第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6 B ．－6 C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D. 2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π.答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1B ．52C ．32D ．2 解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a 2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值； ③当a 2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C. 2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2020版高考数学一轮复习课时作业22《三角函数的图象》(含解析)

课时作业22 三角函数的图象一、选择题1.函数y ＝sin(2x －π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( A )解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2.为了得到函数y ＝3sin2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( B )A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin2x 的图象，再将y ＝3sin2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin2x ＋1的图象，故选B.3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( D )A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析：由图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.4.将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A.y ＝2sin(2x ＋π4)B.y ＝2sin(2x ＋π3) C.y ＝2sin(2x －π4) D.y ＝2sin(2x －π3)解析：函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3).故选D.5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( D )A.－ 3B.33C.1D. 3 解析：由题意可知该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 6.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于( B )A.5B.4C.3D.2解析：由图象可知T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4. 7.将函数f (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有的性质是( B )A.最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D.周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：将函数f (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos2x －π4＝sin2x 的图象，当x ＝π2时，g (x )＝0，故A 错，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故B 正确，C 错，当x ＝3π8时，g (x )＝22，故D 错，故选B.二、填空题8.(2019·山西八校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝－5π6.解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6.9.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z .解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值. 10.将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6.解析：由题意得y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，把其图象向左平移m (m >0)个单位后得到的图象的解析式为y ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋m )＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，其为偶函数的充要条件是m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得m 的最小值为π6.11.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为20.5℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos π6×4＝20.5. 三、解答题12.(2019·石家庄模拟)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值. 解：(1)∵函数f (x )的最小值为－1， ∴－A ＋1＝－1，即A ＝2.∵函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，得α＝π3.13.(2019·石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos[ω(x －π3)＋π3]＝cos(ωx －ωπ3＋π3)，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos(ωx －π2＋2k π)，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间.解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2.由x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴得2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π3，k ∈Z .又|φ|≤π2，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋sin2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.(2019·福州市测试)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y ＝2sin x －cos x 的图象，则sin φ的值为45.解析：因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)，所以y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －θ)，其中cos θ＝25，sin θ＝15，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin2θ＝2sin θcos θ＝45.16.设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是 5.解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝(x 0＋1－x 0)2＋(－1－1)2＝ 5.。

近年届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时训练22函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用文

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练22 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练22 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时跟踪训练（二十二）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用[基础巩固］一、选择题1．(2018·湖南张家界一中月考)为了得到f（x)＝2sin错误!的图象，只需将g（x）＝2sin x的图象( ）A．纵坐标不变,横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移错误!个单位长度B．纵坐标不变,横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π3个单位长度C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!,再将所得图象向右平移错误!个单位长度D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!，再将所得图象向右平移错误!个单位长度[解析]将g（x）＝2sin x的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，得y＝2sin3x的图象；再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得f(x)＝2sin3错误!＝2sin错误!的图象．故选D。

［答案］D2．若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ),x∈R错误!的最小正周期是π，且f （0)＝3，则（）A．ω＝12，φ＝错误!B．ω＝错误!，φ＝错误!C．ω＝2，φ＝错误!D．ω＝2,φ＝错误![解析]由T＝错误!＝π，∴ω＝2。

高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.4．(·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[B 级保分题——准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．(·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 3．(·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.故选B.4．(·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.5．(·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6.故选C.6．(·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos 2x ＋2φ2＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B.7．(·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 12x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2k ∈Z .∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π4(k ∈Z)，∴函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4 9．(·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1.答案：110．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故排除①.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，故②正确．函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误．当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0，综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确．答案：②④12．(·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，1，k ∈Z.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.13．(·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2019届高考(浙江专版)一轮复习：第4章 9 第5讲三角函数的图象与性质

≠0，k∈Z，最小正周期为
2π ____
≠0，k∈Z，最小正周期为
π ___
栏目导引
第四章
三角函数、解三角形
函数对称中心
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称性
(k___________ π，0)，k∈Z
kπ＋π，0， kπ ，0 ，k∈Z 2 ____________ ___________ 2
)
π π kπ 解析：选 D.由 3x≠ ＋kπ(k∈Z)，得 x≠ ＋，k∈Z.故选 2 6 3 D.
栏目导引
第四章
三角函数、解三角形
(2018· 温州市十校联合体期初)下列函数中，最小正周期为 π 的是( x C．y＝sin 2 ) B．y＝sin 2x A．y＝cos 4x
x D．y＝cos 4 2π π 解析：选 B.A.y＝cos 4x 的周期 T＝＝，本选项错误； 4 2
函数函数的最值
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
最大值 1，当且仅当最大值 1，当且仅当 π x＝2kπ＋，k∈Z x＝2kπ，k∈Z ； 2 __________________ ； _______________ 最小值－1，当且仅当
π x＝2kπ－，k∈Z __________________ 2
无最大值和最小值
最小值－1，当且仅
x＝2kπ－π，k∈Z 当_______________
栏目导引
第四章
三角函数、解三角形
函数
y＝sin x
π [k·2π－， 2 增区间_________
y＝cos x
y＝tan x

2025届高考数学一轮知识清单专题：三角函数的图象与性质综合(解析版)

三角函数的图象与性质综合（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)(π，－1)(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无知识点2函数y=Asin(ωx ＋φ)1、y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)振幅周期频率相位初相(A >0，ω>0)AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)ωx ＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy ＝A sin(ωx ＋φ)0A 0－A3由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法重难点01利用三角函数的单调性求参数1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解。

【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．【答案】17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以π2ππ233T ≥-=，则4π3T ≥，即2π4π3ω≥，所以302ω<≤，因为π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ,π6366x ωωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为302ω<≤，所以ππππ,3663ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，ππ4ππ,663ω⎛⎤-∈- ⎝⎦，因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以ππ036πππ6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得1726ω≤≤，所以ω的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】30,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ3444x ωωω-<-<-，又sin y x =-的单调递减区间为ππ2π,2π(Z)22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππππ2π4πππ3+224k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎩-⎪()k ∈Z ，解得3362(Z)44k k k ω-≤≤+∈，且2k +336(Z)44k k ≥-∈，解得38k ≤，又0ω>，所以k =0，所以ω的取值范围为30,4⎛⎤⎝⎦.重难点02与函数零点或方程的根有关的参数问题因为op =As(B +p 的最小正周期是==2，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,4【答案】C【解析】由2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭可得1π1cos 2234y x ω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令1π1π1ππcos 20cos 222π,Z 2343233x x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫--+=⇒-=⇒-=±+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()31π3k x ω+=或π,Z k x k ω=∈，故函数的正零点从小到大排列为：π3π4π6π7π,,,,,33333ωωωωω，要使在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，需要满足4ππ32ω<且6ππ32ω≥，解得834ω<≤，故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．【答案】[)9π,10π【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的周期为2πT ω=，又63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π33πf f ωω⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin s 2in ππ33ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin s n π2π33i ϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2ϕ<，所以π2ππ3322ϕϕ+++=，解得0ϕ=，所以()sin f x x ω=，因为[]0,1x ∈，所以0x ωω≤≤，要使()f x 在[]0,1内恰有10个零点，则9π10πω≤<.所以ω的取值范围是[9π,10π).重难点03利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。

2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§42 三角函数的图象与性质.docx

§4・2三角函数的图象与性质考纲解读而活的选择题与填空题的形式出现'有时也会出现以函数性质为主的结合图象的综合题，考查数形结合思想.2•考查开纟如y 二Asin （tox 申）或通过三角恒等变换化为y 二Asb （cox+e ）的图象和性质，其中心八x=Va 2 + b 2si^（K^（p ）尤其重要（例：2O 化浙江S 题）.3. 对y 二As 认（必+0）中AM 的考查是重点，图象与性质及平移、伸缩变换也是重点考查对象（例：2。

垢浙江4题）.4. 预计2*年高考中'本节内容仍是考查热点'复习时应高度重视.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1/2.6）14浙江恳S 分）为了得到函数9詁认3X4C0S 3X 的图象何以将函数9二返COS 3X 的图象（）A •向右平硏个单位B •向左平硏个单位 C.向右平移令个单位D.向左平移令个单位答案C2.（2017天津文7S 分）设函数f （X ）=2弘（以+祝XUR,其中36闌5.若彳爭以贝平卜0且偸）的最小正周期大于2心刁、1 人 lln f 、1 L7TT c.如亍护■莎D.如亍护N答案A3.（2017课标全国I 理9S 分）已知曲线Ci.:tj-cos +年），则下面结论正确的是（）A. 把5上各点的横坐标伸长到原来的2倍丿纵坐标不变'再把得到的曲线向右平睨个单位长度'得到曲线C2B. 把Ci 上各点的横坐标伸长到原来的2倍'纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移令个单位长度，得到曲线C2分析解读1 •三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和彳申缩变换等,多以小C把5上各点的横坐标缩短到原来的匕纵坐标不变'再把得到的曲线向右平睨个单位长度猖到曲线GD把Ci上各点的横坐标缩短到原来的占纵坐标不变'再把得到的曲线向左平畴个单位长度，得到曲线5答案P4.(20化课标全国II 7S分)若将函数g二2sh 2X的图象向左平移令个单位长度加平移后图象的对称轴为()A.x=y-^(kez)B.x=y^kez)%吟-汝《N) D.“争软MN)答案B5.(2GLS湖南严£分)将函数f(x)二血2X的图象向右平移e(o V卩V号)个单位后得到函数g(x)的图象•若对满足『(&)-g(*2)卜2的X4X2丿有卜「糾皿弓则g()5n ° nA答案DQ.(2O1S课标I怎s分)函数心)二cos(cox*)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.^/cn-^kn + 扌)丿B.(2M*2kTi+亂MNC.(碍,k +汀k"P.(2/c-|,2k+ |),kez答案P7.(20化江苏OS分)定义在区间［QQ诃上的函数9"认2X的图象与沪COS X的图象的交点个数是_______________ .答案78.(20化课标全国III,14jS分)函数X-V3C0S X的图象可由函数9二弘X+V3C0S X的图象至少向右平移__________________ 个单位长度得到.答案y解析设f(x)=5认X-V3C0S (尢+ |ir)£(x)二心X+/3C0S x=2s认(％ +亂将g(x)的图象向右平移4>(®〉o)个单位长度后得到函数g(x呻)二2弘(“ +扌)二2弘(％ + y)=f(x)的图象'所以X-0+扌二2krc+X■殆kw乙此时Cp= -2-krt乙当k= -Z时4有最小值'为#<7.(2GL4山东,U2分)已知向量a=(m,cos 2x)拆⑶讥2xm),函数f(x)二a・S且9二f(x)的图象过点(召,応)和点(y,-2).(Z)求皿必的值；(2)将护f(x)的图象向左平移软Op5)个单位后得到函数歼g(x)的图象'若护g(x)图象上各最高点到点(。

(浙江专)高考数学一轮复习第四章三角函数4.2三角函数的图象与性质学案

§4.2三角函数的图象与性质考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.三角函数的图象及其变换1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象.2.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.理解4,5分5(文),5分3(文),5分11(文),6分2.三角函数的性质及其应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.2.了解三角函数的周期性.理解6(文),5分10,5分11,6分5,5分18,约7分分析解读 1.三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等,多以小而活的选择题与填空题的形式出现,有时也会出现以函数性质为主的结合图象的综合题,考查数形结合思想.2.考查形如y=Asin(ωx+φ)或通过三角恒等变换化为y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,其中asin x+bcos x=sin(x+φ)尤其重要(例:2016浙江5题).3.对y=Asin(ωx+φ)中A,ω,φ的考查是重点,图象与性质及平移、伸缩变换也是重点考查对象(例:2014浙江4题).4.预计2019年高考中,本节内容仍是考查热点,复习时应高度重视.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案 C2.(2017天津文,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f =2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=答案 A3.(2017课标全国Ⅰ理,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2答案 D4.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)答案 B5.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=()A. B.C. D.答案 D6.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z答案 D7.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.答案78.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案解析设f(x)=sin x-cos x=2sin,g(x)=sin x+cos x=2sin,将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin=2sin=f(x)的图象,所以x-φ+=2kπ+x+,k∈Z,此时φ=-2kπ-,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为.9.(2014山东,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象经过点和,所以即解得m=,n=1.(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin=1,因为0<φ<π,所以φ=.因此g(x)=2sin=2cos 2x.由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.教师用书专用(10—15)10.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为答案 A11.(2013湖北,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )A. B.C. D.答案 B12.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案 A13.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.答案14.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ0 5 -5 0)(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .数据补全如下表:ωx+φ0 π2πxπAsin(ωx+0 5 0 -5 0φ)且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.15.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ).依题意知,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,). (ii)证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-+=-1.考点二三角函数的性质及其应用1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案 B2.(2013浙江文,6,5分)函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2答案 A3.(2017课标全国Ⅲ理,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减答案 D4.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)5.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2·sin xcos x(x∈R).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin=,cos=-,f=--2××,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以, f(x)的单调递增区间是(k∈Z).6.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由条件知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,当且仅当b=c时等号成立.因此bc sin A≤.所以△ABC面积的最大值为.7.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin cos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.教师用书专用(8—13)8.(2017课标全国Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.答案 C9.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( )A. B.π C. D.2π答案 B10.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A11.(2013江苏,1,5分)函数y=3sin的最小正周期为.答案π12.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=sin sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增, 当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.13.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-, f=-, f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018浙江镇海中学期中,4)将函数f(x)=3sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案 C2.(2017浙江嘉兴基础测试,5)若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位长度得到,则g(x)的解析式是( )A.g(x)=2sin 2xB.g(x)=2sinC.g(x)=2sinD.g(x)=2sin答案 A3.(2016浙江镇海中学测试(四),4)将函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的图象向右平移个单位,得到的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则实数ω的值可能为( )A.5B.6C.7D.8答案 C考点二三角函数的性质及其应用4.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,3)函数f(x)=的最小正周期是( )A.2πB.πC.D.答案 C5.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,5)已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且A,B分别为函数图象上的最高点与最低点,若|AB|的最小值为2,则该函数图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=1答案 D6.(2016浙江温州二模,10)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则ω=,φ=.答案2;7.(2018浙江萧山九中12月月考,18)已知a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cosωx),其中ω∈.记函数f(x)=a·b+λ,若f(x)的图象关于直线x=π对称.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的图象过原点,求f(x)在区间上的值域.解析(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx+λ=sin 2ωx-cos 2ωx+λ=2sin+λ,(3分)∵f(x)的图象关于直线x=π对称,∴2ωπ-=kπ+,k∈Z,即2ω=k+,k∈Z,又ω∈,∴k=1,∴2ω=.故f(x)=2sin +λ.(5分)令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故单调递增区间为(k∈Z).(8分)(2)∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=-1+λ=0,∴λ=1,则f(x)=2sin+1.(10分)∵0≤x≤,∴-≤x-≤,(11分)则-≤sin ≤1,(13分)故f(x)在区间上的值域为[0,3].(14分)8.(2017浙江绍兴质量调测(3月),18)已知函数f(x)=2sin2x+cos.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的单调递增区间.解析(1)f(x)=2sin2x+cos=1-cos 2x+cos 2x+sin 2x=1+sin.故f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)在上的单调递增区间为.B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江杭州二中期中,3)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为4π,则( )A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增答案 C2.(2016浙江名校(诸暨中学)交流卷一,4)为了得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位答案 D二、填空题3.(2017浙江宁波二模(5月),11)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为;振幅的最小值为.答案π;4.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,13)已知x0,x0+是函数f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点,则f= ;f(x)在[0,π]上的递减区间为..答案;5.(2017浙江温州十校期末联考,13)设f(x)是定义在R上的最小正周期为的函数,且在上f(x)=则a= , f= .答案-1;-三、解答题6.(2017浙江金丽衢十二校第二次联考,18)已知直线x=是函数f(x)=sin(3x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴.(1)求φ;(2)求函数y=f(x)+f,x∈的值域.解析(1)由题意得3×+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=-+kπ,k∈Z.∵φ∈(-π,0),∴φ=-,∴f(x)=sin.(2)y=f(x)+f=sin+sin=sin+cos=sin.∵x∈,∴3x+∈,∴y∈.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数图象变换的解题策略1.(2017浙江镇海中学第一学期期中,5)要得到函数y=sin x的图象,只需将函数y=cos的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位答案 A方法2 三角函数性质的解题策略2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,11)函数f(x)=sin+1的最小正周期为;单调递增区间是;对称轴方程为.答案π;(k∈Z);x=+(k∈Z)方法3 求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的解题策略3.(2017浙江台州质量评估,18)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的单调递减区间.解析(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2.由2x+φ=kπ+,k∈Z,得x=+-,k∈Z,由=+-,k∈Z,得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=.(2)函数g(x)=f(x)+f=sin+sin 2x=sin 2x+cos 2x+sin 2x=sin.令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以g(x)的单调递减区间为,k∈Z.。

课时跟踪检测三角函数的图象与性质(重点高中)

课时跟踪检测（十九）三角函数的图象与性质(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.3．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D. 4.(2018·安徽六安一中月考)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B ∵函数可化为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，故选B. 5.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z) 7．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32. 答案：328.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0185＋lg 14＝________.解析：因为当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，所以f ⎝⎛⎭⎫25＝lg 75，又因为函数f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0185＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－lg 75，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0185＋lg 14＝lg 14－lg 75＝lg 10＝1. 答案：19.(2018·北京怀柔区模拟)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x －1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x －1＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1.故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值分别为2，－1.10．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k∈Z)．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)，令k ＝0，得f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2. B 级——拔高题目稳做准做1.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b ，若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，则ab 的值为( )A ．152－15或24－24 2B ．152－15C ．24－24 2D ．152＋15或24＋24 2解析：选A f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，{2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.所以ab ＝152－15或24－24 2.2.(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝{ a ，a ≤b ，b ，a >b . 例如1]( )A.⎣⎡⎦⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤22，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.3.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：324．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z. (2)因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝11π6＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6. 6.已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z)，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z)，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |<3，即f(x)－3<m<f(x)＋3，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4.故实数m的取值范围是(－1,4)．。

2020届高考数学一轮复习：课时作业20《三角函数的图象与性质》(含解析)

课时作业20 三角函数的图象与性质1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( A ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( C )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心． 3．(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( B )A ．⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2＜2x －π6＜2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3＜x ＜k π＋56π(k ∈Z )．取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，56π.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 解析：函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .例如1]( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，cos x ＞sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，－π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 解析：由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3. ∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3， ∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1＞1，即cos(3x ＋φ)＞0，对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|＜π2可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.8．(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝5π6 .解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，故φ＝5π6.9．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是[2,3)__．解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12＜1，∴2≤a ＜3.10．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2__.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 12．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞0，则f (x )的单调递减区间是( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＞0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，故选C ． 14．设ω∈N *且ω≤15，则使函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调的ω的个数是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由ωx ＝π2＋k π(k ∈Z )得函数y ＝sin ωx 的图象的对称轴为x ＝π2ω＋k πω(k ∈Z )．∵函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调，∴π4＜π2ω＋k πω＜π3(k ∈Z )，解得1.5＋3k ＜ω＜2＋4k (k ∈Z )．由题意ω∈N *且ω≤15，∴当k ＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k ＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k ＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k ＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k ＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C ． 15．若函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝4_035__.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1 ＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1 ＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3， ∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0＜φ＜π2，∴2φ＝π2，φ＝π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 ＋2×2 018＝504×0－sin π2－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |＜3，即f (x )－3＜m ＜f (x )＋3，所以2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。

高考数学一轮复习课时过关检测(二十二) 三角函数的图象与性质

课时过关检测（二十二）三角函数的图象与性质A 级——基础达标1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选Ay ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A ．2．(2021·辽宁辽河模拟)已知函数f (x )＝2cos 4x ＋1，则下列判断错误的是( ) A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．f (x )的值域为[－1,3]D ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称解析：选D ∵f (－x )＝1＋2cos 4x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 判断正确；令4x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝kπ4(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π4，则f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，B 判断正确；∵2cos 4x ∈[－2,2]，∴f (x )的值域为[－1,3]，C 判断正确；f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1对称，D 判断错误．故选D.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，则f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．[]－1，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析：选B 令2k π－π2≤π2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －53，4k ＋13，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.4．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A ．14B ．13C ．12D ．32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.5．(多选)(2021·郑州市高三联考)以下函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为单调递增函数的有( )A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin x －cos xC ．y ＝sin x cos xD ．y ＝sin xcos x 解析：选BD 对于A 选项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以，函数y ＝sin x ＋cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不单调；对于B 选项，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以，函数y ＝sin x －cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；对于C 选项，y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以，函数y ＝sinx cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不单调；对于D 选项，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin xcos x ＝tan x ，所以，函数y ＝sin xcos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．故选B 、D. 6．(多选)若函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈R ，则函数f (x )( ) A ．最小正周期为π B ．是区间[0,1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)(k ∈Z )对称 D ．是周期函数且图象有无数条对称轴解析：选BDf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，－π2＋2kπ ≤x ≤π2＋2k π，0，π2＋2kπ ≤x ≤3π2＋2kπ(k ∈Z )，对应图象如图．由图象知函数f (x )的最小正周期为2π，故A 错误；函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故B 正确；函数f (x )的图象关于直线x ＝2k π(k ∈Z )对称，故C 错误；函数f (x )的图象有无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确．故选B 、D.7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象的对称中心是．解析：由x 2＋π3＝kπ2(k ∈Z )，得x ＝k π－2π3(k ∈Z )，即其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－2π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－2π3，0，k ∈Z8．(2021·扬州中学高三模拟)已知f (x )＝sin 错误!－错误!cos 错误!，则f (x )的最小正周期为，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝ .解析：依题意可得f (x )＝2sin π3x ，其最小正周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3.答案：639．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为．解析：由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π510．(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调递减，则实数a 的最大值是．解析：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调递减，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.答案：7π511．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx－π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝kπ2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋3π8(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π8，kπ＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.12．(2021·山东泰安模拟)在①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π， .(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．选条件①.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3为奇函数，∴φ－π3＝k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋k π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π. 选条件②.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32， ∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π.选条件③.∵23π是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0，∴φ＝k π－2π3，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π.B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设函数f (x )＝cos 2x2＋sin xcos x，则( )A ．f (x )＝f (x ＋π)B ．f (x )的最大值为12C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4单调递减解析：选AD f (x ＋π)＝错误!＝错误!＝f (x )，故A 正确； ∵f (x )＝cos 2x2＋sin xcos x ＝2cos 2x4＋sin 2x ，∴f ′(x )＝错误!＝错误!，令f ′(x )＝0，解得sin 2x ＝－错误!，cos 2x ＝±错误!. 所以f (x )max ＝215＞12，故B 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，此时－4sin 2x －1∈(－1,3)，∴f ′(x )有正有负，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上不单调，故C 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，此时－4sin 2x －1∈(－5，－1)，f ′(x )＜0恒成立，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4单调递减，故D 正确． 14．(2021·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，x 1，x 2为函数图象与x轴的两个交点的横坐标，若|x 1－x 2|的最小值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π3上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3上单调递减解析：选C 因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3，且|x 1－x 2|的最小值为π2，所以f (x )的最小正周期为π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上单调递增，故选C ．15．已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝kπ2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或t ＝5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |<3，即f (x )－3<m <f (x )＋3，所以2－3<m <1＋3，即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．C 级——迁移创新16．(2021·全国卷联考节选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2的图象离原点最近的对称轴为直线x ＝x 0，若满足|x 0|≤π6，则称f (x )为“近轴函数”．若函数y ＝2sin(2x －φ)是“近轴函数”，求φ的取值范围．解：函数y ＝2sin 2x 的图象离原点最近的对称轴是直线x ＝±π4，函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ2满足|x 0|≤π6，当φ＞0时，π4－π6≤φ2≤π4＋π6，即π6≤φ≤5π6，又|φ|≤π2，∴π6≤φ≤π2；当φ＜0时，－π6－π4≤φ2≤π6－π4，即－5π6≤φ≤－π6，又|φ|≤π2，∴－π2≤φ≤－π6.综上所述，φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2.。

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版课时跟踪检测(二十二)三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1. 当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C ．⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1 B ．52C ．32D ．2解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

(浙江专版)高考数学一轮复习专题4.4 三角函数图象与性质(讲)

第04节三角函数图象与性质【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测三角函数的图象和性质理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2013浙江文3；2015浙江文11，理11；2016浙江文3，理5； 2017浙江18； 2018浙江5.1.“五点法”作图；2,.三角函数的性质；3.往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.4.备考重点：(1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象； (2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质性质sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2）（五点法），先列表，令0,,,,222x ωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.2．三角函数的定义域与值域（1）定义域：sin y x =,cos y x =的定义域为R ,tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. （2）值域：sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R . （3）最值：sin y x =：当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．cos y x =：当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-． tan y x =：既无最大值，也无最小值3.三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，（2）复合函数的单调性设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦增增增增减减4 .三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭k Z ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．5.三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义；对定义域内任意x ，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（5）sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，tan y x =为奇函数. 6.三角函数的周期性（1）周期函数的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都有()()f x T f x += ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期．（3）sin y x =,cos y x =周期为2π,tan y x =周期为π.【重点难点突破】考点1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质【1-1】【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.详解：，，由题可知，或，解得,或，故有3个零点.【1-2】【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减【答案】D 【解析】【领悟技法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A.B.C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为，所以因为|φ|＜因此，选B.【变式二】【江西省赣州市2018年5月高考适应性考试】若函数在区间上有两个零点，，则（） A. B. C.D.【答案】C考点2三角函数的定义域与值域【 2-1】函数12lg(2sin 1)y cosx x =--的定义域是________．【答案】522,.36xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】(1)由题意得120,210,cosx sinx -≥⎧⎨->⎩，即1,21,2cosx sinx ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，分别由三角函数线得522,33522,66k x k k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+<<+⎪⎩，522,.36k x k k Z ππππ∴+≤<+∈ 【2-2】【2018年北京卷文】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为. 【领悟技法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【触类旁通】【变式一】函数2cos 1y x =+的定义域是（）A. ()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由2cos 1x +⩾0得1cos 2x -…,∴222233k x k ππππ-+剟，k ∈Z. 故选D.【变式二】【2017新课标2】函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．考点3三角函数的单调性【3-1】【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（）A. ，ZB. ，Z C. ，Z D.，Z【答案】A 【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选A.点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.【3-2】已知函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，则该函数的单调增区间为( ) A. ()272,31836k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()252,318318k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()252,312312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()22,3336k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】由于函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为223ππω=，∴3ω=，令232232k x k πππππ-≤+≤+，求得252318318k k x ππππ-≤≤+，可得函数的增区间为()252,318318k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选B. 【领悟技法】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【触类旁通】【变式一】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得：，所以，令，解得，故单调递减区间为，故选D．【变式二】【2018届河南省南阳市第一中学第十五次考试】已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D考点4 三角函数的对称性【4-1】【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以【4-2】若函数（）的图象关于点对称，则__________．【答案】【解析】根据题意可得又，故 .【领悟技法】先化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．【触类旁通】【变式一】下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图象的对称中心的是（） A ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．503π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．403π⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】tan y x =的对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，所以tan()26x y π=-的对称中心可以表示为2623x k x k ππππ-=⇒=+，经检验C 选项不满足条件，故选C ．【变式二】【2018届新疆乌鲁木齐地区5月训练】函数图像的一条对称轴为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：逆用两角和余弦公式公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程进行求解即可．详解：y=cosx ﹣sinx=（cosx ﹣sinx ）=cos （x+），由x+=k π，得x=﹣+k π，k ∈Z ，即函数的对称轴为x=﹣+k π，k ∈Z ，当k=0时，对称轴为x=﹣，故选：D ．考点5三角函数的奇偶性【5-1】函数是（）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数【答案】B【解析】为偶函数本题选择B选项.【5-2】【2018届辽宁省丹东市测试（二）】设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】分析：由可得，将其代入化简得到，所以函数为偶函数．【领悟技法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【触类旁通】下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（） A. tan y x = B. sin y x = C. cos y x = D. cos y x = 【答案】B【解析】以π为周期的函数有tan y x =、 sin y x = 、 cos y x =，是偶函数的有sin y x = 、 cos y x =，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的只有sin y x =，应选答案B 考点6三角函数的周期性【6-1】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【6-2】【2017天津，文理】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【领悟技法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值. 3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（） A.4π B.2π C. π D.π2【答案】C【变式二】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π【易错试题常警惕】易错典例：求函数tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间. 易错分析：解答本题易直接由：2232k x k πππππ-≤-≤+，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略k Z ∈这个条件. 正确解析：把函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变为tan 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由2,232k x k k Z πππππ-<-<+∈，得52,66k x k k Z ππππ-<<+∈，即5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈, 故函数tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间为()5,212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为sin()y A x ωφ=+处理．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略复合函数的单调性，直接由：2232k x k πππππ-≤-≤+，得出错误结论；二是易忽略对字母k 的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母k 的限止.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数的部分图像如图.（Ⅰ）求函数的解析式.（Ⅱ）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.【答案】(1).(2) 时，，时，.【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********周期，又，∴.∴..（2），∴.当时，，.当时，，.所以，.灿若寒星。

(浙江通用)高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质-人教版高三全

【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1] [－1,1] R单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k π，0)(k ∈Z )(π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 3．(2015·某某期末)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，所以选A. 4．(2015·某某)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．(2015·某某期末)若函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f (x )的最小正周期为________；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝________. 答案π22－ 3 解析 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期为T ＝π2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8－π6＝tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝2－ 3.题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) (2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为_____________________．答案 (1)B (2)B (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．故选B.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_____________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 题型二三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值X 围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)D解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 题型三三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例 3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B．①③④ C ．②④ D．①③ 答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 (2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.答案 (1)A (2)－π6解析 (1)依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x＝π8对称． (2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 B解析由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－33C.2D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.3．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·某某)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3 D ．－3思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间； (3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意． (2)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)A (2)D (3)C温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的X 围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防X]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减答案 B解析因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A解析利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53 D ．2 答案 D解析根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π 答案 C解析函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C.5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[0,1] B ．[12，1] C ．[－1,2] D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )解析由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．(2015·某某)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数y ＝2sin(2x ＋φ) (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该函数的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π12B ．x ＝－π6C ．x ＝π6D ．x ＝π12答案 C解析因为函数y ＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点(0,1)，所以2sin φ＝1，sin φ＝12.又|φ|<π2，则φ＝π6，则函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将选项依次代入可知，当x ＝π6时函数取得最值，所以x ＝π6是函数的一条对称轴方程，所以选C.13．(2014·)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14. 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

浙江省高考数学一轮复习第五章三角函数、解三角形第6节三角函数的图象与性质(含解析)-人教版高

第6节三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋无[常用结论与易错提醒]1.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期.( )(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z ).(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(3)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.关于周期函数，下列说法错误的是( ) A.函数f (x )＝sin x 不是周期函数B.函数f (x )＝sin 1x不是周期函数C.函数f (x )＝sin|x |不是周期函数D.函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π 解析 f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π2.答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.故选B. 答案 B4.若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2. 答案 C5.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )6.设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为________.解析由T ＝2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π12(k ∈Z )，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )考点一三角函数的定义域及三角不等式【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由正切函数的定义域得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎥⎤13π6，8规律方法 (1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z (2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z .(2)法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 考点二三角函数的值域【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(一题多解)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)由正弦曲线知y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x－1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)D (2)A (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3(2)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.(3)(2020·绍兴一中模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178. 因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )有最小值－4.(3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b ＝－sin 2x ＋a sin x ＋b ＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝sin x ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24＋b ＋1.因为t ∈[0，1]，所以函数的对称轴t ＝a 2的位置对函数在给定区间的最值有影响.所以最大值M 与最小值m 的差M －m 的值与a 有关，但与b 无关，故选B. 答案 (1)A (2)－4 (3)B 考点三三角函数的性质多维探究角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(2)(2020·杭州四中仿真)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，则f (x )的奇偶性( ) A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关 C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关解析 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为T ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π4＝tan 2π3－tanπ41＋tan 2π3×ta nπ4＝2＋ 3.(2)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝k π，k ∈Z ；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，但与φ有关，故选D. 答案 (1)π22＋ 3 (2)D规律方法 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. (2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)法一由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 法二因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.法三因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T 4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.(2)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为________.解析 (1)由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.(2)由x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π－π3(k ∈Z )，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π3(k ∈Z )；因为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－2，2]，所以2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3，1]，所以函数f (x )的最小值为－3. 答案 (1)－π6 (2)x ＝k π－π3(k ∈Z ) －3规律方法 (1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________，该函数的最小正周期为________.(2)(角度2)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 (3)(角度3)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值是________.解析 (1)法一 f (x )＝1＋cos 2x 2－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cosπ2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 法二注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin 2α－sin 2β，则f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3sin π3＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cos π2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. (3)因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又因为－π2<φ<π2，则－π3<π6＋φ<2π3，即π6＋φ＝0，解得φ＝－π6.答案 (1)0 π (2)D (3)－π6基础巩固题组一、选择题1.(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A.2B.32 C.1D.12解析由题意及函数y ＝sin ωx 的图象和性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A. 答案 A2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，则ω的最大值是( ) A.12 B.11 C.10D.9解析由x ＝－π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的零点，x ＝π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴得－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z )，则ω＝2(k 2－k 1)＋1(k 1，k 2∈Z )①，又因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，所以12·2πω≥π3－π4，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.答案 B6.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f (x )取最大值时，x 的取值集合为________.解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x (x ∈R )，∴当2x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π4，k ∈Z 时，f (x )得最大值1.答案 5π6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π4，k ∈Z 8.函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________. 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 9.若x ＝π6是函数f ()x ＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f ()x 的最小正周期是________；函数f ()x 的最大值是________.解析 ∵f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)(tan θ＝a )，又x ＝π6是函数的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋k π，k ∈Z .则f (x )＝1＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋k π，k ∈Z .T ＝2π2＝π；由a ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π＝tan π6＝33，得1＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.∴函数f (x )的最大值是233.答案 π23310.(一题多解)若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.解析法一由题意得ω>0，ωx ∈[0，2ωπ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以0<2ωπ≤π2⇒0<ω≤14. 法二由题意得ω>0，∵y ＝sin ωx 在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少14T 的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即2πω≥8π，即ω≤14，故0<ω≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14三、解答题11.(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域.解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 12.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)(一题多解)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x )).由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 法二区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值. 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6.因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. 能力提升题组13.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为( ) A.23 B.32 C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B14.设x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则( )A.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )>12B.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足cos(x －y )≥32C.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足tan(x －y )<33 D.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )≥33解析将区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2平均分为三个区间，则每个区间的长度为π6.因为x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以在x 1，x 2，x 3，x 4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x ，y ，则|x －y |≤π6，所以cos(x －y )≥32，故选B. 答案 B15.函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (a ≠0，b ≠0，ω≠0)，则f (x )( ) A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a ，b 有关 C.奇偶性与ω有关D.奇偶性与a ，b 无关解析 f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2，要使函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝0，因为a ≠0，b ≠0，所以a 2＋b 2≠0，又因为sin φ＝b a 2＋b2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠0，所以函数f (x )不是奇函数.若函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝±a 2＋b 2，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a ≠0，所以cos φ＝aa 2＋b 2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠±a 2＋b 2，所以函数f (x )不是偶函数，故选A. 答案 A16.函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，则函数的最小正周期为________，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的一条对称轴方程是________.解析 f (x )＝1＋cos 2x ＋12cos 2x －32sin 2x －1＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝－π12＋k π2，k ∈Z .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝512π.答案 π x ＝5π1217.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋3，x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x ＋α)为偶函数，求|α|的最小值. 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋ 3 ＝2sin x cos x －3(2cos 2x －1) ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由题意得g (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3，因为函数g (x )为偶函数，所以2α－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，|α|的最小值为π12.18.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

高考数学一轮复习课后限时集训22三角函数的图像与性质文北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训22三角函数的图像与性质文北师大版三角函数的图像与性质建议用时：45分钟一、选择题1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.]2．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2πD [将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像(如图)．故选D.]3．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2A [由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.]4．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2D [y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.]5．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B.π3 C.13π6 D.7π6C [T ＝2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，故ω＝2，又2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，所以φ的值可能为13π6.故选C.]二、填空题 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．]7．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图像的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．6π5 [由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图像的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.]8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．－3 [f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x ＋θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3－θ，因为函数f (x )为奇函数，则有－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π3＝－ 3.] 三、解答题9．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．[解](1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图像的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．[解](1)f (x )＝a·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k2π(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图像的对称轴方程为x ＝5π12＋k2π(k ∈Z )．(2)由(1)及已知条件可知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝f (x 1)＝13.1．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3C [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.]2．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．πB [因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≤π4，cos x ，x ＞π4，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )的图像关于直线x ＝π4对称 D ．f (x )在5π2处取得最大值C [作出函数f (x )的图像，如图所示，则由图像可知函数f (x )不是周期函数，所以A 不正确；同时图像不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B 不正确；若x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22(cos x －sin x )，f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22(cos x －sin x )，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，若x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22(cos x ＋sin x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22(cos x ＋sin x )，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，综上，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，即图像关于直线x ＝π4 对称，所以C 正确；当x ＝5π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝cos 5π2＝0不是函数的最大值，所以D 错误，故选C.]4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] 由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对任意x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．π B.3π4 C.3π2D.7π4D [由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图像，如图所示．由图可得，当22≤a ＜1时，方程f (x )＝a 恰有三个根．由2x ＋π4＝π2得x ＝π8，由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8，由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，点(x 2，a )与点(x 3，a )关于直线x＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4.]2．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． [解] f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a ＞0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5；②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

(浙江专版)高考数学一轮复习专题4.4 三角函数图象与性质(测)-人教版高三全册数学试题

第04节三角函数图象与性质班级__________ 某某_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届某某师X 大学附属中学三模】已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A2.【2019届某某省某某市摸底】“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：由能否推出函数图象关于直线对称，反过来看是否成立，由充分必要条件的定义，得出正确的结论. 详解：当时，，，所以是函数的对称轴；令，，，，当时，，当取值不同时，的值也在发生变化.综上，是函数图象关于直线对称的充分不必要条件.选A.3.【2017届某某省某某市第二中学5月仿真】已知函数sin y x =与()cos 2(02)y x ϕϕπ=+<≤，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的一个可能的取值为（） A. 76π B. 3π C. 56π D. 116π【答案】A【解析】由题意，交点为3,32π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以23 cos32πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以2236kππϕπ+=+或26kππ-+，所以一个可能的取值为76π，故选A.4.【2018届某某维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据图象求得和周期，然后根据周期求得的值，最后根据代点法求得，从而可得函数的解析式．详解：由图象可得，所以，故，∴．又点在函数的图象上，∴，∴，∴，∴，∴．故选A．5.【2018届某某省某某市4月模拟】如果函数的图象关于直线对称，那么该函数的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】分析：将函数进行化简，结合三角函数的图象与性质，即可得到答案.详解：由，由正弦函数的对称轴方程为，又因为图象关于对称，即可得，当时，，因为，所以，即，所以的最大值为，故选B.6.【2018届某某省某某市二模】如图，已知函数（）的部分图象与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由特殊点的坐标求出φ，再根据五点法作图求出ω，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积．详解：如图，根据函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与y轴的交点为B（0，），可得cosφ=，∴cosφ=，∴φ=﹣．根据函数的图象x轴的一个交点为A（﹣,0），结合五点法作图可得ω•（﹣）﹣=﹣，∴ω=2，∴函数f（x）=cos（2x﹣）．故.7．【2018届某某省某某市第二次质量检查】函数的周期为，，在上单调递减，则的一个可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由函数的周期为，求得，由结合在上单调递减，即可得结果.详解：由函数的周期为，得，，，或，令，或，，在不是单调函数，不合题意，故，故选D.8.【2018届某某省某某市三模】已知函数的图象与轴相切，则（）A. B. C. D.【答案】B9.【2018届某某省某某市第一中学等盟校第二次联考】已知函数是上的偶函数，且图像关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：由函数是上的偶函数，求得，由图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，求得.详解：在上是偶函数，，，图象关于对称，，又在上是单调函数，，只有时，符合题意，故选D.10.【2018届某某省某某中学第十七次模拟】设函数.若,且，则的取值X围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的X 围．详解：（特殊值法）画出的图象如图所示．结合图象可得，当时，；当时，，满足．由此可得当,且时，．故选B ．二、填空题：本大题共7小题，共36分． 11.【2018年卷理】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】12.【2018届某某省镇海中学上期中】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是__________，单调递增区间是__________. 【答案】 π3,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，()k Z ∈ 【解析】()212223sin sin cos 11222242cos x sin x f x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭.最小正周期2Tπ2π==.令π222,242k x k k Zππππ-+<-<+∈，解得π3,88k x k k Zπππ-+<<+∈.所以单调递增区间是3,88k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，()k Z∈.13.【2018届某某省某某市高三上期末】如图是函数的部分图象，已知函数图象经过点两点，则__________；__________．【答案】 214．【2018届某某省某某市最后一卷】函数在上的部分图象如图所示，则的值为__________．【解析】分析：由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得.详解：，时，，又，，，故答案为.15．【2019届某某省某某市第七中学零诊】已知函数，，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】1【解析】分析：根据勾股定理可得，求得，，从而可得函数解析式，进而可得结果.详解：令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，，故，故答案为.16.【2018届某某省双流中学考前二模】已知函数，)，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间上不是单调函数，则的最小值为______________.【解析】试题分析：根据条件对于恒成立可得到函数在处取得最大值，的一个零点为，可列出解得w的X围即可.17.【2018届某某省吉大附中四模】已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【答案】9【解析】分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得，利用周期为3和时，可画出函数图像，根据图像判定零点个数.详解：因为函数定义域为R，周期为3，所以如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在上的零点为所以共有9个零点三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【2018届某某省某某市高三上期末】已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设函数，求的值域.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先根据最高点得振幅,再根据四分之一个周期求,最后代入最值点求（2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求值域试题解析：（Ⅰ）由图象得周期，所以；又由，得；所以.（Ⅱ），因为，，，所以的值域为．19.【2018年某某市河西区三模】已知函数.（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数在上的单调性.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.【解析】分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解.详解：（1），因为，所以最小正周期，令，所以对称轴方程为，.20.【2018届市人大附中5月三模】若函数的部分图象如图所示，求（Ⅰ）和；（Ⅱ）在区间上的取值X围.【答案】(Ⅰ)；.(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合三角函数的周期可得，结合点的坐标可得.（Ⅱ）由题意可得，结合三角函数的性质可知在区间上的取值X围为.详解：（Ⅰ），又，∴，∵，，∴的图象过点，∴，又，∴.（Ⅱ），∵，∴，即在区间上的取值X围为.21．【2018届市海淀区二模】如图，已知函数（）在一个周期内的图象经过，，三点.（Ⅰ）写的值；（Ⅱ）若，且，求的值.【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据题意列出关于的三个方程，解方程即得的值.( Ⅱ)先根据，且求出的值，再求的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．因为，所以．因为，所以．所以，所以，所以．22．【腾远2018年（某某卷）红卷】已知函数.（1）求的值；（2）当时，求函数的取值X围.【答案】（1）1；（2）.【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可求解的值；（2）由（1）得，当时，得，即可求解的取值X围. 详解：（1），则. （2）由（1）得，当时，，则，即的取值X围为.。

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浙江专用高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π(k ∈Z)， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2，∵[－2π，0]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z.所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z.(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( )A ．1B ．52 C ．32D ．2解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。