高中理科数学公式大全(精华版)

高中数学公式大全（理科）
§01. 集合与简易逻辑
集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n
–1
个；非空的真子集有2n
–2个. 真值表
§02. 函数的单调性
（1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. （2）设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
（3）对复合函数)]([x g f y =：同增异减
函数的奇偶性
对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

函数的对称性
函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=对称. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.
函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=对称.
函数)(x f y =和)(1
x f y -=的图象关于直线y=x 对称.
函数的周期性
若)()(a x f x f +-=或)
(1
)(x f a x f ±
=+则函数)(x f y =是周期为a 2的周期函数. 若))(()(b a b x f a x f ≠+=+，则函数)(x f y =是周期函数，其中一个周期为
b a T -=
指数与对数函数
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
log log log m a m N
N a =
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). log log m n
a a n
b b m
=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M
M N N
=-
log log ()n
a a M n M n R =∈
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
几种常见函数的导数
'C 0= 1')(-=n n nx x x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-= a a a x x ln )('= x x e e =')(； a x x a ln 1)(log '=
x
x 1)(ln '
= 导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±. （2）'
'
'
()uv u v uv =+. （3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. （4）对复合函数，看整体，先求大再求小。

§03.三角函数
同角三角函数的基本关系式：2
2
sin cos 1θθ+= tan θ=
θ
θ
cos sin 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 两角和差公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
二倍角公式：
sin 2sin cos ααα= 2
2tan tan 21tan α
αα
=
- 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
公式变形：
2
2cos 1sin ;22cos 1cos 22α
ααα-=
+=
三角函数的周期、最值、单调区间、图像变换
函数sin()y x ωϕ=+及函数cos()y x ωϕ=+的周期2T π
ω
=
函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+∈的周期T π
ω
=
辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b =
ϕtan
正弦定理：2sin sin sin a b c
R A B C ===. 余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- 222
2cos c a b ab C =+-
三角形面积公式：111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
常见三角不等式: 若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<
若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤ |sin ||cos |1x x +≥
§04. 平面向量
a 与b
的数量积(或内积)：θ
cos b a b a =⋅
两向量的夹角公式:
2
2
cos
y θ=
a
=11(,)x y ,b =22(,)x y
平面两点间的距离公式:,A B d =||AB AB AB =⋅=向量的平行与垂直:
设),(11y x a =
),(22y x b = ，且0≠b
a ∥01221=-⇔=⇔y x y x a
b b
λ 002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a
§05. 数 列
数列的通项公式与前n 项的和的关系:
11,
1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++
+)
等差数列的通项公式:*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈
前n 项和公式:1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+- 等比数列的通项公式:1
*11()n n
n a a a q
q n N q
-==
⋅∈ 前n 项的和公式:11
(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
常用公式：若{}n a 为等差（等比）数列，则k k k k k S S S S S 232,,--也为等差（等比）数列
§06. 不等式
常用不等式：
,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)
,a b R +∈
⇒2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)
已知y x ,都是正数，则有xy y
x ≥+2
，当y x =时等号成立。

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2
（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2
4
1s
含有绝对值的不等式: b a b a b a +≤+≤-
去绝对值：先讨论绝对值内的正负，若为正，则去掉绝对值后为本身；若为负，取相反数。

指数不等式与对数不等式：
当1a >时, 当01a <<时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩ ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪<⎩
§07. 直线和圆的方程
斜率公式： 21
21
y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）
直线的五种方程：
点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )
斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠))
截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0)
两条直线的平行和垂直
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠
②12121l l k k ⊥⇔=-
（2）1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零
①111
12222
||A B C l l A B C ⇔=≠
②1212120l l A A B B ⊥⇔+=
点到直线的距离：
d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=)
圆的三种方程：
圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=
圆的一般方程 22
0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0) 圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩
直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d 0=∆⇔⇔=相切r d
0>∆⇔⇔<相交r d 弦长=222d r -
其中22B
A C
Bb Aa d +++=
圆与圆的位置关系：
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;
无公切线内含⇔⇔-<<210r r d . §08. 圆锥曲线方程
椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，2
22c b a =-，离心率1<=a c e ，参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩
双曲线：12222=-b y a x (a>0,b>0)，2
22c b a =+，离心率1>=a c e ，参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θtan cos b y a x
抛物线：px y 22
=，焦点)0,2
(p ,准线2p x -=。

抛物线上的点到焦点距离等于它到准线
的距离.参数方程⎩⎨⎧==pt
y pt x 222
双曲线的方程与渐近线方程的关系：
若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：x a
b
y ±=.
若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .
焦半径公式（曲线上一点到焦点的距离）：
椭圆、双曲线：01ex a PF +=，02ex a PF -= 若垂直于x 轴，则a
b PF 2
2= 抛物线：2
||0p
x PF +=
过抛物线焦点的弦长：p x x AB ++=21
焦点三角形：
椭圆：周长2（a+c ） 面积02
2
tan
2
1y c b S F PF ==∆θ
双曲线：面积
2
tan
221θ
b S F PF =
∆
中点弦问题：
椭圆：0202y a x b k -= 双曲线：020
2y a x b k =
§09. 立体几何
证明直线与直线平行的方法：（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
证明直线与平面平行的方法：（1）线线平行⇒线面平行（2）面面平行⇒线面平行 证明平面与平面平行的方法：线面平行（相交直线）⇒面面平行 证明直线与直线垂直的方法：（1）线面垂直⇒线线垂直（2）面面垂直⇒线线垂直（交线） 证明直线与平面垂直的方法：（1）线线垂直⇒线面垂直（相交直线） （2）面面垂直⇒线面垂直
证明平面与平面垂直的方法：(1)线线垂直（相交）⇒面面垂直（2）线面垂直⇒面面垂直
线面角：n a n a n a
⋅==,cos sin ϕ
二面角：2
12
1cos cos n n n n ⋅==θϕ
柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式：
圆柱侧面积=rl π2，表面积=2
22r rl ππ+ 圆椎侧面积=rl π，表面积=2
r rl ππ+
Sh V =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）
1
3
V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）
球的半径是R ，则其体积343
V R π=,其表面积2
4S R π=
棱长为a
,
直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心
§10. 排列组合、二项定理
分类计数原理（加法原理） 分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =+++ 12n N m m m =⨯⨯⨯ 组合数公式：
m n C
=
m n m m A A =!
)1()1(m m n n n +-- (n ∈N *
，m N ∈，且m n ≤) 组合数的两个性质：m
n C =m
n n
C - m n C +1
-m n
C =m n C 1+ 注:规定10
=n C .
二项式定理： n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(
二项展开式的通项公式：r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，
= 二项式系数和：n 2，奇数项（偶数项）的二项式系数和 1
2
-n
各项系数和：赋值法（令x=1）
§11、12. 概率与统计
n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1)
.k k n k n n P k C P P -=- 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++
++
()()E a b aE b ξξ+=+
方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+
()2
D a b a D ξξ+=
二项分布：若()(1)
.k k n k
n n P k C P P -=-则ξ～(,)B n p E np ξ= (1)D np p ξ=-.
正态分布：(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞ ),(~2σμξN μξ=E 2
σξ=D
正态分布曲线下方面积为1且μ为对称轴。

回归直线方程
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑. 相关系数
()(
)
n
i
i
x x y y r --=
∑ ()(
)
n
i
i
x x y y --=
∑|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.若变量间可用一次函数
表示斜率为正，则相关系数r=1，否则r=-1。

§13极坐标与参数方程：
极坐标与直角坐标的转化⎩⎨⎧==y x θρθρsin cos ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=)
0(tan 2
22x x y
y x θρ 直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x 经过点),(000y x P 倾斜角为α，设P 是直线上任一点，则
t 表示有向线段P P 0的长度。