(完整版)三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：
1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2
1,21,21。

二、三角形的内心
定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：
性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯2
1三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；
=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2
190 。

三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的
垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：
1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3
,3C B A
G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；
（2）)(31PC PB PA PG ++=
，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===3
1。

五、三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心。

结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(3
1OC OB OA OG ++=
， 则点G 为ABC ∆的重心。

结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a
（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。

结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(
AC AC AB AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。