运筹学 动态规划2

计算t： 高负荷生产时设备的完好率为a，单台产量为g； 低负荷生产时设备的完好率为b，单台产量为h;
n t 1

i 0
n t g h a ai g (b a ) i 0 i
习题1：
某公司有1000辆运输卡车，在超负荷运输（即每 天满载行驶500km以上）情况下，年利润为25万元 /辆，这时卡车的年损坏率为0.3；在低负荷下运输 （即每天行驶300km以下）情况下，年利润为16万 元/辆。年损坏率为0.1。现要制定一个5年计划，问 每年年初应如何分配完好车辆在两种不同的负荷下 运输的卡车数量，使在第5年年末剩余的完好卡车 数量为500台，并且使在5年内的总利润最大？
有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为w 公 斤，有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的 重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的 物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品 重量（公斤/件） 使用价值
1 w1 c1
2 w2 c2
… … …
i wi ci
… … …
n wn cn
(产量)
V4(s4,x4)
+f5(s5)
f3(s3)=max{8x3+5(s3-x3)+f4(s4)}
0x3s3
=max{8x3+5(s3-x3)+13.6s4}
0x3s3 0x3s3 0x3s3
=max{8d3+5(s3-d3)+13.6[0.7d3+0.9(s3-d3)]} x3 =max{0.28x3+17.24s3}=17.52s3
阶段k： 运行年份（k=1,2,3,4,5）；
状 态 变 量 sk ： 第 k 年 初 完 好 的 机 器 数 （k=1,2,3,4,5）；
决策变量 xk ： 第 k 年投入高负荷运行的机器数； 状态转移方程：sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk) 决策允许集合：Dk(sk)={xk|0xksk}
x1*=0,
x2*=0,
s2=0.7x1+0.9(s1-x1)=900
s3=0.7x2+0.9(s2-x2)=810
x3*=s3=810,
x4*=s4=567, x5*=s5=397,
s4=0.7x3+0.9(s3-x3)=567
s5=0.7x4+0.9(s4-x4)=397 s6=0.7x5+0.9(s5-x5)=278
建立模型：
max Z 4 x1 9 x2 2 x3
x1 x2 x3 xi 0
10 (i 1, 2, 3)
例2 有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每 个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。三 个项目A、B、C的投资效益（万吨）和投入资金 （万元）关系见下表：
g (x
i 1 i
n
i
)
n xi a i 1 x 0 i 1 .2 . . n i
例1 某公司有资金10万元，若投资于项目（i=1,2,3） 的投资额为xi时，其收益分别为g1(x1)=4x1, g2(x2)=9x2, g3(x3)=2x3,问应如何分配投资额才能使 总收益最大？
这就是背包问题。类似的还有运输中的货物装载问 题、人造卫星内的物品装载问题等。
设xi 为第i 种物品的装件数（非负整数）则问题的数 学模型如下：
max Z ci ( x i )
i 1 n
i 1
wi xi w
n)
n
xi 0且为整数(i 1.2.
例1 有一辆最大货运量为10 t 的卡车，用以装载3种 货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表所示。
0x1s1
=max{8x1+5(s1-x1)+20.77[0.7x1+0.9(s1-x1)]}
0x1s1
x1
=max{-0.05x1+23.69s1}=23.69s1
0x1s1
s1
第 s 2 … 1 年
指标值 (产量) V1(s1,x1)
x1*=0
+f2(s2)
由此可以得到：
f1(s1)=23.69s1,
D3(s3)
s4
60x3+f4(s4)
f3(s3)
解：终端条件：f4(s4)=0 k=3时，递推方程为
f3 ( s3 ) max
0 x s3 w3
c3 x3
f 4 (s4 ) max
0 x s3 5
60 x3
X*3 0 0 …
s3 0 1 … 5 … 10
D3(s3) 0 0 … 0 1 … 0 1 2
第二节 生产与存储问题
在生产和经营管理中，经常会遇到要合理 地安排生产(或购买)与库存的问题，达到既要 满足社会的需要，又要尽量降低成本费用。因 此，正确制定生产（采购）策略，确定不同时 期的生产量（或采购量）和库存量，以使总的 生产成本费用和库存费用之和最小，这就是生 产和存储问题的目标。
第三节 背包问题
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效 益最大。
分析： 1、阶段k：每投资一个项目作为一个阶段；
2、状态变量xk：投资第k个项目前的资金数；
3、决策变量dk：第k个项目的投资； 4、决策允许集合：0≤dk≤xk 5、状态转移方程：xk+1=xk-dk 6、阶段指标：vk(xk ,dk)见表中所示； 7、递推方程：fk(xk)=max{vk(xk ,dk)+fk+1(xk+1)} 8、终端条件：f4(x4)=0
0 x4 s4 0 x4 s4 0 x4 s4
max 8x4 5(s4 x 4 ) 8[0.7x 4 0.9(s4 x 4 )] max 1.4x 4 12.2s4 13.6s4
x4 第 s 5 … 4 年
指标值
s4
x s4
* 4
物Fra Baidu bibliotek1
s2
2x2
物品2
S3
5x3
物品3
S4
v1(s1,u1)=60x1
v2(s2,u2)=40x2
v3(s3,u3)=60x3
阶段k： 物品（k=3,2,1）； 状态变量sk：从第k种物品到第3种物品可载重量； 决策变量xk：装第k种物品数量;
决策允许集合：Dk(sk)={xk|0xk[sk/wk]} 状态转移方程：sk+1=sk-wk*xk 阶段指标：vk(sk,xk)=ck*xk
从上题计算结果可以看出：前两年低负荷运行， 后三年高负荷运行。是否有这样的规律，n年的生 产计划，总是前1~t-1年底负荷运行，t~n年高负荷 运行。
一般地，设一个周期为n年，
条件：g(x)、h(x)为线性函数，且g(0)=h(0)=0。
则最优设备分配策略是：从1至t-1年，年初将全 部完好设备投入低负荷运行，从t至n年，年初将 全部完好设备投入高负荷运行，总产量达到最大。
运筹学
第十章 动态规划应用举例
第九章 动态规划应用举例
本章内容
资源分配问题 生产与存储问题 背包问题 复合系统工作可靠性问题 排序问题 设备更新问题 货郎担问题
第一节 资源分配问题
（一）投资分配问题
设总投资额为a万元，拟投资于n个项目上，已知 对第i个项目投资xi万元，收益函数为gi(xi)，问应如 何分配资金才可以使总收益最大？这是一个与时间 无明显关系的静态最优化问题，可先列出其静态模 型为： 据此，有下式： m ax Z
阶段指标： 终端条件：
vk(sk,xk)=8xk+5(sk-xk) f6(s6)=0
递推方程： fk(sk)=max{vk(sk,xk)+fk+1(sk+1)} 0 x k s k =max{8xk+5(sk-xk)+fk+1[0.7xk+0.9(sk-xk)]} 0 x k s k
f 5 (s5 ) max 8x5 5(s5 x 5 ) f 6 (s6 ) max 3x5 5s5 8s5
0 x 5 s 5 0 x 5 s 5
x5
x s5
* 5
s5
第 s 6 … 5 年
指标值 (产量) V5(s5,x5)
+f6(s6)
f4 (s4 ) max 8x4 5(s4 x4 ) f5 (s5 )
0 x4 s4
max 8x4 5(s4 x 4 ) 8s5
s4 0 1 … 5 0 … 10 5 0
60x3+f4(s4) 0+0=0 0+0=0 … 0+0=0 60+0=60 … 0+0=0 60+0=60 120+0=120
f3(s3) 0 0 …
60
… 120
1
… 2
k=2时，递推方程为
作业 某公司有资金8万元，投资A、B、C三个项 目，单位投资为2万元。每个项目的投资效益率与 投入项目的资金有关。三个项目A、B、C的投资 效益（万吨）和投入资金（万元）关系见下表：
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效 益最大。
（二）机器负荷分配问题
例3 某种机器可以在高、低两种负荷下运行。在高 负荷条件下运行时，机器完好率为0.7，即如果年初 有u台完好机器投入运行，则年末时完好机器的数量 为0.7u台，产量8吨/台；在低负荷下运行时，机器 完好率为0.9，产量5吨/台。设开始时有1000台完好 机器，要制订五年计划，每年年初将完好的机器一 部分分配到高负荷运行，剩下的机器分配到低负荷 运行，如何分配生产使五年的总产量为最高。
s3
第 s 4 … 3 年
指标值 (产量) V3(s3,x3)
x3*=s3
+f4(s4)
f2(s2)=max{8x2+5(s2-x2)+f3(s3)}
0x2s2
=max{8x2+5(s2-x2)+17.52s3}
0x2s2
=max{8x2+5(s2-x2)+17.52[0.7x2+0.9(s2-x2)]} x2
物品
重量（公斤） 使用价值
1 2 3 3 2 5 60 40 60
应如何装载可使总价值最大？ 例题：求下面背包问题的最优解
max Z 60 x1 40 x2 60 x3 3 x1 2 x2 5 x3 10 x1 , x2 , x3 0且为整数
分析：
状态s1
3x1
该例题对S6没有限制，有时会对最后一年年末 完好设备数施以约束，例如S6〉=300。 这时决策变量x5的决策允许集合为：
D5 (S5 ) X 5 | 0.7 X 5 0.9(S5 X 5 ) 300, X 5 0
即 下面数需重新算
0 X 5 4.5S5 1500
k=4，f4(x4)=0 k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3
k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2
k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1
最优解为 x1=4, d1*=1, x2=x1-d1=3, d2*=0, x3=x2-d2*=3, d3=3, x4=x3-d3=0， 即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3 万元，最大效益为60万吨。
递推方程： fk(sk)=max{ck*xk+fk+1(sk+1)} 边界条件：f4(s4)=0
解：终端条件：f4(s4)=0 k=3时，递推方程为
f3 ( s3 ) max
0 x s3 w3
c3 x3
f 4 (s4 ) max
0 x s3 5
60 x3
X*3
s3
0x2s2
=max{-0.504x2+20.77s2}=20.77s2
0x2s2
s2
第 s 3 … 2 年
指标值 (产量) V2(s2,x2)
x2*=0
+f3(s3)
f1(s1)=max{8x1+5(s1-x1)+f2(s2)}
0x1s1
=max{8x1+5(s1-x1)+20.77s2}
x1
x2
x3
x4
x5
s1
第 s 2 1 年
指标值
(产量) V1(s1,x1)
第 s 3 2 年
指标值
(产量) V2(s2,x2)
第 s 4 3 年
指标值
(产量) V3(s3,x3)
第 s5 4 年
指标值
(产量) V4(s4,x4)
第 s 6 5 年
指标值
(产量) V5(s5,x5)
动态规划模型构造
f2(s2)=20.77s2, f3(s3)=17.52s3, f4(s4)=13.60s4, f5(s5)=8s5
x1*=0
x2*=0 x3*=s3 x4*=s4 x5*=s5
用s1=1000代入，得到五年最大产量为 f1(s1)=f1(1000)=23690
每年投入高负荷运行的机器数以及每年初完好的机 器数为： s1=1000