三角形的外接圆PPT课件
三角形的外接圆-九年级数学上册教学课件(人教版)
2.三角形的外心：
B
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
A
●O C
反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已 知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证 法．
F
有且只有
A
B
●
o
C
G
试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
O C
B
1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___， △ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
2.三角形的外心：
B
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
D
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
P
l1
l2
A
B
C
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以
作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在
线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直 平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l， l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一
接OC，则OA=OB=OC. ∴O是斜边AB 的中点. ∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm.
B
O
A
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___， △ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
等边三角形PPT课件
03
02
特点
04
三个内角均为60°。
任意两边之和大于第三边。
05
06
任意一边都小于另外两边之和。
与其他三角形关系
03
与等腰三角形的关系
与直角三角形的关系
与其他三角形的比较
等边三角形是特殊的等腰三角形，其中两 条等腰边长度相等且等于第三边。
等边三角形不是直角三角形，因为其三个 内角均为60°，不满足直角三角形的定义 （有一个90°的内角）。
相比于其他三角形，等边三角形的三边长 度相等，三个内角也相等，具有独特的对 称性和稳定性。
性质总结
对称性
等边三角形具有轴对称性，即关于其三 条中垂线（同时也是角平分线和高线） 中的任意一条都具有对称性。
稳定性
由于三边长度相等，等边三角形在几何 形状中具有很高的稳定性，不易变形。
内角和
等边三角形的内角和为180°，每个内角 均为60°。
根据三角形面积公式 $S = frac{1}{2} times text{ 底} times text{高}$，代 入底和高，得到 $S = frac{1}{2}a times frac{sqrt{3}}{2}a = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 。
周长计算公式推导
01
等边三角形周长公式：$P = 3a$，其中 $a$ 为等边三角
形的边长。
02
推导过程
03
由于等边三角形的三条边长 度相等，因此周长等于边长
乘以3，即 $P = 3a$。
典型例题解析
01
例题1
已知等边三角形的边长为 4 cm，求其面积和周长。
02
解析
根据等边三角形面积公式 $S = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 和周长 公式 $P = 3a$，代入 $a = 4$
三角形的外接圆1
§24.2.1 三角形的外接圆
问题情境
问题1：要确定一个圆就必须确定 圆的 半径 和 圆心 和。
问题2：平面内几点可以确定一个 圆？
过一点作圆
探究(1)
.
A
1.过一个已知点A如何作圆?
结论：过一点可以画无 数个圆
过两点作圆
探究(2)
过已知两点A、B如何作圆?
. ..Ｂ.... . Ａ
过Ａ,Ｂ两点有无数个圆,圆心都在线段AB
课堂作业： 1.如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,则这 个直角三角形的外接圆半径是多少?
2，如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求 它的外接圆半径.
（提示：设外接圆的半径为r,则BD=3，OA=OB=r.在Rt△ABD中，利用勾 股定理求出AD的长，然后在Rt△OBD中利用勾股定理求出r）
点。
操作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形 内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图 说明。
C
C
AO
AO
O
C
B
B
AB角形的外心在斜边中点；钝角三角形
的外心在三角形外。
典型例题
例1.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若 AC=12cm， BC=5cm，求的外接圆半径.
的中垂线上.
问题3：要经过不在同一直线上的三点作 一个圆，如何确定这个圆的圆心？
C O A B
不在同一直线上的三个点确定一个圆
C
O A
B
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这 个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫 做这个三角形的外心，外心是三角形三边垂 直平分线的交点。
C O A
B
外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 外心的构成：外心是三角形三边垂直平分线的交
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
全效优等生
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
三角形的特性优秀ppt课件
三角形在平行四边形和梯形中应用
三角形与平行四边形的联系
任意平行四边形可以划分成两个全等的三角形，因此平行四边形的性质可以通 过三角形来推导。例如，平行四边形的对角线互相平分，可以通过三角形全等 来证明。
三角形在梯形中的应用
梯形可以划分成一个平行四边形和两个三角形，或者两个三角形和一个矩形。 因此，三角形的性质在梯形中同样有广泛应用。例如，利用三角形的相似性质 可以证明梯形的中位线定理。
三角高程测量
利用三角形的边长和角度关系，通过测量两点间的水平距离和天 顶距，计算两点间的高差。
三角测距
在无法直接测量两点间距离时，可以通过测量三角形的一边和两角 ，利用三角函数计算得出两点间的距离。
三角定位
通过测量目标点与两个已知点之间的角度，可以确定目标点的位置 。
航海航空中方向定位
航向定位
在航海中，利用三角形原理通过测量两个已知点（如灯塔）的方位 角，可以确定船只的位置和航向。
边的平方。可以通过多种方法进行证明，如面积法、相似三角形法等。
02 03
勾股定理的应用举例
利用勾股定理可以解决直角三角形中的各种问题，如求边长、角度、面 积等。例如，已知直角三角形的两条直角边长度，可以求出斜边长度和 面积。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长满足勾股定理的条件，则这个三角形一定是直角三 角形。逆定理为我们判断一个三角形是否为直角三角形提供了依据。
三角形的稳定性
当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小也就唯 一确定了，这种性质称为三角形的稳定性。
与其他多边形的比较
相比于其他多边形，三角形具有更强的稳定性，因为它的 三个顶点在确定之后，整个图形的形状和大小也就确定了 。
应用领域
三角形的外接圆半径和内切圆半径 PPT
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径得求法: 直角三角形外接圆、内切圆半径得求法
B
外接圆半径R= c 2
c
O a
内切圆半径r= ab
I
a+b+c A
b
C
等边三角形外接圆、内切圆半
径得求法
基本思路:
A
构造三角形BOD,BO为外接圆
半径,DO为内切圆半径。
RO
A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形得内心不一定在三角形得内部 C、等边三角形得内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
小结与质疑:
1、会画出已知三角形得外接圆和内切圆。 2、三角形得外心及内心。 3、求特殊三角形得外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
三角形得外接圆得圆心是各边 垂直平分线得交点;其半径是交点 到顶点得距离。
三角形得内切圆得圆心是各内 角平分线得交点;其半径是交点到 一边得距离。
三角形得外接圆:
A
O
B
C
三角形得内切圆:
A
I
B
C
二、三角形得外心与内心
对照画出得图形,讨论解决下列问题:
1、什么是三角形得外心与内心? 2、试比较三角形得外心与内心得区别,并填写下表:
径为R,则
a sin Aபைடு நூலகம்
b sin B
c sin C
2R
BC 2R a,而sin A=1，
a 2R
sin A
A
O C
A 900
三角形得外接圆
设 ABC 得外接圆得半径为R,则 A
当A 900，过B作直径交于D
由A=D得
D O
sinD= a sin A
三角形外接圆画法原理
三角形外接圆画法原理
三角形外接圆怎么画（三角形外接圆）
1、三角形内切圆的圆心是三个角角平分线的交点。
2、外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点。
3、具体做法：角分线：用圆规从一个角的顶点出发，在这个角的两边取相同长度的距离并做记号，然后分别以边上的两个记号为圆心，以等长的半径做圆（半径要保证两圆相交），过两圆的两个交点（或过其中一个交点和这个角的顶点）做一条直线。
4、这条直线即将这个角平分（即角的平分线）做出3个角的角分线，交点是唯一的即内切圆圆心(原理就是角平分线上一点到角的两边的距离相等）垂直平分线：（以线段为例，可以看作是三角形一边）分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。
5、做3个边的垂直平分线，取交点为圆心以交点到三角形各顶点的距离为半径做圆，得三角形外接圆。
6、原理是在一个圆中，经过一条弦的中点的半径必垂直于这条弦。
7、每种三角形都适用。
三角形内切圆外接圆的关系
三角形内切圆外接圆的关系一、内切圆和外接圆的定义1.内切圆：一个圆能够同时和三角形的三边相切，这个圆就被称为三角形的内切圆。
内切圆的圆心称为内切圆圆心。
2.外接圆：一个圆能够同时和三角形的三个顶点相切，这个圆就被称为三角形的外接圆。
外接圆的圆心称为外接圆圆心。
二、内切圆和外接圆的关系1.内切圆和外接圆的圆心是同一点。
即内切圆圆心就是外接圆圆心，这个点称为三角形的垂心。
2.内切圆和外接圆的半径之间存在一定的关系。
设三角形的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则有：R = (a + b + c) / (4 * r)同时，根据三角形的面积公式，有：S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)将R的表达式代入上式，可以得到：(1/2) * a * r = (1/2) * ((a + b + c) / (4 * r)) * (a + b + c)化简后可得：r^2 = (a + b + c) / (4 * a)三、内切圆和外接圆的性质1.三角形的内切圆圆心、外接圆圆心和垂心是同一点。
2.三角形的内切圆和外接圆的半径之间存在固定的比例关系，即R = (a + b + c) / (4 * r)。
3.三角形的面积可以用内切圆半径和外接圆半径表示，即S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)。
4.内切圆和外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。
四、内切圆和外接圆的应用1.在解决三角形相关的问题时，可以利用内切圆和外接圆的关系来简化计算。
2.内切圆和外接圆的性质在证明几何问题时非常有用，可以帮助我们找到证明的线索。
3.在实际应用中，如建筑工程、土地测量等领域，内切圆和外接圆的关系可以帮助我们快速计算三角形的面积和其他相关参数。
习题及方法：1.习题：设三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，且AB=6,BC=8, AC=10。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆与内切圆是与之密切相关的概念。
本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关定理，帮助读者深入理解这两个圆的特点和作用。
一、外接圆的定义及性质外接圆是指能够完全包含三角形的圆，圆心在三角形的外部。
下面以三角形ABC为例，说明外接圆的构造和性质。
构造外接圆的方法之一是利用三角形的垂直平分线。
从三角形ABC 的三个顶点A、B、C分别作垂直平分线，垂直平分线的交点即为外接圆的圆心O，连接OA、OB、OC即可构成外接圆。
外接圆的性质如下：1. 三角形的三条边的中垂线交于同一点，即外接圆的圆心是中垂线的交点。
2. 外接圆的半径等于任意一条边的垂直平分线到边的中点的距离。
3. 外接圆的直径等于三角形的任意一边。
二、内切圆的定义及性质内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，圆心在三角形的内部。
下面以三角形ABC为例，说明内切圆的构造和性质。
构造内切圆的方法之一是利用三角形的角平分线。
从三角形ABC的三个顶点A、B、C分别作角平分线，角平分线的交点即为内切圆的圆心I，连接IA、IB、IC即可构成内切圆。
内切圆的性质如下：1. 内切圆的圆心I是三角形的内角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的交点到三角形各边的距离。
3. 内切圆的半径与三角形的三条边的切点分别连成的线段相互连通，构成的三个三角形面积相等。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆的位置和关系是数学中的一个重要问题。
接下来我们将介绍外接圆与内切圆的关系及相关定理。
1. 对于任何一个三角形，外接圆的半径大于或等于内切圆的半径。
2. 对于等边三角形，外接圆和内切圆重合，半径相等。
3. 对于等腰三角形，内切圆的半径等于底边中线的长度。
4. 外接圆的半径等于内切圆的半径与三角形的半周长之和的一半。
结论：外接圆与内切圆的半径之间存在一定的关系，可以通过这个关系推导出三角形的相关性质。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的特性。
其中两个与三角形密切相关的圆形是外接圆和内切圆。
在本文中，我们将探讨这两个圆形在三角形中的性质和应用。
一、三角形的外接圆外接圆是经过三角形三个顶点的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心与三角形三个顶点A、B、C 共线，且圆的半径与三条边AB、BC、CA之间的距离相等，那么这个圆就是该三角形的外接圆。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条垂直平分线的交点上，这个交点被称为三角形的外心。
2. 外接圆的半径等于三角形任意一边的垂直平分线到该边的距离。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边长度。
外接圆的性质使得它在几何学中具有广泛的应用。
例如，外接圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
二、三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心到三角形三条边上的点的距离都相等，那么这个圆就是该三角形的内切圆。
内切圆具有以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点上，这个交点被称为三角形的内心。
2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的长度之和除以三角形的周长的一半。
与外接圆类似，内切圆也在几何学中有广泛的应用。
例如，内切圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
三、外接圆和内切圆之间的关系在一个三角形中，外接圆和内切圆有一定的关系。
具体来说：1. 外接圆的圆心、内接圆的圆心和三角形的重心（三条中线交点）共线。
2. 外接圆的半径是内接圆半径的两倍。
这些关系使得外接圆和内切圆在解决几何学问题时相互配合，提供了更多的几何性质和可用的信息。
综上所述，三角形的外接圆和内切圆是与三角形密切相关的两个圆形。
它们具有特定的性质和应用，能够帮助我们解决各种几何学问题。
三角形中的内切圆与外接圆性质
三角形中的内切圆与外接圆性质三角形是几何学中的基础概念之一，而与三角形密切相关的内切圆和外接圆更是常见的几何形状。
本文将介绍三角形中的内切圆和外接圆的性质，以及它们与三角形的关系。
一、内切圆性质内切圆指的是与三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
我们先来看一下内切圆的性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的角平分线的交点上。
三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的一条线段。
内切圆的圆心恰好位于三角形的三个角的平分线的交点上。
2. 内切圆的半径和三角形的三条边之间存在特定的关系。
设三角形的三个边长为a、b、c，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r与三条边有以下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)]/s其中，s = (a+b+c)/2是三角形的半周长。
3. 内切圆与三角形的接触点构成一个等边三角形。
内切圆与三角形的接触点是指内切圆与三角形的三条边相切的点。
这些接触点构成的三角形是一个等边三角形，即三条边的长度相等。
二、外接圆性质外接圆指的是可以将三角形的三个顶点放到一个圆上的圆。
接下来我们来介绍一下外接圆的性质。
1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
三角形的垂直平分线是指从一个顶点出发，与对边垂直且平分对边的线段。
外接圆的圆心位于三个垂直平分线的交点上。
2. 三角形的三条边是外接圆上的弦。
外接圆的弦是指连接圆上两点的线段。
三角形的三条边恰好是外接圆上的三条弦。
3. 外接圆的半径等于外接圆的直径，即三角形三个顶点与外接圆圆心的距离都相等。
三角形的三个顶点与外接圆圆心的距离相等，且等于外接圆的半径。
三、内切圆与外接圆的关系三角形中的内切圆与外接圆之间存在一定的关系。
1. 内切圆的圆心、外接圆的圆心和三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上。
内切圆和外接圆的圆心以及三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上，这条直线被称为欧拉直线。
2. 内切圆的半径是外接圆半径的一半。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形相关的内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆。
本文将介绍三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
一、内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，它的圆心与三角形的三条边的交点共线，且圆心到三角形的三条边的距离相等。
内切圆的半径称为内切圆半径，内切圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，内切圆半径r的计算公式如下：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)其中，sqrt表示开平方根运算。
二、外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
外接圆的半径称为外接圆半径，外接圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，外接圆半径R的计算公式如下：R = (a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。
三、性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，且圆心和三条边的交点共线。
2. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
3. 内切圆的半径r满足r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)，其中s为三角形半周长。
4. 外接圆的半径R满足R = (a*b*c)/(4*Δ)，其中Δ为三角形的面积。
四、应用1. 内切圆和外接圆常用于计算三角形的性质和求解三角形的相关问题，例如三角形的面积、周长等。
2. 内切圆和外接圆可以帮助确定三角形的形状和位置，进一步研究三角形的几何性质。
3. 内切圆和外接圆在工程、建筑、地理等领域中有广泛的应用，例如地图绘制、建筑设计等。
五、总结本文介绍了三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆，它们在几何学和实际应用中有重要的地位。
深入理解和应用内切圆和外接圆的概念，可以帮助我们更好地研究和解决与三角形相关的问题。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条线段组成，且任意两边之和大于第三边。
在三角形的研究中，外接圆和内切圆是重要的概念。
一、外接圆外接圆是指能通过三角形的三个顶点构成的圆，它的圆心位于三角形外部，但与三角形的每一条边都相切。
在研究外接圆时，我们首先需要了解外接圆的性质。
根据外接圆的定义，我们可以得到以下结论：1. 外接圆的半径等于三角形三条边的中线的乘积除以四倍三角形的面积。
这是外接圆半径的一个重要计算公式。
2. 三角形的三条高线的交点即为外接圆的圆心。
这意味着圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 外接圆的直径等于三角形的周长。
有了这些性质，我们可以利用它们来解决一些与外接圆相关的问题。
比如，我们可以通过外接圆的半径和圆心，求解三角形的面积。
我们还可以利用外接圆与三角形边的关系，推导出其他几何问题的解决方法。
外接圆的研究不仅能帮助我们深入理解三角形的特性，还可以为其他几何形状的研究提供一些启示。
二、内切圆与外接圆相反，内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，它的圆心位于三角形的内部。
内切圆也有一些重要的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
这也是内切圆半径的计算公式。
2. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点。
这说明圆心是三个顶点的角平分线的交点。
内切圆与外接圆一样，可以用来解决一些几何问题。
通过内切圆和三角形的关系，我们可以推导出一些有关三角形的性质。
例如，我们可以利用内切圆半径和圆心的位置，求解三角形的高和角平分线的长度。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆是三角形内在的两个圆，它们之间存在一些有趣的关系。
首先，外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
这是因为内切圆的圆心与三角形的三个顶点相辐，而外接圆的圆心位于三角形三个顶点的角平分线的交点。
根据角的性质，我们可以得知外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
其次，外接圆和内切圆的圆心与三角形的关系也非常特殊。
人教版数学九年级上册课件2三角形的外接圆
A
o●
完成填空：
B
C
如图：⊙O是△ ABC的 外接 圆， △ ABC 是⊙O的 内接 三角形，O是△ ABC的 外 心，它是三边垂直平分线的交点，到三角形 的 三个顶点 的距离相等。
思考：一个三角形的外接圆有几个？ 一个
一个圆的内接三角形有几个？无数个
随堂练习
1.判断正误
（1）经过三个点一定可以作圆. 1、经过三点一定可以作圆。
经过三角形三个顶点可以画
如图1中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．
(1)四个点在同一条直线上：
圆 掌,握并不且在只一能条画直线个上.的三点确定一个圆,能A画出三角形的外接B圆,求出特殊C三角形的D外接圆的半径，
三角形的外心的位置和三角形的形状有关系吗?
4、经过不在同一直线上的四点能作一个圆。
●A
B●
●C
小结与归纳
◆不在同一直线上的三点确定一个圆。 ◆求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、 等腰三角形的外接圆半径。 ◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。
交本作业：
1.如图，点O是△ABC的外心，∠A=72°，
求∠BOC的度数. 2）当三点A、B、C在同一直线上时，可以作几个圆？
填空：
1、在△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=3㎝,则
△ABC外接圆的半径是＿3＿㎝＿
2、在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，三角形 的外心在BC＿中＿点＿上，半径长为6.＿5 ＿＿
3、△ABC内接于⊙O，三角形三边把⊙O分成1:2:3. 则这个三角形是—直—角————三角形
Ａ
.Ｏ
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方程的思想，希望同学们能够掌握这种
方法，领会其思想。
.
13
作业
1，基础训练66页，课堂练习， 课后训练1-5
.
14
.
15
.
16
.
17
探究四
（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗 ？
P
l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、
B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P，那么点P既在线段AB的垂直
平分线l1上，又在线段BC的垂直平
l2
分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过
一点有且只有一条直线与已知直线
C 垂直”相矛盾，所以过同一条直线上
的三点不能作圆．
.
18
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然 后由此经过推理得出矛盾(常与公理、 定理、定义或已知条件相矛盾)，由 矛盾判定假设不正确，从而得到原 命题成立，这种方法叫做反证法．
一个三角形的外接圆有几个？
一个圆的内接三角形有几个？
.
6
跟踪练习
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆
(√ ).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形
( ×)
(3)经过三点一定可以确定一个圆( ×)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离
相等( √)
.
7
2.如图，已知等边三角形ABC中， 边长为6cm，求它的外接圆半径。
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A
A
B
B
A
B
B
D
C
D
C
D
C
D
C
.
21
例3：在⊙O中，点M到⊙O的最小距 离为3，最大距离是19，那么⊙O的半 径为（ 11或8）
B
B
O
A M
.
O M A
22
A
A
A
●O
●O
●O
锐B角三角形的C外心B┐位于三角C 形内,B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于. 三角形外.
10
跟踪练习
1、若一个三角形的外心在一边上，则此三
角形的形状为( B )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三C角形
2.如图,已知
Rt⊿ABC 中 AC=12c
.
1
知识回顾
1、一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上，这个多边形叫做 圆内接多边形。 2、圆内接四边形的对角
互补
.
2
探究 问题1.平面上有一点A，经过已知
A点的圆有几个？
●
AO O ●
O O ●
●
●
●
O
无数个
.
3
问题2.平面上有两点A、B，经过 已知点A、B的圆有几个？它们的圆 心分布有什么特点？
归纳结论：
不在同一条直线上的. 三个点确定一个圆。5
经经过过三三角角形形三三个个顶顶点点可可以以画画一一个个圆圆，吗并？且
只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三
A
角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫做这个
三角形的外心。
B
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
●O ●O ●O
无数个。它们的圆心都在线段AB的
垂直平分线上。
.
4
问题3.经过不在同一直线上的三点A、B、C， 能不能作圆？如果能，如何确定圆心？
经过A,B,C三点的圆的圆心
是线段AB、BC的垂直平分
线的交点O.
A●
则OA=OB=OC
┏ ●O
问题4.经过在同一直线上的 B●
C●
三点A、B、C能不能作圆？
， m
若，B
BC=5cm，则它 的
A
外接圆半径为__cm。.
11
3、已知：在△ABC中，AB＝13， BC＝12，AC＝5，求△ABC的外 接圆归纳
◆不在同一直线上的三点确定一个圆。
◆求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、 等腰三角形的外接圆半径。
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了
正三角形的高 、外接圆半径 、 边心距之比为
多3：少2？：1
B
.
A
O
D
E
C
8
3、已知：在锐角△ABC 中，AB＝ AC=10，BC＝12，求△ABC外接 圆⊙O的半径r。
.
9
动手画一画，找一找
分别画一个锐角三角形、直角三角形和
钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察
并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
.
19
反证法常用于解决用直接证法不易 证明或不能证明的命题，一般步骤 步骤：
(1)假设原命题不成立； (2)推出与已知或定理、公里事实矛盾的结论； (3)假设不正确.
.
20
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？ 请举例说明.
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；