高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀

an
2n ， 2n-1，
n为奇数 n为ppt课偶件 数
课堂小结：
一．等差数列的性质 二．等差数列的应用
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bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
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练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2来自百度文库n ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
{为p常a数n，q若数bn列}{为a 等n } 差、{ b数n 列} 均. 为等差数列，
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二．应用
例1．已知数列{ a
令bn
1 an
n
}
2
满足 .
a14,an
4 4(n2), an1
（1）求证：数列 { b n } 为等差数列；
（2）求数列 { a n } 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{ b n } 是不是等差数列，
只要看 bnbn1(n2)是不是一个与n 无关的
等差数列
郑州一中
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第二课时
一、等差数列的性质
已知数列{ a n } 为等差数列，那么有 性质1：若 m ,p,n(m ,p,nN*)成等差数列，则
a m , a p , a n 成等差数列.
证明：根据等差数列的定义， m ,p,n成 等 差 数 列 , p m n p , (pm )d(np)d.
得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
apamanap.
即 a m , a p , a n 成等差数列.证毕. 如 a1, a6, a11成等差数列，a 3 , a 6 , a 9 成等差数列.
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性质2：设 k,m N*，则 ak,akm,ak2m, 成等差数列.
性质3：设m,n,p,qN*，若 mnpq,则
aman apaq.
常数就行了.
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证明（1） ：
an
4a4n1,bn
1, an2
bnbn1an1 2an1 1241 42an1 12
1.
an1
2
数 列 { b n } 为 等 差 数 列 ， 公 差 为 1 2 ， 首 项 为 b 1 a 1 1 2 1 2 .
解（2）：由（1）知，bn b112(n1)n2, 代入
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数 列 {an}成 等 差 数 列 ,
an2 (n 1 ) 1 n2 1 .
an (n 21)2.
（2） an21, an1 2an 2 an
数列}成等差数列. an
11
1(n1) (n1).
an
22
2
a n
n
. 1
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（3）b 数 n 列 1 {b1n} 成 b等 n1差 b数 n,列.bn1
1 bn
1.
bn
1(n1)(1)3n.
bn 2
2
bn
2 3 2n
.
小结：直接求解通项公式比较困难，但是可以构造辅助 数列，间接利用等差数列的性质来求复杂数列的 通项公式.
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例2．已知数列{ a n } 中，当 n 为奇数时 an1 an 1;
当n 为偶数时an1 an 3, 且 a1 a2 5,
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
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解：由
a1 a2 5, a2 a1 1