高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀
2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。
高一数学精品教案(二)等差数列
高一数学精品教案（二）等差数列一、知识点提要：1．等差数列定义：a n+1－a n =d （常数），即从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d 表示，称为公差.当d=0时，数列为常数列. 2．通项公式：a n =a 1+(n －1)d3．前n 项的和：)0(2)1(2)(11≠-+=+=d d n n na a a n S n n1na S n = （d=0）4．等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a,b 的等差中项，且2b a A +=5．等差数列的性质：（1）数列{a n }成等差数列，则 ①a n =a m +(n －m)d(m,n ∈N*)②若m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N*) 特别地：若2t=p+q ，则2a t =a p +a q（2）证明数列{a n }成等差数列的方法： 定义法：a n+1－a n =d （常数） 中项法：2a n+1=a n +a n+2. 二、重点难点突破：1．由等差数列的通项公式a n =a 1+(n －1)d 可知a n 是n 的一次函数，所以{a n }成等差数列B An a n +=⇔.2．由等差数列的前n 项的和公式2)1(1-+=n n na S n 可知{a n } 成等差数列.2Bn An S n +=⇔3．等差数列的前n 项的和S n 还有如下特点：（1）前m 项的和记为S 1，次m 项的和记为S 2，再m 项的和记为S 3……则数列{S n }也成等差数列.（2）若n 为奇数，则21+=n n na S ；n 为偶数则)(2122++=n n a a n n ；.21nd S S =-奇偶三、热点考题导析例1．在等差数列中，a 6+a 9+a 12+a 15=20，求S 20. 思路一：比较S 20与已知条件.解法一：∵a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴4a 1+(5+8+11+14)d=20， ∴2a 1+19d=10，又),192(220120d a S +=∴S 20=100. 思路二：利用等差数列的性质.∵a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20，又由a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴a 1+a 20=10，∴100)(22020120=+=a a S . 教师点评：在公式d n n na S n 2)1(1-+=中有4个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于2)(1n n a a n S +=如果求到1+a n ，也可以免去求a 1和d.本例中就无法确定a 1和d 的值.有时还可以设出S n =an 2+bn ，利用已知条件确定两个系数a 和b.再看例2．四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，然后列出a 、d 的方程组求解.解：设此四个数依次为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，依题意，得⎩⎨⎧+++-=+++++-=+-)53)(3()3()3)(43()3(22d a d a d a d a d a d a ∴ ⇒⎩⎨⎧=-+-=---0622403422d a d d a d{10==d a 或 {3=-=d a （不合舍去） ∴此四个数为―3，―1，1，3. 教师点评：这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为a －d ，a,a+d ，这种对称设元法可以简化运算.例3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0. （1）求公差d 的取值范围.（2）指出S 1，S 2，S 3，……，S 12中那个值最大，并说明理由. 解：（1）依题意，有{{6011202121313021112120011111312<+>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒<>d a d a d a d a S S 将a 3=a 1+2d=12代入得： 3724-><-d （2）由S 12=6（a 6+a 7）>0，S 13=13a 7<0. 即a 6+a 7>0，a 7<0，故a 6>0，∴S 6最大.教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a 1>0,则前n 项的和S n 存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a 1<0且递增，则S n 存在最小值. 学生演板（1）{a n }为等差数列，且a n >0(n ∈N*)S 3=S 11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7）（2）已知等差数列{a n }中，S m =S n (m ≠n)，求)0,021(1==-++⋅++n m n m S d n m a S 例4．两个等差数列{a n }，{b n }它们的前n 项和之比为1235-+n n 求这个两个数列第9项之比.分析：可直把S n 代入，把分子、分母变成通项的形式.解：（法一）d n b dn a d n n nb d n n na S S nn '-+-+='-+-+='21212)1(2)1(1111 令821=-n ∴n=17 ∴991717b a S S =' 而383811723175991717==-⨯+⨯='b a S S （法二）38117231752/)(172/)(17171717117117117199=-⨯+⨯='=++=++=S S b b a a b b a a b a 教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质(2)从而沟通了a n 与S 2n －1的关系.本题其实求任何的a k ∶b k 都可以.例5．已知数列{a n }中，a 1=1，)2(122≥-=n S S a n nn 求这个数列的前n 项的和S n .解：当n ≥2时，1212--==-n n n n nS S a S S ，∴1121222))(12(2---+--=--=n n n n n n n n n S S S S S S S S S ， ∴n n n n S S S S -=--112，即,2111=--n n S S ∴数列}1{n S 是首项为11111==a S 公差为2的等差数列， 122)1(111-=⨯-+=∴n n S S n ，故121-=n S n 教师点评：（1）n ≥2时，a n =S n ―S n ―1反映通项与前n 项的和的联系； （2）注意}1{nS 是等差数列利用性质求出S n . 例6．是否存在常数k 和等差数列{a n }，使Ka n 2―1=S 2n ―S n+1，其中S 2n ，S n+1分别是等差数列{a n }的前2n 项，前n+1项的和.若存在，试求出常数k 和{a n }的通项a n ；若不存在，请说明理由.解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k.假设存在.设a n =pn+q(p,q 为常数)，则Ka n 2―1=kp 2n 2+2kpqn+kq 2―1,),()2(23,)1(21212q p n pq pn S S qn n pn S n n n +--+=-++=+ 则),()2(23122222q p n pq pn kq kpqn n kp +--+=-++故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--==)(1222322q p kq pq kpq p kp 由①得p=0或23=kp 当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p ≠0把23=kp 代入②，得;4p q -=把4p q -=代入③，又6481,2782732,23=-===k q p kp 从而得故存在常数=6481及等差数列2782732-=n a n 满足题意 四、课堂练习（1）在等差数列{a n }中，a 3+a 7―a 10=8,a 11―a 4=4.记S n =a 1+a 2+ ……+a n ，求S 13（156） （2）数列{a n }的前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n (n ∈N*)，则这个数列一定是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列 （A ）（3）设等差数列{a n }前n 项的和为S n ，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列的通项公式. （5325121+-==n a a n n 或）五、高考试题 （1）（2000年春季北京、安徽，13）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+…+a 101=0，则有（ ） A ．a 1+a 101>0 B ．a 2+a 100<0 C ．a 3+a 99=0 D ．a 51=51 答案：选 C分析：.0,0)(210109399310121=+∴=+=+++a a a a a a a 即① ② ③（2）（20XX 年全国理，3）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案：选B分析：∵前三项的和为12，∴a 1+a 2+a 3=12，332S a =∴ a 1a 2a 3=48，∵a 2=4，∴a 1a 3=12，a 1+a 3=8，把a 1,a 3作为方程的两根且a 1<a 3，∴x 2－8x+12=0，x 1=6，x 2=2，∴a 1=2，a 3=6.（3）（2000年全国文，18）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项的和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列}{nS n的前n 项的和，求T n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则,75,7,)1(211571==∴-+=S S d n n na S n{{=-+=∴=-==+=+=+=+∴d n a n S d a d a d a d a d a n )1(21.1,2571375105157217111111解得即 .4941211).1(21221n n T n S n S n n n n -=∴=-+-+-+评注：本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能；运算能力. 六、考点检测（1）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项的和之比为2732，则公差d=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2）等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 （3）100与200之间所有是7的倍数但不是2的倍数的自然数之和为 .（4）二数列{a n }，{b n }满足a n +a m =a m+n ，b n b m =b n+m ,(m,n ∈N*)、若a 1=1，则a n = .若b 1=2,则b n = .（5）数列{a n }的通项为a n =33－2n 。
人教A版(2019)高中数学《数列的概念》优秀课件2
2 此时，我们把A叫做a和b的等差中项.
a和b的等差中项是它们的算术平均数.
人教A版（2019）高中数学《数列的概 念》优 秀课件 2（公 开课课 件）
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(4) 0，1，0，1，0，1.
不是，1－0＝1，0－1=－1；
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追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b
成等差数列，那么A应满足什么条件？
解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3. 当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n. 于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.
追问1：还有其他方法求公差d吗？
分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以数 列中每一项与它前一项的差都等于公差d.由于 已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为 公差d.
等差数列的概念（1）
事实 下定义 表示方法 性质 特殊元素
问题1 什么是等差数列呢？
追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？
人教A版（2019）高中数学《数列的概 念》优 秀课件 2（公 开课课 件）
(1) 北京天坛圜丘坛的地面石板数： 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
项与前一项的差都等于同一个常数. 38，40，42，44，46，48． ② ✔ 25，24，23，22，21． ③ ✔
高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用
高一数学复习考点知识讲解课件第2课时等差数列前n项和的性质及应用考点知识1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．二、等差数列中前n 项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ， 解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找； ②运用二次函数求最值．跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解(1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15， 所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？ 提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列． 知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法三由⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110， 则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫－9910＝－1110， 所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1110＝－1， 所以S 110＝－110.方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，S mm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝S mm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案D解析∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()A ．12B ．18C ．24D ．30答案D解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两B.845两C.865两D.885两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得 设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，d ＝－85.所以长兄分得865两银子．4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.答案2018解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.∴S 20212021＝2018.课时对点练1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120答案B解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100.2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值答案B解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列．令a n＝0，得n＝192.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于()A ．1010B ．1011C ．2020D ．2021答案A解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010.5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A ．45B ．36C ．28D ．21答案D解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×()6＋12＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.答案－13解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S 9－S 6＝5.9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12等于() A.18B.726C.14D.12答案C解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ，所以S 6S 12＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于()A ．6B ．7C ．6或7D ．13答案C解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0，所以a 1＝－6d ，因为a 1>0，所以d <0，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132，因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值．14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)，则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )]＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5362－53224＋157， 开口向上，对称轴为n ＝536≈9，故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .21 / 21 ∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12. ∴T n ＝14n 2－94n .。
高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀课件
得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
h
9
解：由
a1 a2 5, a2 a1 1
bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
h
5
练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2an ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
高一数学上册知识点归纳总结
高一数学上册知识点归纳总结# 高一数学上册知识点归纳总结## 第一章：集合与函数### 1.1 集合的概念与运算- 集合的定义- 集合的表示方法- 集合的基本运算：并集、交集、补集、差集### 1.2 函数的概念- 函数的定义- 函数的三要素：定义域、值域、对应法则- 函数的表示方法：解析式、列表法、图象法### 1.3 函数的性质- 单调性- 奇偶性- 有界性- 周期性## 第二章：不等式与不等式解法### 2.1 不等式的基本性质- 不等式的基本性质- 不等式的传递性、对称性、可加性等### 2.2 不等式的解法- 一次不等式的解法- 一元二次不等式的解法- 绝对值不等式的解法### 2.3 基本不等式- 算术平均数与几何平均数不等式- 柯西不等式## 第三章：数列### 3.1 数列的概念- 数列的定义- 有穷数列与无穷数列- 等差数列与等比数列### 3.2 等差数列- 等差数列的定义- 等差数列的通项公式- 等差数列的求和公式### 3.3 等比数列- 等比数列的定义- 等比数列的通项公式- 等比数列的求和公式## 第四章：三角函数### 4.1 三角函数的定义- 正弦、余弦、正切函数的定义- 任意角的三角函数### 4.2 三角函数的基本性质- 周期性- 奇偶性- 单调性### 4.3 三角函数的图像与性质- 正弦函数、余弦函数的图像- 正切函数的图像- 三角函数的对称性## 第五章：解析几何### 5.1 直线的方程- 直线的斜率- 直线的点斜式、斜截式、一般式### 5.2 圆的方程- 圆的标准方程- 圆的一般方程### 5.3 直线与圆的位置关系- 直线与圆的交点问题- 直线与圆的相切问题## 第六章：立体几何### 6.1 空间直线与平面- 空间直线的方程- 平面的方程- 直线与平面的平行与垂直### 6.2 空间几何体- 多面体- 旋转体- 空间几何体的体积与表面积### 6.3 空间向量- 空间向量的定义- 空间向量的加减法- 空间向量的点积与叉积## 第七章：复数### 7.1 复数的概念- 复数的定义- 复数的四则运算### 7.2 复数的几何意义- 复平面- 复数的模与辐角### 7.3 复数的代数形式- 复数的代数表示- 复数的共轭## 第八章：逻辑与推理### 8.1 逻辑基础- 命题逻辑- 逻辑连接词### 8.2 推理方法- 演绎推理- 归纳推理- 类比推理### 8.3 证明方法- 直接证明- 反证法- 归纳法以上是高一数学上册的主要知识点，涵盖了从基础概念到复杂问题的解决技巧，为进一步学习数学打下坚实的基础。
《等差数列》说课稿
《等差数列》说课稿各位专家、评委：大家好！我是###中学的数学教师###，很高兴有机会参加这次说课活动，希望各位专家对我的说课提出宝贵意见．我说课的内容是人教版高一数学（上）第三章第2节，等差数列第一课时。
我将从教学内容的分析、教法与学法选择、教学过程设计和板书设计这四个方面来汇报我对这节课的教学设想。
一、教学内容的分析1．教材的地位与作用数列是高中数学的重要内容，是历年高考的热点与重点之一。
数列作为离散型函数有着承前启后的作用，它既是前一章《函数》内容的延伸，也是数学归纳法、数列极限等后续课程的基础。
它不仅有着广泛的实际应用，而且对学生观察能力与应用能力的培养是不可或缺的。
等差数列是这章两大核心内容之一，其第一课时是学生探究特殊数列的开始，是继续研究等差数列的基础，它为等比数列概念的学习、通项公式的推导与应用，给出了“示范”提供了“模式”。
2．教学目标的确定及依据（1）教材分析从教学大纲和教材看：本节教材先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算。
由此可见本安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。
（2）学情分析从学生知识层面看：学生对数列已有初步的认识，对方程、函数、数学公式的运用已有一定的基础，对方程、函数思想的体会也逐渐深刻。
从学生素质层面看：从高一新生入学开始，我就很注意学生自主探究习惯的养成。
现阶段我的学生思维活跃，课堂参与意识较强，而且已经具有一定的分析、推理能力。
鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标和重点、难点如下：1）教学目标我们认为本节课应该以三维目标中的知识目标和能力目标为主。
知识目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
能力目标：让学生亲身体验“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”的研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。
高一数学上册全册知识点
高一数学上册全册知识点一、集合与函数1. 集合的基本概念集合的定义、元素、空集、全集、子集、包含关系、并集、交集、差集等基本概念。
2. 集合的表示与运算列举法、描述法、集合的相等、集合的运算法则，包括交、并、差等运算。
3. 函数的概念与性质函数的定义、自变量、因变量、函数图象、函数的相等、函数的值域、函数的奇偶性等性质。
4. 实数集与实数运算有理数与无理数的概念，实数集合的性质、实数运算法则等内容。
二、数列与数列的极限1. 数列的概念与表示数列的定义、数列的通项公式、数列的前n项和等基本概念。
2. 等差数列等差数列的概念、等差数列的通项公式、求等差数列的和等内容。
3. 等比数列等比数列的概念、等比数列的通项公式、求等比数列的和等内容。
4. 数列极限的概念与性质数列极限的定义、数列上极限和下极限的性质、数列极限的判定方法等内容。
三、函数的基本性质1. 函数的单调性与存在性单调函数的定义、单调递增函数和单调递减函数的判定方法，存在性定理等内容。
2. 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性的判断方法，函数的周期性的概念和刻画方法等内容。
3. 函数的反函数反函数的概念、反函数与原函数的关系、反函数的定义域和值域等内容。
四、三角函数与解三角形1. 三角函数的概念与性质三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等概念和性质。
2. 三角函数的图像与周期正弦函数、余弦函数、正切函数等的图像、周期、定义域等内容。
3. 三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数、正切函数等之间的基本关系式。
4. 解三角形的基本方法利用正弦定理、余弦定理、正切定理等解三角形的基本方法。
五、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与运算平面向量的定义、向量的模、向量的加减、数量积、向量的单位向量等内容。
2. 平面向量的数量积向量的数量积的定义、数量积的性质、数量积的几何意义等内容。
3. 平面几何中的直线与圆直线的一般式与截距式、两直线的关系、圆的方程、切线与法线等内容。
数学等差数列教案(优秀5篇)
数学等差数列教案（优秀5篇）高一数学等差数列教案篇一一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的`极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想1.教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑴分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑴讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2.学法引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
高一数学-第三章“数列”简介 精品
第三章“数列”简介
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高中数学（试验本）的第三章是《数列》.《新大纲》里，数列这部分内容之所以又一次在内
容精选中被保留下来，是由其在整个中学数学里的重要地位所决定的.
首先，数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用.如各种产品尺寸常要分
成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的
尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时（这种情况是多数），常按等比数列进行分
级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等.特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有
着重要作用.例如在我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数
列对产品尺寸进行分级的.
其次，数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有
着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分
的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫.应该说，新课本采取将
代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是将各知识沟
通方面发挥了重要作用.
最后，由于不少关系恒等变形、解方程（组）以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、
等比数列有关，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力.。
高一数学数列全章知识点
高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。
下面将介绍高一数学数列全章的知识点。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
我们用a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。
通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。
这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
我们用a 表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。
等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。
这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。
三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。
如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。
我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。
假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。
我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。
通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。
高一数学数列的概念 人教版
只所解要以:由两数边a列n同1除a以an 2naa以nna2na1得11, 得2a1na为1n首21a项n1,公a1差anna为n01.,125 ,
的等差数列,所以 1 1 (n 1) 1 n 1,
an a1
22
an
2 n 1
n N*
.
思考:
已知 a1 2, an1 3an 2,
求数列的通项公式.
分析:构造新数列成等比数列
答案: an 3n 1, n N *.
题型3 由 an 与Sn 的关系解题
例4.数列an的前n项和Sn 3 2n 3,
求数列的通项公式.
解: Sn 3 2n 3,
当n 2时,
an Sn Sn1 3(2n 2n1 ) 3 2n1,
当n 1时,a1 S1 3,也适合上式. an 3 2n1, n N *.
(1) 1,7, 13,19,
(2a)n7, 7(71, 7)n7(76,n7757)7, n, 777N7*7,
这是一个循环数列,先联想数列1,11,111,1111, …的
通项,它又与9,99,999,9999, …的通项有关,
an
7 (10n 9
1), n N *.
例2.观察下面数列的特点，写出每个数列 的一个通项公式
求通项公式 an .
解:由 a1 1, an 3n1 an1(n 2), 得
a1 1, a2 31 a1 , a3 32 a2 ,
an 3n1 an1 .
解:由 a1 1, an 3n1 an1(n 2), 得
a1 1, a2 31 a1 , a3 32 a2 ,
an 3n1 an1.
等式两边分别相加得
高中数学人教版必修课件：等差数列
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
Hale Waihona Puke 是 a1=3,d=0小列结，：主判要断是一由个定不数义是列进是行不 判是 断等 ：差数
（6）15，12，10，an8+1，-a6n是，不…是同一不个是常数？ 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列
高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
练 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
二、新课讲解 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词：
从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进 行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列; (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列; (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
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得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
1 bn
1.
bn
1(n1)(1)3n.
bn 2
2
bn
2 3 2n
.
小结：直接求解通项公式比较困难，但是可以构造辅助 数列，间接利用等差数列的性质来求复杂数列的 通项公式.
ppt课件
例2．已知数列{ a n } 中，当 n 为奇数时 an1 an 1;
当n 为偶数时an1 an 3, 且 a1 a2 5,
ppt课件
二．应用
例1．已知数列{ a
令bn
1 an
n
}
2
满足 .
a14,an
4 4(n2), an1
（1）求证：数列 { b n } 为通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{ b n } 是不是等差数列，
只要看 bnbn1(n2)是不是一个与n 无关的
ppt课件
数 列 {an}成 等 差 数 列 ,
an2 (n 1 ) 1 n2 1 .
an (n 21)2.
（2） an21, an1 2an 2 an
数列}成等差数列. an
11
1(n1) (n1).
an
22
2
a n
n
. 1
ppt课件
（3）b 数 n 列 1 {b1n} 成 b等 n1差 b数 n,列.bn1
等差数列
郑州一中
ppt课件
第二课时
一、等差数列的性质
已知数列{ a n } 为等差数列，那么有 性质1：若 m ,p,n(m ,p,nN*)成等差数列，则
a m , a p , a n 成等差数列.
证明：根据等差数列的定义， m ,p,n成 等 差 数 列 , p m n p , (pm )d(np)d.
an
2n ， 2n-1，
n为奇数 n为ppt课偶件 数
课堂小结：
一．等差数列的性质 二．等差数列的应用
ppt课件
bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
ppt课件
练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2an ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
apamanap.
即 a m , a p , a n 成等差数列.证毕. 如 a1, a6, a11成等差数列，a 3 , a 6 , a 9 成等差数列.
ppt课件
性质2：设 k,m N*，则 ak,akm,ak2m, 成等差数列.
性质3：设m,n,p,qN*，若 mnpq,则
aman apaq.
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
ppt课件
解：由
a1 a2 5, a2 a1 1
常数就行了.
ppt课件
证明（1） ：
an
4a4n1,bn
1, an2
bnbn1an1 2an1 1241 42an1 12
1.
an1
2
数 列 { b n } 为 等 差 数 列 ， 公 差 为 1 2 ， 首 项 为 b 1 a 1 1 2 1 2 .
解（2）：由（1）知，bn b112(n1)n2, 代入
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
{为p常a数n，q若数bn列}{为a 等n } 差、{ b数n 列} 均. 为等差数列，