平面向量的坐标表示 说课稿 教案 教学设计
平面向量的坐标表示教学设计
《平面向量的坐标表示》教学设计【教学目标】1. 知识与技能掌握平面向量的坐标表示并能运用其对平面向量线性运算进行坐标表示。
2. 过程与方法在对平面向量的坐标引入以及平面向量线性运算的表示过程中体会数形结合思想的重要性。
3. 情感态度与价值观在学习《平面向量的坐标表示》这一章时，通过对例题的训练让学生体会向量坐标表示的优越性，并以此激发学生探索问题、发现问题与解决问题的能力。
【教学重难点】教学重点：平面向量线性运算的坐标表示。
教学难点：平面向量的坐标概念的引入。
【学习者特征分析】在此之前，学生已经学习了平面向量的线性运算（包括加减法以及数乘向量）以及平面向量基本定理。
【教学流程】创设情境、提出问题→几点注意、知识延拓→课堂小练、知识巩固→课堂小结、作业布置【教学过程】（一）创设情境、提出问题师：在上一讲中我们学习了平面向量基本定理，那同学们回忆一下，什么是平面向量基本定理？生1：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数1λ，2λ使2211e e a λλ+=。
师：很好！而且当时我们把不共线的向量1e ，2e 叫作一组基底，同时我们也知道基底的选取很简单，只需不共线即可，接下来我们看一下这样一组基底。
在平面直角坐标系中，我们分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作a P O =。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得j y i x P O +=。
因此j y i x a +=。
由x ，y 的唯一性，我们把实数对),(y x 叫作向量a 的坐标，记作),(y x a = 。
带着这个新概念，我们进入今天的教学内容：平面向量的坐标。
（二）几点注意、知识延拓师：对于向量a 的坐标表示),(y x a = ，大家应注意以下几点：①),(y x 就是点P 的坐标；②向量相等的坐标表示；③零向量的坐标表示；④向量与有序实数对的一一对应。
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。
而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。
这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。
考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。
难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。
我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。
平面向量的坐标运算说课稿
《平面向量的坐标运算》说课稿各位老师好！我今天说课的题目是《平面向量的坐标运算》，这是人教版高一下册第五章第四节的内容。
我打算从以下七个方面来进行我的说课：一、说教材1、教学目的和作用本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础。
此外，对立体几何的学习也有着深远的意义。
2、教学目标⑴知识与能力：理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
⑵过程与方法：通过引导发现法激发学生的兴趣引发学生思考，充分调动学生的积极性。
⑶情感态度、价值观：通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力。
3、教学重点、难点及依据重点：平面向量的坐标表示及坐标运算。
这对于定比分点坐标公式和中点坐标公式以及后面的立体几何有着十分深远的意义。
难点：对平面向量坐标表示的理解。
这是首次用代数的方式来表示向量问题，学生理解起来可能比较困难。
4、课时安排和教具准备我打算用一个课时的时间来讲授这一节内容，使用的教具是直尺、多媒体。
二、说学情说学情很多时候容易被忽视，但是我认为这点很重要。
在教学过程中应该注重因材施教，只有了解了学生的现实状况才能够进行针对性的教学，这样才能取得相应的教学效果。
现在我假定我所教的学生是城市某高一普通班的学生，他们的基础不是很扎实，但已经具有一定的抽象思维能力，所以在教学过程中应该循序渐进，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。
三、说教法和依据教学时我打算采用老师讲述、启发式等方法，这样安排的原因是因为这是新的课程，学生们对此还比较陌生，所以老师的讲述是必要的；另一方面学生又是学习的主体，他们对课程的兴趣和积极性对于他们的学习过程有着极为重要的作用，所以应该通过老师提问和学生发言等方式来调动学生的积极性。
四、说学法和依据课堂上可以采用小组讨论的和学生发言的方式，调动学生参与的积极性，因为学生是学习的主体，所以要注重学生主体性的发挥。
平面向量的坐标运算(说课稿)
平面向量的坐标运算（说课稿）北师大附中荣红莉一、【教材的地位和作用】本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。
引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
二、【学习目标】根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想三、【教学重点和难点】理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。
我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。
四、【教法和学法】本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。
整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。
五、【学习过程】1.提供新知识产生的理论基础课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。
2. 学习平面向量的坐标表示方法。
3. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学重点：1. 平面向量的概念。
2. 坐标表示方法。
3. 线性运算与坐标表示。
教学难点：1. 理解平面向量的坐标表示方法。
2. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向量概念的复习。
2. 向量表示方法的学习。
二、平面向量的概念（10分钟）1. 引导学生了解平面向量的定义。
2. 通过实例让学生理解平面向量的概念。
三、坐标表示方法（15分钟）1. 讲解平面向量的坐标表示方法。
2. 让学生通过实例掌握坐标表示方法。
四、线性运算与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的线性运算。
2. 让学生通过实例掌握线性运算与坐标表示。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关平面向量的练习题。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平面向量的概念、坐标表示方法以及线性运算与坐标表示，让学生掌握平面向量的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生通过实例理解概念和方法，提高学生的实际操作能力。
要加强练习，使学生巩固所学知识。
六、平面向量的几何解释（15分钟）1. 向量起点与终点的表示。
2. 通过图形让学生理解向量的几何解释。
七、向量加法与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的加法。
2. 让学生通过实例掌握向量加法与坐标表示。
八、向量减法与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的减法。
2. 让学生通过实例掌握向量减法与坐标表示。
九、数乘向量与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的数乘。
2. 让学生通过实例掌握数乘向量与坐标表示。
十、向量共线定理（20分钟）1. 讲解向量共线定理。
2. 让学生通过实例理解向量共线定理的应用。
十一、向量垂直与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量垂直的条件。
2. 让学生通过实例掌握向量垂直与坐标表示。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教案内容：一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 能够运用坐标表示法解决一些简单的向量问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，坐标表示方法的推导及应用。
2. 难点：平面向量坐标的运算规律，空间想象能力的培养。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念及坐标表示方法。
2. 利用图形演示，帮助学生直观理解向量的坐标表示。
3. 运用例题解析，引导学生掌握向量坐标的运算规律。
4. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件：平面向量坐标表示的相关图片和动画。
2. 教学素材：多媒体设备，黑板，粉笔。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾标量与向量的概念，引出平面向量的定义。
2. 讲解：向量的概念，向量的坐标表示方法，向量坐标的运算规律。
3. 演示：利用图形演示向量的坐标表示，让学生直观理解。
4. 例题：解析平面向量坐标的运算规律，引导学生运用坐标表示法解决问题。
5. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 总结：本节课的主要内容，强调平面向量坐标表示的重要性。
7. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解平面向量的概念，并通过图形演示，让学生直观地理解向量的坐标表示。
在讲解向量坐标的运算规律时，要结合实例进行分析，让学生更好地掌握。
要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考：坐标表示法在实际问题中的应用，如物理学中的力的分解、几何中的位移等。
2. 讲解向量坐标的转换：如何将空间直角坐标系中的向量转换为平面坐标系中的向量。
七、课堂互动1. 提问：请同学们举例说明平面向量的坐标表示在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：如何利用向量坐标表示法解决几何问题。
平面向量的坐标表示备课教案
平面向量的坐标表示备课教案导言：平面向量是高中数学中的重要内容，通过坐标表示是一种常用的方法。
本教案将介绍平面向量的坐标表示的基本概念、性质以及相关的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握平面向量的坐标表示。
一、平面向量的坐标表示的基本概念平面向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过坐标表示来描述其几何特征。
平面向量的坐标表示通常用两个有序实数组成的有序数对表示，分别表示向量在水平和垂直方向上的投影长度。
二、平面向量的坐标表示的性质1. 平行向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 平行，则它们的坐标表示关系为 u = k · v，其中k 是一个实数。
2. 相等向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 相等，则它们的坐标表示关系为 u = (a, b) = v，其中 a 和 b 分别表示两个向量在水平和垂直方向上的投影长度。
3. 坐标表示法的加法规则：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则它们的和向量 u + v 的坐标表示为(a + c, b + d)。
4. 坐标表示法的数乘规则：设向量 u = (a, b)，实数 k，则它们的数乘 ku 的坐标表示为 (ka, kb)。
三、平面向量的坐标表示的计算方法1. 计算向量的模：设向量 u = (a, b)，则向量 u 的模记为 |u|，计算公式为|u| = √(a^2 +b^2)。
2. 计算向量的夹角：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的夹角记为θ，计算公式为cosθ = (u·v) / (|u|·|v|)，其中 u·v 表示向量 u 和向量 v 的数量积。
3. 计算向量的数量积：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的数量积记为 u·v，计算公式为 u·v = ac + bd。
四、平面向量的坐标表示的应用实例通过以上的基本概念、性质和计算方法，我们可以应用平面向量的坐标表示来解决一些实际问题，比如平面几何中的线段长度、向量的投影等问题。
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
平面向量的坐标表示教案
平面向量的坐标表示教案【导语】平面向量是代数结构，是空间中两个点之间的线段的长度和方向的抽象。
平面向量有多种表示方法，本教案主要介绍平面向量的坐标表示。
一、教学目标：1.了解平面向量的概念和性质；2.掌握平面向量的坐标表示方法；3.能够根据坐标求解平面向量。
二、教学重点与难点：1.重点：平面向量的坐标表示方法。
2.难点：根据坐标求解平面向量。
三、教学准备：教学课件、平面向量的相关教学实例。
四、教学过程：Step 1 知识导入1.教师出示平面向量及其定义。
2.教师引导学生思考：平面向量有哪些表示方法？Step 2 知识讲解1.平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对表示，这个有序数对叫做向量的坐标。
向量的坐标可以通过坐标系来确定。
以平面直角坐标系为例，向量的坐标表示为(向量的x坐标, 向量的y坐标)，用箭头表示为a＝(a, a)。
2.示例讲解：将平面向量A(2, 3)和B(-1, 4)画在平面直角坐标系上。
Step 3 问题解答1.学生踊跃发言，回答平面向量的坐标表示方法。
2.教师解答学生提出的问题。
Step 4 拓展延伸举一些生活中与平面向量相关的例子，让学生灵活运用平面向量的坐标表示方法。
五、课堂练习1.计算以下平面向量的大小：A(3, 4)、B(-2, 5)、C(0, -1)。
2.已知平面向量A(1, 2)和B(-3, 4)，求AB的大小。
六、总结归纳1.学生总结坐标表示平面向量的方法。
2.教师进行总结归纳。
七、课堂小结1.复习本堂课的内容。
2.布置以平面向量的坐标表示为题材的作业。
【教学反思】通过本堂课的教学，学生了解了平面向量的坐标表示方法，掌握了如何根据坐标求解平面向量。
同时，教师通过引导学生思考、解答学生问题的方式提高了课堂的互动性。
融入生活中的实例让学生更好地理解和运用平面向量的坐标表示方法。
在课后作业中布置以平面向量的坐标表示为题材的作业，巩固学生的学习成果。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的分解。
2. 学会用坐标表示平面向量，理解向量坐标与向量运算之间的关系。
3. 能够运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理：任何一个平面向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。
2. 向量的分解：将一个向量表示为两个不共线向量的线性组合。
3. 向量的坐标表示：用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则。
4. 向量运算与坐标表示：理解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的具体运算。
三、教学重点与难点1. 重点：平面向量的基本定理，向量的分解，向量的坐标表示。
2. 难点：理解向量坐标与向量运算之间的关系，熟练运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的基本定理及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观地展示向量的分解和坐标表示。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题。
4. 开展小组讨论，加强学生之间的互动交流。
五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，介绍平面向量的基本定理。
2. 讲解向量的分解，引导学生理解平面向量基本定理。
3. 介绍向量的坐标表示，讲解坐标运算规则。
4. 课堂练习，巩固所学知识。
第二课时：1. 复习上节课的内容，回顾平面向量基本定理及其坐标表示。
2. 讲解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的运算。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
4. 课堂练习，提高学生运用知识解决问题的能力。
5. 总结本节课的内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面向量基本定理及其坐标表示的练习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：评价学生在课堂上运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的定义及其几何表示。
2. 学习平面向量的坐标表示方法，掌握向量坐标的计算规则。
3. 能够运用向量坐标解决简单的问题，提高空间想象力。
二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，向量的坐标表示方法。
2. 难点：向量坐标的计算规则，空间向量问题的解决。
三、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生理解和掌握向量的坐标表示。
2. 使用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示向量的几何表示和坐标表示，提高学生的空间想象力。
四、教学过程1. 引入新课：通过复习高中数学中关于向量的基本概念，引导学生思考向量的坐标表示方法。
2. 讲解向量的概念：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的大小称为向量的模，方向的箭头表示向量的方向。
3. 介绍向量的坐标表示：在二维空间中，任意一个向量都可以用两个实数表示其在x轴和y轴上的投影，这两个实数称为向量的坐标。
向量的坐标表示方法可以直观地展示向量在空间中的位置和方向。
4. 讲解向量坐标的计算规则：向量的坐标可以通过向量的起点和终点坐标来计算。
设向量的起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为(x2, y2)，则向量的坐标表示为(x2 x1, y2 y1)。
5. 练习与讨论：让学生通过几何画板等工具，绘制向量的几何表示和坐标表示，并解决一些简单的向量问题。
引导学生讨论向量坐标的特点及其在解决实际问题中的应用。
五、作业布置1. 完成教材中的练习题，巩固向量的坐标表示方法。
2. 结合生活实际，思考向量坐标在解决问题中的应用，举例说明。
六、教学内容与目标1. 内容：本节课将继续学习平面向量的坐标表示，重点掌握向量坐标的几何意义和运算规则。
2. 目标：能够熟练运用向量坐标进行向量的加法、减法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。
七、教学重点与难点1. 重点：向量坐标的加法、减法和数乘运算规则。
平面向量的基本定理及坐标表示的说课稿
平⾯向量的基本定理及坐标表⽰的说课稿平⾯向量的基本定理及坐标表⽰的说课稿 各位评委、各位⽼师，⼤家好。
今天，我说课的内容是：⼈教A版必修四第⼆章第三节《平⾯向量的基本定理及坐标表⽰》第⼀课时，下⾯，我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个⽅⾯来阐述⼀下我对本节课的设计。
⼀、教材分析： 1、教材的地位和作⽤： 向量是沟通代数、⼏何与三⾓函数x的⼀种⼯具，有着极其丰富的实际背景。
本课时内容包含“平⾯向量基本定理”和“平⾯向量的正交分解及坐标表⽰”.此前的教学内容由实际问题引⼊向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的⼏何特征,⽽本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。
平⾯向量基本定理是坐标表⽰的基础，坐标表⽰使平⾯中的向量与它的坐标建⽴起了⼀⼀对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核⼼地位. 2、教学⽬标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个⽅⾯来确定本节课的教学⽬标。
（1）知识与技能 了解向量夹⾓的概念，了解平⾯向量基本定理及其意义，掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰。
（2）过程与⽅法 通过对平⾯向量基本定理的探究，以及平⾯向量坐标建⽴的过程，让学⽣体验数学定理的产⽣、形成过程，体验由⼀般到特殊、类⽐以及数形结合的数学思想，从⽽实现向量的“量化”表⽰。
（3）情感、态度与价值观 引导学⽣从⽣活中挖掘数学内容，培养学⽣的发现意识和应⽤意识，提⾼学习数学的兴趣，感受数学的魅⼒。
3、教学重点和难点：根据教材特点及教学⽬标的要求，我将教学重点确定为———平⾯向量基本定理的探究，以及平⾯向量的坐标表⽰ 教学难点：对平⾯向量基本定理的理解及其应⽤ ⼆、教法分析： 针对本节课的教学⽬标和学⽣的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采⽤由“⾃学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学⽅法。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。
2. 学会用坐标表示平面向量。
3. 掌握平面向量的线性运算。
教学内容：一、平面向量的概念1. 向量的定义2. 向量的性质二、坐标系的建立1. 坐标系的定义2. 坐标系的类型三、平面向量的坐标表示1. 二维坐标系中向量的坐标表示2. 三维坐标系中向量的坐标表示四、平面向量的线性运算1. 向量的加法2. 向量的减法3. 向量的数乘五、向量的模长与方向1. 向量的模长2. 向量的方向教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解平面向量的概念和性质。
2. 采用直观演示法，通过图形和实例展示坐标系的建立和平面向量的坐标表示。
3. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握平面向量的线性运算。
教学步骤：一、导入新课1. 复习相关知识点：直线、平面、点的基本概念。
2. 提问：什么是向量？向量有哪些性质？二、讲解平面向量的概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
2. 向量的性质：向量具有additivity（可加性）、mutativity（交换律）、scalar multiplication（数乘）等性质。
三、讲解坐标系的建立1. 坐标系的定义：坐标系是由一组互相垂直的轴组成的平面或空间。
2. 坐标系的类型：二维坐标系、三维坐标系。
四、讲解平面向量的坐标表示1. 二维坐标系中向量的坐标表示：设向量的起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为(x2, y2)，则该向量的坐标表示为(x2 x1, y2 y1)。
2. 三维坐标系中向量的坐标表示：设向量的起点坐标为(x1, y1, z1)，终点坐标为(x2, y2, z2)，则该向量的坐标表示为(x2 x1, y2 y1, z2 z1)。
五、讲解平面向量的线性运算1. 向量的加法：设向量a 的坐标表示为(x1, y1)，向量b 的坐标表示为(x2,y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。
平面向量的坐标表示 说课稿 教案 教学设计
平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点教学重点:平面向量的坐标运算.教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),你能得出a +b ,a -b ,λa 的坐标表示吗?②如图1,已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a +b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移,使得点A 与坐标原点O 重合,则平移后的B 点位置就是P 点.向量的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB 的模与向量OP 的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②=OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ 应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 答案:A图2 例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y).∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x∴⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求y.解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知 OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y yxx ++).所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++)(2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP PP=2.如果21PP PP =21,那么图5=1OP +P P 1=1OP +3121P P=1OP +31(2OP -1OP )=321OP +312OP=(32,322121yy x x ++).即点P 的坐标是(32,322121yy x x ++).同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y yx x ++点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,=+t .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业。
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 学会利用坐标运算解决与向量相关的问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容1. 平面向量的概念：向量的定义、向量的几何表示。
2. 坐标系中的向量：坐标系的建立、向量的坐标表示。
3. 向量的坐标运算：加法、减法、数乘、模长、方向。
4. 向量的共线定理：共线向量的定义及判定。
5. 向量的线性组合：线性组合的概念及运算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的概念，坐标表示方法，坐标运算。
2. 教学难点：向量的共线定理，线性组合的运算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提出向量问题，培养学生的数学应用意识。
2. 利用多媒体课件，直观展示向量的几何表示和坐标表示，增强学生的空间想象能力。
3. 运用实例分析，让学生通过自主探究、合作交流，掌握向量的坐标运算方法和技巧。
4. 设置适量练习，及时巩固所学知识，提高学生的数学解题能力。
五、课时安排本章共需4课时，具体分配如下：1. 第一课时：平面向量的概念及坐标表示。
2. 第二课时：向量的坐标运算。
3. 第三课时：向量的共线定理。
4. 第四课时：向量的线性组合。
六、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段的物理知识，如力的合成与分解，引入向量的概念。
2. 新课讲解：讲解平面向量的定义，通过几何图形和实际例子，让学生理解向量的概念和坐标表示方法。
3. 课堂互动：提问学生关于向量坐标表示的问题，引导学生思考和解答。
4. 练习巩固：布置一些简单的向量坐标运算题目，让学生独立完成，及时巩固所学知识。
七、课后作业1. 完成教材后的练习题，包括选择题、填空题和解答题。
2. 选取一些具有挑战性的题目，让学生通过讨论和思考，提高解题能力。
八、章节小结1. 向量的概念及其几何表示。
2. 向量的坐标表示方法及其坐标运算。
3. 向量的共线定理及其应用。
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平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点教学重点:平面向量的坐标运算.教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),你能得出a +b ,a -b ,λa 的坐标表示吗?②如图1,已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a +b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A 与坐标原点O 重合,则平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB 的模与向量OP 的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:|AB |=|OP |=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ 应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 答案:A图2 例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y).∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x∴⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明.∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求y.解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么图5OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业。