高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

函数及其表示

考点一 求定义域的几种情况

①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ；

②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N

*

，则从A 到B 的映射个数为

n

m

。简单说成“前指后底”。

方法技巧清单

方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数

2

34

y x x =

--+的定义域为ﻩ ﻩﻩ ( )

Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]-

解析 由2

10

1

1141

340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨

⎨-<<--+>⎩⎩.故选C ５.求下列函数的定义域。①y=

22+•-x x .②ｙ＝

()

x

x x -+12

.③y=

x x -+-11

6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。

1.

下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5

5

x

和

x

y 2

=

B ．y ＝ｌn

e

x

和

e

x

y ln =

Ｃ.

()()()

()3131+=-+-=

x y x x x y 和

D.

x

x

y y 0

1

=

=

和

２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为

A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y=

22

-x

定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为

方法三 分段函数的考察 ⅰ

求分段函数的定义域和值域

２ｘ+２ x []0,1-∈

1求函数f(ｘ)=

x 2

1-

ｘ()2,0∈

的定义域和值域

3 x [)+∞∈

,2

2(2010天津文数）设函数2

()

2()g x x x R =-∈，

()4,(),

(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是

（A)

9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ (B)[0,)+∞ (C)9[,)4-+∞(D)9,0(2,)4⎡⎤

-⋃+∞⎢⎥⎣⎦

【解析】依题意知

22

2

2

2(4),2

()2,2

x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或 ⅱ求分段函数函数值

3.（2010湖北文数）３.已知函数

3log ,0()2,0

x

x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.４ Ｂ.

1

4

ﻩ

Ｃ.-4ﻩﻩﻩﻩＤ－

14

【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-,则211

(())(2)294

f f f -=-==,所以Ｂ正确． ⅲ解分段函数不等式 4.(2０09天津卷文)设函数

⎩

⎨

⎧<+≥+-=0,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ) A.),3()1,3(+∞⋃- B ．),2()1,3(+∞⋃- C.),3()1,1(+∞⋃- D ．)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析 由已知,函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f

解得3,1==x x

。当0f x f ,解得313><<-x x 或

5.(2009天津卷理)已知函数

⎩⎨⎧<-≥+=0

,

40,4)(2

2x x x x x x x f 若

2(2)(),f a f a ->则实数a

的取值范围是 A

(,1)(2,)-∞-⋃+∞ Ｂ

(1,2)- C

(2,1)-

D

(,2)(1,)-∞-⋃+∞

解析:由题知

)(x f 在R 上是增函数，由题得a a >-22,解得12<<-a ,故选择C 。

6.（200９北京理)若函数

1

,0()1(),0

3

x x x

f x x ⎧<⎪⎪=⎨

⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________＿___. 解析 (1)由0

1|()|3011

33x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩．(2）由001|()|01111133333x x x x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪

≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭

⎝⎭⎩⎩. ∴不等式1

|

()|3

f x ≥

的解集为{}|31x x -≤≤,∴应填[]3,1-． 7。(20１０天津理数)若函数f(x)=21

2

log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪

⎨-<⎪⎩,若f(a)＞f(-ａ),则实数ａ的取值范围是