高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

合集下载

4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)

x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a

5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

5.4三角函数的图象与性质（精讲）一．三角函数的图像及性质π1.周期函数概念①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)条件②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一．用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集.二．求三角函数周期(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.. (2)公式法，对形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三．判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四．单调区间的求法求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．五．比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．六．求三角函数值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)化为关于t 的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝a sin x(或y＝a cos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)3sin3x y =；(2)2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(4)2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【答案】函数图象见解析【解析】（1）解：因为3sin 3xy =，取值列表：x 032π3π92π6π3x02ππ32π2πy33-0描点连线，可得函数图象如图示：（2）解：因为2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x4π-4π34π54π74π4x π+02ππ32π2πy22-0描点连线，可得函数图象如图示：（3）解：因为2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，取值列表：x 8π-8π38π58π78π24x π+02ππ32π2πy1311-1描点连线，可得函数图象如图示：（4）解：因为2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x 23π-3π43π73π103π23x π+02ππ32π2πy22-02描点连线，可得函数图象如图示：【例1-2】（2023秋·高一课时练习）当[]2,2x ππ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）sin y x =-；（2）sin y x =；（3）sin y x =.【答案】答案见解析【解析】（1）该图象与sin y x =的图象关于x 轴对称，故将sin y x =的图象作关于x 轴对称的图象即可得到sin y x =-的图象.（2）sin ,2,0,sin sin ,0,2,x x x y x x x x ππππππ-≤≤-≤≤⎧==⎨--≤≤≤≤⎩将sin y x =的图象在x 轴上方部分保持不变，下半部分作关于x 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.（3）sin ,0,sin sin ,0,x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩将sin y x =的图象在y 轴右边部分保持不变，并将其作关于y 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（3）1π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期（4πT =）内的图像．(4)2sin y x =-,[]0,2πx ∈;(5)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（6）πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】图象见解析图象见解析【解析】（1）列表：x 0π2π3π22π2sin x22-0描点、连线、绘图，如图所示.（2）列表：π3x +π2π3π22πx π3-π62π37π65π3πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭010－1描点连线如图.（3）列表:x 2π35π38π311π314π31π23x -0π2π3π22πy10-10图像如图所示：（4）解:由题知2sin y x =-,[]0,2x π∈,列表如下:xπ2π3π22πy21232根据表格画出图象如下:（5）解:由题知πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,列表如下:x π6-π35π64π311π6π6x +π2π3π22πy10-101根据表格画出图象如下:（6）[]π5ππ,0,2π333x x ⎡⎤∈-∴+∈⎢⎥⎣⎦根据五点法作图列表得：π3x +π2π3π22πxπ3-π62π37π65π3y11-01画图像得：考点二正弦、余弦函数的周期【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．y ＝cos π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.y ＝sin x 的最小正周期为2πT =，故错误；B.y ＝cos x 的最小正周期为2πT =，故错误；C.y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，故错误；D.y ＝cos ππ2cos 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ==，故正确；故选：D【例2-2】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为2π的是（）A ．sin 2x y =B ．sin2y x =C ．sin 2x y =D ．sin2y x=【答案】C【解析】函数sin 2x y =的最小正周期为2π4π12T ==，故A 不符合；函数sin2y x =，其最小正周期为2ππ2T ==，故B 不符合；因为函数sin2xy =的最小正周期为4πT =，所以函数sin 2x y =的最小正周期为2π，故C 符合；因为函数sin2y x =的最小正周期为2ππ2T ==，所以函数sin2y x =的最小正周期为π2，故D 不符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==-.故选：B.2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．cos y x =D ．sin y x=【答案】B【解析】对于A ，函数sin y x =的最小正周期为2π，故A 不符合题意；对于B ，作出函数cos y x =的图象，由图可知，函数cos y x =的最小正周期为π，故B 符合题意；对于C ，函数cos y x =的最小正周期为2π，故C 不符合题意；对于D ，函数sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其图象如图，由图可知，函数sin y x =不是周期函数，故D 不符合题意.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A ．cos y x =B ．cos y x =C ．sin y x =D ．sin y x=【答案】ABC【解析】对于A ，()cos πcos cos x x x +=-= ，cos y x ∴＝的最小正周期为π；对于B ，()cos cos cos x x x =-= ，cos y x ∴=的最小正周期为2π；对于C ，()sin πsin sin x x x +=-= ，sin y x ∴=的最小正周期为π；对于D ，∵sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，∴函数图象关于y 轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为π的有（）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2cos 1y x =-【答案】BC【解析】对于A ，sin ||y x =为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A 错误；对于B ，作出函数|sin |y x =的图象如下，观察可得其最小正周期为π，故B 正确；对于C ，由周期公式可得2π||T ω=，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故C 正确；对于D ，由周期公式可得2π||T ω=，可得2cos 1y x =-的最小正周期为2π，故D 错误.故选：BC考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例3-1】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin y x=C ．πsin(2)2y x =+D ．3πcos(2)2y x =-【答案】D【解析】对于A ，∵cos 2()cos 2x x -=，∴函数cos 2y x =是偶函数，故A 错误；对于B ，∵sin()sin sin x x x -=-=，∴函数sin y x =是偶函数，故B 错误；对于C ，函数πsin(2)cos 22y x x =+=是偶函数，故C 错误；对于D ，函数3πcos(2)sin 22y x x =-=-是奇函数，最小正周期2ππ2T ==，故D 正确．故选：D.【例3-2】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭（）是奇函数，则φ的最小值为（）A ．56πB ．43πC ．3πD ．512π【答案】A【解析】因为函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎝⎭（）是奇函数，所以,32k k Z ππφπ-=+∈，解得5,6k k Z πφπ=+∈，所以φ的最小值为56π，故选：A【例3-3】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)1π()sin 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)2π()cos 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)21sin cos ()1sin x x f x x+-=+.【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数．【解析】（1）()f x 的定义域为R ，1π11()sin cos cos 2222f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11()cos cos ()22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，所以()f x 为偶函数，（2）()f x 的定义域为R ，22π()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=---==-，所以()f x 为奇函数，（3）由1sin 0x +≠，得sin 1x ≠-，解得π2π,Z 2x k k ≠-+∈，所以函数的定义域为πR 2π,Z 2x x k k ⎧⎫∈≠-+∈⎨⎬⎩⎭，因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()sin R f x x x x +∈=，（）A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由()sin s ()(in )f x x x x x f x -=-+-=-=-可知()f x 是奇函数．故选:A2．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．cos y x =B ．2sin y x =C ．sin 2y x =D ．cos y x=【答案】A【解析】对于A ，()cos y f x x ==定义域为R ，因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，因为cos y x =的图象是由cos y x =的图象在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图象共同组成（如下图所示），又cos y x =的最小正周期为2π，所以cos y x =的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：2sin y x =为最小正周期为2π的奇函数，故B 错误；对于C ：()sin 2y g x x ==定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-==，即sin 2y x =为偶函数，又()()ππsin 2sin 2πsin 2sin 222g x x x x x gx ⎛⎫⎛⎫+=+=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2为sin 2y x =的周期，故C 错误；对于D ：cos y x =为最小正周期为2π的偶函数，故D 错误；故选：A3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数()πsin()4f x x ϕ=++是奇函数，则ϕ的值可以是（）A ．0B ．π4-C ．π2D ．3π4【答案】BD【解析】由函数()πsin()4f x x ϕ=++为奇函数，可得ππ,Z 4k k ϕ+=∈，解得ππ,Z 4k k ϕ=-+∈，当0k =时，π4ϕ=-，所以B 满足题意；当1k =时，43πϕ=，所以D 满足题意；故选：BD.4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（）A ．2sin y x =B ．cos2y x =C ．3sin y x x =D ．|sin |cos y x x=【答案】BCD【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，对于A :()2sin f x x =,()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-,所以2sin y x =为奇函数,故A 错误对于B :()cos2g x x =,()()()cos 2cos2g x x x g x -=-==所以()cos2g x x =为偶函数,故B 正确;对于C :()3sin h x x x =,()()()()()333sin sin sin h x x x x x x x h x -=--=--==,所以()3sin h x x x =为偶函数,故C 正确;对于D :()|sin |cos t x x x =,()()()()|sin |cos |sin |cos |sin |cos t x x x x x x x t x -=--=-==,所以()|sin |cos t x x x =为偶函数,故D 正确;故选:BCD考点四正弦、余弦函数的对称性【例4-1】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于直线π3x =对称B ．关于直线π3x =-对称C ．关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B【解析】A.πππ5πsin 2sin13366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于直线π3x =对称，故A 错误；B.ππππsin 2sin 13362f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数关于直线π3x =对称，故B 正确；C.ππππsin 2sin 106662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；D.πππ5πsin 2sin03366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误；故选：B【例4-2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数R ϕ∈，如果函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π2【答案】C【解析】因为函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以π24ππ32k ϕ⨯++=，Z k ∈，所以13ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，所以当2k =时π6ϕ=-，当3k =时5π6ϕ=，1k =时7π6ϕ=-，所以ϕ的最小值为π6.故选：C 【一隅三反】1．（2023云南）函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心可以是（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ，由π3x =，得π2π3x +=，1y =，则π,03⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故A 错误；对于B ，由π12x =，得ππ232x +=，则π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故B 错误；对于C ，由5π12x =，得π7π236x +=，则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，π6x =-，得π203x +=，1y =，则,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故D 正确.故选：D.2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴的是（）A ．π4x =B ．π3x =C ．π2x =D ．2π3x =【答案】A【解析】πcos(2)sin 22y x x =-=，对于A ，当π4x =时，πsin 12y ==，则π4x =是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，A 是；对于B ，当π3x =时，2πsin 132y ==≠±，则π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，B 不是；对于C ，当π2x =时，sin π01y ==≠±，则π2x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，C 不是；对于D ，当2π3x =时，14π3sin 2y ==-≠±，则2π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，D 不是.故选：A3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的图象关于直线12x =对称B ．()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()f x 的图象关于直线14x =对称【答案】BD【解析】因为()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ,Z 4x k k -=∈，则1,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴方程为：1,Z 4x k k =+∈，令10,4k x ==，则D 正确，A 错误；令ππππ,Z 42x k k -=+∈，则3,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴中心为：3,0,Z 4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令1k =-，则()f x 的一个对称中心为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，则B 正确，C 错误.故选：BD.考点五正弦、余弦函数的单调性【例5-1】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数πsin(2y x =-(R )x ∈在（）A ．区间ππ[,22-上是增函数B ．区间π[,π]2上是增函数C ．区间[π,0]-上是减函数D ．区间[,]-ππ上是减函数【答案】BC【解析】ππsin()sin cos 22y x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭.A 选项，因cos y x =在π[,0]2-上单调递增，在π[0,]2上单调递减，则πsin()2y x =-在ππ[,]22-上无单调性，故A 错误；B 选项，因cos y x =在π[,π]2上单调递减，则πsin()cos 2y x x =-=-在π[,π]2上单调递增，故B 正确；C 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，则πsin()cos 2y x x =-=-在[π,0]-上单调递减，故C 正确；D 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，在[0,π]上单调递减，则πsin()2y x =-在[,]-ππ上无单调性，故D错误.故选：BC【例5-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是.【答案】πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由π2ππ22π3k x k -≤-≤，解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故答案为：πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【例5-3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin 2f x x =D ．()cos 2f x x=【答案】AD【解析】A 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin f x x x ==，()f x 单调递增，故A 符合.B 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos cos f x x x ==，()f x 单调递减，故B 不符合.C 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin2sin 2f x x x ==，()f x 单调递减，故C 不符合.D 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()cos2cos 2f x x x ==-，()f x 单调递增，故D 符合.故选：AD.【例5-4】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为.【答案】80,9⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意有3ππππ4422T ω-=≤=,可得02ω<≤,又由πππ5π3436ω<+≤，cos y x =在[]0,π上为减函数，故必有3πππ43ω+≤,可得809ω<≤.故实数ω的取值范围为80,9⎛⎤ ⎝⎦.故答案为：80,9⎛⎤⎥⎝⎦【一隅三反】1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数cos y x =的一个单调减区间是（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】作出函数cos y x =的图象如图所示，由图象可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间．故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（）A ．5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令()π2π2π2πZ 6k x k k ≤-≤+∈，解得()π7ππ+πZ 1212k x k k ≤≤+∈，即函数()f x 的单调递减区间为π7ππ+,π,Z 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，取1k =-可得，11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，B 正确；取0k =可得，π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，令()π2ππ22πZ 6k x k k -≤-≤∈，解得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈，即函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，取0k =可得，,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，A 错误；因为()f x 在π12π,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 错误；取1k =可得，7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，所以()f x 在7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错误故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）函数π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为.【答案】5(Z)121,2k k k ππ⎡⎤-+ππ⎢⎥⎦∈+⎣【解析】因为3sin 23sin(2)33y x x ππ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间就是3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间．令222(Z)232k x k k πππ-+π≤≤π∈-+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+()k ∈Z .所以函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .故答案为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .4．（2023·全国·高一课堂例题）函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为．【答案】5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Zk ∈【解析】由题意，得πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π232k x k -+<+<+，Z k ∈，解得5ππ2π2π66k x k -+<<+，Z k ∈．令ππ2π2π3k x k -+≤+≤，Z k ∈，则4ππ2π2π33k x k -+≤≤-+，Z k ∈．所以πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为4ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈．故答案为：5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中0ω>．若()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．(]0,4B ．0,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】由πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 解得3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以04ω<≤.当0k =时，由()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可知3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得103ω<≤；当1k =时，由5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得332ω≤≤；当2k =时，13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩无实数解.易知，当1k ≤-或2k ≥时不满足题意.综上，ω的取值范围为15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：D6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为（）A ．3π,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3π3π7π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3π7π7π,,888∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3π,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()πsin (0)4f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ωω的图象的对称轴为直线3ππ4k x ω+=，k ∈Z ，因为()f x 在区间(1,2)上不单调，所以对称轴3ππ4k x ω+=，k ∈Z 在直线1x =与直线2x =之间，即3ππ412k ω+<<，k ∈Z ，化简得3ππ3ππ824k k ω+<<+，k ∈Z ，因为0ω>，所以令0k =，得3π3π84ω<<，又当1k ≥时，7π8ω>，综上3π3π7π,,848ω∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例6-1】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（）A ．()sin 10sin50-︒>︒B ．tan70sin70︒<︒C ．()cos 40cos310-︒<︒D ．cos130cos200︒>︒【答案】D【解析】对于A ，因为()sin 10sin100-︒=-︒<，sin500︒>，所以()sin 10sin50-︒<︒，故A 错误；对于B ，因为0cos701<︒<，所以sin 70tan70sin70cos70︒︒=>︒︒，故B 错误；对于C ，因为()cos 40cos 40-︒=︒，()cos310cos 36050cos 50︒=︒-︒=︒，又cos 40cos50︒>︒，所以()cos 40cos310-︒>︒，故C 错误；对于D ，因为()cos130cos 9040sin 40︒=︒+︒=-︒，()cos 200cos 27070sin 70︒=-︒=-︒，又sin 40sin 70︒<︒，所以sin 40sin 70-︒>-︒，即cos130cos 200︒>︒，故D 正确.故选：D.【例6-2】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知45a =，2sin 3b =，1cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <==，所以c a >，所以b a c <<.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一校考期中）sin1︒，sin1，sin π︒的大小顺序是（）A ．sin1sin1sin π︒<<︒B ．sin1sin πsin1︒<︒<C ．sin1sin1sin π︒=<︒D ．sin1sin1sin π<︒<︒【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又易知π0<1<π°<1<2︒，所以sin1sin sin1π︒<︒<.故选：B2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（）A ．ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin2sin1>C ．23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin508sin144︒︒>【答案】D 【解析】因为ππππ210182-<-<-<，sin y x =在ππ[,]22x ∈-上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为21π1.522+=<，所以2比1距离正弦函数的对称轴π2x =近，所以sin2sin1>，故B 正确；因为23π23π3π17π17ππcos cos 4πcos ,cos cos4πcos 555444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而3ππ05π4-<<-<-，函数cos y x =在(π,0)-上单调递增，所以23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为sin508sin148sin144︒︒=︒>，而90144148180︒<︒<︒<︒，由正弦函数的单调性可知sin508sin148sin144︒︒=︒<，故D 错误.故选：D3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设3sin20,cos80,4a b c =︒=︒=，则,,a b c 大小关系（）A ．b a c <a b c <<.故选：B.考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例7-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数()ππ2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域是（）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]1,2-D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 21,26x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域是[]1,2-.故选：C.【例7-2】（2023·全国·高一专题练习）函数22sin cos y x x =--的最小值是．【答案】34/0.75【解析】函数2213cos cos 1cos 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，函数取得最小值34.故答案为：34【例7-3】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为．【答案】11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[1)(t ∈-- ，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[1)(t ∈-- ，所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤-∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦．故答案为：11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.【例7-4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数()πsin (0,[0,π])3f x x x ωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为[，则ω的取值范围是（）A ．15[,]33B ．5[,1]6C ．55[,63D ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】C【解析】因为[0,π]x ∈，可得πππ[,π333x ωω-∈--，因为函数()πsin()3f x x ω=-的值域为[，所以ππ4π,323ωπ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，解得55[,]63ω∈.故选：C.【一隅三反】1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数ππcos ,,032y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ,363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数cos t x =在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，又πcos 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 01=，π1cos 32=，所以π1cos ,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A ．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是．【答案】14-/-0.25【解析】由()222sin 2cos 1cos 2cos cos 12y x x x x x =+=-+=--+，又π2π33x ≤≤，则11cos 22x -≤≤，所以()217cos 1244x -≤--+≤，所以函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是14-．故答案为：14-．3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A ．403π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，D ．2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【解析】由题意可得()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3t x π=+则cos y t =,如图所示，∵()f x 的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，0x a ，∴333x a πππ++，即：33ta ππ+∴由图可知533aπππ+，解得2433a ππ，所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B.4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数2cos ()2cos xf x x-=+的值域为.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2cos 4()12cos 2cos x f x x x-==++，[]cos 1,1x ∈-，则[]cos 21,3x +∈，44,42cos 3x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，故()1,33f x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点八正切函数图像及性质【例8】（2024秋·广东）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】AC【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π0,2z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 错误；对于C ：因为()f x 的最小正周期为π2T =，所以πππ3π55210f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：令ππ2π62x k -≠+，Z k ∈，解得ππ32k x ≠+，Z k ∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故D 错误．故选：AC ．【一隅三反】1．（2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）（多选）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈【答案】ACD【解析】对于A ，()tan 2f x x =的定义域为ππππ,(Z)4242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，定义域关于原点对称，因为()()tan(2)tan 2f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，所以A 正确，对于B ，()f x 的最小正周期为π2T =，所以B 错误，对于C ，由ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在ππ(,)44-上单调递增，所以C 正确，对于D ，由π2,Z 2k x k =∈，得π,Z 4k x k =∈，所以()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈，所以D 正确，故选：ACD2．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：所以()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：令ππ2π,Z 62x k k -≠+∈，解得ππ,Z 32kx k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故B错误；对于C ：πππtan tan 4263πf ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan tan πππ242633π2ππf ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2,626x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π5π,26z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 错误.故选：BD3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣【答案】ABD【解析】因为函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π7tan 27tan76633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；由()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得，π7tan 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于函数7tan 2y x =，令π2π,Z 2x k k ≠+∈，得ππ,Z 24k x k ≠+∈，可知定义域为ππ,Z 24k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()7tan 27tan 2x x -=-，所以函数7tan 2y x =为奇函数，即π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确；由ππ2(Z)32k x k +=∈，得到()ππZ 46k x k =-∈，所以()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为()ππ,0Z 46k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；令ππ2π,Z 32x k k +≠+∈，得ππ,Z 212k x k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确；故选：ABD。

高一经典函数练习题及完美解析

高一经典函数练习题及完美解析函数练习1 函数（一）1．下列各组函数中，表示相同函数的是（）A f(x)=x 与 g(x)=xx 2B f(x)=|x| 与 g(x)=2xC f(x)=12-x 与g(x)=1-x • 1+xD f(x)=x 0与g(x)=1 1．函数y=x--113的定义域为（）A （－∞，1]B (-∞，0) (0,1]C (-∞，0) (0,1)D [1,+ ∞)2．下列函数中值域是R ＋的是（）A y=2x+1 (x>0)B y=x 2C y=112-x D y=x2 3．函数y=22++-x x 的定义域为__________,值域为_____________.4．已知f(x)=x 2+1,则f[f(-1)]=______________________ 5．求下列函数的定义域；（1）y=x111+；（2）y=xx x -+||)1(07．用可围成32m 墙的砖头，沿一面旧墙围猪舍四间（其平面图为連成一排大小相同的四个长方形，如图），应怎样围，才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？函数练习2 函数（二）1．下面四个函数：（1）y=1-x (2) y=2x-1 (3) y=x 2-1 (4) y=x5，其中定义域与值域相同的函数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个2．下列图象能作为函数图象的是（）A B C D 3．（1）数集｛x|4≤x<16｝用区间表示为_________；（2）数集｛x||x|≤3｝用区间表示为_______；（3）数集｛x|x ∈R ，且x ≠0｝用区间表示为_______；4．已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧--3210x )0()0()0(<=>x x x ，求f{f[f(5)]}的值。

5．已知f(x)的定义域为（0,1）求f(x 2)的定义域 6．若2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x)的解析式。

人教B版高中数学必修一学第二章函数的表示方法讲解与例题

2.1.2 函数的表示方法1．函数的表示方法(1)列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．之间的对应法则，也就是函数关系．(2)图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系．(3)解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1 305千米，设计时速300～350千米/时．建成后，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．①列表：先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．②描点：从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点．③连线：用平滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．解：零售量是月份的函数．因为对于集合{1,2,3，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，据函数的定义可知y是t的函数．【例1－2】已知某人骑车的速度是10千米/时，若他骑车时间为x 时，其行驶路程为y 千米，试求y 关于x 的函数关系，分别用解析法和图象法表示．解：用解析法表示为y ＝10x (x ≥0)．用图象法表示，如图所示． 2．分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．谈重点学习分段函数的六要点1．分段函数的解析式在形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．2．画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点“·”表示，若端点不包含在内，则用空心点“。

人教版高中数学精讲精练必修一5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)

5.4三角函数的图象与性质（精练）1．（2023春·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且其图象关于点π(,0)4对称的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin4f x x =D ．()cos2f x x=【答案】D【解析】对于A ，函数()sin f x x =是奇函数，A 不是；对于C ，函数()sin4f x x =是奇函数，C 不是；对于B ，函数()cos f x x =是偶函数，而ππ(cos 0442f ==≠，即()cos f x x =的图象不关于点π(,0)4对称，B 不是；对于D ，函数()cos2f x x =是偶函数，ππ(cos 042f ==，即()cos2f x x =的图象关于点π(,0)4对称，D 是.故选：D2．（2023·全国·高一假期作业）设函数()πcos ,(0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为（）A ．π8x =B ．π8x =-C ．π12x =D ．π12x =-【答案】A【解析】因为的()f x 最小正周期为π5，所以2π10T ω==，所以()πcos 104f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令104πx kπ-=，Z k ∈，解得()1040kππx k Z =+∈，所以()f x 的对称轴为直线()1040kππx k Z =+∈，当1k =时，π8x =，其它各项均不符合，所以π8x =是函数()f x 的对称轴，故选：A ．3．（2022·高一课时练习）已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+，则“2πϕ=＋2kπ，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当22k πϕπ=+，k ∈Z 时，()2cos(3)2sin 3f x x x ϕ=+=-，所以()f x 为奇函数．当()f x 为奇函数时，2k πϕπ=+，k ∈Z ．综上，“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.4．（2023春·江苏盐城·高一校联考期中）设函数π()sin()3f x x ω=+在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎤⎢⎣⎦B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138(,63D ．1319(,66【答案】C【解析】由函数π()sin()3f x x ω=+，其中π()0,x ∈，可得πππ(,)333x ωωπ+∈+，因为函数()f x 在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则满足5ππ3π23ωπ<+≤，解得13863ω<≤，所以ω的取值范围为138(,]63.故选：C.5．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，则tan2m n+=（）A．BC．D【答案】D【解析】由函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，可得()π22π6Z π2π2π6m k k n k ⎧-=⎪⎪∈⎨⎪-=+⎪⎩，两式相加得π2()π4π,Z 3m n k k +-=+∈，即ππ,Z 23m n k k +=+∈，所以πtan tan 23m n +==故选：D.6．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知6πsin 7a =，4πsin 7b =，2πsin 7c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>【答案】D【解析】由诱导公式知：ππsin πsin 77a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3π3πsin πsin 77b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，3π2ππsin sin sin 777∴>>，即b c a >>.故选：D.7．（2023秋·高一单元测试）函数y =的定义域是（）A ．}{π|2π2π2,Z x k x k k ≤≤+∈B ．π|ππZ}{2,x k x k k ≤≤+∈C ．}{π|2ππZ 2,x k x k k ≤≤+∈D ．}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈【答案】D【解析】函数y 有意义，则2cos 210x +≥，即1cos 22x ≥-，因此2π2π2π22π,Z 33k x k k -≤≤+∈，解得ππππ,Z 33k x k k -≤≤+∈，所以函数y =的定义域是}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈.故选：D8．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）不等式cos 20x ≥在[]π,π-上的解集为（）A ．2π2ππ,,π33⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U B ．2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5π5ππ,,π66⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U D ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵cos 20x ≥，则cos 2x ≥-，注意到[]π,πx ∈-，结合余弦函数图象解得5π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D.9．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x的定义域为（）A ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Zππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意得：2cos 10x ->，即1cos 2x >，则ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭.故选：A10．（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）已知()3sin2x f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．1B ．13C ．12D ．43【答案】A【解析】因为π0,,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,23π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合三角函数的图像性质，函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()max π1,3f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A.11．（2023春·四川眉山·高一校考期中）函数23cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（）A ．13-B ．154C ．0D ．14-【答案】A【解析】函数22213cos 4cos 13cos 33y x x x ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭又函数[]cos 1,1x ∈-，所以当2cos 3x =时，函数2213cos 33y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为13-.故选：A.12．（2023春·福建泉州·高一校考期中）（多选）若函数()π3sin 26f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的值不可能为（）A ．π6B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】由函数()3sin 26f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，可得()03f =±，即πsin 16ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，则ππ,Z 62k k ϕπ-+=+∈，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，当0k =时，可得2π3ϕ=，无论k 取何值，ϕ都不可能等于π6或π2或5π6．故选：ABD ．13．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）（多选）下列大小关系中正确的是（）A ．cos11sin10cos168︒<︒<︒B ．cos168sin10cos11︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】BC【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】 cos11sin 79sin100︒=︒>︒>，又cos1680︒<，cos168sin10cos11∴︒<︒<︒；且sin11sin168sin12cos10cos80︒<︒=︒<︒=︒.故选：BC.14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）（多选）下列不等式中成立的是（）A ．sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()cos400cos 50︒>-︒C ．sin 3sin 2>D ．87sincos 78ππ>【答案】BD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】对于A ，因为02810πππ-<-<-<，且函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为()cos 400cos 36040cos 40︒=︒+︒=︒，()cos 50cos50-︒=︒，且函数cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则cos 40cos50︒>︒，即()cos400cos 50︒>-︒，故B 正确；对于C ，因为32322ππ<<<，且函数sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则sin3sin 2<，故C 错误；对于D ，因为7733cossin sin sin 82888πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8sin sin 77ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且30782πππ<<<，函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则3sin sin 78ππ<，即87sin cos 78ππ>，故D 正确；故选：BD15．（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）（多选）下列坐标所表示的点中，是函数πtan(26x y =-图像的对称中心的是（）A ．5π(,0)3-B ．π(,0)3C ．2π(,0)3D ．4π(,0)3【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】令ππ,Z 262x k k -=∈，解得ππ,Z 3x k k =+∈，A 选项，当2k =-时，π5π2π33x =-+=-，故对称中心为5π(,0)3-，A 正确；B 选项，当0k =时，π3x =，故对称中心为π(,0)3，B 正确；C 选项，令π2ππ33k +=，解得13k =，不合要求，舍去，C 错误；D 选项，当1k =时，4π3x =，故对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确；故选：ABD16．（2023·上海）（多选）已知函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，则（）A ．2ω=B ．()()π2π125f f ->C ．()f x 的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D ．()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】因为函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，所以ππ22T ω==，又0ω>，得到1ω=，所以π()tan(26f x x =-，选项A ，因为1ω=，故选项A 错误；选项B ，因为()()πππ2π19π11πtan()tan ,tan()tan()123353030f f -=-=-==-，又π11ππ03302<<<，由tan y x =的性质知，π11πtan tan 330<，所以()()π2π125f f ->，故选项B 正确；选项C ，由ππ2(Z)62k x k -=∈，得到()ππ412k x k =+∈Z ，所以π()tan(2)6f x x =-的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选项C 正确；选项D ，当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2(0,62x -∈，由tan y x =的性质知，()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确.故选：BCD.17．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．最小正周期是πC ．图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线π12x =-成轴对称【答案】AC【解析】对于A ，令ππππ2π232k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ122122k k x -+<<+，当1k =-时，7ππ1212x -<<-，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在7ππ,1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，又ππ7ππ,,3121212⎛⎫⎛⎫--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，正确；对于B ，πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小正周期为ππ22T ==-，错误；对于C ，令ππ232k x -+=得，ππ,Z 64k x k =-∈，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭对称中心为ππ,0,Z 64k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =-时，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，正确；对于D ，函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.18．（2023·全国·高三专题练习）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．【答案】ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】ππtan 3tan 344y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由()()ππππ3πZ Z 242ππππ12343k k k k k x x k -+<-<+∈⇒+<<+∈-，故函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 故答案为：ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=.【答案】6π/16π【解析】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故答案为：π620．（2023春·高一课时练习）函数1πsin 226y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y 轴最近的对称轴方程是．【答案】π6x =-【解析】令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，令1k =-，则π6x =-；令0k =，则π3x =；因为ππ63-<，所以与y 轴最近的对称轴方程是π6x =-.故答案为：π6x =-.21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为.【答案】π6【解析】因为函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，所以5ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，则当1k =时，ϕ的最小值为π6.故答案为：π622．（2023春·高一单元测试）已知函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为．【答案】ππ(π,π+Z612k k k -∈【解析】令πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0t >，可得πcos 206x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以πππ2π22π+,Z 262k x k k -<-<∈，解得ππππ+,Z 63k x k k -<<∈，所以函数的定义域为ππ(π,π+Z 63k k k -∈，由余弦函数的性质可知：πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ(π,π+Z 612k k k -∈上单调递增，在ππ(π+,π+),Z 123k k k ∈上单调递减，又因为2()log f x t =在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为ππ(π,π+),Z 612k k k -∈.故答案为：ππ(π,π+),Z612k k k -∈23．（2023春·陕西渭南·高一白水县白水中学校考期中）若0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是.【答案】ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2,33x ϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以[]ππ,0,π33ϕϕ⎡⎤-++⊆⎢⎥⎣⎦，所以π03ππ3ϕϕ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即π2π33ϕ≤≤，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2,3x ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以ππ23ϕϕ<<+，解得ππ62ϕ<<，综上：ππ32ϕ≤<，故答案为：ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭24．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）求函数()2ln cos 2f x x ⎛=- ⎝⎭的定义域为．【答案】ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意可得12sin 0x -≥，解得1sin 2x ≤，所以7ππ2π,2π,Z 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦；又2cos 02x -，即cos 22x >，解得ππ2π,2π,Z 44x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭取交集部分可得，()f x 的定义域为ππ2π,2π,Z 46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.故答案为：ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦25．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式2cos 4cos 1x x a -+≥在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[)4,∞+【解析】由2cos 4cos 1x x a -+≥得2cos 4cos 1a x x ≥-++，设cos t x =，因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1t x =∈，则241a t t ≥-++在[]0,1t ∈上恒成立，设()241f t t t =-++，则二次函数()f t 的对称轴为2t =，因其开口向下，所以[]0,1t ∈时函数()f t 单调递增，所以()f t 的最大值()14f =，故4a ≥，故答案为：[)4,∞+26．（2023春·山东日照·高一统考期中）函数()π3cos 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，则ω的取值范围是．【答案】12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为02x π≤≤，所以πππ24π333x ωω≤+≤+.因为()f x 在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，所以ππ4π3π3ω≤+<，所以1263ω≤<.因为π5π36x -≤≤，所以ππππ5ππ1322π9333339x ωωω-<-+≤+≤+<.因为，()f x 在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，根据余弦函数的单调性可知ππ20335πππ33ωω⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得205ω<≤.所以，1265ω≤≤.故答案为：12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数()πsin 14f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为，对称中心为.【答案】()ππ4x k k =+∈Z ()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】由πππ,42x k k +=+∈Z ，解得ππ,4x k k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .令ππ,4x k k +=∈Z ，得ππ,4x k k =-+∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：()ππ4x k k =+∈Z ，()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 28．（2023·全国·高一课堂例题）求函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为，最小值为．【答案】41【解析】因为[0,π]x ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 16x ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，所以π12sin 346x ⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭，故函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为4，最小值为1．故答案为：4，129．（2023秋·高一课时练习）（1）函数()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为；（2）函数()23πsin 0,42f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是.【答案】⎡-⎣1【解析】（1）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，πcos 242x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x -∴∈⎡⎣，即()f x 的值域为⎡-⎣；（2）()222331sin 1cos cos 444f x x x x x x x =+-=-+-=-++，π0,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；令cos x t =，则[]0,1t ∈，()221142g t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则当2t =时，()max 1g t =，即()f x 的最大值为1.故答案为：⎡-⎣；1.30．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)212cos 2sin y x x =-+；(2)2sin 2sin x y x-=+；(3)ππ()2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】(1)332,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)13,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2-【解析】（1）2221312cos 2sin 2sin 2sin 12sin .22y x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭当1sin 2x =-时，min 32y =-；当sin 1x =时，max 3y =.∴函数212cos 2sin y x x =-+的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()42sin 412sin 2sin x y x x-+==-++，∵1sin 1x -≤≤，∴12sin 3x ≤+≤，∴44432sin x≤≤+，141332sin x≤-≤+，即,133y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴函数2sin 2sin x y x -=+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据正弦函数的性质，可知π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.即函数的值域为[]1,2-.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为（）A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()f x 在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以ππ342T ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以127ω>．令π6t x ω=+，当ππ,43x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππππ,4636t ωω⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，于是()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最值点个数等价于()2sin g t t =在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上的最值点个数．由127ω>知，ππ046ω-+<，ππ036ω+>，因为()g t 在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以3ππππ,2462πππ3π,2362ωω⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩解得843ω<<．答案：B.2．（2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，则ω的值为（）A ．223B ．263C ．343D ．383【答案】A 【解析】因为2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于πππ6324x +==对称，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，所以ππ2πsin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π2ππ2π,Z 432k k ω+=+∈，所以()8282=8Z 33k k k ω=+--∈，当1k =时，223ω=，当2k =时，462π3πππ,46323363T ω===<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值;当2k >时，462π3πππ,46323363T ω><=<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值．故选：A ．3．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：028*******2ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.4．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是.【答案】()()1,24,⋃+∞【解析】由题意得()()cos cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则π+2π2π,Z 3k x k k πω-≤-≤∈,解得：2+2π+2π33,Z k k x k ππωω-≤≤∈，所以2+2π36,Z +2π33k k k ππωππω⎧-⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得412,Z 16k k k ωω≥-+⎧∈⎨≤+⎩，即41216,Z k k k ω-+≤≤+∈，因为41216,k k k -+≤+∈Z ，所以56k ≤且0ω>，所以0k =，01ω<≤①若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则2ππ+2π,Z 3k x k k πω≤-≤∈,解得4+2π+2π33,Z k k x k ππωω≤≤∈，所以+2π36,Z 4+2π33k k k ππωππω⎧⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得212,Z 46k k k ωω≥+⎧∈⎨≤+⎩，即21246,Z k k k ω+≤≤+∈，因为21246,Z k k k +≤+∈，所以13k ≤且0ω>，所以0k =，24ω≤≤②又因为函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，且0ω>，所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集，即12ω<<或4ω>.故答案为：12ω<<或4ω>.。

高一函数主要知识点及典型例题.docx

高一函数主要知识点及典型例题一、函数的概念与表示K映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f,对于集合A小的任一个元素,在集合B 屮都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A—B.注意点：(1)对映射定义的理解.(2)判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域.两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同)x +1B、/(x) = lg ~~- 9g(x) = lg(x + 1) - lg(x -1) x-lD^ f (x) =x, /(x) = y[x^例2、M ={x\0<x<2},N = {y\0<y<3}给出下列四个图形，其小能表示从集合M到集合N的函数二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例1、y = Jlogo 5(4F_3x)函数的定义域为_______________________________四.函数的奇偶性1.定义：设y=f(x), xe A,如果对于任意xe A,都有/(-x) = j\x),则称y=f(x)为偶函数. 如果对于任意xeA,祁有/(-X)= -/(%)，则称尸f(x)为奇函数.2 •性质：①y=f(x)是偶函数U> y=f(x)的图象关于y轴对称，y=f(x)是奇函数O y=f(x)的图彖关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇士奇皿:；偶州JM%奇啲鼻偶；偶刈曙偶;奇刈曙奇［两函数的定义域D , D2, DQD2要关于原点对称］例1、下列各对函数中,相同的是(A、/(x) = lgx2,g(x) = 2\gx关系的有(A、0个2个D定义域是否关丁加点对称②#耳X)与耳・x)的关系例1.已知函数/(X)是定义在(-0C, +00)上的偶函数.当.2(-8, 0 )时,/(x) = x-x4, 贝IJ当xw(0, +oo)H寸，/(x)= . 例2、已知定义域为R的函数/(X)=——是奇函数.I C^l(I )求a,b的值；(II)若对任意的re/?,不等式/(r2-2r) + /(2r2-)t)<0fe成立，求R的取值范围.六.函数的周期性：L(定义)若/(x + T) = /(x)(T^ 0)o/(x)是周期函数,T是它的一个周期.(说明：nT也是/(兀)的周期)L若f(x + a) = -f(x)； /(x + a) = J—；/(x + a) = ---^—；则.f ⑴周期是2a/W /W例1、己知定义在R上的奇函数、心)满足/(x+2)=—心),则夬6)的值为(A)-l (B)0 (C) 1 (D)2例4、已知f(x)是(・oo, + oo)上的奇函数，/(2 4-x) = -/(x),当0< x < 1 时，f(x)=x,则f(7.5)=例5、设/(X)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足/(2 + x) = -/(x),当x w [0,2]时f{x) = 2x-x2.⑴求证：/(x)是周期函数；⑵当xw[2,4]时，求/'(兀)的解析式.七.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1.二次函数f(x)=ax?+bx+c(a徂))的图彖是一条抛物线，对称轴"二A ,顶点坐标(b—，la la ' 4a2.二次函数与一元二次方程关系一元二次方程d/ + bx + c = 0(a主0)的根为二次函数f(x)=ax'+bx+c(afO) y = 0的x的取值.一元二次不等式ax2 + bx + c > 0(< 0)的解集(a>0)例1、已知函数f(x) = 4x2 -mx + 5在区间[-2,+oo)±是增函数,则/⑴的范围是( )(A) /(1)>25 (B) /(1) = 25 (C) /(I) < 25 (D) /(I) > 25例2、方稈mx2+2mx + \= 0有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是___________________ 九.指数函数与对数函数名称指数函数对数函数一般形式Y=a x (a>0 且af 1)y=log a x (a>0 , a工1)定义域(S,+ 8) (0,+ 8)值域(0,+ co)(a,+ oo)过定点(0,1)(1, 0 )指数函数尸a"与对数函数y=log a x (a>0 , afl)图彖关于y=x对称4y图象x “ /A f 7尸』5>1) y=a(0<a<lX /\ Y71og a X(a>i)X0 >x1 y=log a x(0<a<l)a> 1，在(s,+ oo)上为增函数a> 1，在(0,+ co)上为增函数宇WHJ | 土0 <a<l,在(-cc,+ oo)上为减函数0 <a<l,在(0,+ oo)上为减函数值分布y>l? y<l?y>0? y<0?2.比较两个帚值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较人小同理)记住下列特殊值为底数的函数图彖：3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底,并注意对数问题屮的定义域限制4.指数函数与对数函数屮的绝大部分问题绘指数函数与对数函数与H他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.__ _1_例1、(1) y = J區+ lg(5 — 3x)的定义域为 ______________________ ；(2) y = 2x~3的值域为________________ ；(3) y = lg(-^2 + x)的递增区间为___________________ ,值域为________________ .r 1例2、(1) . x——< 0 ,则兀 wI 4十.函数的图象变换1、平移变换：(左+右-，上+下-)即1、对称变换；(对称谁，谁不变，对称原点都要变)力<0,右移；力>0,左移y = / (^)M >0,上移)'=/ (兀 + 力) y = /(X)+Z：y = y = / (x)-/ (兀)_泌Ty 轴〉y =- y = f / (x)(-x)y = / (x)-原点 .—7 y =--/(-x)y = / （兀）- y = x 、 —二———> y = J f -1 (x)y =/ （兀）- y 轴右边不变，左边为右边部分的对称图y = / (x)保留兀轴上方图，将 _兀轴下方图上翻 __________ f (兀例题、作出下列函数的简图: ⑴尸弭（2）尸0・1|；(3) y=2|x|.。

函数y=Asin(wx+φ)(精练)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)

5.6函数sin()y A wx ϕ=+【题组一求解析式】1．(2020·浙江高一课时练习)已知()()f x 2sin ωx φ=+的部分图象如图所示，则()f x 的表达式为()A ．()3πf x 2sin x 24⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()35πf x 2sin x 24⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()42πf x 2sin x 39⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()425f x 2sin x π318⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图可知，35(466T πππ=--=，所以423T ππω==，所以32ω=，又当5355(2sin()2sin()26264f πππϕϕ=⨯+=+=，即5sin()14πϕ+=，所以52,42k k Z ππϕπ+=+∈，即32,4k k Z πϕπ=-∈，当1k =时，54πϕ=，故选B .2．(2020·浙江高一课时练习)若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则=ω()A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B ∵由题中图象可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B.3．(2019·安徽)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是()A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===，将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+，得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ，因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．故选D.4．(2020·宁夏高一期末)已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为()A ．624B ．624C ．324D ．324【答案】B【解析】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象知，1A =，741234T πππ=-=，2T ππω∴==，解得2ω=；由五点法画图知，233ππωϕϕπ⨯+=+=，解得3πϕ=；()sin(2)3f x x π∴=+，212326(sin(2)sin cos cos sin 883434322224f πππππππ∴=⨯+=+=⨯+⨯=．故选B ．【题组二伸缩平移】1．(2020·浙江衢州·高一期末)要得到函数4sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数4sin 2y x =的图象()A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度【答案】D【解析】解：只需将函数4sin 2y x =的图象，向右平移8π个单位长度，即可得到函数4sin(24y x π=-的图象，故选：D ．2．(2020·湖南隆回·高一期末)已知函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ,为了得到函数3sin 5y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点().A ．向右平行移动5π个单位长度B ．向左平行移动5π个单位长度C ．向右平行移动25π个单位长度D ．向左平行移动25π个单位长度【答案】C【解析】把3sin 5y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向右平移2555πππ+=个单位长度，得到23sin 55x y ππ⎛-+=⎫ ⎪⎝⎭3sin 5x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选：C3．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象()A ．向右平移6π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】D【解析】函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位．故选：D ．4．(2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期末)要得到函数()cos 2f x x =的图象，只需将函数()cos26g x x π=-（）的图象()A ．向右平移12π个单位B ．向左平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】B【解析】∵()cos 2cos2612g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴要得到函数()cos2f x x =的图象，只需将函数()g x 的图象向左平移12π个单位故选B 5．(2020·贵州省思南中学高二期末(理))函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图像如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图像，只需将函数()y f x =的图像()A ．向左平移23π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移23π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【解析】由图可知2A =，∵2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴2T ππω==，解得：2ω=，可得()()2cos 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2cos 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵0πϕ-<<，∴23πϕ=-，()22cos 22cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可将函数()y f x =的图像向左平移3π个单位长度得到()g x 的图像.故选：B.6．(2018·韶关市第一中学期末)若将函数2sin 2y x =的图象先向左平移12π个单位长度，再将图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，则平移后图象的对称轴为()A ．26k x ππ=-(k Z ∈)B ．26k x ππ=+(k Z ∈)C ．212k x ππ=-(k Z ∈)D ．212k x ππ=+(k Z ∈)【答案】B【解析】将函数2sin 2y x =的图象先向左平移12π个单位长度，所以2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，再将图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得6sin(2)6y x π=+，则平移后图象的对称轴为262x k πππ+=+()k ∈Z ，即26k x ππ=+()k ∈Z 故选：B 【题组三综合运用】1．(2020·湖南常德·期末)函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】D【解析】因为()f x 的最小正周期为π，故可得2ππω=，又0ω>，解得2ω=；故()()sin 2f x x ϕ=+，将其向右平移6π个单位，可得sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又因为其是奇函数，故可得,3k k Z πϕπ-=∈，又2πϕ<，故可得3πϕ=.综上所述，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为sin 32π=.故选：D .2．(2020·河南濮阳·高一期末(文))函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是()A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可知A ＝2，f (0)＝1，∵f (0)＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ，∴f (x )＝2sin(ωx 6π+)，∵f (512π)＝0且为单调递减时的零点，∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ，∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯，∴ω125＜，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x 6π+)，∵函数f (x )的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错，令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错，令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错，令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对，故选：D ．3．(2020·河南林州一中高一月考)函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．B ．12-C ．12D ．2【答案】B【解析】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B.4．(2020·山西应县一中高一期中(理))已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．π【答案】C【解析】将函数()2sin(26f x x π=+图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度得到函数()2sin 2sin 2266y x x ππθθ⎤⎛⎫⎡=-+=-+ ⎪⎣⎥⎦⎝⎭的图象，令6x π=，得sin 2136y ππθ⎛⎫=-+=±⎪⎝⎭，2,22k k Z ππθπ∴-=+∈，,()2kk Z θπ∴=-∈，θ> 则θ的最小值为2π，故选：C.5．(2020·全国高一课时练习)函数()()02f x sin x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象()A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线512x π=对称D ．关于直线12x π=对称【答案】C【解析】因为函数()()f x sin x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2ω=，图象向左平移6π个单位后得到sin(2)3πϕ=++y x ，由得到的函数是奇函数可得3πϕ=-，即()sin(2)3f x x π=-.令23x k ππ-=得26k x ππ=+，k Z ∈，故A,B 均不正确；令232x k ππ-=π+得212k x π5π=+，k Z ∈，0k =时可得C 正确.故选C.6.(2020·山西平城·大同一中高一月考)已知函数()()22sin cos f x x x x =++-(1)求它的单调递增区间；(2)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域.【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)；(2)(1⎤⎦.【解析】(1)())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).(2)由02x π<<，得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为3,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤⎦.。

4.4 对数函数(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a >0，且a ≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.一．对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y ＝log a f (x )型函数性质1.定义域：由f (x )>0解得x 的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.6.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法(1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式.①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x =D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x =C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在()()231log 4a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．()1,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．122,,2333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子()()231log 4a b a -=-有意义，则231031140a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或223a <<.故A ，C ，D 错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数()()()22log 51a y a x -⎡⎤=-+⎣⎦中，实数a 的取值可能是（）A ．52B ．3C ．4D ．5【答案】AC【解析】因为210x +>，所以根据对数函数的定义得：202150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即：235a a a >⎧⎪≠⎨⎪<⎩，所以23a <<或35a <<，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数()2log f x x x=-的定义域为（）A ．(]0,2B ．(),2∞-C ．()(],00,2∞-⋃D ．[)2,∞+【答案】A【解析】由题意得：2000x x x -≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤，()f x \定义域为(]0,2.故选：A.【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为.【答案】()(]2,33,5⋃【解析】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，所以[]1,2x ∈，[]212,5x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]2,5，又20x ->，且21x -≠，解得2x >，且3x ≠，所以()g x 定义域为()(]2,33,5⋃.故答案为：()(]2,33,5⋃.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f (x )＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得210x mx -+>在R 上恒成立，所以240m ∆=-<，解得22m -<<.故答案为：()2,2-.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数2y =）A ．{02}xx <<∣B ．{01xx <<∣或12}x <<C ．{02}xx <≤∣D ．{01xx <<∣或12}x <≤【答案】D【解析】由题意得2200log 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，∴01x <<或12x <≤，故定义域为{01xx <<∣或12}x <≤，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数()2log 21xf x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意得0210x x >⎧⎨-≠⎩，解得110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D3．（2023春·浙江温州）函数2()ln x f x x+=的定义域为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()()0,11,+∞ 【答案】D【解析】因为2()ln x f x x +=，所以0ln 0x x ≥⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()0,11,+∞ .故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数()1y a x =-与log a y x =（其中1a >）的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A ，因为1a >，故()1y a x =-为R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；对于B ，1a >时，()1y a x =-为R 上的减函数，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象符合题意；对于C ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；对于D ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；故选：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若01b a <<<，则函数()log b y x a =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】01b a <<< ，log b y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移a 个单位，得到log ()b y x a =+，故函数log ()b y x a =+的图象不经过第一象限，故选：A ．【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数()log (0,a y x b c a =++>且1)a ≠的图象恒过定点()3,2，则实数b =，c =．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点()3,2，∴将()3,2代入()log a y x b c =++，得()2log 3a b c =++．又当0a >，且1a ≠时，log 10a =恒成立，2,31c b ∴=+=，2,2b c ∴=-=．故答案为：2-；2【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．2．（2023·广西）若函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围为．【答案】[)1,+∞【解析】函数()2log f x a x =+的图象关于x a =-对称，其定义域为{}x x a ≠-，作出函数()2log f x a x =+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则()000f a ⎧≥⎨-<⎩，即2log 00a a ⎧≥⎨-<⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与log a y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】若01a <<，则函数x y a =的图象单调递减且过点()0,1，函数log a y x =的图象单调递减且过点()1,0；若1a >，则函数x y a =的图象单调递增且过点()0,1，而函数log a y x =的图象单调递增且过点()1,0，只有A,C 的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点．【答案】()1,2【解析】令321x -=，解得1x =，此时log 122a y =+=，故()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,2.故答案为：()1,2考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①33log 1.99log 2，.②34log 0.2log 0.2，.③20.3log log 2，3.④log πlog 3.14a a ，(0a >且1)a ≠.【答案】答案见解析【解析】①因为()3log f x x =在(0,)+∞上是增函数，且1.992<，则(1.99)(2)f f <，所以33log 1.99log 2<②作出3log y x =和4log y x =的图象如下图．由图象知34log 0.2log 0.2<.③因为22log 3log 10>=，0.30.3log 2log 10<=,所以20.3log 3log 2>.④当1a >时，函数log a y x =在定义域上是增函数，则有log πlog 3.14a a >；当01a <<时，函数log a y x =在定义域上是减函数，则有log π<log 3.14a a .综上所述，当1a >时，log πlog 3.14a a >；当01a <<时，log π<log 3.14a a .【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A ．a c b <=，12(0,1)33c -==，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为23142413log log 8log 282c ====，3333log log 6log 922a ==<=，所以b ac >>．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A ．a c b <，即1b >；所以可得a c b <<.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设8log 27a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【解析】8221log 27log 27log 33a ===，0.522log 0.2log 0.2log 5b ==-=，4221log 24log 24log 2c ===因为2log y x =在定义域上是增函数，且35<<，故a c b <<.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数() f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，1212311log ,log ,523a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c>>D ．c b a>>【答案】D【解析】】因为函数() f x 是定义在R 上的偶函数，可得133311(log )(log )(log 2)22a f f f ==-=，2221(log )(log 3)(log 3)3b f f f ==-=，由对数的运算性质，可得33log 2log 31<=，2221log 2log 3log 42=<<=，又由2<，所以32log 2log 3<又因为() f x 在[0,)+∞上单调递增，所以32(log 2)(log 3)f f f <<，即c b a >>.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数()212log 45y x x =--的递减区间为.【答案】()5,+∞【解析】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞【例5-2】（2023·河南）设函数()()2ln 4f x x x =-+在(),1a a +上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．[0,2]C ．(0,2)D ．[0,1]【答案】D【解析】由函数240-+>x x ，得04x <<，即函数()f x 的定义域为()0,4，令()()24,0,4g x x x x =-+∈，由函数()g x 的对称轴为：2x =，开口向下，所以()g x 在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以当函数()f x 在(),1a a +上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数212y log x 2x 1)=-++（单调(1－2，1)减区间.【答案】(1－2，1)【解析】函数212y log x 2x 1)=-++（的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1，1＋2)上是减少的，而y ＝12y log t =为减函数.∴函数212y log x 2x 1)=-++（的减区间为(1－2，1).2.（2023安徽）已知函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[22，2(2＋1)【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )∞，a2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝12y log x =是减函数，而已知复合函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，2≤a2，（2）＝（2）2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数()()2ln 2f x ax x =-在区间()3,4上单调递减，则a 的取值范围是【答案】[]2,3【解析】ln y t =在()0,∞+单调递增，故22t ax x =-在()3,4单调递减，则3a ≤，又∵220t ax x =->在()3,4恒成立，则8160a -≥，故2a ≥，∴23a ≤≤，考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数()()2log 31f x x =-，则使得2()(2)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．43,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题设222log (31)log (35)x x ->+，即222log (31)log (35)x x ->+，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以()23135310350x x x x ⎧->+⎪->⎨⎪+>⎩，解得43x >.故选：B【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式log (23)log (56),(1)a a x x a +>->的解集为．【答案】6(,3)5【解析】因为1a >，可得对数函数log a y x =为单调递增函数，则原不等式等价于2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<，即原不等式的解集为6(,3)5.故答案为：6(,3)5.【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式()()31128log 23log 56x x +<-的解集是.【答案】6,35⎛⎫⎪⎝⎭【解析】易知()()()333111822log 56log 56log 56x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-=-，由()()31128log 23log 56x x +<-可得()()1122log 23log 56x x +<-；又函数12log x 在()0,∞+为单调递减，所以可得2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<.故答案为：6,35⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x 的不等式．(1)1177log log (4)x x >-；(2)()()log 25log 1a a x x ->-；(3)1log 12x>．【答案】(1){}02x x <<(2)答案见解析(3)112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意可得0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得02x <<，所以原不等式的解集为{}02x x <<．（2）当1a >时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得>4x ，当01a <<时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得542x <<综上所述，当1a >时，原不等式的解集为{}4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为542x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（3）当1x >时，由1log log 2x x x >，可得12x <，此时无解；当01x <<时，由1log log 2xx x >，可得112x <<．综上，原不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数12log y x =在区间[1,2]上的值域是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】A【解析】12log y x = 在[1,2]上是减函数，121log 0x ∴-≤≤，即值域为[1,0]-.故选：A.【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数()212log 617y x x =-+的值域.【答案】(],3-∞-【解析】因为函数()212log 617y x x =-+的定义域为：26170x x -+>，而方程26170x x -+=的()2Δ6417320=--⨯=-<，所以26170x x -+>对R x ∀∈恒成立，令：()22617388t x x x =-+=-+≥12log y t =在[)8,+∞上是减函数，所以12log 83y ≤=-，即原函数的值域为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数()22236log log y x x =-+，在[]24x ∈，上的值域为（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]46，C ．1564⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为函数()22236log log y x x =-+，[]24x ∈，，令2log t x =，则[]12t ∈，.所以原函数转化为223153624y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,又对称轴为32t =，所以当32t =时，函数取得最小值154，当1t =或2t =时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A ．(][)218-∞⋃∞,,+B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞ D ．[][)0,218,+∞ 【答案】D【解析】由2(6)2y ax a x =+-+，a 不等于0时，()226422036a a a a ∆=--⨯=-+,当20,20360a a a >∆=-+<得218a <<，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360a a a >∆=-+≥得18a ≥，02a <≤，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，(][)0,218,a ∴∈+∞ 当20,20360a a a <∆=-+≥得a<0，二次函数2(6)2y ax a x =+-+有最大值，没有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360a a a <∆=-+<无解.当0a =,2(6)262y ax a x x =+-+=-+既没有最大值，也没有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，0a ∴=.[][)0,218,a ∴∈+∞ 故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()52log 1y x x =+≥的值域为（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由1x ≥知5log 0x ≥，2y ≥，值域是[)2,+∞．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-3．（2023·全国·高一专题练习）已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x f x =+，则函数()y g x =的值域为．【答案】[2,7]【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x f x f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]4．（2023·全国·高一假期作业）函数()()2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x时，有()min 14f x =-.故答案为：14-5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设0a >且1a ≠，若函数()7,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是[)5,+∞，则a 的取值范围是【答案】(【解析】由于函数7,2()(03log ,2a x x f x a x x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[5,)+∞，故当2x ≤时，满足()75f x x =-≥.若1,()3log a a f x x >=+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 5a f x x =+≥，log 2,log 22,1a a x a ∴≥∴≥∴<≤若01,()3log a a f x x <<=+在它的定义域上单调递减，()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[5,)+∞.综上可得，1a <≤考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0,1)a g x x a a =->≠且．(1)求函数()()f x g x +的定义域；(2)判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数()()f x g x +的值域．【答案】(1)()1,1-(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）10x +>且10x ->，得11x -<<，即定义域为()1,1-.（2）因为定义域关于原点对称，且()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，所以函数为偶函数.（3）()()2log (1)log (1)log (1)a a a f x g x x x x +=++-=-，令21t x =-，由11x -<<，得01t <≤，则log a y t =，(0,1]t ∈，当1a >时，log 0a y t =≤，所以原函数的值域为(,0]-∞；当01a <<时，log 0a y t =≥，所以原函数的值域为[0,)+∞.【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求3f （）的值；（2）若令3log t x =，求实数t 的取值范围；（3）将()y f x =表示成以()3log t t x =为自变量的函数，并由此求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）[]22-，；（3）1()4min f x =-，此时9x =-；()12max f x =，此时9x =．【解析】（1）333log 27log 9326f =⋅=⨯=（）；（2）3log t x =，又199x ≤≤ ，32log 2x ∴-≤≤，22t ∴-≤≤，所以t 的取值范围为[]22-，；（3）由()()()223333log 2log 1(log )2log 232f x x x x x t t =++=++=++，令()223132()24g t t t t =++=+-，[]22t ∈-，，①当32t =-时，1()4min g t =-，即33log 2x =-，解得9x =，所以1()4min f x =-，此时x =；②当2t =时，()212max g t g ==（），即3log 29x x =⇒=，()12max f x ∴=，此时9x =．2（2023·湖北随州）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).（1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，a =.【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<<，所以131,22a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数12a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.3．（2023江苏淮安）已知()lg(f x ax =是定义在R 上的奇函数，其中0a >．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并证明；（3）若对于任意的x R ∈都有()f x mx >-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）02m ≤≤.【解析】（1）()()((lg lg f x f x ax ax -+=-+()222lg 10x a x =+-=，得21a =，0a > ，1a ∴=；（2）()(lg f x x =，设()t x x =120x x ≤<，()()1212t x t x x x -=()221212x x x x =-+=-+()121x x ⎛⎫ =- ⎝120x x ≤< ，()()12t x t x ∴<()t x ∴单调递增，根据复合函数的单调性可知()(lg f x x =单调递增；（3） ))()lg lg mx mx f mx --==+=，(()f x f mx ∴>，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在[)0,∞+单调递增，所以函数在R 上单调递增，x mx ∴>，当0x >时，1m <=min1m ⎛< ⎝，因为12>，则2m ≤，当0x <时，1m >=max1m ⎛> ⎝，因为10<，则0m ≥，当0x =时，m R ∈，综上可知，对x ∀∈R 恒成立，即02m ≤≤.。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习10 函数的表示法

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题10 函数的表示法题型一求函数的解析式1．定义在R上的函数()f x2．满足2002()24015(1)1xf x f x xx+⎛⎫+=-≠⎪-⎝⎭，则(2004)f=______.【答案】2005.【解析】令20021xt x+=-，则20021txt+=-，从而有200220022()401511 t tf f tt t++⎛⎫+=-⎪--⎝⎭，所以2002()24015,1200220022()4015, 11tf t f ttt tf f tt t⎧+⎛⎫+=-⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎛⎫⎪+=-⎪⎪--⎝⎭⎩解得14006 ()401331f t tt⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，所以1(2004)(401320042)20053f=⨯+-=，故答案为：2005.3．根据条件，求函数解析式()f x . 4．（1）()2132f x x x +=-+；（2）)223f x =+；（3）2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（4）已知()f x是一元二次函数，且满足()00f =；()()11f x f x x +=++.【答案】（1）()256f x x x -=+；（2）()()228112f x x x x =++≥-；（3）()()222f x x x =-≥；（4）()21122f x x x =+.【解析】解：（1）设1x t ，则1x t =-，得()()()22131256f t t t t t =---+=-+所以()256f x x x -=+；（22t =，则2t ≥-，得()22x t =+，则()()()2222328112f t t t t t =++=++≥-所以()()228112f x x x x =++≥-；（3）由均值不等式，12x x+≥，2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()222f x x x =-≥；（4）设()2f x ax bx c =++，由()00f =，则0c ，即()2f x ax bx =+又()()11f x f x x +=++，即()()22111a x b x ax bx x +++=+++得()()()22211ax a b x a b ax b x ++++=+++则211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩ ，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()21122f x x x =+.3．（1）已知函数()f x是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f = ，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式．【答案】（1）()823f x x =+或()28f x x =--；（2）()21f x x x =-+．【解析】（1）设()()0f x ax b a =+≠，则()()()()2f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，又()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以，248a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得283a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或28a b =-⎧⎨=-⎩，因此，()823f x x =+ 或()28f x x =--；（2）()()20f x ax bx c a =++≠，则()01f c ==，()()12f x f x x +-=，即()()()2211112a x b x ax bx x ++++-++=，即()22ax a b x ++= ，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩.因此，()21f x x x =-+.5．求函数的解析式. 6．（1）已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）；（2）（3）函数20()21,()10x x f x x g x x ⎧≥=-=⎨-<⎩（4），求[()]g f x 的表达式；（3）已知22111()x x f x x x++=+ ，求()f x 的解析式.【答案】(1)()27f x x =+；(2) [()]g f x ()2121,211,2x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩；(3)()()2 1,1f x x x x =-+≠. 【解析】（1）设()(),0f x kx b k =+≠，因为()()3121217f x f x x +--=+故可得()()3121217k x b k x b x ⎡⎤⎡⎤++--+=+⎣⎦⎣⎦整理得5217kx k b x ++=+故可得2,7k b ==，故()27f x x =+.（2）令210x -= ，解得12x =，故当12x ≥时，210x -≥ ，[()]g f x ()221x =- 当12x <时，210x -< ，[()]g f x 1=-，综上所述：[()]g f x()2121,211,2x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩.（3）因为22111()x x f x x x++=+故22111111x x x x f x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()21f x x x =-+，又因为11x x+≠，故()()21,1f x x x x =-+≠题型二函数的表示法5．在函数[],1,1y x x =∈- 的图象上有一点(),P t t，此函数与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形如图阴影部分的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为2211,102211,0122t t S t t ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，所以其对应图象为B,故选：B7．观察下表： 8．则13f f g --=⎡⎤⎣⎦（）A ．4-B ．3-C ．3D ．5 【答案】D【解析】由题中表格得()11f -=- ，()34g =-，∴()()()()131435f g f f --=---==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故选：D.7．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f(x)的图像．【答案】（1）2,048,482(12),812x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）见解析.【解析】(1)当0≤x≤4时，y ＝12×4·x＝2x ；当4<x≤8时，y ＝12×4×4＝8；当8<x≤12时，y ＝12×4·(12－x)＝2(12－x)．∴()2,048,48212,812x x y x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩(2)如图所示．9．已知函数()12f x x x =++- 10．，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x （2）、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x > （4）的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【解析】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩. 则对应的图象如图：（2）函数()min x 的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x > 的解集为()(),20,-∞-+∞. 题型三分段函数问题9．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩ ，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】A【解析】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =- 在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.11．已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R12．，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1,[1,)2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．11,,84⎫⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．(,1][2,)-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】分1x > 和1x ≤两种情况讨论：（1）当1x >（2）时，()|2||1|0f x x k x ----≤等价于12x k x x-≥-恒成立，因为1x >时，10xx -<恒成立，所以k ∈R ；（3）当1x ≤（4）时，()|2||1|0f x x k x ----≤等价于22231x k x x -≥-+-恒成立，即22231x k x x -≤-+或22231x k x x -≥-+- 恒成立. 也就是22241k x x ≥-+-或22221k x x ≤-+恒成立而当1x ≤时，222412(1)11x x x -+-=--+≤，221112212222x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以21k ≥或122k ≤，即14k ≤或12k ≥. 综合（1）（2）可知，k的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故选：B.11．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（） A ．()()3,13,-+∞ B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞- 【答案】A【解析】解：()11463f =-+=，当0x 时，2463x x -+>，所以01x ≤<或3x >；当0x <时，63x +>，所以30x -<<，所以不等式()(1)f x f >的解集是(3- ，)(13⋃，)+∞，故选：A ．13．函数()M f x 的定义域为R ,且定义如下:()1M x x M f x x Mx∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩14． (M 是实数集R 的非空真子集),若{1|2},{|11}A x x B x x =-≤=-≤<‖,则2()1()()()1A B A B f x F x f x f x ⋃+=++的最大值为___________. 【答案】211313．已知函数()2,2,{?1, 3.x x x c f x c x x+-≤≤=<≤ 若0c ，则()f x的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是____．【答案】1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】若0c ，由二次函数的性质，可得2111,2,,43x x x ⎡⎤⎡⎫+∈-∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， ()f x ∴的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 2x =-时， 22x x +=且12x =-时， 214x x +=-，要使()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则2{2?12c c c c>+≤≤，得122c ≤≤，实数c 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．已知t ∈R ，函数()2,,,.x x t f x x x t <⎧=⎨≥⎩若()f x 的值域为(),-∞+∞ 16．，则实数t ∈___________；若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数t ∈___________.【答案】[0,1]{0}[1,)+∞【解析】由题可知：值域为R 则，2t t ≤，则01t ≤≤；单调递增则20t t ≥>或2t t = 即0t =或1t ≥.故答案为：{})0,1;01,⎡⎤⎡⋃+∞⎦⎣⎣15．矩形球台ABCD 中，4AB dm =，183BC dm =，小球P 以每秒2dm 的速度由A 射出与AB 成θ角前进，碰到BC 上的E 点后又折回与BC成θ角前进，到达D 后，沿DA 回到A ，设小球P 从A 射出经x 秒后，ABP △的面积为2ydm ，求y 与x 的关系式．【答案】125,052165352,52635404,106x xy x xx x⎧<≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎩【解析】解：根据题意，画出如下图象：由题意可知ABE ECD∽△△，设BE m=，则183EC m=-，则AB ECBE CD=，即18434mm-=，解得3m=或163m=.令3BE=，则163EC=，5 AE=,203 ED=.当小球P在AE上，即52x<≤时，如图所示：过点P作PF AB⊥，2AP x=，则根据AE APBE PF=，得65PF x=，则ABP△的面积为1161242255y AB PF x x⎛⎫=⋅=⨯⨯=⎪⎝⎭.当小球P在DE上，即53526x<≤时，如图所示：过点P作PG AB⊥，PH CB⊥225 PE x AE x=-=-，则根据PE HEDE CE=，得8205xEH-=.则82085355x xBH BE HE--=+=+=.所以ABP △的面积为118516422255x y AB PG x -⎛⎫=⋅=⨯⨯=-⎪⎝⎭.当小球P 在DA 上，即35106x <≤时，如图所示： 2035225233PD x DE AE x x =--=--=-，则1358220233AP AD PD x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭.所以ABP △的面积为()11420240422y AB PA x x =⋅=⨯⨯-=-.综上所述，y与x 的关系式为125,052165352,52635404,106x x y x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎩. 题型四函数图像问题 17．若函数()y f x =18．的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =- B ．()1x f x x =- C ．()21x f x x =- D ．()21xf x x =- 【答案】C【解析】解：由图可知，当(0,1)x ∈ 时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112()101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x = 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当 1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C17．函数图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =- C ．21()1f x x =-D ．21()1f x x =+ 【答案】A【解析】由图可知()f x的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.18．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．()11f x x =-B ．()11f x x =-C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 【答案】A【解析】由图知()f x的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ，故选：A。

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练(1)

函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n ∈N*,则从A 到B 的映射个数为nm。

简单说成“前指后底”。

方法技巧清单方法一函数定义域的求法 2．（2009江西卷理）函数y =的定义域为 ( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-解析由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C1.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=55x和xy 2=B.y=lnex和exy ln =C.()()()()3131+=-+-=x y x x x y 和 D.xx y y 001==和2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 不能确定 3．已知函数y=22-x定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为2（2010天津文数）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【解析】依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或ⅱ求分段函数函数值3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B.14C.-4D-14【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确. ⅲ解分段函数不等式 4.（2009天津卷文）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（） A.),3()1,3(+∞⋃- B.),2()1,3(+∞⋃- C.),3()1,1(+∞⋃- D.)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f解得3,1==x x。

5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(精练)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一

A．把
C1
上各点的横坐标伸长为原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 2
个单位长度，得
到曲线 C2
B．把
C1
上各点的横坐标伸长为原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 4
个单位长度，得
到曲线 C2
C．把 C1 上坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
值为 1
2
C．若方程
sin
x
π 4
1在区间 0, π 上恰有三个解，则
9 4
13 4
D．关于 x 的方程 f x
2 2
A
B在 0, π 上有两个不同的解，则 2
5 2
3．（2023 秋·江苏苏州）已知函数 f x
3
sin
x
1
2 cos2
x 2
0, 0
π
为奇函数，且
f
x
图象的相邻两对称轴间的距离为 π . 2
2
与直线 y
2 2
的相邻两个交点的距离为
π
.将
h(x)
的图象先向右平移
π 8
个单位，保持纵坐标不变，再将每个
点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 f (x) .
(1)求 f (x) 的解析式.
(2)若 g(x)
2
f
(
x
π 4
)
，且方程
g(2x)
ag
(
x)
ag
(
π 2
x)
a
1
0
在
π 4
,
π 2
个单位长度
B．向右平行移动

3.4 函数的应用(一)(精讲)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

y x (x 0) ，（2）9 千万元
【解析】（1）因为生产 A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设 y mx m 0 ，因为当 x 1时，y 0.25，
所以 m 0.25 ，所以 y 0.25x ，即生产 A 芯片的毛收入 y （千万元）与投入资金 x （千万元）的函数关系式为 y 0.25x ，
3.4 函数的应用（一）（精讲）
考点一一次函数模型【例 1】（2022 山西）若等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，则它的解析式为_____.
【答案】 y 20 2x 5 x 10
【解析】由题意，得 2x＋y＝20，∴y＝20－2x. ∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10. 又∵三角形两边之和大于第三边，
x
650,x N
41, x 650
(3)设工厂获得的利润为
L
元，则
L
54
500 50
30
500
7000，
即销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 7000 元.
【一隅三反】
1．（2022 湖南）A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需 17010 元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需 11220 元.已知学生家长与教师的人数之比为 2 :1，从 A 到 B 的火车票价格（部分）如下表所示：
学生都买学生票共 180 张， x 180 名成年人买二等座火车票， 210 x 名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y 与 x 之间的函数关系式为： y 51180 68 x 180 81210 x ，即

3.1 函数的概念及表示(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

B．3
C．4
D．5
【答案】D 【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②N 是自然数集， ③是空集为有限集，都不能用区间形式表示， ④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合。 ⑥Q 是有理数，数轴上大于 1 的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为，0 3, 故答案为：D
3.（2022·湖南·高一课时练习）用区间表示下列集合：
或是并集关系，所以集合表示为 x (, 2) 0, 故选：C
2（2022·全国·高一课时练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为(
)
① A {0,1,5,10}；②x 2 x10, x N ；③ ；④x x 是等边三角形；⑤x x 0或x 3；⑥x x 1, x Q ．
A．2
4．（2021·全国·高一专题练习）用区间表示下列数集：
（1）{x | x 1} ；
（2）{x | x 0}；
（3）{x | 1 x 1}；
（4）R；
（5）{x | 1 x 0}；
（6）{x | 0 x 1或2 x 4} ．
【答案】（1）[1, ) ；（2） (, 0) ；（3） (1,1) ；（4） (, +) ；（5）[1, 0) ；（6） (0,1) [2, 4] ．
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD 【解析】根据函数的定义，在定义域内作一条直线 x a ，将直线 x a 在定义域内左右移动，如果直线与图
象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断 C，D 选项所给图象是函数图象，故选：CD.
3 函数的定义域
1．（2022·新疆喀什·高一期末）函数 y x 2 中，自变量 x 的取值范围是（

高中数学满分精练专练6 函数及其表示解析版

高中数学满分精练专练6 函数及其表示[基础强化]一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2 ，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝x ＋1 ·x －1 ，g (x )＝x 2－12．已知函数f (x ＋1)＝x ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1)D ．f (x )＝x 2－2x (x ≥1)3．学生宿舍与办公室相距a m ，某同学有重要材料要送给老师，从学生宿舍出发先匀速跑步3 min 来到办公室，停留2 min ，然后匀速步行10 min 返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程s 是关于时间t 的函数，则这个函数的图象是( )4．若函数y ＝f (x )的定义域为[1，2 019]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域为( ) A ．[0，2 018] B ．[0，1)∪(1，2 018]C ．(1，2 018]D ．[－1，1)∪(1，2 018]5．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则函数f (x )＝( )A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －16．如图所表示的函数解析式为( )A.y ＝32|x －1|，0≤x ≤2 B ．y ＝32 －32|x －1|，0≤x ≤2 C ．y ＝32－|x －1|，0≤x ≤2 D ．y ＝1－|x －1|，0≤x ≤27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋2，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1C ．1D ．48．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5]9．(多选)下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的是( )A.f (x )＝|x | B ．f (x )＝x ＋1C ．f (x )＝－xD ．f (x )＝x －|x |二、填空题10．函数f (x )＝log 2x －1 的定义域为________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.12．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．[能力提升]13．(多选)[2023·山东潍坊期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4⎪⎪⎪⎪x －12，0≤x ≤1，af （x －1），x ＞1，其中a ∈R ，下列关于函数f (x )的判断正确的为( )A ．当a ＝2时，f ⎝⎛⎭⎫32 ＝4B ．当|a |＜1时，函数f (x )的值域为[－2，2]C ．当a ＝2且x ∈[n －1，n ](n ∈N *)时，f (x )＝2n －1⎝⎛⎭⎫2－4⎪⎪⎪⎪x －2n －12 D ．当a ＞0时，不等式f (x )≤2a x －12 在[0，＋∞)上恒成立14．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，g (x )＝f (x ＋c )＋f (x －c )，当0<c <12时，g (x )的定义域为________．15．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1（x ≥0），1x（x <0），若f (f (a ))＝－12 ，则实数a ＝________．16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．专练6 函数及其表示1．A2．C 设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋1＝t 2－2t ＋2，∴f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1).3．A4．B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，得0≤x ≤2 018且x ≠1. 5．A 设f (x )＝ax ＋b ，由f (f (x ))＝x ＋2知，a (ax ＋b )＋b ＝x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，ab ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1， ∴f (x )＝x ＋1. 6．B 当x ∈[0，1]时，f (x )＝32x ；当1≤x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝32，2k ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝3.∴当x ∈[1，2]时，f (x )＝－32x ＋3. 结合选项知选B.7．A f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a >0时，2a ＋2＝0，解得a ＝－1，舍去；当a ≤0时，a ＋2＋2＝0，解得a ＝－4，满足题意．故选A.8．C ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1，∴要使函数在[m ，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.9．ACD A 项中，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满足条件；B 项中，f (2x )＝2x ＋1，2f (x )＝2x ＋2，f (2x )≠2f (x )，不满足条件；C 项中，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满足条件；D 项中，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |＝2f (x )，满足条件．故选ACD.10．[2，＋∞)解析：由log 2x －1≥0得log 2x ≥1，x ≥2.11．－32解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，a ＝7，∴f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32. 12．[0，3)解析：由题意得ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即y ＝ax 2＋2ax ＋3与x 轴无交点，当a ＝0时y ＝3符合题意；当a ≠0时，Δ＝4a 2－12a <0，得0<a <3，综上得0≤a <3.13．AC 对于A 选项，当a ＝2时，f ⎝⎛⎭⎫32 ＝2f ⎝⎛⎭⎫12 ＝2⎝⎛⎭⎫2－4⎪⎪⎪⎪12－12 ＝4，故A 选项正确；对于B 选项，由于当0≤x ≤1时，函数的值域为[0，2]，所以当x ∈(m ，m ＋1]，m ∈N *时，f (x )＝a m f (x －m )，由于x －m ∈(0，1]，所以f (x －m )∈[0，2]，因为|a |＜1，所以a m ∈(－1，1)，所以当x ∈(m ，m ＋1]，m ∈N *时，f (x )∈(－2，2)，综上，当|a |＜1时，函数f (x )的值域为(－2，2]，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当x ∈(m ，m ＋1]，m ∈N *时，f (x )＝a m f (x －m )，故当a ＝2且x ∈[n －1，n ](n ∈N *)时，f (x )＝2n －1f (x －n ＋1)＝2n －1·⎝⎛⎭⎫2·4⎪⎪⎪⎪x －n ＋1－12 ＝2n －1⎝⎛⎭⎫2－4⎪⎪⎪⎪x －n ＋12 ＝2n －1·⎝⎛⎭⎫2－4⎪⎪⎪⎪x －2n －12 ，故C 选项正确；对于D 选项，取a ＝128 ，x ＝34，则f ⎝⎛⎭⎫34 ＝2－4×⎪⎪⎪⎪34－12 ＝1，2a x －12 ＝2×⎝⎛⎭⎫128 34－12 ＝2×⎝⎛⎭⎫128 14 ＝2×(2－8)14 ＝2×2－2＝12，不满足f (x )≤2a x －12 ，故D 选项错误． 14．(c ，1－c )解析：要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0<x ＋c <1，0<x －c <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－c <x <1－c ，c <x <1＋c . 因为0<c <12 ，所以c <x <1－c ，即g (x )的定义域为(c ，1－c ).15．4或－12解析：若f (a )≥0，则f (a )＝1，此时只能是a >0，于是a ＝4；若f (a )<0，则f (a )＝－2，此时只能是a <0，于是a ＝－12 (若a >0，由a 2－1＝－2，解得a ＝－2不满足题意). 16.22解析：由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12 ＝12 ，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12 ＝cos π4 ＝22．。

高三数学专项精析精炼考点4 函数及其表示

考点4 函数及其表示一、选择题1.（2014·浙江高考理科·Ｔ10）设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则 A.321I I I << B. 312I I I << C. 231I I I << D. 123I I I <<【解题指南】由已知条件，分别计算123,,I I I 再比较大小.【解析】选Ｂ．由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1113529919999999999I ⨯-⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭219919999=⨯=，由2211199(21)22999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2I = 150(980)98100221992999999+⨯⨯⨯=⨯⨯＜，3110219998sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 23999999999999I ππππππ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 22574(sin 2sin 2)139999ππ=⨯-⨯＞，故213I I I ＜＜2. （2014·辽宁高考理科·Ｔ12）已知定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有[],0,1x y ∈，且x y ≠，有1()()2f x f y x y -<-. 若对所有[],0,1x y ∈,()()f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为 1111()()()()2428A B C D π 【解题提示】利用已知条件构造不等式，结合绝对值不等式a b a b +≤+解决问题【解析】选B.不妨设01y x ≤<≤，当102x y <-≤时，111()()()224f x f y x y x y -<-=-≤ 当12x y ->时，()()(()(1))((0)())f x f y f x f f f y -=-+- 11111()(1)(0)()10(1)22224f x f f f y x y x y ≤-+-<-+-=--+< 综上可知，min 14k =． 3.(2014·江西高考理科·T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f(g(1))=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1【解题指南】先计算g(1),再求f(g(1)),最后进行指数式的计算.【解析】选A.g(1)=a-1,f(g(1))=5|a-1|=1,解得|a-1|=0,所以a=1.4.(2014·江西高考文科·T4)已知函数f(x)=(a ∈R),若f(f (-1))=1,则a= ( )A. B. C.1 D.2 【解题指南】分段函数的求值关键是弄清代入哪段的问题.【解析】选A.选f(-1)=2,f(f(-1))=f(2)=4a=1,解得a=.二.填空题5. （2014·上海高考理科·Ｔ4）[)2,(,),(),(2)4,_______.,,x x a f x f a x x a ∈-∞⎧==⎨∈+∞⎩设若则的取值范围为【解题提示】本题考查分段函数求值，若a>2,则f(2)=2与条件矛盾，则a ≥2,f(2)=4.【解析】若a>2,则f(2)=2与条件矛盾;若a ≥2,f(2)=4，符合条件，所以a 的取值范围为a ≤2.答案：a ≤26. （2014·浙江高考文科·Ｔ15）设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝_________；【解析】2()0()()22f af a f a⎧⎨++=⎩≤或2()0()2f af a⎧⎨-=⎩＞解得()0f a=（无解）或()2f a=-所以222aa a⎧⎨++=-⎩≤（无解）22aa⎧⎨-=-⎩＞解得a=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ；②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N*，则从A 到B 的映射个数为nm。

简单说成“前指后底”。

方法技巧清单方法一函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数234y x x =--+的定义域为ﻩ ﻩﻩ ( )Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]-解析由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C ５.求下列函数的定义域。

①y=22+•-x x .②ｙ＝()xx x -+12.③y=x x -+-116.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。

1.下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=55x和xy 2=B ．y ＝ｌnex和exy ln =Ｃ.()()()()3131+=-+-=x y x x x y 和D.xxy y 01==和２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为A. 0个Ｂ． 1个Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定３．已知函数y=22-x定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为方法三分段函数的考察 ⅰ求分段函数的定义域和值域２ｘ+２ x []0,1-∈1求函数f(ｘ)=x 21-ｘ()2,0∈的定义域和值域3 x [)+∞∈,22(2010天津文数）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A)9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ (B)[0,)+∞ (C)9[,)4-+∞(D)9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【解析】依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或 ⅱ求分段函数函数值3.（2010湖北文数）３.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.４Ｂ.14ﻩＣ.-4ﻩﻩﻩﻩＤ－14【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-,则211(())(2)294f f f -=-==,所以Ｂ正确． ⅲ解分段函数不等式 4.(2０09天津卷文)设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ) A.),3()1,3(+∞⋃- B ．),2()1,3(+∞⋃- C.),3()1,1(+∞⋃- D ．)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析由已知,函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f解得3,1==x x。

当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ,解得313><<-x x 或5.(2009天津卷理)已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a的取值范围是 A(,1)(2,)-∞-⋃+∞ Ｂ(1,2)- C(2,1)-D(,2)(1,)-∞-⋃+∞解析:由题知)(x f 在R 上是增函数，由题得a a >-22,解得12<<-a ,故选择C 。

6.（200９北京理)若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________＿___. 解析 (1)由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩．(2）由001|()|01111133333x x x x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩. ∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤,∴应填[]3,1-． 7。

(20１０天津理数)若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)＞f(-ａ),则实数ａ的取值范围是(Ａ)(－1,0)∪（0,1）（B ）（－∞,-1)∪(1,+∞）（C)（-１,０)∪（1,+∞） (Ｄ)(－∞，-1)∪(0,1) 【答案】Ｃ由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

2112220a<0()()log log log ()log ()a f a f a a a a a >⎧⎧⎪⎪>-⇒⎨⎨>->-⎪⎪⎩⎩或001-10112a a a a a a a <>⎧⎧⎪⎪⇒⇒><<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或或【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在（0,1)上时,不等号的方向不要写错。

ⅳ解分段函数方程８.（20０9北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查．由31log 232xx x ≤⎧⇒=⎨=⎩，122x x x >⎧⎨-=⇒=-⎩无解，故应填3log 2.１. (200９山东卷理）函数x xxxe ey e e --+=-的图像大致为 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ( )．解析函数有意义,需使0xxee--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C ，D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.D2．(2０0９广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示)．那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是ﻩ（ )Ａ. 在1t 时刻,甲车在乙车前面Ｂ.1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻,两车的位置相同 D ．0t 时刻后,乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线甲v 比乙v 在０~0t 、０～1t 与x 轴所围成图形面积大，则在0t 、1t 时刻,甲车均在乙车前面，选A.3.（20０９江西卷文）如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()VV t =的图象大致为 ( )A B C Ｄ解析由图可知，当质点(,)P x y 在两个封闭曲线上运动时,投影点(,0)Q x 的速度先由正到0、到负数，再到０,到正,故A 错误;质点(,)P x y 在终点的速度是由大到小接近０，故D 错误；质点(,)P x y 在开始时沿直线运动,故投影点(,0)Q x 的速度为常数，因此C 是错误的,故选B ．4(２010山东理数）(11)函数y =2ｘ－2x 的图像大致是【解析】因为当ｘ=2或4时，2ｘ -2x =0,所以排除B 、C;当x=-2时，2x －2x =14<04-,故排除D,所以选Ａ。

5(20１０安徽文数）设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是O ()t t O ()V t t O ()V t tO ()V t t yxO(,)P x y (,0)Q x【解析】当0a>时,b 、c 同号，(C ）(D)两图中0c <，故0,02bb a<->，选项（D)符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑．另外还要注意c 值是抛物线与ｙ轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.1.（２0０9全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则()A.()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C.()(2)f x f x =+Ｄ.(3)f x +是奇函数答案Ｄ解析(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--, ∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称,函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+,即(3)f x +是奇函数。

故选D２.（２009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足ｆ(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x , 则f(２00９）的值为ﻩﻩﻩﻩ( ）Ａ.－1 B. ０ C.1 D ． 2 答案 C解析由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(ｘ)的值以6为周期重复性出现．,所以f （２00９）＝ f （5）＝1，故选C ． 3.（200９江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）,且当[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+）,则(2008)(2009)f f -+的值为ﻩﻩﻩﻩ ﻩA ．2- B.1- C ．1 D.2 答案Ｃ解析1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选Ｃ．方法九函数奇偶性和对称性考察１.（２00９全国卷Ⅱ文）函数22log 2xy x-=+的图像 ﻩ ﻩﻩﻩ（ ) （A ）关于原点对称（Ｂ）关于主线y x =-对称(C) 关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称答案 A 解析由于定义域为（－2，２)关于原点对称,又f （-x)=-f （x ），故函数为奇函数，图像关于原点对称,选Ａ。