3参数估计

点估计的不足
任何点估计不是对就是错，并不能提供误差情况如何、误差程度 有多大的信息
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3.2.2 点估计的优良性标准
无偏性
ˆ) 即估计量 ˆ，如果 E ( 设总体的参数为 ，其估计量为 ˆ 是参数 的数学期望等于被估计的总体参数，我们称估计量 的无偏估计量 样本平均数是总体平均数的无偏估计量 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差
3参数估计
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学时：3 授课内容：参数估计 目的要求：掌握参数估计的基本原理、点估计与区 间估计。 旧知复习：数据搜集整理与SPSS基础
1.调查问卷基本结构如何？ 2.数据集中趋势和离散程度可用那些指标表征？ 3.如何利用SPSS取得数据的上述指标值？
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3.1参数估计的基本原理
估计、估计量与估计值

U

2 n 1
~ t n 1
n 1
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例3.7 大学生平均完成作业时间
某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每人每天 完成作业的时间为120分钟，样本标准差为30分钟，试以95%的置 信水平估计该大学平均每天完成作业时间。 解： 根据题意可知： =120，S=30，n=100且 =0.95， 2 =1.96 1 的置信区间为 故在95%的置信度下，
相合性/一致性 ˆ( X ,..., X ) 是参数 估计量，若对于任意的 ， 设 1 n ˆ( X ,..., X ) 依概率收敛于 ，则称 ˆ 为 的 当n 时 1 n
相合估计量 对任意 0 有，lim
n
ˆ | ) 0 P(| n
p z 2
p (1 p ) n 65%(1 65%) 100
65% 1.96 65% 9.35%
55.65%,74.35%
故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%～74.35%
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3.3.5区间估计的SPSS应用
正态分布的区间估计
Analyze→Descriptive Statistics→Explore→Statistics
时
U
x ~ N 0,1 n
可得到1-α置信度下，μ的置信区间为 ， x 2 x 2 n n 置信区间的宽度为
2 L 2 / 2

n
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例3.6 零件直径问题
已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件， 测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差σ =2.5mm，试建立该 种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.95。
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置信区间示意图
ˆ) f (
1-α
ˆ1
θ
ˆ 2
ˆ
置信区间表达了区间估计的精确度，置信度（置信概率） 表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率； 显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件 下尽可能提高精度
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3.3.2总体方差σ2已知时，总体均值μ的估计 x1 , x2 ,, xn 为来自总体的样本 X ~ N , 2 ， 样本均值 x 服从数学期望为μ、方差为 2 /n的正态分布，
2
注意：
无偏性、有效性、一致性之间并没有必然的联系。如无偏的未必
有效，有效的也未必无偏。
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3.2.3点估计的方法
（1）矩法
矩估计法：英国统计学家K.皮尔逊最早提出
矩在统计学中是指以数学期望为基础而定义的数字特征，如数学期 望、方差等
基本思想
样本矩估计总体矩
理论依据
大数定律
矩的分类
中心矩 原点矩
矩法的优点
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3.3.3总体方差σ2未知时，总体均值μ的估计
n≥30时
2 s 通常用样本方差 来估计，只需将
中的σ 用S 近似代替即可
x ， x 2 2 n n
n<30时
需要引入t分布 x t ~ t n 1 S n
x P t 2 S n t 2 1 即1-α 置信度下，μ 的置信区间为
样本方差
从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053
描述统计模块
• Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives→Options
均值 标准差 方差
N 净重 100 100 Descriptive Statistics
Mean 343.76
S S x t ， x t 2 2 n n
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关于t分布的一点说明
t x ( x ) / ( / n ) S n ( S n ) / ( / n ) x / n (n 1) S 2 1 2 n 1
x / n S
2 =0.95，查标 解：已知 X ~ N , ， =202.5mm，n=10， 准正态分布表，得1 =1.96，所以在1 置信度下， 的 置信区间为
2

x
x ， x 2 2 n n
计算结果为：［200.95，204.05］
,k ) 0
例：设总体X~N(μ ,σ )，x1,x2,……,xn是一个样本，试求μ 和σ 的 估计量。
3.2.4点估计的SPSS应用
估计均值、方差、标准差
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频次分析模块
Analyz→Descriptive Statistics → Frequencies Statistics
按顺序分组
计算四分点
估计：以样本统计量（样本数字特征）作为未知总体参 数（总体数字特征）的估计量。 估计量：用来估计总体参数的统计量名称 估计值：用来估计总体参数，是计算出来的估计量的具 体数值
统计估计值关系式
估计值
样本数据 所估计
=
参数
总体真正的 特性
+
方法偏差
不当抽样 所造成
+
抽样误差
抽样对象不 同所造成
3
科学的抽样估计方法具备的三个条件
k
k 1 n Xi X n i 1
数的估计量。显然，有几个待估参数，就列几个方程，最后解 方程就可估计出参数。
例：设总体X~U[a，b]，x1,x2,……,xn是一个样本，试求a和b的估 计量
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（2）极大似然估计法
一种在总体类型已知条件下使用的参数估计方法 由德国数学家高斯(Gauss)在1821年首先提出的 费歇（Fisher）在1922年再次提出，并首先研究了这种方法的一 些性质 原理
如果一个随机试验有若干种可能的条件，若在一次试验中，结果A 出现，则一般认为试验条件对A出现有利 在试验的诸多可能条件中，认为使事件A发生的概率最大的那种条 件成立
最大似然的思想
选择适当的 ˆ ，使 L( ) 取得最大值，即
L(x1, x2 ,
ˆ) max{f(x , )f(x , ) , xn , 1 2
均值 中位数 众数 样本数据值总和
设置指定的百分点
最小值 标准差 方差 最大值与最小值之差 最大值 均值标准差 数据分布的斜度 数据分布的峰度
频次分析模块（续）
Statistics 净 重 N 样本均值 Mean Std. Deviation Variance Valid Missing 100 0 343.76 4.130 17.053
要有合适的统计量作为估计量 要有合理的允许误差范围 要有一个可接受的置信度
参数估计方法
点估计 区间估计
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3.2点估计
3.2.1点估计概况
点估计的概念
点估计是直接以样本统计量作为相应总体参数的估计量 例如：用样本均值 X 直接作为总体均值 的估计值

点估计的优点
能够提供总体参数的具体估计值，可以作为行动决策的数量依据
简单易行，并不需要事先知道总体是什么分布
矩法的缺点
当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息；一般场合下， 矩估计量不具有唯一性
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矩估计法的基本思想是根据大数定律，用样本的 k 阶原点矩
Ak
Bk
1 n X ik n i 1
作为总体 k 阶原点矩 EX k 的估计，用样本的 k 阶中心矩 去估计总体的 k 阶中心矩 E X EX ， 从而得到未知参
p p ~ N (0, 1) p(1 p ) n
总体比例p在1-α置信水平下的置信区间为
p z 2
p(1 - p ) n
（ 未知时）
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例3.9 城市下岗女职工比例
某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个 下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城 市下岗职工中女性比例的置信区间。 解：已知n=100，p＝65%，1- =95%， 2 =1.96
f(xn , )}
称这样得到的 ˆ 为参数 的最大似然估计值，称统计量
ˆ g (x , x , , x ) 1 2 n
为参数 的最大似然估计量
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求极大似然估计的一般步骤
• 写出似然函数
L(x1 , x 2 ,
• 求解
, x n ;1 , 2 ,
,k ) L(1 , 2 ,
Std. Deviation 4.130
Variance 17.053
Valid N (listwise)
净重均值、方差估计值，结果同Statistics表
3.3区间估计
3.3.1基本概念
用一个区间去估计未知参数，即把未知参数值估计在某 两界限之间 设x1 , x2 ,, xn 是来自密度 f ( X , ) 的样本对给定的 ， (0 1) 如能找到两个统计量 1 ( x1 , x2 ,, xn )及 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ，使 得 P{1 ( x1 , x2 ,, xn ) 2 ( x1 , x2 ,, xn )} 1 ，则 1 是置信度，置信度也称为置信概率。 1 x1, x2 ,, xn ,2 x1, x2 ,, xn 是置信度为1 的θ的置信区 间, 称为显著性水平（Significance Level） 置信度+显著性水平=1 区间 [1 ,2 ] 是随机区间，不同样本会得到不同区间