大学生数学竞赛(非数)试题及答案

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.

一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算)cos 1(cos 1lim 0

x x x x --+→= . (2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim 2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= . （1）21. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2.

二、（5分）计算dxdy x y D ⎰⎰-2，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：.

解：dxdy x y D ⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(20210-⎰⎰+dy x y dx x )(12102⎰⎰- -------------4分 =3011 -------------5分. 姓

名

：

身

份

证

号

所在院

校

：

年级

专

业

线

封

密

注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

三、（10分）设)](sin[2

x

f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dx y d .

解：)],(cos[)(222x f x f x dx

dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dx

y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值.

解：)23(232123ln 0ln 0x a x a

x

x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以

dt t dx e e a a

x x ⎰⎰--

=-⋅231ln 02123---------6分 =a

t 2312

3

3221-⋅-------------7分

=]1)23([3

13--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =3

1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分

亦即023=-a -------------14分

所以2

3=a -------------15分.

五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e y x ==1

的特解. 解：原方程可化为 x

e y x y x =+'1-----------2分 这是一阶线性非齐次方程，代入公式得

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-

C dx e x e e y dx x x dx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e x x x

ln ln ----------5分 =[]

⎰+C dx e x

x 1-----------6分 =)(1C e x x +.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e x

y x +=

.----------8分 再由条件e y x ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分 因此，所求的特解是x

e y x =.----------10分. 六（10分）、若函数()

f x 在(,)a b 内具有二阶导 数，且123()()()f x f x f x ==，其中

123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，

由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分

同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分

姓名： 身份证号： 所在院校： 年级： 专业： 线 封 密

对于函数)(x f '，由已知条件知)(x f '在[1ξ，2ξ]上连续，在（1ξ，2ξ）内可导，且)(1ξf '=)(2ξf '=0，由罗尔定理知至少存在一点∈ξ（1ξ，2ξ），使0)(=''ξf ，而1ξ，2ξ）),(31x x ⊂，故结论得证----------10分.

七、（15分）已知曲线，x

e y =x y sin =和直线0=x ，1=x 围成平面图形D . （1）求平面图形D 的面积A ； （2）求D 绕x 轴旋转所成立体的体积. 解：（1）10(sin )x A e x dx =-⎰-----------2分 10(cos )x e x =+-----------4分 cos12e =+------------5分 （2）因为⎰=b a x dx x

f V )(2π，-----------6分 所以dx x e V x x )sin (1022⎰-=π-----------9分 =120111sin 2224x e x x π⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦------------11分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--2sin 4121)1(212e π-----------13分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1)2sin 21(212e π .--------------15分.

八、（15分）设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数 )(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定： 2=-xy e xy 和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求du dx . 解：dx dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=， （1）---------4分 姓

名

：

身份证号：

所在院

校

：

年级：

专业： 线

封

密