【最新】山东省潍坊市高考数学一模文科试卷含答案

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2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C.D.2.若复数z满足（1+i）z=|3+4i|，则z的虚部为（）A. 5B.C.D.3.设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率为（）A. B. C. D.5.执行如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为（）A. 0B. eC. 0或eD. 0或16.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ=-，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x=（）A. B. C. D.7.若函数f（x）=2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是8.y=4cos x-e|x|图象可能是（）A. B.C. D.9.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为（）A. B. 8 C. D.10.已知偶函数y=f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.11.已知不共线向量，夹角为α，||=1，||=2，=（1-t），=t（0≤t≤1），||在t=t0处取最小值，当0＜t0＜时，α的取值范围为（）A. B. C. D.12.定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b-a，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值是______．14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，若sin C-cos C=0，a=，b=4，则BD的长为______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限），若|GF|=4，|MN|=2|MF|，则p=______．16.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是______．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB=BM，则AM⊥B1D；④若AB=BM=1，当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4=9a2，S3=13，且公比q＞0．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，∠BAA1=45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1=AB=2，∠A1AC=45°，D为CC1的中点，求三棱锥D-A1B1C1的体积．19.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为1m2，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数．附：回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=-．20.如图，点T为圆O：x2+y2=1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得=，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|=1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=x lnx-（a+1）x，g（x）=f（x）-a（x2-x-1），a∈R．（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间；（2）设F（x）=e x+x3+x，若x1，x2为函数g（x）的两个不同极值点，证明：F（x1x22）＞F（e2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos （）=-2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）=f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满足=t，求证：g（m+2）+g（2n）≥2．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．【解答】解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A B={x|x＞0}．故选：B．2.【答案】C【解析】解：由（1+i）z=|3+4i|=，得z=，∴z的虚部为-．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设b=t，a=2t则c==t∴离心率e==．故选：C．先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b 的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．5.【答案】C【解析】解：程序对应的函数为y=，若x≤0，由y=1得e x=1，得x=0，满足条件．若x＞0，由y=2-lnx=1，得lnx=1，即x=e，满足条件．综上x=0或e，故选：C．根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ=-，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则：x＜0，利用三角函数的定义：，解得：x=-6．故选：D．直接利用三角函数的定义的应用求出x的值．本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=2sin（x+2θ）•cosx（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，∴2θ=，∴θ=，故f（x）=2sin（x+2θ）•cosx=2cos2x=cos2x+1，当x=时，f（x）=1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为=π，故C不正确；显然，f（x）=cosx+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）=cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：显然y=4cosx-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；又当x=0时，y=4-1=3＞0，排除B，故选：D．判断函数的奇偶性，计算函数与y轴的交点坐标即可判断出答案．本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵a=6，b+c=8．p===7．∴S2=7×（7-6）×（7-b）（7-c）=7[bc-7（b+c）+49]=7（bc-7）≤=7×9，当且仅当b=c=4时取等号．∴S≤3．故选：A．a=6，b+c=8．可得p==7．代入S2=p（p-a）（p-b）（p-c），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了秦九韶与海伦公式计算三角形面积公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x=（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°-β，则有sinα＞sin （90°-β）=cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sinα＞sin（90°-β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意有：不共线向量，夹角为α，||=1，||=2，由=（1-t），=t（0≤t≤1），得：==t-（1-t），所以||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质有：当t=t0=时，||取最小值，即0＜，解得-＜cosθ＜0，又θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．由平面向量的线性运算得：得：==t-（1-t），由向量模的运算得：||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质可得：当t=t0=时，||取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围，属中档题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，⇒或，方程5x2-27x+26=0有两个根，x1=或x2=，则原不等式的解集为：（1，]（2，]，其解集区间的长度为（-2）+（-1）=-3=故选：B．根据题意，分析可得⇒或，进而求出不等式的解集，结合区间长度的定义分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于基础题．13.【答案】3【解析】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A（3，0）时，直线的截距最小，此时z最大，此时z的最大值为z=3-2×0=3．故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值；本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.【答案】1【解析】解：由sinC-cosC=0得sinC=cosC，即tanC==，∴C=30°，∵D为AC的中点，b=4，∴CD=2，则BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=3+4-2×2×=7-6=1，即BD=1，故答案为：1．根据条件先求出C的大小，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理是解决本题的关键．比较基础．15.【答案】2【解析】解：如图，过M作MH⊥l=H，由|MN|=2|MF|，得|MN|=2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y=（x-），联立，得12x2-20px+3p2=0．解得：，则|GF|=，即p=2．故答案为：2．由已知|MN|=2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．16.【答案】②④【解析】解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC （定值），由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD=MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD=MD，显然不成立．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．．本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题17.【答案】解：（1）由题意可得，解得a1=1，q=3，＞∴a n=3n-1，S n==，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，∵S1+λ=λ+1，S2+λ=λ+4，S3+λ=λ+13，∴（λ+4）2=（λ+1）（λ+13），解得λ=，此时S n+λ=×3n，则=3，故存在常数，使得数列{S n+}是等比数列．【解析】（1）由题意可得，解得a1=1，q=3，根据通项公式和求和公式即可求出，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，分别令n=1，2，3，根据等比数列的性质求出λ的值，再根据定义证明即可．本题考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．18.【答案】证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴CO⊥平面AA1B1B，∴CO⊥OB，∵CA=CB，CO=CO，∠COA=∠COB=90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴OA=OB，∵∠A1AB=45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平面BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）由（1）知OA=OB，∵AB=，BB1=2，∴OA=OB=1，∵∠A1AC=45°，CO⊥AO，∴CO=AO=1，==△ ，△ =，∵OB⊥平面AA1C1C，∴h=OB=1，∴三棱锥D-A1B1C1的体积：=．【解析】（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，推导出CO⊥OB，AA1⊥OB，AA1⊥CO，从而AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）推导出OA=OB=CO=1，从而==，由此能求出三棱锥D-A1B1C1的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：=（0+1+2+3+4）=2，=（15+12+11+9+8）=11，（x i-）（y i-）=-17，=10，故=，=，故=-x+；（2）由回归方程得：x=2时，y=11，x=3时，y=，x=4时，y=，故平均数是=9.13，故一株产量的平均数是9.13kg．【解析】（1）求出相关系数，求出回归方程即可；（2）代入x的值，求出y的预报值，求平均数即可．本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及平均数问题，是一道常规题．20.【答案】解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意=，即A为PB的中点∴x=2x0，y=-y0，即x0=x，y0=-y，∵x02+y02=1故点P的轨迹C的方程为+y2=1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y=kx+t，∵|AB|=1，∴（-）2+t2=1，即+t2=1，①联立，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2-1）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2t=，∵四边形OMQN为平行四边形，故Q（-，），∴（-）2+（）2=1，整理可得4t2=4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1=0，该方程无解，故这样的直线不存在．【解析】（1）设T（x0，y0），P（x，y），通过=，即A为PB的中点，转化求解，点P 的轨迹C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+t，先根据|AB|=1，可得+t2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t2=4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1=0，该方程无解，问题得以解决本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=1+ln x-a-1=ln x-a．若a≤0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，由ln x-a=0，解得x=e a，当x∈（1，e a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（e a，+∞）时，f′（x）＞0，f （x）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调减区间为（1，e a），f（x）的单调增区间为（e a，+∞）；（2）证明：∵F′（x）=e x+3x2+1＞0，∴F（x）在R上单调递增，要证F（x1x22）＞F（e2），即证x1x22＞e2，也就是ln x1+2ln x2＞2，又g（x）==，g′（x）=1+ln x-ax-1=ln x-ax，∴x1，x2为方程ln x=ax的两个根，即，即证ax1+2ax2＞2，即a（x1+2x2）＞2．而①-②得，，即证：＞2．不妨设x1＞x2，t=＞1，则证：＞2，变形得＞2，∴＞2，ln t-＞0，设h（t）=ln t-，则h′（t）=＞0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）=0．即结论成立．【解析】（1）求出原函数的导函数f′（x）=1+lnx-a-1=lnx-a，可得a≤0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（2）由F′（x）=e x+3x2+1＞0，得F（x）在R上单调递增，把证F（x1x22）＞F（e2），转化为证x1x22＞e2，也就是lnx1+2lnx2＞2，进一步转化为正a（x1+2x2）＞2，再由，得到证明＞2，不妨设x1＞x2，t=＞1，化为证明lnt-＞0，设h（t）=lnt-，利用导数证明h（t）＞h（1）=0即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1，直线l的极坐标方程为cos（）=-2．转换为直角坐标方程为：x-y+2=0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（，）（2，）．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）由f（x）=|x-1|-2|x+1|=，，＜＜，，∴f（x）max=f（-1）=2，即t=2，证明：（2）g（x）=|x-1|，由+=2，知g（m+2）+g（2n）=|m+1|+|2n-1|≥|m+1+2n-1|=|m+2n|=|（m+2n）•（+）|=|++2|≥|2+2|=2，当且仅当=，即m2=4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．【解析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。

山东省潍坊市高考一模(文科)数学试卷有答案

山东省潍坊市2017年高考一模数学（文科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合*={|2,}A x x n n N =∈，12{2}B x =≤，则A B （）A ．{2}B ．{2,4}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}2．已知复数z 满足(1i)i z -=，则复数z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：对任意,x ∈R 总有22x x >；q ：“1ab >”“1a >，1b >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．已知函数()log (01)a f x x a =<<，则函数(||1)y f x =+的图象大致为（）ABCD5．如图正方形的曲线C 是以1为直径的半圆，从区间[]0,1上取1600个随机数1x ，2x ，…，800x ，1y ，2y ，…，800y ，已知800个点11(,)x y ，22(,)x y ，…，800800(,)x y 落在阴影部分阴影部分的个数为m ，则m 估计值为（）A ．157B ．314C ．486D ．628 6．运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．87．下列结论中错误的是（） A ．若02πα<<，则sin tan αα<B ．若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点 (3,4)P k k (0)k ≠，则4sin 5α=D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．16πB ．8πC ．16π3D ．8π39．已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的一条渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为2b （其中c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）ABCD10．已知函数()y f x =满足(2)(2)0f x f x ++-=，2244,2()44,2x x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨-+-<⎪⎩，若曲线()y f x =与g()y x =交于111(,)A x y ，222(,)A x y ，…，(,)n n n A x y ，则1(,)ni i i x y =∑等于（）A ．4nB ．2nC ．nD ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知向量a ，b ，其中||2a =，||1b =，且()a b a +⊥，则|2|a b -=____． 12．已知正数a ，b 满足4a b ab +=，则a b +的最小值为____．13．设变量x ，y 满足约束条件0{30260y x y x y ≥+-≤-+≥，则目标函数2z x y =-的最小值为____．14．已知抛物线C ：24y x =的焦点F ，直线mn 过焦点F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，D 为线段MF 上一点，且||2||MD NF =，若||1DF =，则||MF =____．15．对于函数()y f x =，若其定义域内存在不同实数1x ，2x ，使得()1(1i i x f x i ==，2)成立，则称函数()y f x =具有性质P ，若函数()xe f x a=具有性质P ，则实数a 的取值范围为____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知A 为锐角，且sin cos sin cos b A C c A B +=．（1）求角A 的大小；（2）设函数1()tan sin cos cos22f x A x x ωωω=-(0)ω>，其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =图象，求函数()g x 在区间ππ,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域． 17．空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数．空气质量分分级与AQI 大小关系如表所示：某环保人士从2016年11月甲地的AQI 记录数据轴，随机抽取了7天的AQI 数据，用茎叶图记录如下：（Ⅰ）若甲地每年同期的空气质量状况变化不大，请根据统计数据估计2017年11月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；（Ⅱ）从甲地的这7个数据中任意抽取2个，求AQI 均超过100的概率．18．在如图所示的空间几何体中，EC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，CE BF ∥，且2C E B F =，G ，H ，P 分别为AF ，DE ，AE 的中点．求证：（Ⅰ）GH ∥平面BCEF ；（Ⅱ）FD ⊥平面ACE ．19．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1(1){c }n nn na b --=，求数列{c }n 的前n 项和n T ．20．设2()x e f x ax a e =-+，1()ln g x x x=+．（Ⅰ）设()()()x xe exh x f x g x xe -=-+，讨论()y h x =的单调性；（Ⅱ）证明：对任意1(,)2a ∈-∞，(1,)x ∃∈+∞，使()g()f x x <成立．21．已知椭圆C 与双曲线221y x -=．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若A 为椭圆C 的下顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 的两点，直线AM 与AN 的斜率之积为1．（ⅰ）求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标；（ⅱ）若O 为坐标原点，求OM ON ⋅的取值范围．山东省潍坊市2017年高考一模数学（文科）试卷答案一、选择题 1~5．BCDAB6~10．CCDBB二、填空题 11．12．9 13．12-14．8315．1(,0)e-三、解答题16．（Ⅰ）∵sin cos sin cos b A C c A B +，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin cos B A C C A B A +=， ∵A 为锐角，sin 0A ≠，∴sin cos sin cos B C C B +sin()=sin B C A += ∴π3A =（Ⅱ）∵π3A =，可得：tan A =∴11()cos cos 22cos 2sin(2)226f x x x x x x x πωωωωωω=-=-=-∵其图像上相邻两条对称轴间的距离为π2，可得：π2π222T ω=⨯=，解得：1ω=，∴π()sin(2)6f x x =-，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到图象对应的函数解析式为y =πππ()sin[2()]sin(2)463g x x x =+-=+∵ππ,244x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得：ππ5π2,346x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴π1()sin(2),132g x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦17．（Ⅰ）由7天的AQI 数据的茎叶图，知：这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此估计2017年11月甲地空气质量为良的天数为：26030==977⨯（天）（Ⅱ）甲地的这7个数据中任意抽取2个2721n c ==，甲地的这7个数据中AQI 超过100的数据有5个，∴抽取的2天的AQI 均超过100，包含的基本事件个数2510m c ==， ∴AQI 均超过100的概率1021m p n ==． 18．（Ⅰ）证明：取EC 中点M ，FB 中点N ，连接HM ，GN ．则HM 平行且等于12DC ，GN 平行且等于12ABAB CD ∵∥，∴HM 平行且等于GN ，∴HMNG 是平行四边形，GH MN ∴∥，∵GH ⊄平面BCEF ，MN ⊂平面BCEF ， ∴GH ∥平面BCEF ；（Ⅱ）连接BD ，与AC ，交于O ，连接OP ，则OP 平行且等于FB ， ∴PFBO 是平行四边形， ∴PF BO ∥，∵BO AC ⊥，BO PC ⊥，AC PC C =，∴BO ⊥平面ACE ， ∴FP ⊥平面ACE ．19．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比q 大于0，又1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=．111221a d q =--++=-∴，，∴23(1)3227d q ⨯-++⨯=，解得2d =-，2q =．∴12(1)23n a n n =-+-=-，2n n b =．（Ⅱ）11(1)(1)(23)2n n n n nn a n c b -----==， ∴数列{}n c 的前n 项和23411352222n T -=-+-+…+211(1)(25)(1)(23)22n n n n n n -------+，23411132222n T =--++…+211(1)(25)(1)(23)22n n n n n n --+----+， 11112311111[1()]311111(1)(23)1(1)(23)22+(1)+12222222221()2n n n n n n n n n n T -----++------=--+-+-⨯=-++--∴…，11521(1)(23)=+99232n n n nn T -----+⨯∴（）． 20．（Ⅰ）2()()()ln x xe exh x f x g x ax x a xe -=-+=--，则2121()2ax h x ax x x-'=-=，0a ≤时，()h x 在(0,)+∞递减，0()0x a h x '>>>令，解得：时，令()0h x '<，解得：0x <<，故()h x在递减，在)+∞递增；（Ⅱ）由题意得：21ln x e ax a x e x -+<+， (1,)x ∃∈+∞，21ln x eax a x x e-+<-，设()x xe exk x xe -=，若记1()x k x e ex =-，则1()x k x e e '=-111()0()(1,)x k x k x '>>+∞时，，在当递增，11()(1)0k x k >=，若0a ≤，由于1x >，故()()f x g x <恒成立，若102a <<，设2()(1)ln h x a x x =--，由（Ⅰ）x ∈时，()h x 递减，+)x ∈∞时，()h x 递增，故(1)0h h <=，而0k >，即存在1x =>，使得()()f x g x <，故对任意(,0)a ∈-∞，(1,)x ∃∈+∞使得()()f x g x <成立． 21．（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221y x a b+=(0)a b >>，由题意可得222a b -=，c e a ==c =解得1a b ==，即有椭圆的标准方程为2213y x +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设11(,)M x y ， 22(,)N x y ，由(0,A ，直线AM 与直线AN 的斜率之积为1，可得12121y y x x ++⋅=，即有121212)3x x y y y y =++，由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN ：y kx t =+，代入椭圆方程，可得222(3)230k x ktx t +++-=，可得212233t x x k -=+，12223kt x x k +=-+， 212122226()2233k t ty y k x x t t k k +=++=-=++， 22222221212122223233()()333t kt t k y y k x x kt x x t k kt t k k k--=+++=⋅+-+=+++，则22222233363()3333t t k tk k k --=++++，化为260t ++=，解得t =-（，则直线MN的方程为y kx =-即直线MN过定点，该定点坐标为(0,-，（ⅱ）由（ⅰ）222222121222223334334533333t t k t k k OM ON x x y y k k k k -----⋅==+==++++可得，由2223+)230k x ktx t ++-=（，可得22222244(3)(3)4836(3)0k t t k k k ∆=--+=-+>，解得2k 9>令23k m +=，则12m >，且23k m =-，即有22453453(3)5433k m k m m---==-+，由12m >，可得543332m -<-<．则OM ON ⋅的取值范围是3(3,)2-．山东省潍坊市2017年高考一模数学（文科）试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】∵*={|2,}{2,4,6,...}A x x n n N =∈=，12{2}={|04}B x x x =≤≤≤， ∴{2,4}AB =，故选：B ．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】∵(1)i z i -=，∴(1)(1)(1)i i z i i +-=+，∴21z i =-，∴1122z i =-+，则复数1122z i =--在复平面内的对应点11(,)22--位于第三象限．故选：C ．3．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p ：是假命题，例如取2x =时，2x与2x 相等．q ：由“1a >，1b >”⇒：“1ab >”；反之不成立，例如取10a =，12b =．进而判断出结论．【解答】命题p ：对任意x R ∈，总有22x x >；是假命题，例如取2x =时，2x 与2x 相等．q ：由“1a >，1b >”⇒：“1ab >”；反正不成立，例如取10a =，12b =∴“1ab >”是“1a >，1b >”的必要不充分条件，是假命题． ∴下列命题为真命题的是()p q ∧⌝，故选：D ．4．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．【解答】由题意，0x =，(1)0y f ==，排除CD ．1x =，(2)0y f =<，排除B ，故选A ．5．【考点】模拟方法估计概率．【分析】以面积为测度，建立方程，即可得出结论．【解答】由题意，11248001m π⋅=，∴314m =，故选B ．6．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得87n >≥，即可得解输入的正整数n 的值．【解答】模拟程序的运行，可得1A =，1B =，3k =满足条件k n ≤，执行循环体，2C =，1A =，2B =，4k =，满足条件k n ≤，执行循环体，3C =，2A =，3B =，5k = 满足条件k n ≤，执行循环体，5C =，3A =，5B =，6k = 满足条件k n ≤，执行循环体，8C =，5A =，8B =，7k = 满足条件k n ≤，执行循环体，13C =，8A =，13B =，8k = 由题意，此时应该不满足条件8n ≤，退出循环，输出C 的值为13，可得：87n >≥，所以输入的正整数n 的值是7．故选C ．7．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】若02πα<<，则sin sin tan cos αααα<=，故A 正确；若α是第二象限角，即(2,2)k k απππ+，k Z ∈，则(,)22k k απππ∈+，为第一象限或第三象限，故B 正确；若角α的终边过点(3,4)P k k (0)k ≠，则4sin 5||k k α=，不一定等于45，故C 不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长6222=-⨯=，其中心角的大小为弧度212=弧度，故选C ．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积【解答】由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为211824233ππ⨯⨯⨯⨯=故选D ．9．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为2b ，结合勾股定理，推出a ，b ，c 关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的一条渐近线方程为0bx by +=，圆222()4x c y a -+=的圆心到b =∵渐近线被圆222()4x c y a -+=截得的弦长为：，2b ∴2224b b a +=，∴222b a =，即223c a =， ∴e = 故选B ．10．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得()f x 的图象关于点(2,0)对称；画出g()y x =的图象，可得g()x 的图象也关于点(2,0)对称，即有()f x 与g()x 的交点关于点(2,0)对称，相加计算即可得到所求和．【解答】函数()f x 满足，(2)(2)0f x f x ++-= 可得()f x 的图像关于点(2,0）对称；22(){44,244,2g x x x x x x x =-+>-+-<由可得图像如右，即有()f x 与()g x 的交点关于点(2,0）对称， 111()nnni i i i i i i x y x y ===+=+∑∑∑则，即有10ni i y ==∑，可设1n n n t x x x =+-+，121n n n t x x x x --=++++…，相加可得12112()()()=444=4n n n t x x x x x x n -=+++++++++……，解得2t n =．故选B ．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据()a b a +⊥得出()0a b a +⋅=，求出a b ⋅的值，再计算2(2)a b -，从而求出|2|a b -． 12．【考点】基本不等式．【分析】正数a ，b 满足4a b ab +=4a+b=ab ，即411b a+=．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．13．【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，再利用2z x y =-，几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，过可行域内的点(6,0)A -时的最小值，从而得到z 最小值即可． 14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意F (1,0)，设直线MN 方程为1x my =+．将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，得2440y my --=．由此能够求出直线的斜率，可得||MF ．15．【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程x xe a =在R 上有两个不同的实数根，设()x g x xe =并求出g ()x '，由导数与函数单调性的关系，判断出g()x 在定义域上的单调性，求出g()x 的最小值，结合g()x 的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a 的取值范围． 16．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由正弦定理可得：sin sin cos sin sin cos a B A C C A B A +=，由于sin 0A ≠，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，结合A 的范围即可得解A 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)6f x x πω=-，由已知可求T ，利用周期公式可求ω，利用三角函数平移变换可求()sin(2)3g x x π=+，由x 的范围，利用正弦函数的性质可求g()x 的值域．17．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此能估计2017年11月甲地空气质量为良的天数．（Ⅱ）甲地的这7个数据中任意抽取2个，基本事件总数2721n c ==，甲地的这7个数据中AQI 超过100的数据有5个，抽取的2天的AQI 均超过100，包含的基本事件个数2510m c ==，由此能求出AQI 均超过100的概率．18．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EC 中点M ，FB 中点N ，连接HM ，GN ，证明MNG HMNG 是平行四边形，可得GH MN ∥，即可证明GH ∥平面BCEF ；（Ⅱ）连接BD ，与AC ，交于O ，连接OP ，则OP 平行且等于FB ，证明BO ⊥平面ACE ，即可证明FP ⊥平面ACE ．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）11(1)(1)(23)2n n n n nn a n c b -----==，利用“错位相加法”与等比数列的求和公式即可得出． 20．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数()h x 的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为证明：(1,)x ∃∈+∞，21ln x e ax a x x e--<-，设()x xe ex k x xe -=，设2()(1)l n h x a x x =--，通过讨论a 的范围求出函数的最值，从而证明结论即可． 21．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221y x a b+=（a ＞b ＞0），由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，运用直线的斜率公式，设出设直线MN ：1y kx =+，代入椭圆方程，可得222(3)230k x ktx t +++-=，运用韦达定理，结合M ，N 在直线上，满足直线方程，化简整理，可得t 的方程，解方程可得t ，即可证得直线MN 恒过定点；（ii ）由（i ）可得1212OM ONx x y y ⋅=+，运用（i ）的结论，由判别式大于0，化简整理，并运用换元法，由不等式的性质，即可得到所求范围．。

山东省潍坊市高三数学一模考试试卷附解析

11.【解析】【解答】由题意知：
，故
，
∴
，A 不符合题意；
，B 符合题意；
，C 符合题意；
，故答案为：BC
，显然
，D 不符合题意；
【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到各个选项进行逐一的判断即可．
，由此对
12.【解析】【解答】因为
所以 A 符合题意.
又
可化为
6.【解析】【解答】原式
，所以展开式中含
中项为
，和
中
，这两项的系数和为 11+1=12.
故答案为：C
的项包含的项为
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，得出结论． 7.【解析】【解答】由题意知：
，而
，
∴
在定义域内单调减，故
，那么 B 不符合题意；
，A 不符合题意；
在第一象限的单调递增知定义域内单调递减，即故答案为：D
，求导列出不等式，求出 z 的范围，即可判断选项 D．三、填空题
13.【解析】【解答】由题意可得，是正方形的对角线长，故
，
又
所以
.
故答案为： .
即可判，
【分析】由
得
.
14.【解析】【解答】由于正弦函数故答案为：sinx
为奇函数，且存在极值
【分析】根据题意，分析可得 f〔x〕可以为正弦函数，即可得答案．
交于点
为坐标原点，且
，那么
________．
16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出奉献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如下列
图，其中扇形
的半径为 10，
，假设按此方案设计，工

山东省潍坊市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析

山东省潍坊市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（），再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ=-+=- 故选B ．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x x f x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4．设复数z 满足z i i z i -=+，则z =（） A ．1B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】由()(1)11z i i z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.5．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数；③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …．那么正确论断的编号是（）A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明.【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=，所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=，所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+，则()27f -=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.6．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（）A ．1B ．2CD ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.7．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】先求得222sin111n1nn n n nθ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t--≥，利用单调性解得t的范围. 【详解】由题意知sin2nn nθ=+，∴222sin111n1nn n n nθ==-++，∴22223122222sin sinsin sin1111111111 12322334n1n1nn nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n的增大而增大，∴11112n1≤-<+,∴2221t t--≥，即2210t t--≥，又f(t)=221t t--在t1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，∴正整数t的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 8．如图，在ABC∆中，23AN NC=u u u v u u u v，P是BN上一点，若13AP t AB AC=+u u u v u u u v u u u v，则实数t的值为（）A．23B．25C．16D．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC=+u u u r u u u r（1﹣m）ABu u u r，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB=+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC=u u u r u u u r，所以25AN AC=u u u r u u u r，∴25AP mAC=+u u u r u u u r（1﹣m）ABu u u r，又AP=u u u rt13AB AC+u u u r u u u r，所以12153m tm-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m56=，t16=，故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 9．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（）A ．12B ．21C ．24D ．36【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()212a a S +== 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.10．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（）A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =- 【答案】C【解析】【分析】由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.11．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T?（） A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】 {}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ， {}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．12．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案.【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ；若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年潍坊市高考一模数学(答案)

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2022年山东省潍坊市高考数学一模试卷及答案解析

2022年山东省潍坊市高考数学一模试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ={x|y =√4−x}，B ＝{1，2，3，4，5}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{2，3，4}2．（5分）已知复数z 满足z +3＝4z +5i ，则在复平面内复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知a ＞0，则“a a ＞a 3”是“a ＞3”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（） A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π35．（5分）已知α∈（0，π2），且3cos2α+sin α＝1，则（） A ．sin(π−α)=23 B ．cos(π−α)=−23C ．sin(π2+α)=−√53D ．cos(π2+α)=−√536．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．43D ．457．（5分）第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（）A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种8．（5分）设函数y =sin(2x +π3)在区间[t ，t +π4]的最大值为g 1（t ），最小值为g 2（t ），则g 1（t ）﹣g 2（t ）的最小值为（） A ．1B ．√22C ．√2−12D ．2−√22二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（）A ．甲得分的30%分位数是31B ．乙得分的众数是48C ．甲得分的中位数小于乙得分的中位数D ．甲得分的极差等于乙得分的极差（多选）10．（5分）已知向量OP →=（1，2），将OP →绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到OP 1→，OP 2→，OP 3→的位置，则（） A ．OP 1→⋅OP 3→=0 B ．|PP 1→|=|PP 2→|C ．OP →⋅OP 3→=OP 1→⋅OP 2→D ．点P 1坐标为（√3−12，1+2√32）（多选）11．（5分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，一条光线从点P （2，1）射出经x 轴反射，下列结论正确的是（）A ．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3＝0B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x ﹣2y ﹣4＝0C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|BA |＝2D ．若反射光线与圆C 交于M 、N 两点，则△CNM 面积的最大值为12（多选）12．（5分）已知同底面的两个正三棱锥P ﹣ABC 和Q ﹣ABC 均内接于球O ，且正三棱锥P ﹣ABC 的侧面与底面所成角的大小为π4，则下列说法正确的是（）A ．P A ∥平面QBCB ．设三棱锥Q ﹣ABC 和P ﹣ABC 的体积分别为V Q ﹣ABC 和V P ﹣ABC ，则V Q ﹣ABC ＝4V P ﹣ABCC ．平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍D ．二面角P ﹣AB ﹣Q 的正切值为−53三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为（0，2），则C 的准线方程为． 14．（5分）已知函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，则f （﹣1）+f （log 312）＝．15．（5分）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为 2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为尺．16．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，且f （x +1）为偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=√x ，若关于x 的方程|f （x ）|+f （|x |）＝ax 有4个不同实根，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S 3＝a 3+6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）在①a =√7，②AC 边上的高为3√32，③sinB =√217这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，c ＝b +1，______．（1）求c 的值；（2）设AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．19．（12分）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D 模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响．（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．20．（12分）图1是由矩形ACC 1A 1、等边△ABC 和平行四边形ABB 1A 2组成的一个平面图形，其中AB ＝2，AA 1＝AA 2＝1，N 为A 1C 1的中点．将其沿AC ，AB 折起使得AA 1与AA 2重合，连结B 1C 1，BN ，如图2．（1）证明：在图2中，AC ⊥BN ，且B ，C ，C 1，B 1四点共面；（2）在图2中，若二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，且tanθ=−12，求直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，点（1，√22）在C 上．（1）求C 的方程；（2）若过动点P 的两条直线l 1，l 2均与C 相切，且l 1，l 2的斜率之积为﹣1，点A （−√3，0），问是否存在定点B ，使得PA →•PB →=0？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调区间；（2）当a ＝1时，令g （x ）=2f(x)x 2． ①证明：当x ＞0时，g （x ）＞1；②若数列{x n }（n ∈N *）满足x 1=13，e x n+1=g(x n )，证明：2n (e x n −1)＜1．2022年山东省潍坊市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ={x|y =√4−x}，B ＝{1，2，3，4，5}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{2，3，4}【解答】解：∵集合A ={x|y =√4−x}={x |x ≤4}， B ＝{1，2，3，4，5}， ∴A ∩B ＝{1，2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足z +3＝4z +5i ，则在复平面内复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ， ∵z +3＝4z +5i ，∴a +bi +3＝4（a ﹣bi ）+5i ＝4a +（5﹣4b ）i ， ∴{a +3=4a b =5−4b ，解得{a =1b =1， ∴在复平面内复数z 对应的点（1，1）在第一象限．故选：A ．3．（5分）已知a ＞0，则“a a ＞a 3”是“a ＞3”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a a ＞a 3⇔a ＞3或0＜a ＜1，∴当a ＞0时，则“a a ＞a 3”是“a ＞3”的必要不充分条件．故选：B ．4．（5分）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（） A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π3【解答】解：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体是底面半径为2，高为2的圆柱体，该圆柱体的体积为V ＝π×22×2＝8π．故选：B ．5．（5分）已知α∈（0，π2），且3cos2α+sin α＝1，则（）A ．sin(π−α)=23B ．cos(π−α)=−23C ．sin(π2+α)=−√53D ．cos(π2+α)=−√53【解答】解：∵α∈（0，π2），且3cos2α+sin α＝3﹣6sin 2α+sin α＝1， ∴﹣6sin 2α+sin α+2＝0，求得sin α=23，或sin α=−12（舍去）， ∴sin （π﹣α）＝sin α=23，故A 正确；cos （π﹣α）＝﹣cos α=−√1−sin 2α=−√53，故B 错误； sin （π2+α）＝cos α=√53，故C 错误；cos （π2+α）＝﹣sin α=−23，故D 错误，故选：A ．6．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．43D ．45【解答】解：双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，可得a +c ＝36， F 到渐近线的距离为12，可得b ＝12，所以144＝c 2﹣a 2，解得a ＝16，c ＝20，则该双曲线的离心率为：2016=54，故选：B ．7．（5分）第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（） A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种【解答】解：由题意有一名女生的选法有C 21C 42•A 33，没有女生的选法有C 43A 33，因此至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有C 21C 42•A 33+C 43A 33=96，故选：C ．8．（5分）设函数y =sin(2x +π3)在区间[t ，t +π4]的最大值为g 1（t ），最小值为g 2（t ），则g 1（t ）﹣g 2（t ）的最小值为（） A ．1B ．√22C ．√2−12D ．2−√22【解答】解：因为函数y =sin(2x +π3)，所以其最小正周期为T =2π2=π，而区间[t ，t +π4]的区间长度是该函数的最小正周期的14，因为函数y =sin(2x +π3)在区间[t ，t +π4]的最大值为g 1（t ），最小值为g 2（t ），所以当区间[t ，t +π4]关于它的图象对称轴对称时，g 1（t ）﹣g 2（t ）取得最小值，对称轴为t+t+π42=t +π8，此时函数y =sin(2x +π3)有最值±1，不妨设取得最大值g 1（t ）＝1，则有sin[2（t +π8）+π3]＝1，所以sin （2t +7π12）＝1，解得2t +7π12=π2+2k π，k ∈Z ，得t ＝k π−π24，k ∈Z ，所以g 2（t ）＝sin （2t +π3）＝sin[2（k π−π24）+π3]＝sin （2k π+π4）=√22， ∴g 1（t ）﹣g 2（t ）的最小值为2−√22．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（）A ．甲得分的30%分位数是31B ．乙得分的众数是48C ．甲得分的中位数小于乙得分的中位数D ．甲得分的极差等于乙得分的极差【解答】解：甲得分的30%分位数是（31+39）×12=35，故选项A 错误；乙得分的众数是48，故选项B 正确；甲得分的中位数是（42+45）×12=43.5，乙得分的中位数是（48+42）×12=45，故选项C 正确；甲得分的极差是66﹣27＝39，乙得分的极差是67﹣28＝39，故选项D 正确；故选：BCD ．（多选）10．（5分）已知向量OP →=（1，2），将OP →绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到OP 1→，OP 2→，OP 3→的位置，则（） A ．OP 1→⋅OP 3→=0 B ．|PP 1→|=|PP 2→|C ．OP →⋅OP 3→=OP 1→⋅OP 2→D ．点P 1坐标为（√3−12，1+2√32）【解答】解：由题意作图如右图， ∵OP 1→⊥OP 3→，∴OP 1→⋅OP 3→=0，故选项A 正确；∵PP 1与PP 2所对的圆心角相等， ∴|PP 1→|=|PP 2→|，故选项B 正确；∵OP →•OP 3→=|OP →||OP 3→|cos60°=52，OP 1→•OP 2→=|OP 1→||OP 2→|cos60°=52， ∴选项C 正确；若点P 1坐标为（√3−12，1+2√32），则|OP 1→|=(√3−12)2+(1+2√32)2≠5，故选项D 错误；故选：ABC ．（多选）11．（5分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，一条光线从点P （2，1）射出经x 轴反射，下列结论正确的是（）A ．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3＝0B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x ﹣2y ﹣4＝0C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|BA |＝2D ．若反射光线与圆C 交于M 、N 两点，则△CNM 面积的最大值为12【解答】解：对于A ：由于圆C 的方程为：x 2+y 2﹣4y +3＝0，转换为标准式为x 2+（y ﹣2）2＝1，则圆C 关于x 轴对称的圆的方程为x 2+（y +2）2＝1，即x 2+y 2+4y +3＝0，故A 正确；对于B ：反射光线平分圆C 的周长，故该反射光线经过圆心（0，2），故入射光线的斜率k =1−(−2)2−0=32，所以入射光线的方程为y −1=32(x −2)，整理得3x ﹣2y ﹣4＝0，故B 正确；对于C ：由于反射光线经过点P （2，1）的关于x 轴的对称点P ′（2，﹣1），则|PB |+|BA |＝|P ′A |+|BA |＝|P ′A |，如图所示：所以|P A ′|=√|P′C|2−1=√(2−0)2+(−1−2)2=2√3，所以|PB |+|BA |＝|2√3，故C 错误；对于D ：设∠CMN ＝θ，θ∈(0，π2)，则圆心C （0，2）到直线y +1＝k （x ﹣2）的距离d ＝sin θ； |MN |＝2cos θ，所以S △CNM =12⋅d ⋅|MN|=sinθcosθ=12sin2θ，当θ=π4时，△CNM 面积的最大值为12，故D 正确．故选：ABD ．（多选）12．（5分）已知同底面的两个正三棱锥P ﹣ABC 和Q ﹣ABC 均内接于球O ，且正三棱锥P ﹣ABC 的侧面与底面所成角的大小为π4，则下列说法正确的是（）A ．P A ∥平面QBCB ．设三棱锥Q ﹣ABC 和P ﹣ABC 的体积分别为V Q ﹣ABC 和V P ﹣ABC ，则V Q ﹣ABC ＝4V P ﹣ABCC ．平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍D ．二面角P ﹣AB ﹣Q 的正切值为−53【解答】解：∵同底面的两个正三棱锥P ﹣ABC 和Q ﹣ABC 均内接于球O ， ∴PQ 为球O 的直径，取AB 的中点M ，连接PM 、QM ，则PM ⊥AB ，CM ⊥AB ，QM ⊥AB ，∴∠PMC 为侧面P AB 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∠QMC 为侧面QAB 与底面ABC 所成二面角的平面角，又正三棱锥P ﹣ABC 的侧面与底面所成角的大小为π4，设底面的中心为N ，P 到底面的距离为h ，球的半径为R ，则PN ＝h ，OP ＝R ，ON ＝R ﹣h ，MN ＝h ，CN ＝2h ， ∴R 2＝（2h ）2+（R ﹣h ）2， ∴R =52ℎ，QN ＝4h ，PN ＝h ，∴P 、C 、Q 、M 四点共面，又CN ＝2MN ，QN ＝4h ，PN ＝h ， ∴P A 与QM 不平行，故P A 与平面QBC 不平行，故A 错误；由QN ＝4PN ，可得V Q ﹣ABC ＝4V P ﹣ABC ，故B 正确；∵平面ABC 截球O 所得的截面面积为π（2h ）2＝4πh 2，球O 表面积为4πR 2=4π(5ℎ2)2=25πℎ2，∴平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍，故C 正确；∵PM =√2ℎ，QM =√ℎ2+(4ℎ)2=√17ℎ，QP =5ℎ，∴cos∠PMQ =(√2ℎ)2+(√17ℎ)2−(5ℎ)22⋅√2ℎ⋅√17ℎ=3√34，sin∠PMQ =5√34，∴tan∠PMQ =−53，即二面角P ﹣AB ﹣Q 的正切值为−53，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为（0，2），则C 的准线方程为 y ＝﹣2 ．【解答】解：抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为（0，2），可得a ＝2．所以抛物线的准线方程为：y ＝﹣2．故答案为：y ＝﹣2．14．（5分）已知函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，则f （﹣1）+f （log 312）＝ 7 ．【解答】解：根据题意，函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，，则f （﹣1）＝2+log 22＝3，f （log 312）=3log 312−1=3log 34=4，则f （﹣1）+f （log 312）＝7；故答案为：7．15．（5分）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为 84 尺．【解答】解：由题意，从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a 1尺，公差为d 尺，所以a 1＝13.5，a 12＝a 1+11d ＝2.5，两式相减可得，﹣11d ＝11，则d ＝﹣1，因为夏至与芒种相邻，且夏至日晷最短，所以夏至的日晷长为a 1+d ＝1.5，因为大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，所以大雪的日晷长为a 12+d ＝12.5，显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首相为1.5尺，末项为12.5，共12项，所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为1.5+12.52×12＝84，故答案为：84．16．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，且f （x +1）为偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=√x ，若关于x 的方程|f （x ）|+f （|x |）＝ax 有4个不同实根，则实数a 的取值范围是（−25，−29）∪（25，29）．【解答】解：依题意，∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣f （x ），当0≤x ≤1时，f(x)=√x ，则当﹣1≤x ≤0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）=−√−x ，又f （x +1）为偶函数，即f （﹣x +1）＝f （x +1），即f （x ）＝f （2﹣x ），当1≤x ≤2，即0≤2﹣x ≤1时，f （x ）=√2−x ；当2≤x ≤3，即﹣1≤2﹣x ≤0时，f （x ）=−√−(2−x)，因此，当x ∈[﹣1，3]时，f （x ）={−√−x ，−1≤x ＜0√x ，0≤x ＜1√2−x ，1≤x ＜2−√x −2，2≤x ≤3，显然有f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝﹣f （2﹣x ）＝f （x ﹣2），于是得f （x ）是周期为4的周期函数，当0≤x ≤2时，0≤f （x ）≤1；当2≤x ≤4时，﹣1≤f （x ）≤0，令g （x ）＝|f （x ）|+f （|x |），则g （﹣x ）＝|f （﹣x ）|+f （|﹣x |）＝|﹣f （x ）|+f （|x |）＝|f （x ）|+f （|x |）＝g （x ），函数g （x ）是R 上的偶函数，y ＝g （x ）的图象关于y 轴对称，讨论x ≥0的情况，再由对称性可得x ≤0的情况，当x ≥0时，g （x ）＝|f （x ）|+f （|x |）＝|f （x ）|+f （x ），则0≤x ≤2时，g （x ）＝2f （x ），当2≤x ≤4时，g （x ）＝0，当x ∈[4k ，4k +4]，k ∈N 时，函数y ＝g （x ）的图象、性质与x ∈[0，4]的的图象、性质一致，关于x 的方程|f （x ）|+f （|x |）＝ax 有4个不同实根，即直线y ＝ax 与y ＝g （x ）的图象有4个公共点，当x ≥0时，函数y ＝g （x ）的部分图象如图，观察图象知，当直线y＝ax过原点（0，0）及点（9，2），即a=29时，直线y=29x与y＝g（x）的图象有5个公共点，当直线y＝ax过原点（0，0）及点（5，2），即a=25时，直线y=25x与y＝g（x）的图象有3个公共点，当直线y=29x绕原点逆时针旋转到直线y=25x时，旋转过程中的每个位置的直线y＝ax（不含边界）与y＝g（x）的图象总有4个公共点，于是得，当x≥0时，关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，有29＜a＜25，由对称性知，当x≤0时，关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，有−25＜a＜−2 9，所以实数a的取值范围是：（−25，−29）∪（25，29）．故答案为：（−25，−29）∪（25，29）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S3＝a3+6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3+6，得a1(1+q+q2)=6+q2a1，解得q＝2，所以a n=2n；（2）由（1）可得b n＝log2a n＝n，所以a n b n=n⋅2n，T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)2n+n⋅2n+1，所以−T n=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)2n+1+2．18．（12分）在①a =√7，②AC 边上的高为3√32，③sinB =√217这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，c ＝b +1，______．（1）求c 的值；（2）设AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．【解答】解：（1）选①a =√7，由∠A ＝60°，c ＝b +1，可得c 2+b 2﹣2bc cos A ＝a 2，即（b +1）2+b 2﹣b （b +1）＝7，解得b ＝2，c ＝3；选②AC 边上的高为3√32，由∠A ＝60°，可得c =3√32√32=3；③sinB =√217，由∠A ＝60°，可得sin A =√32，c ＝b +1＞b ，可得B 为锐角，所以sin C ＝sin （A +B ）=√32×2√77+12×√217=3√2114，由c sinC=b sinB可得3√2114=√217，解得c ＝3；（2）设AD ＝x ，由S △ABC ＝S △ACD +S △ABD ，可得12×3×2×√32=12×2x ×12+12×3x ×12，化为52x ＝3√3，解得x =6√35，则AD 的长为6√35． 19．（12分）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D 模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响．（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．【解答】解：（1）记乙闯关成功为事件A ，所以P(A)=C 32(35)2⋅25+(35)3=81125．（2）由题意知随机变量X 所有可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 43C 103=130，P(X =1)=C 61⋅C 42C 103=310， P(X =2)=C 62C 41C 103=12，P(X =3)=C 63C 103=16，故X 的分布列为X 0 123 P1303101216所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95，甲闯关成功的概率为12+16=23，因为81125＜23，所以甲比乙闯关成功的可能性大．20．（12分）图1是由矩形ACC 1A 1、等边△ABC 和平行四边形ABB 1A 2组成的一个平面图形，其中AB ＝2，AA 1＝AA 2＝1，N 为A 1C 1的中点．将其沿AC ，AB 折起使得AA 1与AA 2重合，连结B 1C 1，BN ，如图2．（1）证明：在图2中，AC ⊥BN ，且B ，C ，C 1，B 1四点共面；（2）在图2中，若二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，且tanθ=−12，求直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AC的中点M，连接MN，MN，如图，因为矩形ACC1A1、N为A1C1的中点．则AC⊥MN，又因为ABC为等边三角形，则AC ⊥MB，MN∩MB＝M，MN，MB⊂平面BMN，则有AC⊥平面BMN，又BN⊂平面BMN，所以AC⊥BN，矩形ACC1A1中，AA1∥CC1，平行四边形ABB1A1中，AA1∥BB1，因此BB1∥CC1，所以B，C，C1，B1四点共面；（2）由（1）知，MN⊥AC，BM⊥AC，则∠NMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，θ＝∠NMB，在平面BMN内过M作Mz⊥MB，有AC⊥Mz，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，√3，0），C（﹣1，0，0），N（0，cosθ，sinθ），C1（﹣1，cosθ，sin θ），CB →=（1，√3，0），CC 1→=（0，cos θ，sin θ），设平面BCC 1B 1的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CB →=0n →⋅CC 1→=0，即{x +√3y =0ycosθ+zsinθ=0，令y ＝﹣1，则x =√3，z =1tanθ，∴平面BCC 1B 1的一个法向量为n →=（√3，﹣1，1tanθ），由tanθ=−12，∴n →=（√3，﹣1，﹣2），AB →=（﹣1，√3，0），设直线AB 与平面BCC 1B 1所成的角为α， ∴sin α＝|cos ＜n →，AB →＞|＝|n →⋅AB→||×|||=2√32√2×2=√64， ∴直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值√64． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，点（1，√22）在C 上．（1）求C 的方程；（2）若过动点P 的两条直线l 1，l 2均与C 相切，且l 1，l 2的斜率之积为﹣1，点A （−√3，0），问是否存在定点B ，使得PA →•PB →=0？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，{2c =21a 2+12b2=1b 2=a 2−c 2，解得a =√2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22+y 2＝1．（2）设P （x 0，y 0），显然x 0≠±√2，过点P 的直线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2+4k （y 0﹣kx 0）x +2（y 0﹣kx 0）2﹣2＝0，因为直线l 与C 相切，所以Δ＝16k 2（y 0﹣kx 0）2﹣8（2k 2+1）[（y 0﹣kx 0）2﹣1]＝0，化简得（y 0﹣kx 0）2＝2k 2+1，即（x 02−2）k 2﹣2x 0y 0k +y 02−1＝0，设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，显然k 1，k 2是上述关于k 的一元二次方程的两个根，所以k 1k 2=y 02−1x 02−2=−1，化简得x 02+y 02=3，即点P 到坐标原点O 的距离|PO |=√3，故点P 在以O 为圆心，√3为半径的圆上，且是动点，而点A 为该圆上一定点，当满足PA →•PB →=0时，AB 为圆O 的直径，即点B （√3，0），所以存在点B （√3，0）满足题意．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调区间；（2）当a ＝1时，令g （x ）=2f(x)x 2． ①证明：当x ＞0时，g （x ）＞1；②若数列{x n }（n ∈N *）满足x 1=13，e x n+1=g(x n )，证明：2n (e x n −1)＜1．【解答】解：（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a 定义域为R ，求导得f ′（x ）＝e x ﹣a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，即f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a ＞0时，令f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0，解得x ＞lna ，令f ′（x ）＝e x ﹣a ＜0，解得x ＜lna ，即f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，所以，当a ≤0时，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．（2）当a ＝1时，g(x)=2(e x −x−1)x 2， ①证明：当x ＞0时，2(e x −x−1)x 2＞1⇔e x ＞1+x +x 22⇔12x 2+x+1e x＜1， F(x)＜F(0)=1e 0−1=0，因此，12x 2+x+1e x＜1成立，所以当x ＞0时，g （x ）＞1．②由①可知，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）＞1，由x 1=13得e x 2=g(x 1)＞1，即x 2＞0，由e x n+1=g(x n )，可得x n ＞0，而ex 1−1=e 13−1，又e −(32)3=e −278＜0，即e 13＜32，则e x 1−1=ee 13−1＜12，由于2n (e x n −1)＜1⇔e x n −1＜(12)n ，只需证e x n+1−1＜12(e x n −1)⇔g(x n )−1＜第 21 页共 21 页12e x n −12，又当x ＞0时，g(x)−1＜12e x −12⇔(x 2−4)e x +x 2+4x +4=(x −2)(x +2)e x +(x +2)2＞0⇔(x−2)e x x+2+1＞0，令ℎ(x)=(x−2)e x x+2+1，x ＞0，ℎ′(x)=x 2e x (x+2)2＞0恒成立，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，h （x ）＞h （0）＝0，则当x ＞0时，恒有x−2x+2⋅e x +1＞0，而x n ＞0，即g(x n )−1＜12e x n −12成立，不等式e x n+1−1＜12(e x n −1)成立，因此e x n+1−1＜12(e x n −1)＜122(e x n−1−1)＜⋯＜12n (e x 1−1)＜12n+1成立，即e x n −1＜(12)n 成立，所以原不等式得证．。

山东省潍坊市高三一模(数学文)含答案word版

x2
14．若双曲线
a
y2
=1 的一条渐近线的倾斜角为
9
600，则双曲线的离心率等于
15．正三棱锥 P 一 ABC的四个顶点在同一球面上，已知 AB=2 3 ，PA=4，则此球的表
面
-2-
积等于 16．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的
当 x∈ [0， 1]时 f (x) 2x 1 ，则
生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 1 万
元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产
1
吨，乙产品至少生产 2 吨，消耗 A 原料不超过 1 3 吨，消耗 B 原料不超过 1 8 吨，那
么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是
x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1) ，已知
①2 是函数 f(x)的周期； ②函数 f(x)在 (2，3)上是增函数；
③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0； an 1 2Sn 3
④直线 x=2 是函数 f（ x）图像的对称轴．
其中所有正确命题的序号是
，
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
-4-
20． (本题满分 1 2 分 ) 某工厂有工人 500 名，记 35 岁以上 (含 35 岁 )的为 A 类工人，不足 35 岁的为 B 类工人，
为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从 A、B 两类工人中分别抽取了 40 人、 60 人进行测试．
(I)求该工厂 A、 B 两类工人各有多少人 ? (Ⅱ )经过测试，得到以下三个数据图表：图一： 75 分以上 A、 B 两类工人成绩的茎叶图 (茎、叶分别是十位和个位上的数字 )(如右图 )

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|，则z的虚部为（）A．5B．C．D．﹣53．（5分）设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为（）A．0B．e C．0或e D．0或16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ＝﹣，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x＝（）A．﹣12B．﹣10C．﹣8D．﹣67．（5分）若函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A．点（，0）是y＝f（x）的一个对称中心B．直线x＝是y＝f（x）的一条对称轴C．函数y＝f（x）的最小正周期是2πD．函数y＝f（x）的值域是[0，2]8．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b+c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A．3B．8C．4D．910．（5分）已知偶函数y＝f（x），当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（cosα）＞f（sinβ）11．（5分）已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝（1﹣t），＝t（0≤t≤1），||在t＝t0处取最小值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，π）12．（5分）定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b﹣a，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是．14．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，若sin C ﹣cos C＝0，a＝，b＝4，则BD的长为．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝．16．（5分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB＝BM，则AM⊥B1D；④若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1＝AB＝2，∠A1AC＝45°，D为CC1的中点，求三棱锥D﹣A1B1C1的体积．19．（12分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为1m2，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数．附：回归方程＝+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．20．（12分）如图，点T为圆O：x2+y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得＝，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣（a+1）x，g（x）＝f（x）﹣a（x2﹣x﹣1），a∈R．（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间；（2）设F（x）＝e x+x3+x，若x1，x2为函数g（x）的两个不同极值点，证明：F（x1x22）＞F（e2）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满足＝t，求证：g（m+2）+g （2n）≥2．2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：B＝{x|x＞0}，A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．2．【解答】解：由（1+i）z＝|3+4i|＝，得z＝，∴z的虚部为﹣．故选：C．3．【解答】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±，一条渐近线的方程为y＝2x，∴＝2，设b＝t，a＝2t则c＝＝t∴离心率e＝＝．故选：C．5．【解答】解：程序对应的函数为y＝，若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，6．【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ＝﹣，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则：x＜0，利用三角函数的定义：，解得：x＝﹣6．故选：D．7．【解答】解：由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ＝，∴θ＝，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x＝时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为＝π，故C不正确；显然，f（x）＝cos x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．8．【解答】解：显然y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′＝﹣4sin x﹣e x＝﹣（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，而4sin x≥﹣4，∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0，∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴y＝4cos x﹣e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．9．【解答】解：∵a＝6，b+c＝8．p＝＝＝7．∴S2＝7×（7﹣6）×（7﹣b）（7﹣c）＝7[bc﹣7（b+c）+49]＝7（bc﹣7）≤＝7×9，当且仅当b＝c＝4时取等号．故选：A．10．【解答】解：根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．11．【解答】解：由题意有：不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，由＝（1﹣t），＝t（0≤t≤1），得：＝＝t﹣（1﹣t），所以||2＝（t﹣（1﹣t））2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质有：当t＝t0＝时，||取最小值，即0＜，解得﹣＜cosθ＜0，又θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．12．【解答】解：根据题意，⇒或，方程5x2﹣27x+26＝0有两个根，x1＝或x2＝，则原不等式的解集为：（1，]∪（2，]，其解集区间的长度为（﹣2）+（﹣1）＝﹣3＝故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝，平移直线y＝，当直线y＝经过点A（3，0）时，直线的截距最小，此时z 最大，此时z的最大值为z＝3﹣2×0＝3．故答案为：3．14．【解答】解：由sin C﹣cos C＝0得sin C＝cos C，即tan C＝＝，∴C＝30°，∵D为AC的中点，b＝4，∴CD＝2，则BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝3+4﹣2×2×＝7﹣6＝1，即BD＝1，故答案为：1．15．【解答】解：如图，过M作MH⊥l＝H，由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y＝（x﹣），联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：，则|GF|＝，即p＝2．故答案为：2．16．【解答】解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF ∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE＝AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）由题意可得，解得a1＝1，q＝3，∴a n＝3n﹣1，S n＝＝，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，∵S1+λ＝λ+1，S2+λ＝λ+4，S3+λ＝λ+13，∴（λ+4）2＝（λ+1）（λ+13），解得λ＝，此时S n+λ＝×3n，则＝3，故存在常数，使得数列{S n+}是等比数列．18．【解答】证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴CO⊥平面AA1B1B，∴CO⊥OB，∵CA＝CB，CO＝CO，∠COA＝∠COB＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴OA＝OB，∵∠A1AB＝45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平面BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）由（1）知OA＝OB，∵AB＝，BB1＝2，∴OA＝OB＝1，∵∠A1AC＝45°，CO⊥AO，∴CO＝AO＝1，＝＝，＝，∵OB⊥平面AA1C1C，∴h＝OB＝1，∴三棱锥D﹣A 1B1C1的体积：＝．19．【解答】解：（1）由题意得：＝（0+1+2+3+4）＝2，＝（15+12+11+9+8）＝11，（x i﹣）（y i﹣）＝﹣17，＝10，故＝，＝，故＝﹣x+；（2）由回归方程得：x＝2时，y＝11，x＝3时，y＝，x＝4时，y＝，故平均数是＝9.13，故一株产量的平均数是9.13kg．20．【解答】解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意＝，即A为PB的中点∴x＝2x0，y＝﹣y0，即x0＝x，y0＝﹣y，∵x02+y02＝1故点P的轨迹C的方程为+y2＝1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx+t，∵|AB|＝1，∴（﹣）2+t2＝1，即+t2＝1，①联立，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝，∵四边形OMQN为平行四边形，故Q（﹣，），∴（﹣）2+（）2＝1，整理可得4t2＝4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1＝0，该方程无解，故这样的直线不存在．21．【解答】（1）解：f′（x）＝1+lnx﹣a﹣1＝lnx﹣a．若a≤0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，由lnx﹣a＝0，解得x＝e a，当x∈（1，e a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（e a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调减区间为（1，e a），f（x）的单调增区间为（e a，+∞）；（2）证明：∵F′（x）＝e x+3x2+1＞0，∴F（x）在R上单调递增，要证F（x1x22）＞F（e2），即证x1x22＞e2，也就是lnx1+2lnx2＞2，又g（x）＝＝，g′（x）＝1+lnx﹣ax﹣1＝lnx﹣ax，∴x1，x2为方程lnx＝ax的两个根，即，即证ax1+2ax2＞2，即a（x1+2x2）＞2．而①﹣②得，，即证：＞2．不妨设x1＞x2，t＝＞1，则证：＞2，变形得＞2，∴＞2，lnt﹣＞0，设h（t）＝lnt﹣，则h′（t）＝＞0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0．即结论成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1，直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（）（2，）．23．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝，∴f（x）max＝f（﹣1）＝2，即t＝2，证明：（2）g（x）＝|x﹣1|，由+＝2，知g（m+2）+g（2n）＝|m+1|+|2n﹣1|≥|m+1+2n﹣1|＝|m+2n|＝|（m+2n）•（+）|＝|++2|≥|2+2|＝2，当且仅当＝，即m2＝4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．。

山东省潍坊市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题

潍坊市高考模拟考试文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共6页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、班级、座号填写在试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第II 卷必须用0. 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动．先划掉原来的答案．然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()142,i z i +==+则z 的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．i -2．已知集合{{}2,20A x x B x x x A B =<=-->⋂=，则A．{x -<B．{1x x -<< C．{}1x x <<- D ．{}12x x -<< 3．已知,x y 满足约束条件10330,210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z =的最小值为 A. 12 B．2C. 1 D4．若函数()()01x x f x a aa a -=->≠且在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是5．已知等差数列{}n a 的公差为2362,,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A. ()2n n -B. ()1n n -C. ()1n n +D. ()2n n +6．对于实数,a b ，定义一种新运算“⊗”： y a b =⊗，其运算原理如右面的程序框图所示，则5324⊗+⊗=A ．26B ．32C ．40D ．467．若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=A ．3-B ．2-C ．1-D ．08．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23x π=对称，给出下面四个结论： ①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1．其中正确的是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“我不是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122F AF π∠=，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为 A. 13B. C. 58D. 12．函数()y f x =在R 上为偶函数且在[]0,+∞单调递减，若[]1,3x ∈时，不等式()()()2ln 323ln 32f mx x f f x mx --≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为A ．1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1ln 36,6e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．数列{}1311,215n n n n a a a a a a +===+满足，则__________. 14．已知O 为坐标原点，向量()()1,2,2,1,2OA OB AP AB OP =-===若，则 __________．15．已知抛物线()20y ax a =>的准线为,l l 若与圆()2231C xy -+=：相交所得弦长为a =__________．16．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，侧棱11,AA P =为上底面1111A B C D 上的动点，给出下列四个结论：①若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个；②若PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧；③若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2；④若PD ∥平面1ACB ，且PD =BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得图形的面积为94π．其中所有正确结论的序号为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。

2020年山东省潍坊市高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.若复数z满足（1+i）z=|3+4i|，则z的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率为（）A. B. C. D.5.执行如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为（）A. 0B. eC. 0或eD. 0或16.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ=-，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x=（）A. -12B. -10C. -8D. -67.若函数f（x）=2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A. 点（，0）是y=f（x）的一个对称中心B. 直线x=是y=f（x）的一条对称轴C. 函数y=f（x）的最小正周期是2πD. 函数y=f（x）的值域是[0，2]8.y=4cos x-e|x|图象可能是（）A. B.C. D.9.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为（）A. B. 8 C. D.10.已知偶函数y=f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则（）A. f（sinα）＞f（sinβ）B. f（sinα）＞f（cosβ）C. f（cosα）＞f（cosβ）D. f（cosα）＞f（sinβ）11.已知不共线向量，夹角为α，||=1，||=2，=（1-t），=t（0≤t≤1），||在t=t0处取最小值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A. （0，）B. （，）C. （，）D. （，π）12.定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b-a，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值是______．14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，若sin C-cos C=0，a=，b=4，则BD的长为______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限），若|GF|=4，|MN|=2|MF|，则p=______．16.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是______．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB=BM，则AM⊥B1D；④若AB=BM=1，当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4=9a2，S3=13，且公比q＞0．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，∠BAA1=45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1=AB=2，∠A1AC=45°，D为CC1的中点，求三棱锥D-A1B1C1的体积．19.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：x01234y15121198（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为1m2，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数．附：回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=-．20.如图，点T为圆O：x2+y2=1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得=，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|=1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=x lnx-（a+1）x，g（x）=f（x）-a（x2-x-1），a∈R．（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间；（2）设F（x）=e x+x3+x，若x1，x2为函数g（x）的两个不同极值点，证明：F（x1x22）＞F（e2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos （）=-2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）=f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满足=t，求证：g（m+2）+g（2n）≥2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.【答案】C【解析】解：由（1+i）z=|3+4i|=，得z=，∴z的虚部为-．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设b=t，a=2t则c==t∴离心率e==．故选：C．先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c 基本关系．5.【答案】C【解析】解：程序对应的函数为y=，若x≤0，由y=1得e x=1，得x=0，满足条件．若x＞0，由y=2-ln x=1，得ln x=1，即x=e，满足条件．综上x=0或e，故选：C．根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ=-，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则：x＜0，利用三角函数的定义：，解得：x=-6．故选：D．直接利用三角函数的定义的应用求出x的值．本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，∴2θ=，∴θ=，故f（x）=2sin（x+2θ）•cos x=2cos2x=cos2x+1，当x=时，f（x）=1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为=π，故C不正确；显然，f（x）=cos x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）=cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：显然y=4cos x-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′=-4sin x-e x=-（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，而4sin x≥-4，∴y′=-（4sin x+e x）＜0，∴y′=-（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴y=4cos x-e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵a=6，b+c=8．p===7．∴S2=7×（7-6）×（7-b）（7-c）=7[bc-7（b+c）+49]=7（bc-7）≤=7×9，当且仅当b=c=4时取等号．∴S≤3．故选：A．a=6，b+c=8．可得p==7．代入S2=p（p-a）（p-b）（p-c），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了秦九韶与海伦公式计算三角形面积公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x=（）x，则f（x）在（-1，0）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°-β，则有sinα＞sin（90°-β）=cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sinα＞sin （90°-β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意有：不共线向量，夹角为α，||=1，||=2，由=（1-t），=t（0≤t≤1），得：==t-（1-t），所以||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质有：当t=t0=时，||取最小值，即0＜，解得-＜cosθ＜0，又θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．由平面向量的线性运算得：得：==t-（1-t），由向量模的运算得：||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质可得：当t=t0=时，||取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围，属中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于基础题．根据题意，分析可得⇒或，进而求出不等式的解集，结合区间长度的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，⇒或，方程5x2-27x+26=0有两个根，x1=或x2=，则原不等式的解集为：（1，]∪（2，]，其解集区间的长度为（-2）+（-1）=-3=故选B．13.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值.【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A（3，0）时，直线的截距最小，此时z最大，此时z的最大值为z=3-2×0=3．故答案为：3．14.【答案】1【解析】解：由sin C-cos C=0得sin C=cos C，即tan C==，∴C=30°，∵D为AC的中点，b=4，∴CD=2，则BD2=BC2+CD2-2BC•CD cosC=3+4-2×2×=7-6=1，即BD=1，故答案为：1．根据条件先求出C的大小，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理是解决本题的关键．比较基础．15.【答案】2【解析】解：如图，过M作MH⊥l=H，由|MN|=2|MF|，得|MN|=2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y=（x-），联立，得12x2-20px+3p2=0．解得：，则|GF|=，即p=2．故答案为：2．由已知|MN|=2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．16.【答案】②④【解析】解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD=MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD=MD，显然不成立．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．．本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题17.【答案】解：（1）由题意可得，解得a1=1，q=3，∴a n=3n-1，S n==，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，∵S1+λ=λ+1，S2+λ=λ+4，S3+λ=λ+13，∴（λ+4）2=（λ+1）（λ+13），解得λ=，此时S n+λ=×3n，则=3，故存在常数，使得数列{S n+}是等比数列．【解析】（1）由题意可得，解得a1=1，q=3，根据通项公式和求和公式即可求出，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，分别令n=1，2，3，根据等比数列的性质求出λ的值，再根据定义证明即可．本题考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．18.【答案】证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴CO⊥平面AA1B1B，∴CO⊥OB，∵CA=CB，CO=CO，∠COA=∠COB=90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴OA=OB，∵∠A1AB=45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平面BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）由（1）知OA=OB，∵AB=，BB1=2，∴OA=OB=1，∵∠A1AC=45°，CO⊥AO，∴CO=AO=1，==，=，∵OB⊥平面AA1C1C，∴h=OB=1，∴三棱锥D-A1B1C1的体积：=．【解析】（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，推导出CO⊥OB，AA1⊥OB，AA1⊥CO，从而AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）推导出OA=OB=CO=1，从而==，由此能求出三棱锥D-A1B1C1的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：=（0+1+2+3+4）=2，=（15+12+11+9+8）=11，（x i-）（y i-）=-17，=10，故=，=，故=-x+；（2）由回归方程得：x=2时，y=11，x=3时，y=，x=4时，y=，故平均数是=9.13，故一株产量的平均数是9.13kg．【解析】（1）求出相关系数，求出回归方程即可；（2）代入x的值，求出y的预报值，求平均数即可．本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及平均数问题，是一道常规题．20.【答案】解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意=，即A为PB的中点∴x=2x0，y=-y0，即x0=x，y0=-y，∵x02+y02=1故点P的轨迹C的方程为+y2=1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y=kx+t，∵|AB|=1，∴（-）2+t2=1，即+t2=1，①联立，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2-1）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2t=，∵四边形OMQN为平行四边形，故Q（-，），∴（-）2+（）2=1，整理可得4t2=4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1=0，该方程无解，故这样的直线不存在．【解析】（1）设T（x0，y0），P（x，y），通过=，即A为PB的中点，转化求解，点P的轨迹C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+t，先根据|AB|=1，可得+t2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t2=4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1=0，该方程无解，问题得以解决本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=1+ln x-a-1=ln x-a．若a≤0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，由ln x-a=0，解得x=e a，当x∈（1，e a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（e a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调减区间为（1，e a），f（x）的单调增区间为（e a，+∞）；（2）证明：∵F′（x）=e x+3x2+1＞0，∴F（x）在R上单调递增，要证F（x1x22）＞F（e2），即证x1x22＞e2，也就是ln x1+2ln x2＞2，又g（x）==，g′（x）=1+ln x-ax-1=ln x-ax，∴x1，x2为方程ln x=ax的两个根，即，即证ax1+2ax2＞2，即a（x1+2x2）＞2．而①-②得，，即证：＞2．不妨设x1＞x2，t=＞1，则证：＞2，变形得＞2，∴＞2，ln t-＞0，设h（t）=ln t-，则h′（t）=＞0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）=0．即结论成立．【解析】（1）求出原函数的导函数f′（x）=1+ln x-a-1=ln x-a，可得a≤0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（2）由F′（x）=e x+3x2+1＞0，得F（x）在R上单调递增，把证F（x1x22）＞F（e2），转化为证x1x22＞e2，也就是ln x1+2ln x2＞2，进一步转化为正a（x1+2x2）＞2，再由，得到证明＞2，不妨设x1＞x2，t=＞1，化为证明ln t-＞0，设h（t）=ln t-，利用导数证明h（t）＞h（1）=0即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1，直线l的极坐标方程为cos（）=-2．转换为直角坐标方程为：x-y+2=0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（）（2，）．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）由f（x）=|x-1|-2|x+1|=，∴f（x）max=f（-1）=2，即t=2，证明：（2）g（x）=|x-1|，由+=2，知g（m+2）+g（2n）=|m+1|+|2n-1|≥|m+1+2n-1|=|m+2n|=|（m+2n）•（+）|=|++2|≥|2+2|=2，当且仅当=，即m2=4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．【解析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。

山东省潍坊市高考数学一模文科试卷含答案解析

山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．23．在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣4．已知函数f（x）=﹣x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．7．已知p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，恒成立，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），当x∈[2，3]时，f （x）=x，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）A．|x+4| B．|2﹣x| C．2+|x+1| D．3﹣|x+1|9．执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A．18 B．50 C．78 D．30610．已知函数F（x）=（）2+（a﹣1）+1﹣a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．观察式子，…，则可归纳出．12．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=•13．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．设实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为．15．已知抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为．三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.16．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A．B．C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（Ⅱ）在选取的样本中，从A、D两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．17．已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα18．如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD（I）求证：AB⊥PN．（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；b4+…+a1b2n，求T n．（Ⅱ）记T n=a n b2+a n﹣120．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（（bx2，ay2），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．21．函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x（a，b∈R）．（1）当a=0，b=﹣3时．求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点．（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得a值．【解答】解：∵ =是纯虚数，∴a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出P与Q的交集确定出M，即可求出M子集的个数．【解答】解：∵P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，∴M=P∩Q={3，5}，则M的子集个数为22=4．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的线性运算的几何意义，使用表示出．【解答】解： =．∵AP=AB，BQ=BC，∴ ==， ==．∴=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．4．已知函数f（x）=﹣x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x2+2=f（x），g（﹣x）=log2|x|=g（x），∴F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=F（x），∴函数F（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵当x→+∞时，f（x）→﹣∞，g（x）→+∞，∴当x→+∞时，F（x）→﹣∞，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】规律型．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．6．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设虚轴的一个端点M（0，b），结合焦点F1、F2的坐标和∠F1MF2=120°，得到c=b，再用平方关系化简得c=a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），设∠F1MF2=120°，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2﹣a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e==．故选：B．【点评】本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为120度，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．7．已知p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，恒成立，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】对于命题p：利用二次函数的单调性可得：﹣1≤a，￢p：a＜﹣1．对于命题q：由于x＞0，利用基本不等式的性质可得： =x+≥2，即可得出结论．【解答】解：p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，∴﹣1≤a，∴￢p：a＜﹣1．q：∵x＞0，∴ =x+≥=2，当且仅当x=1时取等号，∴a≤2．则￢p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），当x∈[2，3]时，f （x）=x，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）A．|x+4| B．|2﹣x| C．2+|x+1| D．3﹣|x+1|【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性条件推出函数是周期为2的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可．【解答】解：∵∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），∴∀x∈R，满足f（x+﹣）=f（x++），即f（x）=f（x+2），若x∈[0，1]时，则x+2∈[2，3]，f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，∵函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣x+2=f（x），即f（x）=﹣x+2，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，则x+2∈[0，1]，则f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x∈[﹣2，﹣1]，即f（x）=，故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．9．执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A．18 B．50 C．78 D．306【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的整数K的最大值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0S=2，n=2不满足条件S≥K，S=6，n=3不满足条件S≥K，S=2，n=4不满足条件S≥K，S=18，n=5不满足条件S≥K，S=14，n=6不满足条件S≥K，S=78，n=7由题意，此时满足条件78≥K，退出循环，输出n的值为7．则输入的整数K的最大值是78．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目．10．已知函数F（x）=（）2+（a﹣1）+1﹣a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令y=，从而求导y′=以确定函数的单调性及取值范围，再令=t，从而化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，从而可得a＜﹣3或a＞1，讨论求解即可．【解答】解：令y=，则y′=，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=是减函数；且=﹣∞，=，=0；令=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t1＜0＜t2，结合y=的性质可得， =t1， =t2， =t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故选D．【点评】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．观察式子，…，则可归纳出（n≥1）．【考点】归纳推理．【专题】阅读型．【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=﹣3•【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把a分别代入分段函数的两段，求出a的值后满足范围的保留，不满足范围的舍去．【解答】解：若a＜1，令log2（1﹣a）+1=3，解得a=﹣3；若a≥1，令a﹣2=3，解得（舍去）．∴a=﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，是基础的计算题．13．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用余弦定理化简已知可得a2+b2﹣c2=，由余弦定理即可求得cosC的值．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14．设实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为﹣3．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，3）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=2x﹣y，得z=﹣3．即z=2x﹣y的最大值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．已知抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据成等差数列，且点B在x轴下方，若，求出x1+x3=2，x2=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可．【解答】解：抛物线的准线方程是x=﹣=﹣1，∴p=2，即抛物线方程为y2=4x，F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵||，||，||成等差数列，∴||+||=2||，即x1+1+x3+12（x2+1），即x1+x3=2x2，∵，∴（x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1，y1+y2+y3）=0，∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，则x1+x3=2，x2=1，由y22=4x2=4，则y2=﹣2或2（舍），则y1+y3=2，则AC的中点坐标为（，），即（1，1），AC的斜率k=====2，则直线AC的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.16．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A．B．C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（Ⅱ）在选取的样本中，从A、D两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知先求出样本容量n，由此能求出频率分布直方图中的x，y的值，估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率．（Ⅱ）由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有5名，由此能求出至少有一名学生是A 等级的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知样本容量n==50，x==0.004，y==0.018，∴成绩是合格等级人数为：（1﹣0.1）×50=45，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，依据样本总体的思想，∴该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是．（Ⅱ）由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有0.1×50=5名，从8名学生中任取2名学生，基本事件总数n==28，至少有一名学生是A等级的对立事件是两名学生都是D等级，∴至少有一名学生是A等级的概率P=1﹣=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．17．已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣，由函数的最值可得ω，再由周期公式可得；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x﹣）﹣，可得sin（α﹣）=，进而可得cos（α﹣）=，整体代入cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）计算可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx=4（sinωx﹣sinωx）cosωx=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx﹣=2sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）在x=处取得最值，∴2ω×﹣=kπ+，解得ω=2k+，k∈Z，又∵ω∈（0，2），∴ω=，∴f（x）=2sin（3x﹣）﹣，∴最小正周期T=；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin[3（x+）﹣]﹣=2sin（3x﹣）﹣的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x﹣）﹣的图象．∵α为锐角，g（α）=2sin（α﹣）﹣=，∴sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）==，∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）=﹣=【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题．18．如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD（I）求证：AB⊥PN．（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AM，则可证△BCM为等边三角形，从而PN⊥BM，由面面垂直得出PN⊥平面ABMD，故而PN⊥AB；（2）连结PC，由中位线定理得EN∥PC，故而EN∥平面PDM．【解答】证明：（1）连结AM，∵M是的CD的中点，AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形．∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN⊂平面PBM，∴PN⊥平面ABMD，∵AB⊂平面ABMD，∴AB⊥PN．（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，∴EN∥PC，∵PC⊂平面PDM，EN⊄平面PDM，∴EN∥平面PDM．【点评】本题考查了线面垂直的判断与性质，线面平行的判定，面面垂直的性质，属于中档题．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；b4+…+a1b2n，求T n．（Ⅱ）记T n=a n b2+a n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出．数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．可得b n b n+1=3n，b2=3．利用递推关系可得：b n+2=3b n．可得数列{b n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，∴当n≥2时，S n+S n=，相减可得：a n+1+a n=a﹣，﹣1∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．∵数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．∴b n b n+1=3n，b2=3．∴==3，∴b n+2=3b n．∴数列{b n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．∴b2k=3k﹣1，b2k=3k．﹣1∴b n=（k∈N*）．b4+…+a1b2n=3n+（n﹣1）×32+（n﹣2）×33+…+3n．（II）T n=a n b2+a n﹣13T n=32n+（n﹣1）33+…+2×3n+3n+1，∴﹣2T n=3n﹣32﹣33﹣…﹣3n﹣3n+1=3n﹣=3n﹣，∴T n=﹣．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（（bx2，ay2），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN的斜率存在和不存在，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F（﹣c，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c），由直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a2﹣b2=c2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得⊥，即有•=0，即有b2x1x2+a2y1y2=0，即有x1x2+4y1y2=0，即x12﹣4y12=0，又（x1，y1）在椭圆上，x12+4y12=4，可得x12=2，|y1|=，S△OMN=|x1|•|y1﹣y2|=••=1；（2）当MN的斜率存在，设MN的方程为y=kx+t，代入椭圆方程（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，△=64k2t2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）=4k2﹣t2+1＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，又•=0，即有x1x2+4y1y2=0，y1=kx1+t，y2=kx2+t，（1+k2）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，代入整理，可得2t2=1+4k2，即有|MN|=•=•=•，又O到直线的距离为d=，S△OMN=d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON的面积为定值1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x（a，b∈R）．（1）当a=0，b=﹣3时．求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点．（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）函数g（x）=x2+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g （x）=x2+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；（ii）由函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x1、a、x2是f（x）的三个极值点，求出x1，x2，分别讨论x1、a、x2是x1，x2，x3，x4的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．【解答】解：（1）a=0，b=﹣3时：f（x）=x2（x﹣3）2e x，f′（x）=e x x（x﹣3）（x﹣2）（+3），令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜0或2＜x＜3，∴f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，2），（3，+∞）递增，在（﹣3，0），（2，3）递减；（2）（i）解：a=0时，f（x）=x2（x+b）e x，∴f'（x）=[x2（x+b）]′e x+x2（x+b）（e x）′=e x x[x2+（b+3）x+2b]，令g（x）=x2+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）2﹣8b=（b﹣1）2+8＞0，∴设x1＜x2是g（x）=0的两个根，①当x1=0或x2=0时，则x=0不是极值点，不合题意；②当x1≠0且x2≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x1＜0＜x2．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．（ii）解：f'（x）=e x（x﹣a）[x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a]，令g（x）=x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a，则△=（3﹣a+b）2﹣4（2b﹣ab﹣a）=（a+b﹣1）2+8＞0，于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．由（i）可知，必有x1＜a＜x2，且x1、a、x2是f（x）的三个极值点，则x1=，x2=，假设存在b及x4满足题意，①当x1，a，x2等差时，即x2﹣a=a﹣x1时，则x4=2x2﹣a或x4=2x1﹣a，于是2a=x1+x2=a﹣b﹣3，即b=﹣a﹣3．此时x4=2x2﹣a=a﹣b﹣3+﹣a=a+2或x4=2x1﹣a=a﹣b﹣3﹣﹣a=a﹣2，②当x2﹣a≠a﹣x1时，则x2﹣a=2（a﹣x1）或（a﹣x1）=2（x2﹣a）若x2﹣a=2（a﹣x1），则x4=，于是3a=2x1+x2=，即=﹣3（a+b+3）．两边平方得（a+b﹣1）2+9（a+b﹣1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b﹣1=此时b=﹣a﹣，此时x4===﹣b﹣3=a+．②若（a﹣x1）=2（x2﹣a），则x4=，于是3a=2x2+x1=，即=3（a+b+3）两边平方得（a+b﹣1）2+9（a+b﹣1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b﹣1=，此时b=﹣a﹣，此时x4=═﹣b﹣3=a+，综上所述，存在b满足题意，当b=﹣a﹣3时，x4=a±2，b=﹣a﹣时，x4=a+，b=﹣a﹣时，x4=a+．【点评】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．。

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷和答案(文科)

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|，则z的虚部为（）A．5B．C．D．﹣53．（5分）设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为（）A．0B．e C．0或e D．0或16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ＝﹣，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x＝（）A．﹣12B．﹣10C．﹣8D．﹣67．（5分）若函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A．点（，0）是y＝f（x）的一个对称中心B．直线x＝是y＝f（x）的一条对称轴C．函数y＝f（x）的最小正周期是2πD．函数y＝f（x）的值域是[0，2]8．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b+c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A．3B．8C．4D．910．（5分）已知偶函数y＝f（x），当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（cosα）＞f（sinβ）11．（5分）已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝（1﹣t），＝t（0≤t≤1），||在t＝t0处取最小值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，π）12．（5分）定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b﹣a，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是．14．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，若sin C ﹣cos C＝0，a＝，b＝4，则BD的长为．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝．16．（5分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB＝BM，则AM⊥B1D；④若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1＝AB＝2，∠A1AC＝45°，D为CC1的中点，求三棱锥D﹣A1B1C1的体积．19．（12分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为1m2，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数．附：回归方程＝+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．20．（12分）如图，点T为圆O：x2+y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得＝，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣（a+1）x，g（x）＝f（x）﹣a（x2﹣x﹣1），a∈R．（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间；（2）设F（x）＝e x+x3+x，若x1，x2为函数g（x）的两个不同极值点，证明：F（x1x22）＞F（e2）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满足＝t，求证：g（m+2）+g （2n）≥2．2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R【解答】解：B＝{x|x＞0}，A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|，则z的虚部为（）A．5B．C．D．﹣5【解答】解：由（1+i）z＝|3+4i|＝，得z＝，∴z的虚部为﹣．故选：C．3．（5分）设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±，一条渐近线的方程为y＝2x，∴＝2，设b＝t，a＝2t则c＝＝t∴离心率e＝＝．故选：C．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为（）A．0B．e C．0或e D．0或1【解答】解：程序对应的函数为y＝，若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，故选：C．6．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ＝﹣，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x＝（）A．﹣12B．﹣10C．﹣8D．﹣6【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cosθ＝﹣，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则：x＜0，利用三角函数的定义：，解得：x＝﹣6．故选：D．7．（5分）若函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A．点（，0）是y＝f（x）的一个对称中心B．直线x＝是y＝f（x）的一条对称轴C．函数y＝f（x）的最小正周期是2πD．函数y＝f（x）的值域是[0，2]【解答】解：由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ＝，∴θ＝，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x＝时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为＝π，故C不正确；显然，f（x）＝cos x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．8．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：显然y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′＝﹣4sin x﹣e x＝﹣（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，而4sin x≥﹣4，∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0，∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴y＝4cos x﹣e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．9．（5分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b+c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A．3B．8C．4D．9【解答】解：∵a＝6，b+c＝8．p＝＝＝7．∴S2＝7×（7﹣6）×（7﹣b）（7﹣c）＝7[bc﹣7（b+c）+49]＝7（bc﹣7）≤＝7×9，当且仅当b＝c＝4时取等号．∴S≤3．故选：A．10．（5分）已知偶函数y＝f（x），当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（cosα）＞f（sinβ）【解答】解：根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（﹣1，0）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．11．（5分）已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝（1﹣t），＝t（0≤t≤1），||在t＝t0处取最小值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，π）【解答】解：由题意有：不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，由＝（1﹣t），＝t（0≤t≤1），得：＝＝t﹣（1﹣t），所以||2＝（t﹣（1﹣t））2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，由二次函数图象的性质有：当t＝t0＝时，||取最小值，即0＜，解得﹣＜cosθ＜0，又θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．12．（5分）定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b﹣a，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，⇒或，方程5x2﹣27x+26＝0有两个根，x1＝或x2＝，则原不等式的解集为：（1，]∪（2，]，其解集区间的长度为（﹣2）+（﹣1）＝﹣3＝故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是3．【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝，平移直线y＝，当直线y＝经过点A（3，0）时，直线的截距最小，此时z 最大，此时z的最大值为z＝3﹣2×0＝3．故答案为：3．14．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，若sin C ﹣cos C＝0，a＝，b＝4，则BD的长为1．【解答】解：由sin C﹣cos C＝0得sin C＝cos C，即tan C＝＝，∴C＝30°，∵D为AC的中点，b＝4，∴CD＝2，则BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝3+4﹣2×2×＝7﹣6＝1，即BD＝1，故答案为：1．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝2．【解答】解：如图，过M作MH⊥l＝H，由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y＝（x﹣），联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：，则|GF|＝，即p＝2．故答案为：2．16．（5分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是②④．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB＝BM，则AM⊥B1D；④若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π．【解答】解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF ∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE＝AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，易得AD中点H 就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，解得a1＝1，q＝3，∴a n＝3n﹣1，S n＝＝，（2）假设存在常数λ，使得数列{S n+λ}是等比数列，∵S1+λ＝λ+1，S2+λ＝λ+4，S3+λ＝λ+13，∴（λ+4）2＝（λ+1）（λ+13），解得λ＝，此时S n+λ＝×3n，则＝3，故存在常数，使得数列{S n+}是等比数列．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1＝AB＝2，∠A1AC＝45°，D为CC1的中点，求三棱锥D﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂足为O，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴CO⊥平面AA1B1B，∴CO⊥OB，∵CA＝CB，CO＝CO，∠COA＝∠COB＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴OA＝OB，∵∠A1AB＝45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平面BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）由（1）知OA＝OB，∵AB＝，BB1＝2，∴OA＝OB＝1，∵∠A1AC＝45°，CO⊥AO，∴CO＝AO＝1，＝＝，＝，∵OB⊥平面AA1C1C，∴h＝OB＝1，∴三棱锥D﹣A 1B1C1的体积：＝．19．（12分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为1m2，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数．附：回归方程＝+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（1）由题意得：＝（0+1+2+3+4）＝2，＝（15+12+11+9+8）＝11，（x i﹣）（y i﹣）＝﹣17，＝10，故＝，＝，故＝﹣x+；（2）由回归方程得：x＝2时，y＝11，x＝3时，y＝，x＝4时，y＝，故平均数是＝9.13，故一株产量的平均数是9.13kg．20．（12分）如图，点T为圆O：x2+y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得＝，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意＝，即A为PB的中点∴x＝2x0，y＝﹣y0，即x0＝x，y0＝﹣y，∵x02+y02＝1故点P的轨迹C的方程为+y2＝1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx+t，∵|AB|＝1，∴（﹣）2+t2＝1，即+t2＝1，①联立，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝，∵四边形OMQN为平行四边形，故Q（﹣，），∴（﹣）2+（）2＝1，整理可得4t2＝4k2+1，②，将①代入②可得4k4+k2+1＝0，该方程无解，故这样的直线不存在．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣（a+1）x，g（x）＝f（x）﹣a（x2﹣x﹣1），a∈R．（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间；（2）设F（x）＝e x+x3+x，若x1，x2为函数g（x）的两个不同极值点，证明：F（x1x22）＞F（e2）．【解答】（1）解：f′（x）＝1+lnx﹣a﹣1＝lnx﹣a．若a≤0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；若a＞0，由lnx﹣a＝0，解得x＝e a，当x∈（1，e a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（e a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调减区间为（1，e a），f（x）的单调增区间为（e a，+∞）；（2）证明：∵F′（x）＝e x+3x2+1＞0，∴F（x）在R上单调递增，要证F（x1x22）＞F（e2），即证x1x22＞e2，也就是lnx1+2lnx2＞2，又g（x）＝＝，g′（x）＝1+lnx﹣ax﹣1＝lnx﹣ax，∴x1，x2为方程lnx＝ax的两个根，即，即证ax1+2ax2＞2，即a（x1+2x2）＞2．而①﹣②得，，即证：＞2．不妨设x1＞x2，t＝＞1，则证：＞2，变形得＞2，∴＞2，lnt﹣＞0，设h（t）＝lnt﹣，则h′（t）＝＞0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0．即结论成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1，直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（）（2，）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满足＝t，求证：g（m+2）+g （2n）≥2．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝，∴f（x）max＝f（﹣1）＝2，即t＝2，证明：（2）g（x）＝|x﹣1|，由+＝2，知g（m+2）+g（2n）＝|m+1|+|2n﹣1|≥|m+1+2n﹣1|＝|m+2n|＝|（m+2n）•（+）|＝|++2|≥|2+2|＝2，当且仅当＝，即m2＝4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．。

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）

2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）己知集合A={x\x>l},3={x|2，>l},贝U（）A.A B=（x|x>0}B.A B={x\x>\}C.A B={x\x>l}D.A B=R2.（5分）若复数z满足（l+z）z=|3+4",则z的虚部为（）A.5B.-C.--D.-53.（5分）设a、/}是两个不同的平面，m是直线且mua,“a//月”是“m]I）3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件224.（5分）已知双曲线C:]-与=1怎>0,。

>0）的一条渐近线方程为y=2x,则C的离心率a b为（）A/c D t r a/52打A.、/5B.C.D・----5255.（5分）执行如图的程序框图，如果输出的y值为1,则输入的x的值为（）「开始）/输入邦h/C.0或eD.0或136.（5分）己知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且cos0=-若点M（x,8）是角0终边上一点，则x=（）A.-12B.-10C.-8D.-67.(5分)若函数f(x)=2sin(x+20|cos x(0<0<-)的图象过点(0,2),则()A.点(生，0)是y=/(x)的一个对称中心4B.直线x是、=/(%)的一条对称轴4C.函数y=/(x)的最小正周期是2/D.函数y=/(x)的值域是[0,2]8.(5分)y=4cosx-/图象可能是()9.(5分)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=J伏p—d)(p-域(p-。

求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足"=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为()A.3石B.8C.4^7D.9也10.(5分)已知偶函数y=/(x),当xe(-l,0)时，f{x)=Z x,若a,"为锐角三角形的两个内角，贝以)A.f(sina)>/(sin/?)B.f(sin a)>/(cos/3)C./(cos。

2024届山东省潍坊市、滨州市高三一模考试数学试题及答案

D
B
M
C
高一数学试题第3页(共 4 页)
18. (17 分) 若 ξ，η 是样本空间 Ω 上的两个离数型随机变量，则称 (ξ，η) 是 Ω 上的二维离散型随机变
量或二维随机向量.设 (ξ，η) 的一切可能取值为 ai，bj ，i，j = 1，2，⋯，记 pij 表示 ai，bj 在 Ω
中出现的概率，其中 pij = Pξ=ai，η=bj = P ξ=ai ∩ η=bj . (1) 将三个相同的小球等可能地放人编号为 1，2，3 的三个盒子中，记 1 号盒子中的小球个
行四边形，∠ABC = 120°，AB = 2A1B1 = 2，BC = 8，A1A = 4 2 ， DD1 ⊥ DC，M 为 BC 的中点.
(1) 求证: 平面 CDD1C1 ⊥ 平面 D1DM；
A
(2) 若 D1D = 4，求直线 DM 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值.
A1 B1
D1 C1
潍坊市高考模拟考试
试卷类型:A
数学
本试卷共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
2024.3
注意事项: 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
15. (13 分)
在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a(sinB + cosB) = c.
(1) 求 A；
(2) 若 c = 2 ，a = 5 ，D 为 BC 的中点，求 AD.
16. (15 分)