第8章 平问题的复变函数解
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更好地理解和应用复变函数。
1. 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
设二元实数域R 中的二元有序对z=(x,y)，其中x∈R，y∈R，因此z既可写成z＝x＋yi，也可写成z=(x,y)。
所以有R⊂C。
设f是以D为定义域的二元实数域R上的函数：若对于每一个属于D的z既唯一确定一个属于F的一个复数w＝f(z)。
则称f为在D上取值于复数集F的复变函数,即示例代码star：编程语言：f: D → Fz→w=f(z)示例代码end其中z为自变量、w为函数值，D为定义域，F为函数值集合。
2. 复变函数的性质复变函数具有一些特殊的性质，这些性质是理解和应用复变函数的基础。
2.1 解析性如果一个函数在某个区域内可以展开为幂级数，则称该函数在该区域内解析。
解析性是复变函数重要的性质之一，在很多实际问题中起到关键作用。
2.2 连续性与实变函数类似，复变函数也具有连续性。
如果一个复变函数在某点处连续，则说明在该点附近，该函数没有突变或间断点。
2.3 可微性与实变函数不同，复变函数存在可微性这一特殊性质。
如果一个复变函数在某点处可导，则说明在该点处存在切线可以很好地描述该点附近的行为。
3. 复数平面和复平面为了更好地研究复变函数，我们引入了复数平面和复平面这两个概念。
3.1 复数平面复数平面是由所有复数构成的平面。
每个复数可以通过直角坐标系表示为一个有序对(x, y)，其中x表示实部，y表示虚部。
通过把坐标原点(0,0)对应于零，将全部正实轴对应到实部正半轴，并且使得偏离原点的距离与两个坐标轴之间夹角相等来映射到剩下区域。
3.2 复平面复平面是由全部符合 z＝x＋iy 形式定义在D上取值于F 的全体点所组成的二维空间C所表示得到。
这样C族就可以嵌入Px（X 轴）和Nv （Y 轴）点平间难互独运动并且两轴都阳等L 技获取得到一个表示方便易操作全体符号z 点解析情况的几何工具空间。
复变函数ppt课件
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复变函数参考答案(1-8章)
复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。
(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。
提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。
则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。
(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。
提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。
(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。
(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。
提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。
(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。
提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。
连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。
因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。
本题也可以利用代数法来做。
2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件是指函数在某个区域内能够解析（即可导）。
在复平面上，复数可以表示为z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数是指将复数映射到其他复数的函数。
复变函数解析的条件包括以下几个方面：
1. 实部和虚部的偏导数存在且连续：如果一个复变函数在某个区域内的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在这个区域内是解析的。
也就是说，函数对于复平面上的每个点都是可导的。
2. 柯西—黎曼方程：柯西—黎曼方程是解析函数的一个重要条件。
它要求函数的实部和虚部满足一定的关系。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个复变函数，如果f(z)在某个区域内解析，那么它的实部和虚部满足以下柯西—黎曼方程：
u/x = v/y
u/y = -v/x
这些方程表明了实部和虚部的偏导数之间的关系。
3. 单连通区域：如果一个区域是单连通的，那么在这个区域内的函数都是解析的。
单连通区域是指没有孔洞或环绕的区域，其中任意两点之间都可以通过一条连续的路径相连。
例如，一个圆形区域就是单连通的。
4. 几何性质：解析函数在某个区域内具有一些重要的几何性质，比如保持角度和保持面积。
总之，复变函数解析的条件包括实部和虚部的连续性、柯西—黎曼方程的满足、区域的单连通性以及几何性质的保持。
这些条件保证了函数在区域内的解析性质，使得我们可以进行复变函数的分析和计算。
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中一个非常重要的分支，也是其它自然科学中涉及到复数的问题所必须掌握的基础知识。
它的研究对象是由复变量组成的函数，在复平面上有非常丰富的性质和应用。
解析函数是复变函数中的一个重要概念，是指在某个区域内可导的复变函数，它在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用。
一、复变函数基础复数包含实数和虚数两个部分，即 $z=a+b i$，其中 $a$ 和$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复平面可使用一个点 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b i$，其中向上为正方向，向右为正方向。
我们可以将复平面分为实轴和虚轴两部分，实轴上的点是实数 $a$，虚轴上的点是复数 $b i$。
对于一个复变量 $z=x+y i$，可以分别表示为实部 $x$ 和虚部$y$，即 $x=Re(z), y=Im(z)$。
其中，共轭复数（conjugate complex）的实部不变、虚部相反，即 $z^* = x - yi$。
绝对值定义为模长（modulus）或者复数的模数（magnitude）：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。
二、复变函数的概念在实数域上，函数是由一个或多个自变量构成的表达式或规则，对应一个或多个因变量。
像$y=f(x)$ 这样的表达式就是一个函数。
在复数域上，一个函数 $f(z)$ 由一个复变量 $z=x+y i$ 构成，可看作 $(x,y)$ 上的某种标量函数。
即对于 $x,y \in \mathbb{R}$，$z=x+y i \in \mathbb{C}$，$f(z)$ 可以表示为$f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ 的形式，其中 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。
我们可以把 $\mathbb{C}$ 中的点 $z$ 对应到复平面上，把点$z$ 对应的函数值 $f(z)$，对应到复平面上的另一个点 $w$。
复变函数8章
导数幅角的几何意义续 导数幅角的几何意义续 单叶解析函数w=f(z)作为映射时, 曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变， 这一性质称为旋转角不变性 旋转角不变性。 旋转角不变性 arg f ′(z0)称为变换w=f(z)在z0的旋转角 旋转角, 旋转角 仅与z0和函数f(z)有关， 与过z0的曲线C无关。 旋转角对曲线来说是固定不变的。 C的象曲线Г在w0=f(z0)处的切线正向 可由原象曲线C在z0的切线正向旋转一个旋转角 arg f ′(z0) 得到。
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C w=f(z)
w平面 平面
v w 0
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Г
w u
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解析变换的保角性——导数的几何意义 ⒉解析变换的保角性 导数的几何意义
w0= f (z0) 设函数w=f(z)是区域D内的解析, z0∈D , f ′(z0)≠0, 过z0的一条简单光滑曲线C：z=z(t) (t0≤t≤t1) z0 =z(t0), z′(t0)≠0 C在w=f(z)的像Г:w=f(z(t))=w(t) (t0≤t≤t1),w0=f(z(t0)) w ′(t0)=f ′(z0)z′(t0)≠0, 记: f ′(z0)=Reiα 即导数非 的解析函数将简单光滑曲线变为简单光滑曲线 导数非0的解析函数将简单光滑曲线变为简单光滑曲线. 导数非 的解析函数将简单光滑曲线变为简单光滑曲线 ⑴导数幅角的几何意义 曲线C在z=z0的切线与实轴的夹角ψ是z′(t0)的幅角argz′(t0) 曲线Г在w=w0的切线与实轴的夹角Ψ是w ′(t0)的幅角argw′(t0) Г Ψ=argw′(t0)=arg[ f ′(z0)z′(t0)]=arg f ′(z0)+argz′(t0)= α+ψ α C z平面 y 平 w z0 w平面 v 0 Ψ 平 ψ w=f(z) ψ x u 0 0 因此,Г在w0处、C在z0处切线与实轴的夹角相差, α=Ψ -ψ 与曲线C及切线无关. 只与函数在z0处的导数有关。
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
复变函数点解析
复变函数点解析复变函数是数学中的一个重要概念，它是定义在复平面上的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用具有重要意义，涉及到复数的性质、解析函数的性质以及复积分等内容。
复变函数的定义比实变函数更加复杂，因为它不仅与实数相关，还涉及到虚数。
一个复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别表示x和y 的函数。
复变函数可以看作是将复平面上的点映射到复平面上的点的函数。
解析是复变函数的一个重要概念，如果一个函数在某个区域内处处可导，并且导数也是连续的，那么我们称这个函数在该区域内解析。
解析函数具有很多重要的性质，比如它在该区域内无穷阶可导，可以展开成幂级数等。
复变函数的解析性质使得它在分析数学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
在分析数学中，复变函数可以用来解决实变函数无法解决的问题，比如复积分、留数定理等。
在物理学中，复变函数可以用来描述电磁场、波动现象等。
在工程学中，复变函数可以用来解决各种工程问题，如电路分析、信号处理等。
复变函数的性质与实变函数有很大的不同。
比如，实变函数的导数可以用极限的方式来定义，而复变函数的导数需要用到复数的性质。
另外，实变函数的导数只有一个值，而复变函数的导数有无穷多个值。
复变函数的导数还有一个重要的性质，即柯西-黎曼条件，它是解析性的充分必要条件。
复变函数还具有一些特殊的函数形式，比如三角函数、指数函数、对数函数等。
这些函数在复平面上具有特殊的性质，比如周期性、分支性等。
复变函数还可以通过复数的极坐标表示形式来进行分析，这对于研究复变函数的性质很有帮助。
复变函数是数学中一个重要而有趣的概念。
它的研究不仅丰富了数学理论，也为其他学科的发展提供了重要的工具和方法。
通过对复变函数的深入研究，我们可以更好地理解数学的美丽和应用的广泛性。
复变函数与积分变换第8章8-1 拉普拉斯变换
下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:
(1) 将全空间(-∞,+∞)上的问题转化成半空间(0,+∞)上的问题.
1 t [0, ) 引进单位阶跃函数u(t ) , 构造函数 0 t ( ,0) g (t ) f (t )u(t ), t ( , )
像函数的微 分性质
前面，由已知函数f (t )，求它的像函数F ( s ).但在实际应用 中常见与此相反的问题 Laplace逆变换.
利用拉氏变 换的性质， 凑！！
s 1 , 求f (t ). 例3 已知f (t )的拉氏变换F ( s) ln s 1 解 1 1 ( s) F ( s) ln( s 1) ln( s 1) F s 1 s 1 根据像函数的微分性质: L [tf (t )] F ( s) 有 1 1 1 1 f (t ) L t s 1 s 1 1 t 1 t kt L [e ] (e e ) (Re( s) k ) t sk
f1 (t ) f 2 (t ) L 1[F1 ( s) F2 ( s)]
2
像原函数的延迟(时移)性质 若 F ( s) L [ f (t )] , 又当t 0时, f (t ) 0, 则对任意实数 0
L [ f (t )] e s F ( s ) L
m st
Re( s) 0
1 m st t m m 1 st t e |t 0 t e dt s s 0 m L [t m 1 ] s m( m 1) m2 L [t ] s2
m ( m 1) 2 m ( m 1) ] L [t m 1 s m ( m 1) 2 1 m! m m ] m 1 L [t m s s
复变函数知识点归纳
复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。
复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。
常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。
3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。
共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。
4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。
对于解析函数，其导数存在且连续。
5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。
路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。
以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。
复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。
需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。
复变函数习题解答.docx
复变函数练习题解答一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别(对于极点，耍指明它们的阶)，对于无穷远点也要加以讨论.(1)/(z) = —⑵ /(z) = —^-丄sin 丄Z zz解.(1) /(z)=—有奇点0,丄伙=1,2,3,・・・)严，因在扩充复平面上siiJ $——=sin丄有一阶零点丄伙=1,2,3,…)，8 ,故/(z)=—冷有一阶极点/⑵ 乙加sin 丄丄伙= 1,2,3,…)产,易见o是于(z)的一阶极点丄伙= 1,2,3,…)的极限点，因而o kn kn 不是/(z)的孤立奇点.解.(2) /(z)= ------------ 丄有奇点0,2£方伙=1，2,3,…)严，因e-1 z蛇⑵也詔也占=lim 2 = 1曲—e)',=怙= -1ZTO & _1 + ze、ZTO(&_1 + zej 乙TO 2b + 20是/(z)的可去奇点,易见/(z)有一阶极点2km(k = 1,2,3,…)•事实上恋(“ 2聞/⑵叮监(占-z-2kjt\ 1 ‘=lim ——: ---- =lim — = 1ZT2hri e、一 ] ZT2E e、因而oo是/(z)的一阶极点2Si伙=1,2,3,…)的极限点，OO不是/(z)的孤立奇点.二、考查函数f(z.) = x3-y3 + 2x2y2i的可微性和解析性，并求出导数(如存在).解.因u（x, y） = x3 - y3, v（x,y） = 2x2y2,宾=3疋，-^- = -3y2,ox dy^L = 4xy2 , ^- = 4x2y ,故f（z） = x3-y3+2x2y2i仅在两个点（0,0）,（—,—）满足ox dy 4 4C-R条件単=$, $ =—単，因此函数/⑵"―）,3+2兀2）円处处不解析，仅在ox dy ox dy3 3 3 3 27两个点（0,0）,（丁,丁）可导和可微，且r（o）=o, /（-+-/）=_.4 4 4 4 4三、求出圆忖v 2到半平面Re >v> 0的共形映射vv = /U）,使符合条件/（0） = 1解.71.Z1 = 一将圆|z|<2映为圆|z】| V1,z — i2.因s = —将半平而Imz9> 0映为圆忖|<1,故逆映射z2+ii0 + 7eE =i —将圆|z】|vl映为上半平而Im^>0一” _补3.w = —iz2将上半平面Im% >0映为右半平面Re w>Qz + 2严4.上述三个映射的复合w= ——将圆Z <2映为半平面Rew>0,且符合2严-z条件/（0） = 1.8 1四、证明：级数Yc-ir1-—收敛，但不绝对收敛，提示，写成实部和虚部.n=i i+ 〃一1证因£（一I）-1= £（― 1 严J "补 | - r 1 i）“=]1+〃一1 “=]（〃一1） +1 （H-1） +18 _ 1 8 1其实部工（-1）心；条件收敛，虚部y（-ir'—二一绝对收敛心（n一1）~ +1 心（n一1）~ +1因此级数£（-1严n=l1i+ n一1收敛, 但不绝对收敛.证 (1)设/(z) = w + iv ，则|/(z)|2 =u 2 +v 2,(2)左=2u ； + 2记 + 2Uy + 2Vy + 2u(u xx + u yy ) + 2v(v xv + v yy ) (3 )由⑵和 Laplace 方程 U xx + U yy = 0 , V xx + V vy = 0 知, 左=2u j + 2# + 2疋+2v^,x x y y⑷由(3)和C-R 条件竽占,単二—尖知，左=4尤+4忙 dy dx dy dx(5) 由(4)和厂⑵= /+i 匕知，右=4尤+4记(6) 由(4)和(5)矢口，左=右. 五、计算下列积分(1) 知 z(3z + l) (2) 『兀d& J 。
复变函数
2.去心邻域 去心邻域: 去心邻域
称由不等式 0 < z − z0 < δ 所确定的点的 集合为 z0 的去心邻域 .
说明
不包括无穷远点自身在 内, 仅满足 z > M 的所有点的集合 , 称为无穷远点的去心邻 域. 可以表示为 M < z < +∞ .
4
3.内点 内点: 内点
设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果 存在 z0 的一个邻域 , 该邻域内的所有点都属 于 G , 那末 z0 称为 G 的内点.
今后不再区别函数与映射. 今后不再区别函数与映射
31
三、典型例题
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
∆ABC → ∆A′B′C ′.
24
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
显然将 z 平面上的点 z1 = i , z2 = 1 + 2i , z3 = −1 映射成 w平面上的点 w1 = −1, w2 = −3 + 4i , w3 = 1.
y
⋅ w2 ⋅ z2
x
v
z1 ⋅ ⋅ z3 o
29
4. 反函数的定义 反函数的定义:
设 w = f ( z ) 的定义集合为 z 平面上的集合 G , 函数值集合为 w 平面上的集合 G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着 G 中的一个 (或几个 )点. 于是在 G * 上就确定了一个单值 (或多值 )函数 z = ϕ ( w ), 它称为函数 w = f ( z ) 的反函数 , 也称 为映射 w = f ( z ) 的逆映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
复变函数
A
B
z1 2 3i
x
C
A
v
w2 1 2i
o
B
C
o
z 2 1 2i
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
且是全同图形.
(2) 函数 w z 2 构成的映射.
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形.
y y
o
x
o
x
(2) 函数 w z 2 构成的映射.
直线 x 的象的参数方程为 : u 2 y 2 , v 2y. ( y 为参数)
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
今后不再区别函数与映射.
三、典型例题
例1 在映射 w z 2 下求下列平面点集在w 平面
上的象 :
π (1) 线段 0 r 2, ; 4 y 解 设 z re i ,
w e ,
i
还是线段.
v
o x o u
wz2
则 r , 2 ,
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
2 2
v o
4
2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
ห้องสมุดไป่ตู้
π ( 3) 扇形域 0 , 0 r 2. 4 解 设 z re i , w e i , 则 r 2 , 2 ,
平面问题的复变函数解
第八章平面问题的复变函数解一.内容介绍通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。
但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。
求解分析步骤为1. 分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；2. 探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；3. 利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；4. 将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
二.重点1. K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2. 无限大多连域的K-M函数形式；3. 保角变换与曲线坐标；4. 椭圆孔口与平面裂纹问题。
知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M 函数柯西积分确定K-M 函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标应力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M 函数椭圆孔口的保角变换裂纹—短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力附录2 复变函数概要复变函数通过复平面描述平面问题，兼有直角坐标和极坐标的优点。
同时复变函数的一些性质，例如映射、保角变换和柯西积分等均有利于弹性力学问题的边界条件转化和求解。
因此复变函数成为弹性力学问题求解的重要工具。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
参考资料§1 复变函数的定义§2 解析函数--复变函数的可导性§3 保角变换§4 复变函数的积分§8. 1 应力函数的复变函数表示学习思路：弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
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第八章平面问题的复变函数解知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M 函数柯西积分确定K-M 函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标应力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M 函数椭圆孔口的保角变换裂纹—短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力一、内容介绍通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。
但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。
求解分析步骤为：1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M 函数表示；2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
二、重点1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。
§8. 1 应力函数的复变函数表示学习思路：弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。
对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。
本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。
学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。
上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和ψ(z)表示。
和ψ(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。
学习要点：1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式1、双调和方程的复变函数表达形式在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。
设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。
对于复变函数z =x+ i y，取其共轭，则=x- i y。
因此z和均为x，y的函数。
复变函数z可以写作z=ρ e iϕ，其共轭=ρ e-iϕ，因此z和又可以表示为坐标ρ 和ϕ的函数。
同理，x，y也可以表示为z和的函数，有因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有注意到应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式双调和方程的复变函数表达式为2、双调和函数的复变函数形式对于应力函数U（z）的复变函数表示。
将双调和方程的复变函数表达式乘以2，并对作积分，可得对再作一次积分，可得对z作一次积分，可得对z再作积分一次，可得应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。
注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。
所以上述函数必须是两两共轭的，即或者因此应力函数可以用两个待定函数表示为或者上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。
公式将双调和函数通过两个复变函数和χ(z)表达。
和χ(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M 函数，均为单值解析函数。
Re为表示复变函数实部的符号。
§8. 2 应力分量的复变函数表示学习思路：应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。
这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。
本节引入复变函数，和这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。
上述函数均称为K-M函数。
学习要点：1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示对于无体力的弹性力学问题。
如果选取的应力分量满足则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。
这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M 函数描述的。
因此，应力分量也必须通过K-M 函数表达。
根据公式有将上述两式相加，可以得到将上式分别对x和y求一阶导数，可得其中2、应力分量表达式上述公式的第一式减去第二式乘以i，可得即将公式的第一式加上第二式乘以i，可得取其共轭，则上述公式推导中，引入和。
公式是用单值解析函数和 (z) 表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。
§8. 3 位移的复变函数表示学习要点与思路：本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M 函数表达弹性体位移。
对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。
一般的讲，不需要专门分析位移。
但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。
在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M 函数对x，y坐标的偏导数。
积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M 函数表达的位移复变函数表达形式。
学习要点：1、K-M 函数表达的位移偏导数表达式；2、积分确定位移分量；3、位移分量的复变函数表达形式1、K-M 函数表达的位移偏导数表达式对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得其中设。
由于K-M 函数为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即由于取其共轭因此可得即将上式代入公式可得2、积分确定位移分量将公式分别对x和y积分，可得根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理，上式可以写作将位移表达式代入上式，则整理可得根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以因此，g(x)=ω x+ v0, f(x)=-ω y+ u0。
这一结果说明：g(x)和f(y)表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。
即公式可以表示为3、位移分量的复变函数表达形式将上述两式相加，则可得K-M 函数表示的位移分量。
有整理可得或者写作上述分析表明，如果已知K-M 函数和ψ (z) 时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。
对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比做对应的替换则可。
§8.4 边界条件的复变函数表示学习思路：边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M 表示面力边界条件。
由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M 函数表达。
在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。
而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。
用复变函数描述的面力边界条件有三个。
显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。
学习要点：1、任意一点的面力边界条件复变函数表达；2、边界线段AB的面力边界条件：3、边界力矩与K-M 函数的关系：4、位移边界条件：思考题：1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。
（解答）1、任意一点的面力边界条件复变函数表达对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为将复变函数表示的应力分量表达式代入上式，则设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示则由几何关系将上式代入公式可得将上述面力矢量用复数形式表达为F s x+ i F s y，则将公式代入上式，可得即2、边界线段AB的面力边界条件公式的左边表示边界面力矢量在微分线段d s上的主矢量。
将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量由于在K-M 函数和ψ (z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M 函数，使上式的常数为零。
则上述公式表示了边界面力矢量与K-M 函数和ψ (z)之间的关系。
显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。
3、边界力矩与K-M 函数的关系如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式可以得到对上式作分部积分，可得注意到和回代可得公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。
公式的右边为K-M 函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。
4、位移边界条件下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为u=u, v=v则根据位移边界条件，有上式即为K-M函数表示的位移边界条件。
到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数和 (z) 的问题。
思考题：1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。
解答：如讨论的物体为单连域，由于和均为单值解析函数。
因此，当A和B重合时，也就是说积分曲线闭合时，则＝0，这表明作用在物体边界上的边界面力，必组成一个平衡力系。
这一结论是必然的，要使问题有解，边界上的面力必须满足这个条件。
§8.5 多连域中φf(z)和ψ(z)的一般表达式学习思路：本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M 函数的单值性。
单连域中的单值解析函数和ψ (z)在多连域可能不再是单值的。
因此K-M函数和ψ (z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。
要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和ψ (z)在多连域中的可能形式。
首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和ψ(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M函数和ψ(z)的形式。
然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。
最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M 函数形式。
学习要点1、单连域中的单值解析函数和ψ (z)在多连域中可能是多值的；2、应力分量的单值条件；3、位移分量的单值条件；4、多连域中位移和应力分量单值连续的K-M 函数形式：1、单连域中的单值解析函数和ψ (z)在多连域中可能是多值的对于弹性力学的应力解法，若K-M 函数和ψ (z)满足公式，即则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，和ψ (z)均为单值解析函数。