数列题型(错位相减法)

数列专练（裂项相消法）

1. 已知数列{}n a 的前项和2

2n S n n =+；

（1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234

1

23111

1

n n n T a a a a a a a a +=++++

，求n T ．

2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213

(1,)

22n S n n n n N *=+≥∈

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n

T 成立的n 的最小值.

2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11

1,2,3,

2

n n a S n +==．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当()312

log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和1n n

T n =

+.

3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),

(n s n n 在直线2

1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()

*N n ∈，113=b ，且其前9项和为153.

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设)

12)(112(3

--=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T .

4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =⋅⋅⋅；数列{}n b 中，11,b = 点

1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列12n b +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 和为n S ，求12111

n

S S S ++

+

；

5. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的n N *

∈，都有2)2(8+=n n a S .

（1）写出数列{}n a 的前3项；

（2）求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)； （3）设14+⋅=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

m T n <对所有n N *

∈都成立的最小正

整数m 的值.

6. 数列{}n a 前n 项和为2

2n S n n =+，等比数列{}n b 各项为正数， 且11b =，{}

n a b 是公比为64的

等比数列．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：

11S ＋21S ＋……＋n S 1＜4

3．

7. 等差数列{}n a 中，前三项分别为45,2,-x x x ，前n 项和为n S ，且20k S =． （1）求x 和k 的值； （2） 求和：123

3333n n

T S S S S =++++

．

8. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设()

()1

3n n

b n N n a *

=

∈+，123n

n S

b b b b =++++，是否存在t ，使得对任意的n 均有

36

n t

S >

总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．

9. 设数列

{}

n a 的前n 项和为

n

S ，点

(,

)()n

S n n N n *∈均在函数32y x =-的图像上.

（1）求数列

{}

n a 的通项公式；

（2）设

13+=

n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m

T <

对所有n N *∈都成立的最小正

整数.

2. 解：（1）111)1,2

n a S ===当时

………………………………………………2分

22113132)2,(1)(1)2222 1

n n n n a S S n n n n n -⎡⎤

≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时………………6分

12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………………………………………………7分

（2）)

2(1

)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n

，……………………………9分 )

2(221212111....41313121+=

+-=+-+++-+-=

∴n n

n n n T n …………11分 10051005,201020122(2)2012

n n T n n >

>∴>+又得 ........................13分 2011n ∴的最小值为 (14)

5. 解:(1) n=1时 2

118(2)a a =+ ∴12a = n=2时 2

1228()(2)a a a +=+ ∴26a =

n=3时 2

12338()(2)a a a a ++=+ ∴310a = …………4分 (2)∵28(2)n n S a =+ ∴2

118(2)(1)n n S a n --=+>

两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即22

11440n n n n a a a a -----=

也即11()(4)0n n n n a a a a --+--=

∵0n a > ∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴2(1)442n a n n =+-⋅=- …………10分 (3)1441111

()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)

n n n b a a n n n n n n +=

===-⋅-+-+-+

∴12111111

[(1)()(

)]2335

(21)(21)

n n T b b b n n =++

+=-+-+

+--+

11111(1)2212422

n n =

-=-<++ …………14分 ∵20n m T <

对所有n N +∈都成立 ∴

1

202

m ≥ 即10m ≥ 故m 的最小值是10 …………16分

6. 解：（1）113a s ==， 2n ≥时，{}

22

1(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+