华中科技大学结构动力学课程设计
结构动力学ch1
第一章 绪论
§1.1结构动力学基本特征 §1.2离散化方法 §1.3结构振动方程建立
3
§1.1结构动力学基本特征
1、结构动力计算的特点
结构力学
静荷载 :大小、方向或位置不随时间而变， 或变得很慢
结构动力学
动荷载：荷载的大小、方向和作用位置
随时间而变化。
绝大多数实际荷载都是动荷载，但是：
θt
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和
水平分量均为简谐荷载.
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
非简谐周期荷载：荷载随时间周期性变化，但不能简单用三 角函数来表示。
如： ①平稳情况下波浪对堤坝的动水压力，
设计师莫伊塞夫闻讯后愧疚不已，尽管在设计中他已经作了 当时所要求的全部抗风静力核算，美国政府与公众也没有追究 他的个人责任，但他还是一病不起，几年后就去世了。
13
§1.1结构动力学基本特征
幸运的是，这次
事故没有人员伤亡，
而且当时在现场的
一位摄影师，拍下
了旧塔科马桥风毁
的全过程，给桥梁
抗风动力研究留下
10
§1.1结构动力学基本特征
Tacoma悬索桥风毁事故
Tacoma海湾(Tacoma Narrows)位于美国西海岸的华盛顿 州，1940年在这里建成了一座悬索桥(Old Tacoma Narrows Bridge)，史称旧塔科马悬索桥，见图1-1-1。
该桥为三跨连续加劲梁悬索桥．主跨853m，宽11.9m， 加劲粱为H型板梁，梁高只有2.45m。该桥的宽跨比为1／ 71.6，高跨比为1／348，是当时最细长的桥梁，并且该桥的 H型板粱的抗扭刚度几乎等于零。
结构动力学 教学大纲
结构动力学一、课程说明课程编号：120737Z10课程名称：结构动力学/Structural Dynamics课程类别：学科基础课学时/学分：32/2先修课程：理论力学，结构力学适用专业：土木天佑班教材、教学参考书：1.包世华编著，结构动力学.武汉理工大学出版社，2005年;2.R.克拉夫，J.彭津著；王光远译，结构动力学（第2版）.高等教育出版社，2007年;3.[美] Roy R. Craig, Jr著，常岭、李振邦翻译，人民交通出版社，1996年;4.邹经湘主编，结构动力学.哈尔滨工业大学出版社，1996年。
二、课程设置的目的意义结构动力学是土木工程天佑班学科基础课，它是结构动力响应分析与计算、动力学建模、振动控制等的基础，在土木、交通、机械、航空航天等工程领域中展示了广阔的应用前景。
课程设置目的是使是使学生掌握结构动力学基本原理、概念、分析方法，了解土木工程中常用的各类结构的动力性能与分析，加强动力学分析和计算能力，为相关专业课程及研究工作打下必要的力学基础，为设计和科研提供必要的计算手段。
三、课程的基本要求知识：了解动力问题的基本特性，掌握动力问题与静力问题的主要差别，掌握单自由度体系及多自由度体系的动力学建模及各种激励作用下结构响应的计算，连续分布参数体系的动力学分析方法。
学会不同的方法建立体系动力学方程，为有关专业课程及研究工作打下必要的力学基础。
能力：利用力学定律如牛顿定律、刚度法、柔度法、达朗伯原理等，建立单自由度体系、多自由度体系及连续分布参数体系动力学方程，学会将多自由度体系转化为单自由度体系求解的分析方法，培养解决工程问题的能力，培养创新意识，提高分析、研究和解决问题的能力。
素质：通过课程学习，培养分析、沟通、交流素质，建立动力学分析到应用的思维模式。
通过课外导学的模式，提升自主学习和终身学习的意识，形成不断学习和适应发展素质。
四、教学内容、重点难点及教学设计五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定教学过程中采取讲授、讨论、分析、大型作业、课前导学的方式进行，注重过程考核，考核方式包括：笔试、作业、讨论、课内互动，课外阅读等；过程考七、大纲主撰人：大纲审核人：、。
华科结构动力学_大作业
[9, ]
[9, 1.2]
[9, 1.4]
Questions
1、确定各阶频率和振型； 2、试用能量法计算近似的一阶频率； 3、任选一条地震动并将地震动幅值调整为0.3g，使 用振型分解法计算相应的地震响应； 4、试用迭代法近似求解一阶频率和振型；
5、任选一条地震动并将地震动幅值调整为0.3g，计
算该条地震动的加速度反应谱；
Questions
6、利用振型分解反应谱法确定各质点的地震力大小
设防烈度为8度 设计加速度 0.3g 阻尼比 =5% II类（第1组）场地土 多遇地震： max 0.24 Tg 0.35s
N 5 6 7 8 9
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
Problem description
[N, λ] 组合
[5, 0.6] [6, 0.6] [7, 0.6] [8, 0.6] [5, 0.8] [6, 0.8] [7, 0.8] [8, 0.8] [5, 1.0] [6, 1.0] [7, 1.0] [8, 1.0] [5, 1.2] [6, 1.2] [7, 1.2] [8, 1.2] [5, 1.4] [6, 1.4] [7, 1.4] [8, 1.4]
3任选一条地震动并将地震动幅值调整为03g使用振型分解法计算相应的地震响应
Problem description
mN kN mN-1 mj kj m2 k2 m1 k1
m 1000 103 kg k 2000 106 N /m
m1 m2 k1 k2 mN m kN k
华科土木钢结构课程设计(3)
荷载二（标准值）
永久荷载：
改性沥青防水层 20 厚 1:2.5 水泥砂浆找平层 150 厚加气混凝土保温层 预应力混凝土大型屋面板（包括灌缝） 悬挂管道 屋架和支撑自重为 可变荷载：
0.4kN/m2 0.4kN/m2 0.9kN/m2 1.5kN/m2 0.15N/m2 （0.120+0.011L）kN/m2
2、结构形式和布置
根据厂房长度、跨度及荷载情况，设置三道上、下横向水平支撑。柱网采用封闭结 合，厂房两端的横向水平支撑支撑设在第一柱间，该水平支撑的规格与中间柱间支撑的 规格有所不同。在所有柱间的上弦平面设置了刚性与柔性系杆，以保证安装时上弦杆的 稳定；在各柱间下弦平面的跨中及端部设置了柔性系杆，以传递山墙风荷载。在设置横 向水平荷载的柱间，于屋架跨中和两端各设一道垂直支撑。桁架形式及几Fra bibliotek尺寸如图所示。
图 1 桁架形式及几何尺寸 2
桁架支撑布置如图 2 所示。
符号说明：GWJ-（钢屋架）；SC-（上弦支撑）：XC-（下弦支撑）； CC-（垂直支撑）；GG-（刚性系杆）；LG-（柔性系杆）。 3
3、荷载计算
沿屋面斜面分布的永久荷载应乘以 cos 10 / 1 102 1.0050 换算成沿水
aB -10.12 -7.76 -2.95 -609.83
Bb 7.98 5.86 2.66 480.87
bD -6.48 -4.44 -2.55 -390.48
Dc 4.60 2.80 2.25 277.20
cf 斜腹
-3.49 -1.27 -2.77 -210.31
fG -2.67 -0.46 -2.77 -160.89 杆
Hg 0.67 0.67 0.00 40.37
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学（ＰＤＦ）
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
结构动力学课件(华中科技大学)
v02
2
y(t)
a
v0 a cos 初始相位角 tan1 y0
v0
T
自由振动总位移：
y0
0
t
a
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式: y(t) a sin(t ) 可知
时间经 T 2后 ，质量完成了一个振动周期。
用T 表示周期，周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
动力计算的内容：
1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型 2）荷载的变化规律及其动力反应 （自由振动）
（受迫振动）
13.1.2 动力荷载的分类
1）周期荷载
P(t ) 简谐荷载 t
2）冲击荷载
P(t)
P(t)
P
爆炸荷载1
P
P
一般周期荷载
t
P(t) 爆炸荷载2 P
突加荷载
tr
t
tr
t
t
P(t)
3）随机荷载
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
13.1.2 动力荷载的分类
本课程主要任务是：
求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出
结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依
据。
可靠性设计依据：
安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据；
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
结构动力学-教学大纲
《结构动力学》教学大纲一、课程的性质与目的本课程是土木工程专业的研究生专业基础课和本科生的选学课。
本课程的必备基础课程包括：材料力学、理论力学、弹性力学、结构力学、高等数学和线性代数。
课程的教学目的，旨在使学生掌握结构动力响应分析与计算的基本原理和方法，了解土木工程中常用的各类结构的动力性能与分析，为有关专业课程及研究工作打下必要的力学基础。
二、课程内容的教学要求1. 结构动力学概论：掌握结构动力学的基本概念与特性。
2. 动力运动微分方程的建立：掌握建立动力系统运动微分方程的四种基本方法。
3. 单自由度体系：深入理解单自由度体系的自由振动、简谐荷载振动、周期荷载振动、任意荷载振动、阻尼比的求解、隔震原理，了解单自由度体系的冲击荷载振动、频域求解方法。
4. 多自由度体系：深入理解多自由度体系的自由振动、简谐荷载振动和一般荷载振动，了解实用计算方法和有限元算法。
5. 动力学前沿研究课题：了解目前结构领域所涉及的动力学若干前沿研究课题。
三、上机实习要求无四、能力培养的要求1. 分析和推导能力的培养：主要提高学生建立动力学方程的能力。
2. 理解能力的培养：提高学生对基本概念和原理的深入理解能力。
3. 数值分析能力的培养：提高学生面向程序设计的数值分析能力。
4. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题，不断创新的习惯。
五、建议学时分配六、考核方式总评成绩＝平时成绩30％＋期末考试成绩70％七、教材及参考书1．徐赵东, 马乐为. 结构动力学, 科学出版社, 20072．Ray Clough, Joseph Penzien. Dynamics of Structures, USA: Computers and Structures Inc.2003.3．刘晶波, 杜修力. 结构动力学. 北京: 机械工业出版社, 2005。
华中科技大学结构动力学课程设计
《结构动力学》课程设计采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力姓名：学号：专业班级:指导老师：完成时间：一 、课程大作业任务某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为121350kN,1150kN G G ==（图2），层高 3.9m H =柱截面尺寸为()400400mm b h ⨯=⨯，梁刚度EI =∞,砼强度为40C ,混凝土强度等级423.2510N/mm c E =⨯，地震设防烈度为7度，地震加速度为0.15g ，场地类别为Ⅱ，第二组。
请采用振型叠加法求解该结构的地震内力，并绘制内力图。
图1 两层框架结构图二、计算步骤1.计算截面参数柱子截面惯性矩：3394011400400 2.133310mm 1212I bh ==⨯⨯=⨯ 每层刚架侧移刚度：496270123332424 3.2510 2.13331010N m 2.805110N/m 3.9mc E I k k k H -⨯⨯⨯⨯⨯•=====⨯ 二层楼板质量：3311135010137.755110kg 137.7551t 9.8G m g ⨯===⨯=屋盖质量：3322115010117.346910kg 117.3469t 9.8G m g ⨯===⨯=其中121.1739m n m == ，令2m m =。
2.求出频率和振型+k 2图3由图3（a ）和（b ）可求出结构的刚度系数如下：11122121222222,,k k k k k k k kk k k k k=+==-=-=-=-==那么则两频率分别为-11-120.63099.75s1.717526.55s ωω======第一主振型：()()1711227231111122.80511012 2.8051109.75137.755110 1.5332Y k k m Y ω-⨯=-=-=-⨯⨯-⨯⨯()(21122111212112122(20.85190.851912 1.173912 1.173920.39802.9499k k k m m m k k k m m k mk m k mω⎡⎛⎫⎛=++⎢ ⎪⎝⎭⎝⎣⎡⎛⎫=+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎡=⨯+⨯⎢⎣⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩第二主振型：()()2711227232112122.80511012 2.80511026.55137.7551100.6841Y k k m Y ω-⨯=-=-=--⨯⨯-⨯⨯ 3.求振型参与系数由{}()[]{}{}()[]{}()()1211njj Ti ii j n j T j j i i i m Y Y M Y M Y m Y γ====∑∑，得 ()()()()()()()11122211212222211.17391 1.55320.7601.17391 1.55321.173910.68410.2981.173910.6841ni i i niii ni i i niii m Y m m m m m Y m Y m m m m m Y γγ====⨯+⨯===⨯+⨯⨯-⨯===⨯+⨯-∑∑∑∑4.求自振周期自振周期为1122220.644s 9.75220.236s26.55T T ππωππω======场地类别为Ⅱ第三组，查表得特征周期0.40s g T =。
高等结构动力学-华中科技大学研究生院
课程大纲：（章节目录）
第一章结构动力学中的科学和艺术
§1.1结构动力学介绍
§1.2结构部件和系统的建模
§7.2周期激励响应：复傅里叶级数
§7.3非周期激励响应：傅里叶积分
§7.4复频响应与单位脉冲响应关系
§7.5离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
第八章MDOF系统数学模型
§8.1集总参数模型牛顿定律应用
§8.2分析动力学介绍：哈密顿原理和拉格朗日方程
§8.3集总参数模型拉格朗日方程应用
§8.4连续系统拉格朗日方程应用：假定振型法
§8.5约束坐标和拉格朗日乘子
第九章无阻尼2-DOF系统振动
§9.12-DOF系统自由振动：固有频率和振型
§9.2拍现象
§9.32-DOF系统模态和频率的附加例题：假定振型模型
§9.4有刚体模态系统自由振动
§9.5模态叠加介绍：无阻尼2-DOF系统频率响应
§9.6无阻尼振动吸振器
第十章MDOF系统振动特性：模态、频率和阻尼
§12.4扩展哈密顿原理应用：考虑剪切变形和转动惯量的梁弯曲（铁木辛柯梁理论）
第十三章连续系统自由振动
§13.1轴向和扭转自由振动
§13.2伯努利-欧拉梁自由横向振动
§13.3基于瑞利法求解连续系统基频的近似解
§13.4考虑剪切变形和转动惯量梁的自由横向振动
§13.5连续系统固有模态特性
§13.6薄板自由振动
§4.4振动隔离：力传递率和基础运动
§4.5振动测试仪器：加速度计和测振仪
华中科技大学能源动力学院动力类专业课件
2020/11/13
华中科技大学能源动力学院动力类专 业课件
• 无论是对于控制质量(CM)或控制容积(CV) ，如果所 发生的热力过程外部条件相同，譬如同为定温过程或绝 热过程等，工质的状态变化规律是一样的，不同的只是 系统与外界的能量交换情况。 • 本章基本上针对CM中的可逆过程进行讨论，个别情 况下也对CV的过程作附加说明
是压缩过程？ •答：⑴过程1：指数n值的范围(~0)•，T
•2
•s •v
•P
过程放热、降温，是压缩过程；
•3
•⑵ 过 程 2 ： 指 数 n 值 的 范 围 为 (1~k) ，
•T
过程放热、升温，是压缩过程；
•1
•4
•⑶过程3：指数n值的范围为(0 ~ 1)，
过程吸热、升温，是膨胀过程；
•s
•⑷过程4：过程指数n值的范围为(1 ~ k )，过程吸热、
•（任何工质绝热过程） • 对定比热容理想气体的绝热过程有过程功
•或
2020/11/13
华中科技大学能源动力学院动力类专 业课件
• 由热力学第一定律第二表达式
•知绝热过程的技术功
•（任何工质）
• 对定比热容理想气体的绝热过程有技术功
•或 • 绝热过程的技术功是过程功的k倍，wt,s=kws
2020/11/13
•定压过程中，气体的比体积与其温度成正比
2020/11/13
华中科技大学能源动力学院动力类专 业课件
•⑶ 定压过程的热量和 功
• 对于气体的可逆定压过程
•根据热力学第一定律
•（任何气体，不仅理想气体） •定压过程的热量等于过程中工质的焓增量 • 对于可逆的定压过程，利用定压比热容计算热量
•（任何气体，不仅理想气体） •对有限定压过程
《结构动力学》课件
欢迎来到《结构动力学》PPT课件。本课程将带领您深入了解结构动力学的理 论和应用，探索建筑在外力作用下的响应和行为。让我们一起开启这个精彩 的学习之旅吧！
引言
1 研究对象及内容
探索结构动力学的研究范围，包括结构振动、动态响应等。
2 相关概念解释
解释与结构动力学相关的术语和概念，如动力学基础知识、振动分析方法等。
1 常见结构材料
列举常用的结构材料，如 钢材、混凝土、木材等。
2 材料特性与选用原则
介绍结构材料的特性和选 用原则，以保证结构的安 全和可靠性。
3 材料处理与加工
讨论结构材料的处理和加 工过程，如焊接、锻造等。
结构的实验及检测
1 实验设备及方法
介绍用于结构实验的设备和方法，如振动台、应变测量等。
2 实验数据分析
2 振动分析方法
介绍结构振动分析的常用 方法，包括自由振动和强 迫振动的分析。
3 动态响应分析方法
研究结构在外力作用下的 响应规律，包括频率响应 和时程分析等方法。
结构的稳定性分析
1 基础概念
介绍结构稳定性分析的基本概念，如失稳、临界荷载等。
2 总体稳定分析
分析结构整体的稳定性，探讨各种失稳模式的产生和防范。
介绍与结构安全管理相关 的法规和规范，保证结构 的安全性和可靠性。
结论
1 结构动力学研究的未来发展趋势
展望结构动力学领域的未来发展方向和研究 重点。
2 结构动力学在现代工程实践中的应
用价值
总结结构动力学在工程实践中的应用价值和 意义，如地震工程、桥梁设计等。
参考文献
整理了一份涵盖结构动力学领域相关文献的参考书目，供读者深入研究和进 一步学习。
《结构动力学》教学大纲
《结构动力学》教学大纲一．课程编号：0402017二．课程名称：结构动力学（Structural Dynamics）三．学分：1.5学时：24学时四．教学对象：水利水电、土木工程专业本科生五．开课单位：土木工程学院六．先修课程：理论力学、结构静力学七．课程性质、作用和教学目标（含知识、能力和素质的要求）：本课程包含水利、土木工程专业重要基础课《结构动力学》的基本法内容——结构动力分析的基本理论和计算方法及结构动力实验基本技能。
为学习后继课程，从事专业工作，以及进一步研究该课题打下一定的基础。
八．教学内容基本要求：（一）、课程的基本内容：（1）结构动力学概论动力计算的特点、目的和任务。
弹性系统的动力自由度。
结构振动中的能量耗散——阻尼力。
运动方程的建立。
（2）单自由度系统的振动单自由度系统的自由振动。
单自由度系统在简谐荷载作用下的受迫运动。
减振与隔振简述。
周期荷载作用下的响应。
一般荷载作用下的响应。
*非线性系统的动力响应。
（3）多自由度系统的振动运动微分方程。
结构特性矩阵的计算。
多自由度系统的动力响应。
（4）无限自由度系统的振动直梁弯曲振动的基本方程。
直梁弯曲的自由振动。
简谐荷载下直梁弯曲无阻尼受迫振动。
（5）自振频率和振型的实用计算能量法求自振频率。
幂法计算自振频率和振型。
*字空间迭代法。
*（6）结构抗震计算概述。
单自由度系统的地震响应与反应谱。
多自由度系统的地震响应。
（7）结构动力实验基础实验的任务、目的、意义。
结构动力特性（自振频率、振型、阻尼、刚度等）和结构振动量（位移、速度、加速度、应力等）的测量。
结构质量检测及探伤（施工质量、抗震特性、结构开裂等）。
实验仪器（拾震器、激震器、放大器、记录仪）的使用方法。
实验项目：单自由度系统共振实验，多自由度系统共振实验，梁或刚架的振动实验，结构振动特性现场实测。
（二）、课程的基本要求：（1）理解结构动力学中的一些基本概念和基本知识。
如结构的自振特性（频率、振型、阻尼）、结构的动力响应（瞬态、稳态）、主坐标、正则坐标、广义质量、广义劲度等。
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《结构动力学》
课程设计
采用振型叠加法
求地震作用下框架结构内力
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一 、课程大作业任务
某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为
121350kN,1150kN G G ==（图2），层高 3.9m H =柱截面尺寸为()400400mm b h ⨯=⨯，
梁刚度EI =∞,砼强度为40C ,混凝土强度等级42
3.2510N/mm c E =⨯，地震设防烈度为7
度，地震加速度为0.15g ，场地类别为Ⅱ，第二组。
请采用振型叠加法求解该结构的地震内力，并绘制内力图。
图1 两层框架结构
图二、计算步骤
1.计算截面参数
柱子截面惯性矩：
3394011
400400 2.133310mm 1212
I bh =
=⨯⨯=⨯ 每层刚架侧移刚度：
49627
012333
2424 3.2510 2.13331010N m 2.805110N/m 3.9m
c E I k k k H -⨯⨯⨯⨯⨯•=====⨯ 二层楼板质量：
3
311135010137.755110kg 137.7551t 9.8
G m g ⨯===⨯=
屋盖质量：
3
322115010117.346910kg 117.3469t 9.8
G m g ⨯===⨯=
其中1
2
1.1739m n m =
= ，令2m m =。
2.求出频率和振型
+k 2
图3
由图3（a ）和（b ）可求出结构的刚度系数如下：
11122121222222,,k k k k k k k k
k k k k k
=+
==-=-=
-=-==
那么
则两频率分别为
-1
1-1
20.63099.75s
1.717526.55s ωω======
第一主振型：()()1
71122723111112
2.80511012 2.8051109.75137.755110 1.5332Y k k m Y ω-⨯=-
=-=-⨯⨯-⨯⨯
()(2
11221112121
12122(20.85190.851912 1.173912 1.173920.39802.9499k k k m m m k k k m m k m
k m k m
ω⎡⎛⎫⎛=++⎢ ⎪
⎝⎭⎝⎣⎡⎛⎫=+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎡
=⨯+⨯⎢⎣⎧⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩
第二主振型：
()()
2
71122723211212
2.8051101
2 2.80511026.55137.7551100.6841Y k k m Y ω-⨯=-=-=--⨯⨯-⨯⨯ 3.求振型参与系数
由{}()[]{}{}()[]{}()()
1
21
1n
j
j T
i i
i j n j T j j i i i m Y Y M Y M Y m Y γ===
=∑∑，得 ()
()
()
()
()()
()
11
122
2
11
21
22
2
2
21
1.17391 1.5532
0.760
1.17391 1.55321.173910.68410.298
1.173910.6841n
i i i n
i
i
i n
i i i n
i
i
i m Y m m m m m Y m Y m m m m m Y γγ====⨯+⨯=
=
=⨯+⨯⨯-⨯=
=
=⨯+⨯-∑∑∑∑
4.求自振周期
自振周期为
11
22220.644s 9.75
220.236s
26.55
T T π
π
ωππω=
=
====
场地类别为Ⅱ第三组，查表得特征周期0.40s g T =。
5.求水平地震影响系数α
根据地震烈度为7度，地震加速度为0.15g ，查表得 水平地震影响系数最大值max 0.12α=（多遇地震）。
由15g g T T T <<,有
0.9
12max 10.40 1.00.120.0780.644g T T γ
αηα⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由20.1s g T T <<，有
22max 1.00.120.12αηα==⨯=
6.求地震作用
由j
j
i j j i i F Y G αγ=，得前两阶水平地震作用：
111111122
122110.0780.76011350kN 80.03kN
0.120.29811350kN 48.28kN
F Y
G F Y G αγαγ⎧==⨯⨯⨯=⎪⎨==⨯⨯⨯=⎪⎩ ()112112222222220.0780.760 1.53321150kN 104.52kN 0.120.2980.68411150kN 28.13kN F Y G F Y G αγαγ⎧==⨯⨯⨯=⎪⎨==⨯⨯-⨯=-⎪⎩
如图4所示：
F 21F 11
F 22F 12图4 （kN ）
7.画内力图 在图4中（a ）、（b ）两组作用下，分别作出每组地震作用下结构所对应的剪力图和弯矩图。
由于跨度对研究问题影响不大，不妨假设跨度为6m 。
那么内力图如下：
图5 （单位：kN ）
92.275
1 其中，()1V a 图为第一组地震作用下的剪力图，
()2V b 图为第二组地震作用下的剪力图。
图6 （单位：kN •m
）
M 1（a ）
2
其中，()1M a 图为第一组地震作用下的弯矩图，
()2b M 图为第二组地震作用下的弯矩图。
按
S =
第二层：
22V M
=
=
=
=
第一层：
11V M =
=
=
=
则组合内力图如下：
V:（单位：kN ）
（b ）
图7。