工程流体力学 第二章流体运动学基本概念

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（2）流动按其空间变化特性可分一、二、三 维流动 一维流动：通常流体速度只沿一个空间坐 标变化的流动称为一维流动。
二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐 标变化的流动称为二维流动。 三维流动：通常流体速度只沿三个空间坐 标变化的流动称为三维流动。
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说明一点：流动的维数与流体速度的分量数不是一
回事。如图（a） 、(b)所示（详细说明）
D vx vy vz Dt x y z t
D vx vy vz Dt x y z t
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称为质点导数算子。以D/Dt表示的导数通常称为随体导 数。为使用方便，给出柱坐标和球坐标系的质点导数算 子的表达式： 柱坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，z—轴向坐标
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2.1.2 流动的分类 （1）流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳态 流动 稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫定常流 动、恒定流动。
vx= vx(x,y,z)
vy= vy(x,y,z)
vz= vz(x,y,z)
非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也叫非定 常流动、非恒定流。如式（2-1）所示。 说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选定的 参考系有关。（举例说明：等加速直线运动和等角速旋转的容器中 的液体）
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2.2.4两种方法的关系
拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种 不同方法，对同一流场，两种方法都可以使用。 因此两种方法在数学上是可以互相推导的。在拉 格朗日法中，流体的运动和物理参数被表示成拉 格朗日变数(a,b,c,t)的函数；在欧拉法中，流体的 运动和物理参数则被表示成欧拉变数(x,y,z,t)的函 数。因此，两种方法之间的关系就是两种变数之 间的数学变换。
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为：
v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k ρ=ρ (x,y,z,t) p=p (x,y,z,t)

类似地，可用同样方法得到其他物理量的质点导数， 如密度和压力的质点导数分别为：
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D vx vy vz Dt x y z t Dp p p p p vx vy vz Dt x y z t
推而广之，欧拉法中任意物理量Ф的质点导数可 以写成：
2
在数学上，流体的运动参数就被表示为： 空间和时间的函数。 vx = vx (x,y,z,t) vy = vy (x,y,z,t) （2—1） vz = vz (x,y,z,t) 场：由于流体团所占据的空间每一点都是 研究对象，因此就将其看成一个“场”。 流场：充满流体的空间被称为“流场”。 相应地有“速度场”、“加速度场”、 “应力场”、“密度场”等。
流态的判断：判断指标是雷诺准数Re=ρud/μ 对于管内流动，Re<2300为层流， Re>4000为湍流。
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2.2 描述流体运动的两种方法
2.2.1拉格朗日法（又称质点法） 通过研究流场中单个质点的运动规律，进 而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿 流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。 基本思想：将流体质点表示为空间坐标、 时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点， 指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物 理参数（比如速度，压强、密度、温度）。
则代入Ф= Ф (a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉 法表达式 Ф= Ф (x,y,z,t)。
→
→
→
→
2—4
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）表 示不同的流体质点。
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对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t
2-5
其加速度可表示为：
度为T=At2/(x2+y2+z2)。
求：1）流体质点温度的变化率。 2）速度变化率即加速度。
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解：1）
dT T T T T vx vy vz dt t x y z 2 At 2x 2 2 xt At 2 yt At 2 2 2 2 2 2 x y z (x y z ) 2y 2z 2 2 zt At 2 2 2 2 2 2 2 (x y z ) (x y z ) 2 At 2 At 2 At (1 t ) 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y2 z2
3 2
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Dv v v v v 2) vx vy vz Dt x y z t Dv x v x v x v x v x ax vx vy vz Dt x y z t ( xt 2 ) 0 0 x x(t 2 1) ay Dv y Dt x y z t Dv z v z v z v z v z 2 az vx vy vz z (t 1) Dt x y z t a a x i a y j a z k (t 2 1)( xi yj zk )
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要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是： 以某一初始时刻t0质点的位置作为质点的标志。 流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：
(a,b,c,t0) r0 r
(x,y,z,t)
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
2—3
或用矢量表示为
→
r=xi+yj+zk =r(a,b,c,t)
x y
设在时刻t和空间点p(x,y,z)处， 流体质点的速度为： vp=v(x,y,z,t)
经过时间间隔Δt后，该流体质点运动到 p′(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt)点，质点移动的距离为vΔt´。 在p′点处流体质点的速度为：
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vp′=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)
vz = vz(a,b,c,t)
az = az(a,b,c,t)
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同样流体密度、压力和温度可表示为：
ρ=ρ（a,b,c,t）
p= p （a,b,c,t）
T= T（a,b,c,t）
对于流体任一物理参数B均可类似地表示为
B=B(a,b,c,t).
对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可以 表示为：
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vx
v y
vy
v y
vz
v y

v y
y (t 1)
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Leabharlann Baidu
思考题：
1.流体流动与固体运动有何区别？
2. 流体流动如何分类？
3.拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？
4.两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？
5.流体的速度导数包括那两部分？
6.试写出哈密顿算子、质点导数算子的表达式。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
V (a, b, c, t ) a(a, b, c, t ) t
（2-15）
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对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例 分析： z 假设在直角坐标系中存在速度 p vΔt ṕ 场v(x,y,z,t)。
v vx v y v z a i j k ax i a y j az k t t t t
式中：
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v x = vx(a,b,c,t)
ax = ax(a,b,c,t)
vy = vy(a,b,c,t)
ay = ay(a,b,c,t)
D 1 (vr v vz ) Dt r r z t
球坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，Ф—轴向坐标
D 1 1 (vr v v ) Dt r r sin t
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例2-1. 已知流场的速度为v=xti+ytj+ztk，温


显示流场在空间 表示流场的非稳态
另一部分是随时间的变化率әv/әt 部分。
通常用符号Dv/Dt来表示欧拉法中的质点导数，则 （2-17）式可以写成：

Dv v v v v v a v v vx vy vz Dt t x y z t


显然，经过时间间隔Δt后，流体质点的速度增量为：
Δv= vp′- vp= v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)-v(x,y,z,t)
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷小 量得：
v v v v v (vx vy vz ) t x y z t
y Vx=0 x Vy=0 θ Vr=0
r
Vθ=0
Vz= Vz(r)
Vz Vz= Vz(x,y)
z Z
(a)二维流动
(b)一维流动
思考题：如果对于图（a）中有
Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z)
则应该属于几维流动？其流动有何特点？
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（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）
1883年，著名的雷诺实验揭示出粘性流动有两种 性质不同的型态，层流和湍流。
则速度的质点导数——加速度

v v v v v v （2-17） a lim v v vx vy vz t 0 t t x y z t


由上式可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加 速度包括两部分：
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一部分是随空间的变化率 v v 中的不均匀性。

v v v 又由矢量运算公式：v v vx vy vz x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
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于是质点的速度增量可以表示为：
v v (v v ) t t


（2-16）
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B B(a, b, c, t ) t t
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到 的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点 的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情 况下使用，在本书中主要使用欧拉法。
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2.2.2 欧拉法（也叫场法）
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(1)拉格朗日表达式→欧拉表达式 若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参 数Ф= Ф (a,b,c,t)。 由式
x x ( a , b, c , t ) a a ( x , y , z , t ) y y (a, b, c, t ) 可解得： b b( x, y, z, t ) z z ( a , b, c , t ) c c ( x, y , z , t )
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按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ（可 以是矢量，也可以是标量）均可表示为：
φ = φ（x,y,z,t）
若流场中任何一物理量φ都不随时间变化，这 个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态流 动或定常流动，或者说对于稳态流动有：
0 t
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2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
2.流体运动学基本概念
基本内容：
• 流动的分类、拉格朗日法
欧拉法、质点导数
• 迹线和流线、流管
• 有旋流动、无旋流动
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2.1概述
2.1.1 流体运动的特点
流体运动与固体运动相比复杂得多，在于: （1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲 线运动理论来研究； （2）在运动中流体要变形，考虑流体团块运动时， 除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的因素。 因此，流体运动学有鲜明的特点。