弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解

➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量；
纯剪切
G——剪切弹性模量；
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学 假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加后得
产生的x方向应变：
屈服下限
强化阶段 软化阶段 卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
➢ 具当有应强力化超性 质 着过 后 （的 塑或屈，材 性压服拉料变缩点伸随形） 的应增力加的，硬屈 服化极将限引在起一 个反方向向加上载提
高时，压而在缩相
反（方或向拉降伸低） 屈服应力 的弱化
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明， =，=
3－4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去 后，物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸（压缩）时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
➢理想弹塑性
模型：
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。
➢ 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
A
B
s
O
E
E
s
s
e e
➢线性强化弹 塑性模型：
A
s
E
O
s
E
E1
(
s)s
e e
B E1
➢ 线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s s
B
➢ 理想刚塑性模型：
A
s
O
s
B
➢ 幂强化模型：
A n
n = 1 n=1/2 n=1/3
n=0
O =1
3－3 广义胡克定律
或： 各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
➢ 用应力偏量与应变偏量表示
eij 1 sij 2G
➢ 用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
➢ 用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G 说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 ➢ 用3个主应力差与3个主应变差表示
因 此 ， Tresca 屈 服 条 件 的 屈 服 面 是 由 三 对
互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线（屈服线）
是一个正六边形。它的外接圆半径是2k 2 / 3 （内切圆半径是 k / 2）。
平面上的屈服轨迹
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线 2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律 4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件 5. 塑性应力应变关系 6. 德鲁克公设和伊柳辛公设 7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑弹性塑力性学力学
静力静学力学
平衡微 分方程
几何几学何学
几何方 程
应变与 位移的 关系
应变协 调方程 方程
物理物学理学
物理方 程
应力应 变关系
本构方 程方程
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限 屈服上限 屈服下限 弹性极限
残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
弹性极限 线
屈服上限 塑性流动阶段
➢ 当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开 始屈服，进入塑性状态。表示为
max = k ➢ 当 1 > 2 > 3 时可写作
1 - 2 = 2k
➢ 在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应
表示为：
1
2
2k
2 3 2k
3
1
2k
➢ 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑 性变形。
即 同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系，称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
➢ 体积应变与体积弹性模量
令： 则：
m称为平均应力; q 称为体积应变
➢广义胡克定律的其他表示形式
物理方程：
物理方程：
➢用应变表示应力：
Tresca屈服条件参数
➢ 常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )3。如由纯剪切试验， k = s。因此，按照Tresca屈服条件，材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
➢ 在三维应力空间中，1 - 2 = 2k 是一对与 平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
➢ Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对 于主应力方向已知且不改变的问题，应用 较方便，但忽略了中间主应力的影响，且 屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。
塑性力学问题的特点
➢ 塑性力学问题有如下几个特点： (1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非 线性的，其非线性性质与具体材料有关； (2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与 加载历史有关； (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线； (4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。