高中数学 选修1-1 25.基本初等函数的导数公式
5.2.1基本初等函数的导数 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
当 > 0时，随着增加， ′ 越来越大， = 2 增加得越来越快；
若 = 2 表示路程关于时间的函数，则 ′ =2x可解释为某物体做变
速运动，它在时刻瞬时速度为2x。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
练习：求下列函数的导数．
π
1
x2
(1)y＝x5；(2)y＝ ；(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos2－x.
x
1
－
－
[解] (1)∵y＝x5＝x 5，∴y′＝－5x 6
=
−
=
= , ∴ ′ =
1
(3)∵y＝lg x，∴y′＝xln 10.
=
∆( +∆+)
1
=
,
+∆+
∆
∆→0 ∆
1
= ∆→0
+∆+
所以 ′ =
=
1
2
知识梳理
基本初等函数的导数公式
知识梳理
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
1. 函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数f (x ) 在x= x0处的函数值,
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
用了哪些方法
方程思想、待定系数法.
可能出错的地方： 不化简成基本初等函数
∆
∆
所以 ′ =
∆
=
∆→0 ∆ ∆→0
1=1
若 = 表示路程关于
高中数学第三章几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式学案含解析新人教A版选修1_1
高中数学新人教A 版选修1_1：3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式自主预习·探新知情景引入在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？新知导学1．几个常用函数的导数 函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x f ′(x )＝__1__ f (x )＝x 2f ′(x )＝__2x __f (x )＝1xf ′(x )＝__－1x2__2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝a x f ′(x )＝__a x ln_a __(a >0)f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝__αx α－1__f (x )＝e x f ′(x )＝__e x __ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝log a xf ′(x )＝__1x ln a__(a >0且a ≠1) f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __f (x )＝ln xf ′(x )＝__1x__预习自测1．下列结论不正确的是( D ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12 ，则y ′＝12x 12[解析] 当y ＝x 12 时，y ′＝(x 12 )′＝(x )′＝12x ＝12x －12 .D 不正确．故应选D ．2．(2020·山东临沂高二检测)已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝( A ) A ．36B ．0C ．12xD ．32[解析] ∵f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( D )A ．4B ．14C ．－4D ．－14[解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，∴f ′(－2)＝－1x 2|x ＝－2＝－14.4．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝__1e__.[解析] ∵函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， ∵f ′(1)＝－1，∴f ′(x )＝1x ·ln a，∴1ln a＝－1， ∴ln a ＝－1， ∴a ＝e －1＝1e.5．求下列函数的导数：(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝x 12； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x .[解析] (1)∵a 为常数， ∴a 2为常数， ∴y ′＝(a 2)′＝0. (2)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(4)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求基本初等函数的导数典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 13；(2)y ＝1x 3；(3)y ＝4x ；(4)y ＝15x2.[解析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x 12. (2)y ′＝(1x3)′＝(x －3)′＝－3x －4.(3)y ′＝(4x )′＝(x 14 )′＝14x －34 .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25 )′＝－25x －75 . 『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．┃┃跟踪练习1__■求下列函数的导数(1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ；(3)y ＝2x；(4)y ＝log 3x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3.(2)y ′＝(3x )′＝(x 13 )′＝13x －23 .(3)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 命题方向❷求某一点处的导数典例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －12 －1＝－12x －32＝－12x 3， ∴f ′(1)＝－121＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． ┃┃跟踪练习2__■ 已知f (x )＝1n x，且f ′(1)＝－13，求n .[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1nx －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－13得－1n ＝－13，得n ＝3.命题方向❸利用导数公式求切线方程典例3 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. 『规律方法』 1.求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．(1)在应用(sin x )′＝cos x 与(cos x )′＝－sin x 时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．(2)对于公式(a x)′＝a xln a 与(log a x )′＝1x ln a记忆较难，又易混淆，要注意区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x )′与(log a x )′和(e x)′与(a x)′区分，又要从横的方面(log a x )′与(a x)′区分，找出差异记忆公式．┃┃跟踪练习3__■曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为__y ＝x －1__.[解析] 由y ＝ln x 得y ′＝1x，令x ＝1得y ′＝1即切线斜率为1，∴切线方程为y ＝x－1.学科核心素养导数的应用典例4 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路分析]由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[解析]由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴切线斜率为k＝2x0，∴切线方程为：y－x20＝2x0(x－x0)．∵B(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)，解之，得x0＝1或x0＝5.所以所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.『规律方法』求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出x0、y0.┃┃跟踪练习4__■已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．[解析]由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令(2－x)取代x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.易混易错警示准确应用公式典例5 求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．[错解]∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.[错解分析]y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．[正解]∵y′＝(2x)′＝2x ln 2，∴y′|x＝1＝2ln 2，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2 (x－1)，即2x ln 2－y－2ln 2＋2＝0.。
湘教版高中数学选修1-1：导数的运算法则_课件1(1)
题型二 求导的综合应用
【例2】 利用导数求和： Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠1，且x≠0，n∈N＋)．
解 ∵x≠0，且x≠1时，
x＋x2＋x3＋…＋xn＝
数
得(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝x－1－xnx＋1′， 即Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝1－n＋11－xxn＋2 nxn＋1.
D．x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝(x2＋x＋1)′＝2x＋1，∴y′x＝0 ＝1. ∴切线为y－1＝x－0，∴x－y＋1＝0.
答案 D
3．函数y＝x＋x12的导数为________． 解析 y′＝x＋x12′＝(x)′＋x12′＝1－x23. 答案 1－x23
4．函数y＝sincxo＋s 2cxos x的导数为________． 解析 y＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝－sin x－cos x.
答案 －sin x－cos
要点阐释 1．掌握复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问 题转化为基本函数的导数来解决．(1)分析清楚复合函数是由哪些 基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一 步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的关系；(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各 函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的 求导过程掌握以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合 过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接 应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
导数的运算法则
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四 则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则． 4．能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(ax＋b)的导 数)．
5.2.1基本初等函数的导数-高二数学课件
因为
∆
∆
’
=
所以 =
(+∆)−() l
=
∆
∆
∆→0 ∆
=
+∆−
∆
1
∆→0 +∆+
=
=
( +∆− )( +∆+ )
∆( +∆+ )
1
2
=
1
，
+∆+
.
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地，有下面的基
复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
∆
∆
根据导数的定义，求函数 = ()的导数，就是求出当∆ → 0时， 无限趋
近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
新知探索
1.函数 = () = 的导数
l
因为
∆
∆
=
(+∆)−()
−
l=
∆
∆
∆
∆→0 ∆
= 0， 所以 ’ =
练习
题型一：利用导数公式求函数的导数
例1.求下列函数的导数：
−5 ；(2)
(1) =
=
4 ；(3)
= 3 ；(4) =
解(1)： ’ = −5 −6 .
(2)： ’ = 4 4.
’
(3)： =
1
.
3
2
(4)：∵ = ( + ) = ，∴ ’ = − .
5，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过
l
基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、
l
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf
第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。
高二数学(选修-人教B版)-导数公式表及导数的四则运算法则(1)-1教案
问题：能否利用基本初等函数的导数去求这些函数的导数呢？
师生：如果知道了导数的运算法则，就可以利用基本初等函数的求导公式去求这些初等函数的导数，而不用每次都用定义求解了.
（三）探究函数和（或差）的求导法则
（五）学习函数商的求导法则
函数商的求导法则:
设 是可导的，且 ，则
教师分析等式的特征：
等式右边是一个分式的结构，它的分母是 的平方，也就是等式左边这个商函数的分母的平方，它的分子是两项之差的结构，其中第一项是等式左边商函数的分子的导数乘以分母，第二项是等式左边商函数的分母的导数乘以分子.可见，在这个差值结构中，第一项中出现的导数是原来分子的导数，第二项中出现的导数是原来分母的导数.
思考：如何求函数 的导数？
师生根据导数定义对 进行求导：
1.求函数值的增量：
2.求比值：
3.求极限：
追问： 的导数与 的导数， 的导数有什么关系？
容易看出， 的导数等于 和 的导数之和.注意到 ,也就是说 ，这个结论是我们通过一个具体函数得到的，而对于一般的可导函数，这个结论是否还成立呢？
结论：
根据导数定义探究：设 ，则函数值的增量
（四）学习函数积的求导法则
思考：两个函数的积的导数、商的导数，与这两个函数的导数又有什么关系呢？
学生猜测： ？
？
教师带领学生用具体函数验证：
设 ， ，则 ， ，
可见，猜测是不成立的.
那具体是一种什么关系呢？在接下来的学习
中，我们就可以知道.
函数积的求导法则:
设 是可导的，则
即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81～85，思考以下问题1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12的导数是什么？2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？[要点梳理]1．基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( )2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为12.( )3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一 利用导数公式求函数的导数思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ； (3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln1010x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则，减少求导法则的应用的烦索性．[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x 2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln10＋2x 3. 题型三 利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思路导引] 分析知，与曲线相切且与y ＝x 平行的直线与曲线的切点到直线y ＝x 的距离最小．[解]如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．[跟踪训练]求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．[解] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数． (3)利用导数运算研究曲线的切线问题．3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C.19D.13[解析] ∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.[答案] B2．函数y ＝3x 2的导数为( ) A ．y ′＝3x2B ．y ′＝32xC ．y ′＝23x3D ．y ′＝233x[解析][答案] D3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e[解析][答案] D4．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x x B ．e x＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′·ln x ＋e x·(ln x )′＝e x·ln x ＋e x·1x ＝e x (x ln x ＋1)x，所以选C.[答案] C5．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案[解析] y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，即3x 2＋2ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－2a 3.分别代入y ＝x 3＋ax 2－43a ，得0＝－43a ，即a ＝0；－8a 327＋4a 39－43a ＝0，即a ＝±3，∴a ＝0或a ＝±3.[答案] A6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________，切线的方程为__________________．[解析] y ′＝1x ，则k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，切线方程y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.[答案] 1e x －e y ＝0。
5.2.1 基本初等函数的导数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
②若 f′(x)＝sin x，则 f(x)＝cos x；
③f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34.
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：只有③正确．
答案：B
()
2．(多选)下列结论正确的是 A．若 y＝0，则 y′＝0
C．若 y＝x－1，则 y′＝－x－2 答案：ABC
()
B．若 y＝5x，则 y′＝5
1 2.
导数的简单综合应用
[例 3] (1)质点的运动方程是 S(t)＝sin t，则质点在 t＝π3 时的速度为________；质点运动的加速度为________；
(2)已知两条曲线 y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲 线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂 直？并说明理由．
注意的问题 (1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一是注 意函数的变化，二是注意符号的变化． (2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝ex 很好记，但对于公式 (logax)′＝xln1 a和(ax)′＝axln a 的记忆就较难，特别要 注意 ln a 所在的位置．
2．正、余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公 式是什么？
[新知初探] 知识点一 几个常用函数的导数
函数
导数
f(x)＝c (c 为常数)
f′(x)＝c′＝0
f(x)＝x
f′(x)＝x′＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝(x2)′＝2x
f(x)＝1x
f′(x)＝1x′＝－x12
f(x)＝ x f′(x)＝( x)′＝21x
2 5
.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
高中数学选择性必修二(人教版)《5.2.1 基本初等函数的导数》课件
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝－__s_i_n_x_ f′(x)＝a_x_l_n_a_
f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝x_l_n__a
1 f′(x)＝_x_
[微提醒] 对公式 y＝xα 的理解 (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－ y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的
面积为
()
A.53
B.89
25
4
C.12
D.12
解析：可求得
y′＝23x
－1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0，
与 x＝2 的交点坐标为2，53，
化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
(4)y＝sinπ2＋x.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝xln1 3.
(4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和 差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低， 结构尽量简单，从而便于求导．
(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
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[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
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第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
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其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
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2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
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3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
高中数学选修1-1知识点及课本例题
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。
（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。
（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。
3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。
>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
例4证明：若022=x，则0=+yx。
-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。
这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
苏教版高中数学选修1-1：常见函数的导数
1
1
(3)(logax)′＝__x_lo_g_a_e_＝__x_ln_a___(a>0，
且 a≠1)；
(4)(ex)′＝_e_x_；
1 (5)(lnx)′＝__x_；
(6)(sinx)′＝_c_o_s_x_；
(7)(cosx)′＝_－__s_in__x_.
问题探究 下面的计算过程正确吗？
(sinπ4)′＝cosπ4＝
可分解为(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，
x2＝－2.
∴ 切 线 3x － y － 2 ＝ 0 与 曲 线 C 的 公 共 点 为 (1,1)，(－2，－8)，这说明切线与曲线C的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5? 解：设切点为(x0，x20)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x x；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；
(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sinx2(1－2cos2 x4)． 【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式，
并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x32)′＝32x32－1＝32 x. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
导数的运算
常见函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y
＝x，y＝x2，y＝1x的导数．
2．掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
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25.基本初等函数的导数公式
教学目标 班级____姓名________ 1.能根据导数的定义推导常用函数的导数.
2.能利用基本初等函数的导数公式求解简单函数的导数. 教学过程 一、导数公式.
原函数
导函数
常数函数c x f =)( 0)('=x f 一次函数b kx x f +=)( k x f =)('
幂函数)()(*∈=Q x x f αα 1)('-⋅=ααx x f
正弦函数x x f sin )(= x x f cos )('=
余弦函数x x f cos )(=
x x f sin )('-=
指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且
)0(ln )('>=a a a x f x x e x f =)(
x e x f =)('
对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且
)10(ln 1
)('≠>=
a a a x x f 且 x x f ln )(=
x x f 1
)('=
二、例题分析.
例1：（1）已知函数x x f ln )(=，则_____)1('=f . （2）已知x x f =
)(，且3
1
)('=a f ，则______=a .
（3）已知x
x f 2)(=，则_______)1('=f .
练1：求下列函数的导数.
（1）7
x y =；（2）x y 2log =；（3）)2
cos(
x y -=π
；（4）3ln =y ；（5）43x y =.
例2：（1）e x f =)(的导数为________.
（2）2)(x x f =在点),(00y x 处的导数为1，则______00=+y x . （3）曲线x y sin =在点)2
3
,
3
(π
处的切线方程为_________________________. 作业：
1.求下列函数的导数. （1）3
1x y =；（2）x y 5=；（3）x y )2
1(=；（4）5
x y =；（5）x x y =.
2.求函数31
)(x
x f =
在1=x 处的导数.。