高中数学竞赛解题策略-几何分册第5章 直角三角形中直角边所在直线上的点

第章 直角三角形中直角边所在直线上的点

直角三角形中直角边所在直线上的点有如下的结论，作为其性质介绍如下： 性质 设是直角（）的直角边所在直线上一点（异于），则

．

D

C

A

B A

B

C

D

（1） （2）

图5-1

证明 对于图

（），当点在的延长线上时，由勾股定理，有

．

当点在的延长线上时，类似地有

．

对于图

（），当在边上时，类似地有

．

显然，在图中，若点与点重合，则，有，此即为勾股定理．因

此，我们可把上述性质称为广勾股定理． 由上述性质，还可得如下推论： 注：也可运用

余弦定理证

：

．

推论三角形一边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和，视其该边所对的角是直角、锐角或钝角而定．

推论三角形的一角是直角、锐角或钝角，视其该角所对的边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和而定．

下面给出三角形的广勾股定理应用的例子．

．直接在直角三角形中用

例（三角形的中线长公式）三角形一边上的中线长的平方，等于其他两条边长的平方和之半减去该边长平方的四分之一．

证明如图，为的边的中点，作于．分别在和中应用广勾股定理（即（）式），有

，

．

由上述两式相加，得．

例（平行四边形边长与对角线长关系）平行四边形各边的平方和等于两对角线的平方和．事实上，在图中，将延长至，使，则四边形为平行四边形，由三角形

中线长公式，即得．

例（定差幂线定理）

设，是两条线段，

则的充要条件

为

．

证明必要性．如图，若，则可设于．

P

M N

Q

D

P

M N

Q

D

图5-3