2021-2022年高一数学上学期周考试题
福建省泉州晋江市磁灶中学2021-2022学年高一上学期第十七周周测数学试题
磁灶中学2021秋高一年段周测卷（第十七周）数学试卷考试时间：75分钟 满分100分一、单选题（本题8小题，每小题5分，满分40分.） 1．已知sin α，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．15-B ．35C ．15D ．352．已知tan =3θ，则2cos θ＝ ABC ．910D ．1103．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ）A ．y ＝sin (2)2x π+B ．y ＝cos (2)2x π+C ．y ＝sin ()2x π+D ．y ＝cos ()2x π+4．函数()tan ,(11)f x x x x =⋅-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θ 6．点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） A ．13,22B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 7．已知37π6α=-，则222sin(π)cos(π)cos(2π)1sin (π)sin(π)cos (2π)αααααα+⋅---+-++-+的值为（ ）A ．B ．CD ．12 8．函数y ＝sin x 的定义域为[,]a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b －a 的最大值与最小值之和等于（ ） A ．43π B ．83π C ．2π D ．4π二、多选题（本题4小题，每小题5分，满分20分.）9．关于x 的函数f (x )=sin(x +φ)有以下说法，其中正确的是（ ） A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数 B ．存在φ，使f (x )是偶函数 C ．存在φ，使f (x )是奇函数 D ．对任意的φ，f (x )都不是偶函数 10．在ABC 中下列关系成立的有（ ） A ．sin()sin A B C += B ．cos()cos A B C += C ．sincos 22A B C+= D ．cossin 22A B C+=- 11．下列在(0,2π)上的区间能使cos x ＞sin x 成立的是（ ） A ．(0,)4πB ．5(,)44ππC ．5(,2)4ππ D ．5(,)42ππ∪5(,)4ππ 12．设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确．．的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=三、填空题（本题4小题，每小题5分，满分20分.） 13．满足[]cos 0,0,2x x >∈π的x 的取值范围是______． 14．函数()()2log 2sin 1f x x =+的定义域为________. 15．若函数()sin 23cos2f x m x x =+的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数m =_______． 16．若方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围_____．四、解答题（本题2小题，每小题10分，满分20分.） 17．已知函数()2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；x2π π32π 2π()f x（2）求不等式()31f x ≤-的解集.18．已知函数f (x )＝sin 1)62(++πx ，x ∈R .(1)求出f (x )的单调递减区间；(2)当x ∈]4,0[π时，求函数f (x )的值域．磁灶中学2021秋高一年段周测卷（第十六周）数学试卷考试时间：75分钟 满分100分一、单选题（本题8小题，每小题5分，满分40分.）1．已知sin α，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．15- B ．35C ．15D ．35【答案】B【解析】∪sin α∪224cos 1sin 5αα=-=.∪442222223sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos .5αααααααα-=+-=-=- 故选：B2．已知tan =3θ，则2cos θ＝A B C ．910D ．110【答案】D【解析】因为22222cos 1cos sin cos ?tan 1θθθθθ==++，tan 3θ=，所以21cos 10θ=. 故选D3．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ）A ．y ＝sin (2)2x π+B ．y ＝cos (2)2x π+C ．y ＝sin ()2x π+D ．y ＝cos ()2x π+【答案】A【解析】对于选项A ，y ＝sin (2)2x π+＝cos 2x ，周期为π，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，所以cos 2y x =在[,]42ππ上是减函数，所以该选项正确；对于选项B ，y ＝cos 2sin 22x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，周期是π，在[,]42ππ上是增函数，所以该选项错误；对于选项C ，y ＝sin ()cos 2x x π+=，最小正周期是2π，所以该选项错误；对于选项D ，y ＝cos ()sin 2x x π+=-，最小正周期是2π，所以该选项错误.故选：A4．函数()tan ,(11)f x x x x =⋅-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()tan (11)f x x x x =-()tan (11)f x x x x =-， 则()()()tan tan -=--=f x x x x x所以()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数 故排除A ，C ，当01x <<时，()0f x >，排除D. 故选：B5．化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θ 【答案】A【解析】原式=sin()cos()cos 2cos sin()πθπθθθθ-+-=2(sin )cos cos (sin )θθθθ--=-sin θ. 故选：A6．点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）A ．13,22 B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】点P 从()1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，所以点Q 是角263π的终边与单位圆的交点，所以Q 2626(cos ,sin )33ππ，又角263π的终边与262833-=πππ的终边是相同的，所以2621cos cos 332==-ππ，262sin sin 33==ππ12Q ⎛- ⎝⎭. 故答案为：A 7．已知37π6α=-，则222sin(π)cos(π)cos(2π)1sin (π)sin(π)cos (2π)αααααα+⋅---+-++-+的值为（ ）A ．B ．CD ．12【答案】A 【解析】原式()2222sin cos cos 2sin cos cos cos 11sin sin cos 2sin sin sin tan αααααααααααααα-⋅---====+---，当37π6α=-时，37tan tan tan 66ππα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故1tan α= 故选：A.8．函数y ＝sin x 的定义域为[,]a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b －a 的最大值与最小值之和等于（ ） A ．43πB ．83π C ．2π D ．4π【答案】C【解析】作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示∪函数的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，513sin 2sin ,sin 16622ππππ⎛⎫+===- ⎪⎝⎭∪定义域[,]a b 中，b －a 的最小值为352263πππ-=定义域[,]a b 中，b －a 的最大值为542663ππππ+-= 故可得，最大值与最小值之和为2π. 故选：C二、多选题（本题4小题，每小题5分，满分20分.）9．关于x 的函数f (x )=sin(x +φ)有以下说法，其中正确的是（ ） A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数 B ．存在φ，使f (x )是偶函数 C ．存在φ，使f (x )是奇函数 D ．对任意的φ，f (x )都不是偶函数 【答案】BC【解析】解：因为φ=0时，f (x )=sin x 是奇函数；φ=2π时，f (x )=cos x 是偶函数， 所以B ，C 正确，A ，D 错误， 故选：BC.10．在ABC 中下列关系成立的有（ ） A ．sin()sin A B C += B ．cos()cos A B C += C ．sincos 22A B C+= D ．cossin 22A B C+=- 【答案】AC【解析】ABC 中，因为A B C π++=， 所以222A B CA B C ππ++=-⇒=-，所以()sin()sin sin A B C C π+=-=，A 正确；()cos()cos cos A B C C π+=-=-，B不正确；sin sin cos 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 正确；coscos sin 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：AC.11．下列在(0,2π)上的区间能使cos x ＞sin x 成立的是（ ） A ．(0,)4πB ．5(,)44ππC ．5(,2)4ππ D ．5(,)42ππ∪5(,)4ππ 【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos sin x x =时，4x π=或54=x π， 结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使cos sin x x >成立的是(0,)4π和5(,2)4ππ. 故选：AC12．设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确．．的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】ABD【解析】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22()cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确； 当x ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确. 三、填空题（本题4小题，每小题5分，满分20分.） 13．满足[]cos 0,0,2x x >∈π的x 的取值范围是______．【答案】30,,222ππ⎡⎫⎛⎤π⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】画出函数[]cos ,0,2y x x =∈π的图象，如图所示．由图象，可知在[]0,2π上，满足cos 0x >的x 的取值范围为30,,222ππ⎡⎫⎛⎤π⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故答案为30,,222ππ⎡⎫⎛⎤π⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.14．函数()()2log 2sin 1f x x =+的定义域为________. 【答案】722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】解:要使函数有意义,则必有2sin 10x +>,即1sin 2x >-.结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当72266k x k ππππ-+<<+时,1sin 2x >-.(1) (2)故函数()()2log 2sin 1f x x =+的定义域为722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为:722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .15．若函数()sin 23cos2f x m x x =+的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数m =_______． 【答案】3【解析】由题得33sin(2)3cos(2)088m ππ⨯+⨯=，所以3(0,m ⨯= 所以3m =.当3m =时，函数()sin 23cos2f x m x x =+的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：3 16．若方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围_____．【答案】(]1,0-【解析】作出cos ,,3y x x π⎡⎤=∈-π⎢⎥⎣⎦与12a y -=的大致图象，如图所示．由图象，可知当11122a-≤<，即10a -<≤时， cos ,,3y x x π⎡⎤=∈-π⎢⎥⎣⎦的图象与12a y -=的图象有两个交点，即方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围为(]1,0-．四、解答题（本题2小题，每小题10分，满分20分.） 17．已知函数()2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；（2）求不等式()1f x ≤的解集.【答案】（1）答案见解析；（2）572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 【解析】（1）由函数()2cos 1f x x =-，可得完成表格如下：可得()f x 在[]0,2π的大致图象如下：（2）由()1f x ≤，可得2cos 11x -≤，即cos x ≤，当[]0,2x π∈时，由cos x ≤，得57,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.又由函数cos y x =的最小正周期为2π， 所以原不等式的解集为572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 18．(10分)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＋1，x ∈R . (1)求出f(x)的单调递减区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 时，求函数f(x)的值域． 【解析】(1)设X ＝2x ＋π6 ，则X ＝2x ＋π6 在R 内是单调递增函数．y ＝sin X 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2 ，k∪Z ， 由2kπ＋π2 ≤X≤2kπ＋3π2 ，k∪Z ，即2kπ＋π2 ≤2x ＋π6 ≤2kπ＋3π2 ，k∪Z ，得kπ＋π6 ≤x≤kπ＋2π3 ，k∪Z ，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＋1的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3 ，k∪Z . (2)当x∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 时，2x ＋π6 ∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 ， 所以当2x ＋π6 ＝π2 ，即x ＝π6 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 取得最大值为1， 所以，函数f(x)的最大值为2.当2x ＋π6 ＝π6 ，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 取得最小值为12 .所以函数f(x)的最小值为32 . 综上可知函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 .。
2021-2022学年福建省厦门第一中学高一上学期入学考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省厦门第一中学高一上学期入学考试数学试题一、单选题1 ） A ．2± B ．4±C ．2D ．4【答案】A【解析】，所以所求为4的平方根，按平方根的定义计算即可.【详解】，4的平方根为2±. 故选：A【点睛】本题考查平方根的计算，解题的关键是认真审题，本题属于基础题.2．据厦门中学生助手微信公众号统计，2020年厦门市全社会用于基础建设的资金约为100553000000元，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．1.00553×1010元； B ．1.00553×10 11 元； C ．1.00553×1012元； D ．1.00553×1013元【答案】B【分析】直接用科学计数法法表示即可.【详解】解：根据科学计数法可知：11100553000000 1.0055310=⨯， 所以，这个数用科学记数法表示为111.0055310⨯元. 故选：B3．已知,a b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a b +的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2【答案】A【分析】解方程得2b =，2a =，再计算a b +即可.【详解】解：因为51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以3153634a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以1632b =，即2b =，所以1252a b =-=， 所以4a b += 故选：A4．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．97cm B．85cm C．9cm D．(3213)+cm 【答案】B【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，结合勾股定理，即可求解.【详解】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为9和4，所以所走的路程最短线段为229497；第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为7和6，所以所走的路程最短线段为227685；第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为10和3，所以所走的路程最短线段为22+=；103109故选：B.5．函数2和在同一直角坐标系内的图象可以是（）y ax b y ax bx c=+=++A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分类讨论，0a >和0a <时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由b 的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【详解】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D. 对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而02ba-<，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B. 故选：C.6．一同学在n 天假期中观察： （1）下了7次雨，在上午或下午； （2）当下午下雨时，上午是晴天； （3）一共有5个下午是晴天； （4）一共有6个上午是晴天. 则n 最小为（ ） A ．7 B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】可假设上下午下雨的天数，然后计算出上下午晴天的天数，直到找到符合题意的情况，可得答案.【详解】假设上午或下午下了7次雨，则应有下午或上午下雨0次，即下午或上午有7个是晴天，与一共有5个下午是晴天以及一共有6个上午是晴天都不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了6次雨，则应有下午或上午下雨1天，即下午或上午有6个是晴天，与一共有5个下午是晴天不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了5次雨，则应有下午或上午下雨2天，即下午或上午有5个是晴天，与一共有6个上午是晴天不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了4次雨，则应有下午或上午下雨3天，那么都加上3个上下午都晴天，即上午晴6天，下午晴7天，与题意不符合，故假设不成立；故假设下午下了4次雨，则应有上午下雨3天，那么都加上2个上下午都晴天，即有5个下午是晴天，有6个上午是晴天，与题意都符合，故n 最小为4329++= ； 故选：B7．已知(3)1y x x a =-+-+是关于x 的二次函数， 当x 的取值范围在15x ≤≤时，y 在1x =时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9a =B ．5a =C ．9a ≤D ．5a ≤【答案】D【分析】由题知对应的二次函数开口向下，对称轴为32ax -=-且在15x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小，进而解不等式312a--≤即可得答案. 【详解】解：()2(3)131y x x a x a x =-+-+=---+，开口向下，对称轴为32ax -=-， 因为当x 的取值范围在15x ≤≤时，y 在1x =时取得最大值， 所以，x 的取值范围在15x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， 所以312ax -=-≤，解得5a ≤. 所以，实数a 的取值范围是5a ≤. 故选：D8．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】D【分析】根据题意，连接,,BD GE FK ，则////BD GE FK ，进而得GDEGBES S=，GEKGEFSS=，再计算面积即可得答案.【详解】解：如图，连接,,BD GE FK ，则////BD GE FK ， 所以，在梯形BEGD 中，GDEGBES S=（等底等高），在梯形GEKF 中，GEKGEFS S=（等底等高）所以，16GDEGEKGBEGEFBEFGDEKSSS SSS +=+===.故选： D9．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数241k k y x++=的图像上，若点A 的坐标为(2,3)--，则正数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】A【分析】设()00,C x y ，进而根据题意得006x y =，即200416k x y k =+=+，再解方程即可得答案.【详解】解：设()00,C x y ，因为矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，点A 的坐标为(2,3)--所以，设直线BD 的方程为()0y mx m =≠，()()002,,,3B y D x --，所以0023y m mx =-⎧⎨-=⎩，所以006x y =，因为点C 在反比例函数241k k y x++=的图像上，所以200416k x y k =+=+，即2450k k +-=，解得1k =或5k =-（舍）所以，正数k 的值为1k =. 故选：A10．如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ，72BE =.下列四个结论：①AC 平分DAB ∠；②2·PF PB PA=；③若12BC OP =，则阴影部分的面积为749π344-；④若24PC =，则3tan 4PCB ∠=.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③【答案】C【分析】连接OC ，结合切线的性质得//OC AD ，进而根据平行线的性质判断①；根据几何关系证明PC PF =，再根据PCB PAC △△得2PC PB PA =⋅判断②；连接AE ，根据几何关系证明OBC 是等边三角形，进而计算阴影部分面积判断③；由PCB PAC △△得tan tan BC PBPCB PAC AC PC∠=∠==，再设PB x =，则14PA x =+，根据2PC PB PA =⋅解得18PB =，进而可判断④；【详解】解：对于①，连接OC ，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠， ∵PC 是圆O 的切线，AD CD ⊥，∴90OCP D ︒∠=∠=，∴//OC AD ， ∴CAD OCA OAC ∠=∠=∠，即AC 平分DAB ∠，故①正确； 对于②，∵AB 是直径，∴90ACB ︒∠=，90PCB ACD ︒∴∠+∠=， 又90CAD ACD ︒∠+∠=，CAB CAD PCB ∴∠=∠=∠，又,ACE BCE PFC CAB ACE ∠=∠∠=∠+∠，PCF PCB BCE ∠=∠+∠，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=，∵P ∠是公共角，PCB PAC ∴△△，::PA C PB PC P =∴，2P PC B PA =∴⋅，即2PF PB PA =⋅，故②正确；对于③，连接AE ，∵ACE BCE ∠=∠，∴AE BE =，∴AE BE =，又∵AB 是直径，∴90AEB ︒∠=，∴227214AB BE ==⨯=，∴7OB OC ==，∵PD 是切线，∴90OCP ︒∠=，∵12BC OP =，∴BC 是Rt OPC 的中线，∴BC OB OC ==，即OBC 是等边三角形，∴60BOC ︒∠=， ∴24960493,743606BOC BOC S S ππ==⨯⨯=△扇形， ∴ 阴影部分面积为4949364π-，故③错误； 对于④，PCB PAC △△，∴PB BCPC AC=，tan tan BC PB PCB PAC AC PC ∴∠=∠==， 设PB x =，则14PA x =+，2P PC B PA =∴⋅，224(14)x x ∴=+，解得1218,32x x ==-，18PB ∴=，183tan 244PB PCB PC ∠===，故④正确. 故选：C二、双空题11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为_________；②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为_________． 【答案】 2b =11b -<<； 21x -<<-或20x ≤<. 【分析】根据直线与半圆的交点个数，讨论y x b =+的位置并确定边界情况下b 的值，即可得参数范围；讨论M 在射线AE ，AD 上以及G 为BD 中点，M 在DG 、GB ，射线BF 上，结合已知条件判断是否有满足要求的平行四边形AMPQ 即可.【详解】由图知：若y x b =+在射线,BF AE 之间时，与图形C 恰好只有一个公共点， 当BF 与y x b =+重合，1b =-； 当AE 与y x b =+重合，1b =；若y x b =+与图形C 12=，即2b = 又y x b =+过一、二、三象限，故2b =综上，2b =11b -<<时，一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点. 1、当M 在射线AE 上，A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列，则PQ 必在AM 上方，即,P Q 在AM 上不含,A M 两点，所以02PQ <<，而//AM PQ 且AM PQ =，故02AM <<21x -<<-； 2、当M 在AD 上，则PQ 必在AM 下方，结合题图，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ； 3、如下图，若G 为BD 中点，连接OG ，当M 在DG 上，过M 作MQ OG ⊥交BD 于Q ，则OG 垂直平分MQ ，再连接A 和其垂足并延长交射线BF 于P ，此时，四边形AMPQ 为平行四边形，满足题设，则20x ≤4、当M 在上图GB 上，则PQ 必在AM 下方，结合上图，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ；5、当M 在射线BF 上，则PQ 必在AM 下方，此时P 与B 重合，Q 在射线AE 上，显然不满足A ，M ，P ，Q 不都在两条射线上，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ； 综上，21x -<<-或202x ≤<. 【点睛】关键点点睛：判断是否存在平行四边形AMPQ 时，注意讨论M 的位置情况，根据平行四边形的性质判断不同情况下是否可以找到满足条件的平行四边形. 三、填空题 120,21x >-且5x y +=，则x 的取值范围是______． 【答案】172x << 【分析】021x >-，根据分式、根式的性质列不等式组求x 的范围即可. 【详解】0,21x >- 所以70210x x ->⎧⎨->⎩，可得172x <<.故答案为：172x << 13．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报111+，第二位同学报112+，第三位同学报113+，……这样得到的100个数的积为__________． 【答案】101【分析】用数学符号表示出每位同学的报数，再直接相乘即可. 【详解】设第n 位同学的报数为n a ，则111n n a n n+=+=， 则121002310110112100a a a ；故答案为：101.14．为了参加中考体育测试，厦门中学的甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？____．（填：甲或乙或一样大） 【答案】乙【分析】根据古典概型概率公式计算可得.【详解】三次传球后，所有可能结果为：（乙、甲、乙）、（乙、甲、丙）、（乙、丙、甲）、（乙、丙、乙）、（丙、甲、乙）、（丙、甲、丙）、（丙、乙、甲）、（丙、乙、丙）， 球回到甲脚下的概率：14P =； 球回到乙脚下的概率：38P =； 所以球回到乙脚下的概率大. 故答案为：乙.15．如图是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m ，木板超出车厢部分AD =0.5m ，则木板CD 的长度为________．（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m ）.【答案】4.9m【分析】根据ACB ∠的正弦函数和AB 的长度求AC 的长，再加上AD 即可． 【详解】解：由题意可知：AB BC ⊥．∴在Rt ABC △中，sin AB ACB AC∠=， 1.5 1.54.39sin sin 200.3420AB AC ACB ∴===≈∠︒，4.390.5 4.89 4.9(m)CD AC AD ∴=+=+=≈．故答案为：4.9m．16．如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为______.【答案】23【分析】连接PB，由正方形的对称性可知PB PD=，所以PD PE PB PE BE+=+≥，求出BE的长可知答案【详解】连接PB，因为正方形ABCD的面积为12，所以1223AB==，因为ABE△是等边三角形，所以23BE AB==，因为P为正方形ABCD对角线AC上一点，所以PB PD=，所以23PD PE PB PE BE+=+≥=，当,,B P E共线时取等号所以PD PE+的最小值为23，故答案为：23四、解答题17．计算（先化简，再求值）：223122111a a aa a--+--+1-5a=【答案】1【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可.【详解】解：∵a =1<，∴10a -<， 原式=22312211a a a a -----=()21111a a a a a -++-- =11-1a a - =1(1)a a -=1 ∴原式的值为1.18．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【答案】(1)存在，95k = (2)235k =---，，【分析】（1）利用反证法先假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95k =，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，可得1k +能被4整除，即可求出k 的值.【详解】(1)假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.(2)()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++， ∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.19．某校九年级共有80名同学参与数学科托底训练．其中（1）班30人，（2）班25人，（3）班25人，厦门中学生助手在托底训练后对这些同学进行测试，并对测试成绩进行整理，得到下面统计图表．班级平均数中位数 众数（1）班 75.2 m 82 （2）班 71.2 68 79 （3）班 72.87575(1)表格中的m 落在________组；（填序号）①40≤x ＜50， ②50≤x ＜60， ③60≤x ＜70，④70≤x ＜80， ⑤80≤x ＜90， ⑥90≤x ≤100． (2)求这80名同学的平均成绩；(3)在本次测试中，（2）班小颖同学的成绩是70分，（3）班小榕同学的成绩是74分，这两位同学成绩在自己所在班级托底同学中的排名，谁更靠前？请简要说明理由． 【答案】(1)④ (2)73.2分(3)小颖在自己班级的排名更靠前，理由见解析 【分析】（1）根据成绩分布直方图判断即可； （2）结合表中数据，计算平均数即可； （3）根据表中的中位数大小分析判断即可.【详解】(1)解：根据题意，（1）班成绩在4050x ≤<内的有1人，在5060x ≤<内的有3人，在6070x ≤<内的有6人，在7080x ≤<内的有7人，此时共17人， 所以，（1）班成绩的中位数m 在7080x ≤<内，故选序号④.(2)解：根据题意，（1）班的平均成绩为75.2分，共30人，（2）班的平均成绩为71.2分，共25人，（3）班的平均成绩为72.8分，共25人， 所以，这80名同学的平均成绩为75.23071.22572.82573.280x ⨯+⨯+⨯==分.(3)解：小颖同学在自己班级的托底同学中排名更靠前．理由：因为7068>，所以小颖同学成绩处于自己班级托底同学的中上水平； 因为7475<，所以小榕同学成绩处于自己班级托底同学的中下水平，且这两个班的参加托底训练的人数相同，所以小颖在自己班级的排名更靠前．20．木匠黄师傅用长AB =3，宽BC =2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ (3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ． ①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大． 【答案】(1)1 (2)方案三半径较大(3)①答案见解析；②x =12时，最大为54，方案四时可取的圆桌面积最大【分析】（1）直接利用CB 的长即可求出圆的半径.（2）分别利用勾股定理以及相似三角形的判定与性质得出两半径长进而求出答案. （3）首先得出所截出圆的直径最大为3x -或2x +两者中较小的一个，再利用一次函数增减性得出即可.【详解】(1)因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2， 则方案一中的半径最大为1；(2)如图1，方案二中连接O 1，O 2，过O 1作O 1E ⊥AB 于E ，方案三中，过点O 分别作AB ，BF 的垂线，交于M ，N ，此时M ，N 恰为⊙O 与AB ，BF 的切点．方案二：设半径为r ，在Rt △O 1O 2E 中，∵O 1O 2=2r ，O 1E =BC =2，O 2E =AB -AO 2-CO 1=3-2r ， ∴（2r ）2=22+（3-2r ）2，解得1312r =． 方案三：设半径为r ，在△AOM 和△OFN 中，∵∠A ＝∠FON ∠OMA ＝∠FNO ，∴△AOM ∽△OFN ， ∴OM FN AM ON =，∴23r r r r -=-，解得65r =． 比较知，方案三半径较大；(3)①∵EC =x ，∴新拼图形水平方向跨度为3-x ，竖直方向跨度为2+x ． 类似（1），所截出圆的直径最大为3-x 或2+x 较小的．a ．当3-x ＜2+x 时，即当1＞x ＞12时，y =12（3-x ）； b ．当3-x =2+x 时，即当x =12时，y =12（3-12）=54；c ．当3-x ＞2+x 时，即当0＜x ＜12时，y =12（2+x ）． ②当x ＞12时，y =12（3-x ）＜12（3-12）=54；当x =12时，y =12（3-12）=54；当x ＜12时，y =12（2+x ）＜12（2+12）=54，∴方案四中，当x =12时，y 最大为54．∵1＜1312＜65＜54，∴方案四时可取的圆桌面积最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点. ①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)△OAD ∽△CDB . △ADB ∽△ECB (2)①2y x 2x 3=-++；②存在，（－2，－5）【分析】（1）由圆周角定理知：90,ADB ∠=︒首先可联想到的相似三角形是,BCD DOA ，易知BAD BED ∠=∠，可得的另一对相似三角形是Rt ,Rt BAD BED ∠.（2）①根据抛物线的解析式，易求得,,B D A 的坐标，也就得到了,,,OA OD CD BC 的长，根据(1)中的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a 的值，即可求出抛物线的方程. ②由①易得△OAD 为等腰三角形，根据抛物线的解析式设出P 点坐标，然后根据PN =AN 的条件来求出P 点坐标.【详解】(1)如图1，因为AB 为直径，所以90,ADB ∠=︒ 所以90,CDB ADO ∠+∠=︒ 因为90,OAD ADO ∠+∠=︒所以OAD CDB ∠=∠，又因为90C O ∠=∠=︒， 所以△OAD ∽△CDB.因为BAD BED ∠=∠，C ADB ∠=∠，所以△ADB ∽△ECB. △OAD ∽△CDB . △ADB ∽△ECB (2)①顶点B （1，－4a ）， ∵△OAD ∽△CDB ，∴=DC CB OA OD又∵ax 2－2ax －3a =0，可得A （3，0） 又OC =－4a ，OD =－3a ，CD =－a ，CB =1， ∴133-=-a a ∴21a = ∵0a < ∴1a =- 故抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++ ②假设存在，设P （x ，－x 2+2x +3）∵△P AN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形, ∴PN =AN ,当x <0（x <－1）时，－x +3=－（－x 2+2x +3），x 1=－2，x 2=3（舍去）， ∴P （－2，－5）.当x >0（x >3）时，x －3= －（－x 2+2x +3）， x 1=0，x 2=3（都不合题意舍去） 符合条件的点P 为（－2，－5）.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.(1)若直线DA 交BC '于点F ，求证：EF BF =； (2)当433AE AC D ''△是等腰三角形； (3)在点E 的运动过程中，求AC D ''△面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4【分析】（1）根据题意证明FEB FBE ∠=∠即可证明结论；（2）分别过点A 作AG BC ⊥'于点G AH C D ⊥''，于点H ，进而根据几何关系证明AH 是C D ''垂直平分线即可证明结论；（3）作点A 关于BE 的对称点A '，点A '落在以点B 为圆心，以AB 为半径的弧AM 上．设弧AM 交BC 于点M ，过点A '作A N CD '⊥于N ，进而得当点A '落在点M 处时，A CD '的面积最小，再根据142AC D A CDSC DC SM '''=⋅==即可得答案.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ． ∴FEB EBC ∠=∠．根据对称可得FBE EBC ∠=∠， ∴FEB FBE ∠=∠．∴BF EF =．(2)证明：如图2，分别过点A 作AG BC ⊥'于点G AH C D ⊥''，于点H ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90BAD ∠=︒．∴433343tan AE A B B A E ===∠∴30ABE ∠=︒．∴9060FEB ABE ∠=︒-∠=︒． ∴60FBE FEB ∠=∠=︒．∴30ABG FBE ABE ∠=∠-∠=︒． ∴122AG AB ==． 根据对称可得90BC D C ∠''=∠=，C D CD ''=． ∴90BC D C GA C HA ∠''=∠'=∠'=． ∴四边形AGC H '是矩形． ∴2AG C H ='=．∴AH 是C D ''的垂直平分线． ∴AC AD '='．(3)解：根据对称可得点C '与点D '的对称点分别为点C D ，． 作点A 关于BE 的对称点A '，如图3.由对称性得ACDAC D BA BA ''''=≌，． ∴A CDAC DSS''=，点A '落在以点B 为圆心，以AB 为半径的弧AM 上．设弧AM 交BC 于点M ，过点A '作A N CD '⊥于N ． 由垂线段最短知BA A N BM MC '+'≥+． ∵BA BM '=，∴A N MC '≥．∴当点A '落在点M 处时，A CD '的面积最小． 即A CD '的面积最小．此时2MC BC BM =-=．142AC D A CDSC DC SM '''=⋅==． ∴AC D ''△面积的最小值为4。
2021-2022学年河南省新乡市高一年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年河南省新乡市高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝x 3D ．1y x=-【答案】C【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.【详解】y ＝x ＋1是非奇非偶函数，y ＝－x 2是偶函数，y ＝x 3由幂函数的性质，是定义在R 上的奇函数，且为单调递增，在在定义域为，不是定义域上的单调增函数，1y x =-(,0)(0,)-∞+∞ 故选：C【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.2．已知函数，则 （ ）()()()2212(3)x x f x x f x ⎧≥+⎪=⎨<+⎪⎩()()13f f -=A ．B ．C ．D ．7121827【答案】A【分析】先求出f （1）＝f （4）＝42+1＝17，f （3）＝32+1＝10，由此能求出f （1）﹣f （3）的值．【详解】∵函数f （x ），()()()21232x x f x x ⎧+≥⎪=⎨+⎪⎩＜∴f （1）＝f （4）＝42+1＝17，f （3）＝32+1＝10，∴f （1）﹣f （3）＝17﹣10＝7．故选A ．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．已知函数已知，则实数的值为()21,0,21,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩()3f a =a A ．或1B ．或2C ．1D ．或2或12-2-2-【答案】A【分析】可分别讨论当时，，解出满足条件的的值．当时，， 解出0x ≤213x -=x 0x >213x +=满足条件的的值．x 【详解】当时，，即；0x ≤213x -=2x =-当时，，即；0x >213x +=1x =故选A【点睛】此题考查分段函数值求参数，分别求出每个区间满足条件的范围即可，属于简单题目．x 4．下列各项中，与表示同一函数的是（ ）()f x ()g xA ．，B ．，()f x x =()g x =()f x x =()2g x =C ．，D ．，()f x x =()2x g x x =()1f x x =-()()()1111x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩【答案】D 【分析】根据函数的定义域与解析式逐项判断即可.【详解】对于A ，，与的解析式不同，故A 错误；()g x x ==()f x对于B ，的定义域为，的定义域为，故B 错误；()2g x ={}0x x ≥()f x R 对于C ，的定义域为，的定义域为，故C 错误；()2x g x x ={}0x x ≠()f x R 对于D ，，且与的定义域都为，故与表示同一函()()()11111x x f x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩()f x ()g x R ()f x ()g x 数，故D 正确.故选:D.5．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.【解析】函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．已知函数为上的奇函数且单调递增，若，则的值范围是()f x (1,1)-(21)(1)0f x f x -+-+>x （ ）A ．B ．（0,1）C ．D ．(1,1)-[1,)+∞[1,)-+∞【答案】B【解析】根据函数定义域以及函数单调性奇偶性，求解不等式即可.【详解】由题意，为上的奇函数且在单调递增，()f x (1,1)-(1,1)-故，(21)(1)0(21)(1)f x f x f x f x -+-+>⇔->-1211,111,211,x x x x -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩解得.01x <<故选：B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性求解不等式，属基础题.7．不等式的解集为（ ）(4)3x x -<A ．或B ．或{|1x x <3}x >{|0x x <4}x >C ．D ．{|13}x x <<{|04}x x <<【答案】A【分析】将不等式化为，可解得结果.(1)(3)0x x -->【详解】不等式化简为：，(4)3x x -<2430x x -+>所以(1)(3)0x x -->解得：或.1x <3x >故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.8．若,下列不等式成立的是0a b >>A ．B ．C ．D ．1b a <2a ab <22a b <11a b >【答案】A 【详解】由不等式的性质，若，则：0a b >> ， ， ， .1b a <2a ab >22a b >11a b <本题选择A 选项.9．已知，若，则的最小值为（ ）0,0x y >>3xy =x y +A ．3B ．2C ．D ．1【答案】C【分析】直接利用基本不等式求最小值．【详解】由于，，所以，当且仅当.所以0,0x y >>3xy=x y +≥=x y ==的最小值为x y +故选：C ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值时的三个条件：一正二定三相等，务必满足．10．关于的不等式的解集为（ ）x ()()21100ax a x a -++><A ．B ．或11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1x x a ⎧>⎨⎩}1x <C ．或D ．1x x a ⎧<⎨⎩}1x >11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据二次不等式的求解方法求解即可.【详解】不等式可化为，则.()()21100ax a x a -++><()()110ax x -->11x a <<故选：A.【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单.11．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）210x tx -+<()1,2x ∈t A ．B ．C ．D ．2t <52t >1t ≥52t ≥【答案】D【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值1t x x >+152x x +<t 范围．【详解】因为不等式对一切恒成立，210x tx -+<()1,2x ∈所以在区间上恒成立，211x t x x x +>=+(1,2)由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增，1y x x =+(1,2)且当时，，所以2x =15222y =+=152x x +<故实数的取值范围是．t 52t 故选：．D 【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式的符号即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.12．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）,,a b c R ∈a b >A ．B ．C ．D ．ac bc>2()0a b c ->11a b ＜22a b -<-【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，若，则不等式不成立；0c ≤对于B ，若，则不等式不成立；0c =对于C ，若均为负值，则不等式不成立；,a b 对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.13．设集合，，则{1,2,4}A ={1,2,3}B =A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{3,4}{1,2}{2,3,4}{1,2,3,4}【答案】D【解析】由并集的计算求解即可【详解】由题{}1,2,3,4A B ⋃=故选D【点睛】本题考查集合的简单运算，并集的定义，是基础题14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则（ ）()U A B ⋃= A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.{}1,0,1,2A B ⋃=-(){}U 2,3A B =- 故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.15．命题“，”的否定是（ ）x ∀∈R 0ax b +≤A ．，B ．，x ∃∈R 0ax b +≤x ∃∈R 0ax b +>C ．，D ．，x ∀∈R 0ax b +≥x ∀∈R 0ax b +>【答案】B【分析】根据全称量词的命题为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词的命题为存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.x ∀∈R 0ax b +≤x ∃∈R 0ax b +>故选:B.16．已知集合是，则 M {x |x N}=∈()A ．B ．CD ．0M ∈πM ∈M 1M∉【答案】A【分析】根据自然数的定义，得到结果.【详解】集合{}0,1,2,3,M =⋅⋅⋅0M∴∈本题正确选项：A【点睛】本题考查自然数的定义、元素与集合的关系，属于基础题.17．已知集合，集合，则集合B 中元素的个数是（）{}1,2,4A =(),{|},,B x y x A y A x y =∈∈＞A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【分析】根据题意求出，即可求出结果.()()(){}2,1,4,1,4,2B =【详解】集合，集合，{}1,2,4A =(),{|},,B x y x A y A x y =∈∈>∴，()()(){}2,1,4,1,4,2B =∴集合B 中元素的个数是3个.故选：D.18．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是（ ）{}12A x x =≤≤{}B x x a =≥A B B ⋃=a A ．B ．C ．D ．1a <1a ≤2a >2a ≥【答案】B【分析】转化为，从而可求实数的取值范围.A B B ⋃=A B ⊆a 【详解】因为，所以.A B B ⋃=A B ⊆因为，，{}12A x x =≤≤{}B x x a =≥所以.1a ≤故选:B.19．已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（ ）{}2210A x ax x =++=A a A ．1B ．1-C ．或1D ．或或101-0【答案】C【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解.A 2210ax x ++=a 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根.A 2210ax x ++=当,可得，满足题意；0a =12x =-当时，,解得.0a ≠440a ∆=-=1a =故的取值是0或1.a 故选:C.20．已知函数，若，则（ ）()532f x ax bx =++()27f =()2f -=A ．-7B ．-3C ．3D ．7【答案】B【分析】利用奇函数的性质即得.【详解】设，则，即，()()532g x f x ax bx =-=+()()53g x ax bx g x -=--=-()()22f x f x -=--+故．()()2243f f -=-+=-故选：B二、解答题21．已知集合，{}02A x x =<<{}1B x x a =<<-（1）若，求；3a =-()R A B ⋃ （2）若，求的取值范围.A B B = a 【答案】（1）{或}；（2）.2x x <3x ≥[)2-+∞，【解析】（1）时，先计算，再进行并集运算即可；3a =-B R （2）先利用交集结果判断，再讨论是否空集使其满足子集关系，列式计算即得结果.B A ⊆B 【详解】（1）因为，所以，{或}，3a =-{}13B x x =<<=B R 1x x ≤3x ≥故{或}；()=⋃R A B 2x x <3x ≥（2）因为，所以.A B B = B A ⊆若，则，解得；B =∅1a -≤1a ≥-若，则，解得.B ≠∅12a a ->⎧⎨-≤⎩21a -≤<-综上所述，的取值范围为.a [)2-+∞，【点睛】易错点睛：已知求参数范围时，需讨论集合是否是空集，因为空集是任意集合的子集，直接满足B A ⊆B .B A ⊆22．已知，且.0a >0b >2a b +=（1）求的最大值；ab （2）求的最小值.28a b +【答案】（1）；（2）.19【解析】（1）利用基本不等式求得的最大值.ab （2）利用基本不等式求得的最小值.28a b +【详解】（1）依题意，222122a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立，1a b ==所以的最大值为.ab 1（2）()281281281022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()1110108922⎛≥+=+= ⎝当且仅当时等号成立，2824,,33b a a b ab ===所以的最小值为.28a b +9【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.23．已知.()221xf x x =+（1）判断在[-1，1]的单调性，并用定义加以证明；()f x （2）求函数在[-1，1]的最值.()f x 【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最大值，最小值.()11f =()11f -=-【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答.【详解】解：（1）函数在上单调递增；()f x []1,1-证明：设任意的且，[]12,1,1x x ∈-12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()122122122111x x x x x x --=++且，[]12,1,1x x ∈- 12x x <，1211x x ∴-≤⋅<210x x ->()()120f x f x ∴-<故函数在上单调递增；()f x []1,1-（2）由（1）知在上单调递增；()f x []1,1-所以()()2max 211111f x f ⨯===+()()()()2min 211111f x f ⨯-=-+-==-【点睛】本题考查函数的单调性的证明，函数的最值，属于基础题.24．已知是定义在上的偶函数，且当时，.()f x R 0x ≥()223f x x x =+-（1）求的解析式；()f x （2）若，求实数的取值范围.()()121f m f m +<-m 【答案】（1）；（2）或.2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩{0m m <∣2}m >【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合二次函数在时的单调性进行求解即可.()223f x x x =+-0x ≥【详解】（1）当时，，0x <()22()()2()323f x f x x x x x =-=-+⋅--=--所以；2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩（2）当时，，因此当时，该函数单调递增，0x ≥()2223(1)4f x x x x =+-=+-0x ≥因为是定义在上的偶函数，且当时，该函数单调递增，()f x R 0x ≥所以由，()()()()121121121f m f m f m f m m m +<-⇒+<-⇒+<-因此或，222(1)(21)202m m m m m +<-⇒->⇒>0m <所以实数的取值范围是或.m {0m m <∣2}m >。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 33．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．ac＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.5，b ＝0.50.6，c ＝log 0.60.5，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6．函数f （x ）＝x 3﹣x ﹣7的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数y ＝f （x ）可表示为（ ）则下列结论正确的是（ ） A ．f （f （4））＝3B ．f （x ）的值域是{1，2，3，4}C ．f （x ）的值域是[1，4]D ．f （x ）在区间[4，8]上单调递增8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100B．900C．81D．910．已知函数f1(x)=2x，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝log a x（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），则下列结论正确的是（）A．函数f1（x）和f2（x）的图象有且只有一个公共点B．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x）C．当a＝2时，∃x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0）D．当a=1k时，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log12x的定义域是．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．13．3×2−1+lg√2+12lg5+(27)13=．14．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，则当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝；函数f（x）在定义域内的值域为．15．方程x+2x＝2的根为a，方程x+log2x＝2的根为b，则a+b＝．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a−x 2+2a ，x ≥a ，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数． 在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 ．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}． （Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2．（Ⅰ）若f（x）≥0的解集{x|x≤﹣1或x≥2}，求a的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f（x）≥0的解集．19．（13分）已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过原点，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且 R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（14分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足（1）f（1）＝3；（2）对于任意的u，v∈R，总有f（u+v）＝f（u）+f（v）﹣1；（3）对于任意的u，v∈R，u﹣v≠0，（u﹣v）[f（u）﹣f（v）]＞0．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y＝f（x）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m2)−2f(m−12)＞−2，求实数m的取值范围．22．（14分）定义：给定整数i，如果非空集合A满足如下3个条件：①A⊆N*；②A≠{1}；③∀x，y∈N*，若x+y∈A，则xy﹣i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}解：∵A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}． 故选：B ．2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√xB ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 3解：函数f(x)=√x 的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数f （x ）＝log 2x 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数f （x ）＝x 2定义域为R ，且f （﹣x ）＝f （x ），所以函数f （x ）为偶函数，故选项C 正确； 函数f （x ）＝x 3定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，故选项D 错误． 故选：C ．3．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．a c＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c解：∵a ＞b ，c ＜0，∴ac 2＞bc 2，a c与bc大小关系不确定，a +c ＞b +c ，a 与b ﹣c 的大小关系不确定．则下列不等式成立的是A ． 故选：A ．4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“a ＞|b |”⇒“a ＞b “，反之不成立． ∴“a ＞|b |”是“a ＞b “的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解：根据y＝0.5x在R上单调递减得0.5＝0.51＜0.50.6＜0.50＝1，根据y＝log0.6x在（0，+∞）上单调递减得log0.60.5＞log0.60.6＝1，所以a＜b＜c．故选：A．6．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：函数f（x）＝x3﹣x﹣7是连续函数，∵f（2）＝8﹣1﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝27﹣2﹣7＝18＞0，∴f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．故选：C．7．已知函数y＝f（x）可表示为（）则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增解：由题意知f（4）＝3，得f（f（4））＝f（3）＝2，故A错误，函数的值域为{1，2，3，4}，故B正确，C错误，f（x）在定义域上不单调，故D错误，故选：B．8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f （x ）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：D ．9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v =12log 3O 100，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）A ．8100B ．900C ．81D ．9 解：鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量为：令v ＝2=12log 3o 100，即4=log 3o 100， 即o 100=34=81，即o ＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v ＝0=12log 3o′100，即o′100=1，即o '＝100， 故鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为8100100=81，故选：C ． 10．已知函数f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1，g 1（x ）＝log a x （a ＞1），g 2（x ）＝kx （k ＞0），则下列结论正确的是（ ）A ．函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有且只有一个公共点B ．∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ）C ．当a ＝2时，∃x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0）D ．当a =1k 时，方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解解：选项A ：∵f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1， ∴f 1（0）＝1，f 2（0）＝1，f 1（2）＝4＜f 2（2）＝5，f 1（3）＝8＞f 2（3）＝7，则函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有一个交点（0，1），还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项A 不正确；选项B ：当a ＝2，k ＝1时，g 1（x ）＝log 2x ＜g 2（x ）＝x 恒成立，故不∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ），故选项B 不正确；选项C ：当a ＝2时，f 1（x ）与g 1（x ）的图象关于y ＝x 对称，f 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 上方， g 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 下方，故不存在x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0），故选项C 不正确； 选项D ：a =1k 时，g 2（x ）=1a x ，故g 1（x ）＝log a x （a ＞1）和g 2（x ）＝kx （k ＞0）均过点（a ，1），所以方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解，故选项D 正确．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log 12x 的定义域是 （0，1）∪（1，+∞） ．解：要使得函数f(x)=1x−1+log 12x 有意义， 则x ＞0且x ﹣1≠0，解得：x ∈（0，1）∪（1，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．12．已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，则xy 的最大值为 1 ．解：因为x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，所以由基本不等式可得，xy ≤（x+y 2）2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故xy 最大值为1．故答案为：1．13．3×2−1+lg √2+12lg5+(27)13= 5 ． 解：原式=32+lg √2+lg √5+33×13=32+lg （√2×√5）+3=32+lg 1012+3=32+12+3＝5． 故答案为：5．14．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝ ﹣2﹣x ；函数f （x ）在定义域内的值域为 [﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2] ． 解：函数f （x ）为奇函数，且定义域为[﹣1，1]，则f （0）＝0，因为当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]，所以f （﹣x ）＝2﹣x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝﹣2﹣x ， 所以f(x)={−2−x ，x ∈[−1，0)0，x =02x ，x ∈(0，1]， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 为单调递增函数，所以f （x ）∈（1，2]；当x ＝0时，f （x ）＝0；当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝﹣2﹣x 为单调递增函数，所以f （x ）∈[﹣2，﹣1）．综上所述，f （x ）在定义域内的值域为[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]．故答案为：﹣2﹣x ；[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]． 15．方程x +2x ＝2的根为a ，方程x +log 2x ＝2的根为b ，则a +b ＝ 2 ．解：由x +2x ＝2，得2x ＝2﹣x ，由x +log 2x ＝2，得log 2x ＝2﹣x ，在同一平面直角坐标系中画出y ＝2x ，y ＝log 2x 和y ＝2﹣x 的图像，如图所示，设直线y ＝x 与y ＝2﹣x 的交点为A ，联立方程{y =x y =2−x ，解得A （1，1），∵a 为点B 的横坐标，b 为点C 的横坐标，而点A 为点B ，C 的中点，∴a +b ＝2，故答案为：2．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a −x 2+2a ，x ≥a，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数．在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 12，1，√2 ．解：由题意可知：a 应满足{f （x ）|x ＜a }⊆{f （x ）|x ≥a }，当x ＜a 时，f （x ）＝2x ﹣1单调递增，故0＜f （x ）＜2a ﹣1； 当x ≥a 时，f （x ）＝﹣x 2+2a ，若a ≥0，则f （x ）单调递减，则f （x ）≤f （a ）＝﹣a 2+2a ；当a ＜0时，f （x ）在（a ，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故f （x ）≤f （0）＝2a ， 由题意，只需2a ﹣1≤﹣a 2+2a ， 当a ≥0时，此时a =12，1，√2满足，a =32不满足；当a ＜0时，a =−12不满足，故f （x ）的包容数为：12，1，√2． 故答案为：12，1，√2． 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}．（Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}＝{x |1≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤4}；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∁U A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥3}，因为非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，且D ⊆∁U A ，则2a +3≤﹣1或a ≥3且2a +3＞a ，解得﹣3＜a ≤﹣2或a ≥3，故实数a 的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[3，+∞）．18．（13分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣2．（Ⅰ）若f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，求a 的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f （x ）≥0的解集．解：（Ⅰ）∵f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，∴f （x ）＝0的两根为﹣1和2，∴4a +2（a ﹣2）﹣2＝0，∴a ＝1．（Ⅱ）f （x ）≥0⇔（ax ﹣2）（x +1）≥0，①当a ＝0时，则﹣2（x +1）≥0，∴x ≤﹣1，②当a ＞0时，则2a＞−1，∴x ≥2a 或x ≤﹣1， ③当a ＜0时，若2a =−1，即a ＝﹣2时，∴x ＝﹣1，若2a＞−1，即a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a ， 若2a ＜−1，即﹣2＜a ＜0时，2a ≤x ≤﹣1， 综上，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤﹣1}，当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ≥2a 或x ≤﹣1}，当a ＝﹣2时，不等式的解集为{x |x ＝﹣1}，当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |2a ≤x ≤﹣1}， 当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤2a }．19．（13分）已知函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性． 解：（Ⅰ）因为函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1，则{a +b =02a +b =1，解得a ＝1，b ＝﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f （x ）＝2x ﹣1，则g （x ）=12x −1， 函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．证明如下：设0＜x 1＜x 2，则g(x 1)−g(x 2)=12x 1−1−12x 2−1=2x 2−2x1(2x 1−1)(2x 2−1)， 因为0＜x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1−1＞，2x 2−1＞0，故g （x 1）＞g （x 2），所以函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x 2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x ≤20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝500x ﹣2x 2﹣380x ﹣150＝﹣2x 2+120x ﹣150，当x ＞20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝370x +2140−6250x −380x ﹣150＝﹣10x −6250x +1990，∴函数S 的解析式为S ={−2x 2+120x −150，0＜x ≤20−10x −6250x +1990，x ＞20．（2）当0＜x ≤20时，S ＝﹣2x 2+120x ﹣150＝﹣2（x ﹣30）2+1650，∴函数S 在（0，20]上单调递增，∴当x ＝20时，S 取得最大值，为1450，当x ＞20时，S ＝﹣10x −6250x +1990＝﹣（10x +6250x ）+1990≤﹣2√10x ⋅6250x +1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x =6250x ，即x ＝25时，等号成立，此时S 取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．21．（14分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，且满足（1）f （1）＝3；（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有f （u +v ）＝f （u ）+f （v ）﹣1；（3）对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0．（Ⅰ）求f （0）及f （﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m 2)−2f(m −12)＞−2，求实数m 的取值范围．解：（I ）令u ＝v ＝0，可得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1；令u ＝1，v ＝﹣1，可得f （0）＝f （1）+f （﹣1）﹣1，可得f （﹣1）＝2﹣f （1）＝2﹣3＝﹣1；（II ）证明：令u ＝x ，v ＝﹣x ，即有f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，即有f （﹣x ）﹣1＝﹣[f （x ）﹣1]，可得函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（III ）由对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0，可得f （x ）在R 上递增，f(12m 2)−2f(m −12)＞−2⇔f （12m 2）﹣[f （2m ﹣1）+1]＞﹣2⇔ f （12m 2）+2﹣f （2m ﹣1）﹣1＞0⇔f （12m 2）+f （1﹣2m ）﹣1＞0 ⇔f （12m 2+1﹣2m ）＞0， 由于f （﹣1）＝f （−12）+f （−12）﹣1＝﹣1，即f （−12）＝0，即有f （12m 2+1﹣2m ）＞f （−12）， 由f （x ）在R 上递增，可得12m 2+1﹣2m ＞−12， 解得m ＞3或m ＜1，即m 的范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．22．（14分）定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件：①A ⊆N *；②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N *，若x +y ∈A ，则xy ﹣i ∈A ．则称集合A 为“减i 集”（Ⅰ）P ＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣0∈P ，∴P 是“减0集”同理，∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣1∉P ，∴P 不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy﹣2∈A，①当x+y＝xy﹣2时，有（x﹣1）（y﹣1）＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3﹣2∉A，与A是“减2集”，矛盾；②当x+y≠xy﹣2时，则x+y＝xy﹣1或者x+y＝xy﹣m（m＞2），若x+y＝xy﹣1，m＝1时M为除1以外的最小元素，则x＝M﹣1，y＝1时，xy﹣2＝M﹣3小于M，如果要符合题意必须M＝4，此时取x＝2，y＝2，xy﹣2＝2不属于A，故不符合题意．m＞2时，（x﹣1）（y﹣1）＝m+1，同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1﹣1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2﹣1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1，3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3﹣1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4﹣1∈A，2+3＝5，2×3﹣1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1，3，5}．以此类推可得：A＝{1，3，5，……，2n﹣1，……}，（n∈N*），以及A的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，……．。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
2021-2022学年北京师大二附中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年北京师大二附中高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（单选题，4分）若集合A={x|-1≤x≤2|，B={x|x＞1}，则A∩B等于（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|x＞1}C.{x|x≥-1}D.{x|-1≤x≤2}2.（单选题，4分）若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（）A.a+d＞b+cB.ac＞bdC.d-a＜c-bD. ac ＞bd3.（单选题，4分）设a，b∈R，则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，4分）设集合A={x|x=k+ 14，k∈Z}，B={y|y= k2- 14，k∈Z}，则它们之间最准确的关系是（）A.A=BB.A⊄BC.A⫋BD.A⊆B5.（单选题，4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，4分）已知函数g（x）=f（x）+2，若f（x）是奇函数，且g（1）=3，则g（-1）=（）A.-1B.-3C.1D.37.（单选题，4分）已知函数f（x）=x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）若关于x的不等式x2+ax-2＜0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−235，1)B. (−∞，−235]C.（-∞，1）D.（-∞，1]9.（单选题，4分）已知函数f（x）=x|x|，若对任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（-∞，-2）D.（-∞，-2]10.（单选题，4分）定义全集U的子集A的特征函数f A（x）= {1，x∈A0，x∉A对于任意的集合A、B⊂U，下列说法错误的是（）A.若A⊆B，则f A（x）≤f B（x），对于任意的x∈U成立B.f A∪B（x）=f A（x）+f B（x），对于任意的x∈U成立C.f A∩B（x）=f A（x）f B（x），对于任意的x∈U成立D.若A=∁U B，则f A（x）+f B（x）=1，对于任意的x∈U成立11.（填空题，5分）已知集合A={x，x2}（x∈R），若1∈A，则x=___ ．12.（填空题，5分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为___ ．13.（填空题，5分）若0＜x＜y＜1，则x-y的取值范围是___ ．14.（填空题，5分）设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}；若（∁U A）∩B=∅，m=___ ．15.（填空题，5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：16.（问答题，7分）已知集合A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|m-2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=0，全集U=A∪B，求∁U B；（Ⅱ）从条件① 和条件② 选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件① ：若A∪B=A；条件② ：若A∩B=∅．+c（b，c为常数），f（1）=4，f（2）=5．17.（问答题，8分）已知函数f（x）=2x+ bx（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明：函数f（x）在区间（0，1）上是减函数．18.（问答题，10分）设函数f（x）=（a2-1）x2+（a-1）x+3（a∈R）．（1）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的充要条件；（2）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的一个充分非必要条件．19.（问答题，10分）已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．20.（问答题，10分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）若x＜0时，方程f（x）=x2+tx+2t仅有一实根或有两个相等的实根，求实数t的取值范围．21.（问答题，10分）对于正整数集合A{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i=1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n=5时，集合A{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”．2021-2022学年北京师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（单选题，4分）若集合A={x|-1≤x≤2|，B={x|x＞1}，则A∩B等于（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|x＞1}C.{x|x≥-1}D.{x|-1≤x≤2}【正确答案】：A【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-1≤x≤2|，B={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}．故选：A．【点评】：本题考查了描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，4分）若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（）A.a+d＞b+cB.ac＞bdC.d-a＜c-bD. ac ＞bd【正确答案】：C【解析】：根据题意取特殊值即可判断ABD，利用不等式的基本性质即可判断C．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，若a=4，b=-2，c=2，d=1，满足a＞b，c＞d，但不满足a+d＞b+c，A错误，对于B，若a=4，b=-2，c=-1，d=-2，满足a＞b，c＞d，但不满足ac＞bd，B错误，对于C，若a＞b，则-a＜-b，又由c＞d，则d-a＜c-b，C正确，对于D，若a=4，b=-2，c=-1，d=-2，满足a＞b，c＞d，但不满足ac ＞bd，D错误，故选：C．【点评】：本题考查了不等式的性质，属于基础题．3.（单选题，4分）设a，b∈R，则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．【解答】：解：由（a-b）a2＜0，得a-b＜0，即a＜b，由a＜b，得a-b＜0，则（a-b）a2≤0，∴“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．4.（单选题，4分）设集合A={x|x=k+ 14，k∈Z}，B={y|y= k2- 14，k∈Z}，则它们之间最准确的关系是（）A.A=BB.A⊄BC.A⫋BD.A⊆B【正确答案】：C【解析】：由集合A与B的元素即可判断两集合的包含关系．【解答】：解：由集合A得x= 4k+14，k∈Z，则A={•••- 74，- 34，14，54，94，•••}，由集合B得y= 2k−14，k∈Z，则B={•••- 34，- 14，14，34，44•••}，则A⫋B，故选：C．【点评】：本题考查元素与集合的关系，属于容易题．5.（单选题，4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】：解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2 √ab，∴2≥ √ab，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，，则ab=1≤4，若a=4，b= 14＞4，但a+b=4+ 14即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．6.（单选题，4分）已知函数g（x）=f（x）+2，若f（x）是奇函数，且g（1）=3，则g（-1）=（）A.-1B.-3C.1D.3【正确答案】：C【解析】：先根据g（1）=3可求出f（1）=1，再根据f（x）是奇函数，即可得出g（-1）=-f（1）+2=1．【解答】：解：g（1）=f（1）+2=3；∴f（1）=1；∵f（x）是奇函数；∴g（-1）=f（-1）+2=-f（1）+2=-1+2=1．故选：C．【点评】：考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．7.（单选题，4分）已知函数f（x）=x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：通过c＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c的值不一定小于0，判断必要性即可．【解答】：解：函数f（x）=x2+bx+c，则“c＜0”时，函数与x 有两个交点，所以“∃x0∈R，使f （x0）＜0成立．而“∃x0∈R，使f（x0）＜0”即x2+bx+c＜0，Δ=b2-4c＞0，即b2＞4c，c不一定有c＜0，综上函数f（x）=x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的充分不必要条件；故选：A．【点评】：本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力．8.（单选题，4分）若关于x的不等式x2+ax-2＜0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−235，1)B. (−∞，−235]C.（-∞，1）D.（-∞，1]【正确答案】：C【解析】：把不等式化为a＜2x -x，求出f（x）= 2x-x在区间[1，5]上的最大值，即可得出实数a的取值范围．【解答】：解：由x∈[1，5]，不等式x2+ax-2＜0可化为ax＜2-x2，即a＜2x-x；设f（x）= 2x-x，其中f（x）在区间[1，5]上单调递减，所以f （x ）有最大值为f （1）=2-1=1；所以实数a 的取值范围是（-∞，1）．故选：C ．【点评】：本题考查了不等式成立的应用问题，也考查了转化与求解能力，是基础题．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）=x|x|，若对任意的x≤1有f （x+m ）+f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（-∞，-2）D.（-∞，-2]【正确答案】：C【解析】：根据函数f （x ）的解析式判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．【解答】：解：f （x ）=x|x|= {x 2，x ≥0−x 2，x ＜0， 则函数f （x ）在定义域为增函数，且f （-x ）=-x|-x|=-x|x|=-f （x ），则函数f （x ）为奇函数，则若对任意的x≤1有f （x+m ）+f （x ）＜0恒成立，等价为对任意的x≤1有f （x+m ）＜-f （x ）=f （-x ），即x+m ＜-x 恒成立，即m ＜-2x 恒成立，∵x≤1，∴-2x≥-2，则m ＜-2，故选：C ．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常用方法．10.（单选题，4分）定义全集U 的子集A 的特征函数f A （x ）= {1，x ∈A 0，x ∉A 对于任意的集合A 、B⊂U ，下列说法错误的是（ ）A.若A⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ），对于任意的x∈U 成立B.f A∪B （x ）=f A （x ）+f B （x ），对于任意的x∈U 成立C.f A∩B （x ）=f A （x ）f B （x ），对于任意的x∈U 成立D.若A=∁U B ，则f A （x ）+f B （x ）=1，对于任意的x∈U 成立【正确答案】：B【解析】：根据题中特征函数的定义，利用集合交集、并集和补集的运算法则，对四个选项中的运算加以验证，即可得到答案．【解答】：解：对于A ，因为A⊆B ，若x∈A ，则x∈B ，因为f A （x ）= {1，x ∈A 0，x ∉A = {1，x ∈A 0，x ∈∁U A， f B （x ）= {1，x ∈B 0，x ∈∁U B， 而∁U A 中可能有B 中的元素，但∁U B 中不可能有A 中的元素，所以f A （x ）≤f B （x ），即对于任意的x∈U ，都有f A （x ）≤f B （x ）成立，故选项A 正确；对于B ，因为 f A∪B (x )={1，x ∈A ∪B0，x ∈∁U (A ∪B ) ， 当某个元素x 在A 中且在B 中，由于它在A∪B 中，故f A∪B （x ）=1，而f A （x ）=1且f B （x ）=1，可得f A∪B （x ）≠f A （x ）+f B （x ），故选项B 错误；对于C ， f A∩B ={1，x ∈A ∩B 0，x ∈∁U (A ∩B ) = {1，x ∈A ∩B 0，x ∈(∁U A )∪(∁U B )， f A (x )•f B (x )={1，x ∈A 0，x ∈∁U A •{1，x ∈B 0，x ∈∁U B = {1，x ∈A ∩B 0，x ∈(∁U A )∪(∁U B )， 故选项C 正确；对于D ，因为 f ∁U A (x )={1，x ∈∁U A 0，x ∈A， 结合f A （x ）= {1，x ∈A 0，x ∉A = {1，x ∈A 0，x ∈∁U A， 所以f B （x ）=1-f A （x ），即f A （x ）+f B （x ）=1，故选项D 正确．故选：B ．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．11.（填空题，5分）已知集合A={x ，x 2}（x∈R ），若1∈A ，则x=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：根据元素与集合的关系进行计算即可．【解答】：解：集合A={x ，x 2}（x∈R ），∵1∈A ，即x=1或x 2=1，可得x=1或x=-1当x=1时，违背集合的互异性，故答案为：x=-1．【点评】：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解析】：由已知可得y= 1x【解答】：解：∵xy=1，∴x2+2y2≥2 √2 xy=2 √2，4时取等号，当且仅当x2=2y2，即x=± √2故答案为：2 √2．【点评】：本题考查基本不等式，属基础题．13.（填空题，5分）若0＜x＜y＜1，则x-y的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-1，0）【解析】：由不等式的基本性质求解即可．【解答】：解：因为0＜x＜y＜1，所以0＜x＜1，-1＜-y＜0，所以-1＜x-y＜1，又因为x-y＜0，所以x-y的取值范围是（-1，0）．故答案为：（-1，0）．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．14.（填空题，5分）设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}；若（∁U A）∩B=∅，m=___ ．【正确答案】：[1]1或2【解析】：先化简集合A，B，再结合题中条件：“（C U A）∩B=∅”推知集合B中元素的特点即可解决．【解答】：解：∵A={x|x2+3x+2=0}={-1，-2}，x2+（m+1）x+m=0得：x=-1或x=-m．∵（C U A）∩B=∅，∴集合B中只能有元素-1或-2，∴m=1或2故答案为1或2．【点评】：本题主要考查了交、并、补集的混合运算、空集的含义，属于基础题．15.（填空题，5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：【正确答案】：[1]1464【解析】：若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可．【解答】：解：由题意得：35×16+28×18+20×20=1464，故答案为：1464．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，是一道基础题．16.（问答题，7分）已知集合A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|m-2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=0，全集U=A∪B，求∁U B；（Ⅱ）从条件① 和条件② 选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件① ：若A∪B=A；条件② ：若A∩B=∅．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出集合A，B，然后由并集的定义求出U，再利用补集的定义求解即可；（Ⅱ）若选条件① ：利用A∪B=A，可得B⊆A，然后由集合子集的定义求解即可；若选条件② ：A∩B=∅，由集合交集以及空集的定义列式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）当m=0时，B={x|m-2＜x＜m}={-2＜x＜0}，又A={x|x2-5x-6＜0}={x|-1＜x＜6}，所以U=A∪B={x|-2＜x ＜6}，故∁U B={x|0≤x ＜6}；（Ⅱ）若选条件 ① ：由A∪B=A ，可得B⊆A ，则 {m −2≥−1m ≤6，解得1≤m≤6， 故m 的取值范围为[1，6]．若选条件 ② ：由A∩B=∅，则m≤-1或m-2≥6，解得m≤-1或m≥8，故m 的取值范围为（-∞，-1]∪[8，+∞）．【点评】：本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集、补集、并集、子集的定义，属于基础题．17.（问答题，8分）已知函数f （x ）=2x+ b x +c （b ，c 为常数），f （1）=4，f （2）=5．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明：函数f （x ）在区间（0，1）上是减函数．【正确答案】：【解析】：（1）利用f （1）=4，f （2）=5，列出关于b ，c 的方程组，求出b ，c 的值，即可得到答案；（2）直接利用函数单调性的定义证明即可．【解答】：（1）解：函数f （x ）=2x+ b x +c （b ，c 为常数），f （1）=4，f （2）=5，则 {2+b +c =44+b 2+c =5，解得b=2，c=0， 所以 f (x )=2x +2x ；（2）证明：令0＜x 1＜x 2＜1，则 f (x 1)−f (x 2)=(2x 1+2x 1)−(2x 2+2x 2) = 2(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2 ， 因为0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2＞0，故f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，1）上是减函数．【点评】：本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，要掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题．18.（问答题，10分）设函数f（x）=（a2-1）x2+（a-1）x+3（a∈R）．（1）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的充要条件；（2）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的一个充分非必要条件．【正确答案】：【解析】：（1）通过对二次项系数是否为0讨论a的范围，当a2-1≠0时结合二次函数的性质求出a的取值范围，再取并可得其充要条件；（2）取a=1，利用充分不必要条件的定义，检验即可．【解答】：解：（1）f（x）=（a2-1）x2+（a-1）x+3＞0恒成立，① 由a2-1=0，得a=-1或1；当a=1时，f（x）=3＞0恒成立，适合题意；当a=-1时，f（x）=-2x+3＞0不恒成立，a=-1不适合题意；② a2-1≠0时，f（x）＞0恒成立，须满足{a2−1＞0(a−1)2−12(a2−1)＜0，解得a＞1或a＜- 1311，综上，f（x）＞0的充要条件是：a≥1或a＜- 1311；（2）由（1）知，a=1时，f（x）=3＞0恒成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故a=1是f（x）＞0的充分不必要条件．【点评】：本题考查函数恒成立问题，着重考查充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，10分）已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a 的取值范围；（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a 的取值范围．【解答】：解：（1）方程|f （x ）|=g （x ），即|x 2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a ）=0， 显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a ＜0．…（6分）（2）当x∈R 时，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，即（x 2-1）≥a|x -1|（*）对x∈R 恒成立， ① 当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R ；② 当x≠1时，（*）可变形为a≤ x 2−1|x−1| ，令φ（x ）= x 2−1|x−1| = {x +1，x ＞1−(x +1)，x ＜1因为当x ＞1时，φ（x ）＞2，当x ＜1时，φ（x ）＞-2，所以φ（x ）＞-2，故此时a≤-2． 综合 ① ② ，得所求实数a 的取值范围是a≤-2．…（12分）【点评】：本题考查构成根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键．20.（问答题，10分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=2x+1．（1）求f （x ）的解析式；（2）若x ＜0时，方程f （x ）=x 2+tx+2t 仅有一实根或有两个相等的实根，求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据奇函数的性质，当x=0时，f（x）=0，结合当x＞0时，f（x）=2x+1，可得出x＜0时的解析式，进而得到答案；（2）问题即为方程x2+（t-2）x+2t+1=0仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，然后分类讨论即可得出结论．【解答】：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＜0时，-x＞0，又当x＞0时，f（x）=2x+1，∴f（-x）=-2x+1，则f（x）=-f（-x）=2x-1，综上，f(x)={2x+1，x＞0 0，x=02x−1，x＜0；（2）当x＜0时，f（x）=2x-1，则方程f（x）=x2+tx+2t即为x2+（t-2）x+2t+1=0，则该方程仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，当2t+1＜0，即t＜−12时，此时方程x2+（t-2）x+2t+1=0有一正根，一负根，符合题意；当2t+1=0，即t=−12时，此时方程即为x2−52x=0，其解为0或52，不合题意；当2t+1＞0，即t＞−12，此时方程两根同号，需满足{Δ=(t−2)2−4(2t+1)=02−t＜0，解得t=12；综上，实数t的取值范围为(−∞，−12)∪{12}．【点评】：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.（问答题，10分）对于正整数集合A{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i=1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n=5时，集合A{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）写出集合{1，3，5，7，9，11，13}，利用定义证明即可；（3）假设集合A是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．【解答】：解：（1）对于集合{1，2，3，4，5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．（2）集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”，证明如下：当去掉元素1时，有3+5+7+9=11+13；当去掉元素3时，有1+9+13=5+7+11；当去掉元素5时，有9+13=1+3+7+11；当去掉元素7时，有1+9+11=3+5+13；当去掉元素9时，有1+3+5+11=7+13；当去掉元素11时，有3+7+9=1+5+13；当去掉元素13时，有1+3+5+9=7+11．所以集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．（3）证明：假设集合A是“和谐集”，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，必能将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4① ，或a5=a1+a3+a4② ，也必能将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4③ ，或a5=a2+a3+a4④ ，由① ③ ，得a1=a2，矛盾，由① ④ ，得a1=-a2，矛盾，由② ③ ，得a1=-a2，矛盾，由② ④ ，得a1=a2，矛盾，所以假设不成立，故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．【点评】：本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题．。
河北省石家庄二中2021-2022学年高一上学期期中数学试题(含解析)
石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+< D.x R ∃∈，使得210x x -+≤3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.46.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.237.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.358.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.1511.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．14.若34,23x y <<<<，则xy的取值范围是___________．15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m-+-≥的解集.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N *∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．22.已知函数()24ax bf x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.【详解】解：{}2R B x x =<ð，(){}22R A B x x ⋂=-<<ð,故选:A2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+<D.x R ∃∈，使得210x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“2,10x R x x ∀∈-+>”是全称命题，所以其否定为特称命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：D3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得出a 的范围，再由充分必要条件的定义得出结论即可.【详解】由2a a >，得1a >或0a <，所以“2a >”是“1a >或0a <”的子集，所以“2a >”能推出“1a >或0a <”，“1a >或0a <”不能推出“2a >”，所以“2a >”是2a a >的充分不必要条件，故选：A.4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>【答案】D 【解析】【分析】取特殊值可判断ABC 不正确，由不等式性质可知D 正确.【详解】若1,2a b ==-，则22a b >不正确，故A 错误；若1,2a b =-=-，则12,2b a a b ==，故B 不正确；若2,1a b =-=-，则24a =，21b =，故C 不正确；若22ac bc >，则20c >，由不等式性质知a b >成立，故D 正确.故选：D5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系求得,a b ．【详解】由题意0a <，210ax bx ++=的解是1,2-，所以12112b a a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．0a b +=．故选：A ．6.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.23【答案】C 【解析】【分析】把已知式变形为821x y+=，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由x >0，y >0，且280x y xy +-=，得821x y+=，所以8282()(101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当82y xx y=，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值是18．故选：C ．7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.35【答案】A 【解析】【分析】分别讨论0a >和0a <时，1a -，1a +与1的大小关系，进而可得()1f a -与()1f a +的表达式，解方程即可求解.【详解】因为0a ≠，当0a >时，111a a -<<+，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a -+=-+-，所以213a a -=--，解得：32a =-，不满足0a >，舍去；当0a <时，111a a +<<-，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a ++=---，所以231a a +=--，解得：34a =-，符合题意，综上可得：34a =-，故选：A ．8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由题意得知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，()()20f f =，由()()10x f x -≥可得出()100x f x -≤⎧⎨≤⎩或()100x f x ->⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】()()2f x f x =- ，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00f =，对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，当10x -≤时，即1x ≤时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤≤；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞ .故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对1x -的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤【答案】ABD【解析】【分析】根据做差比较法可判断AB ，取特殊值可判断C ，根据不等式的性质可判断D.【详解】因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥成立，故A 正确；因为22()4()0a b ab a b +-=-≥，所以24()ab a b +≤，即22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故B 正确；当1,1a b =-=时，22b aa b+=-<，故C 不正确；因为222a b ab +≥，所以222()()2a b a b +≥+，即222((22a b a b ++≥，所以||2a b +≤2a b +≤，故D 正确.故选：ABD10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.15【答案】BD 【解析】【分析】利用函数()f x 为偶函数，可得()()321fa f a ≥-，且()f x 在[)0,+∞上的减函数，可得321a a ≤-解不等式即可求解.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =，所以不等式()()321f a f a ≥-等价于()()321fa f a ≥-因为()f x 是[)0,+∞上的减函数，故321a a ≤-，即229(21)a a ≤-，可得25410a a +-≤，即(51)(1)0a a -+≤解得：115a -≤≤，结合选项可得实数a 的可能取值为：1-或15，故选：BD.11.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称【答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A 中，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- 即为函数的定义域，故A 正确；对于B 中，由定义域可化简函数得()101x f x x -≤<=<≤⎪⎩，当[)1,0x ∈-时，()[)0,1f x ∈；当(]0,1x ∈时，()(]1,0f z ∈﹣，所以()()1,1f x ∈-，故B 正确；对于C 中，因为13132222f f ⎛⎫⎛⎫-=>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不是增函数，故C 错误；对于D 中，因为定义域关于原点对称，且对任意(]0,1x ∈，()()f x f x ==--，所以函数是奇函数，故D 错误，故选：AB .12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数 B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥【答案】AC【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，易判断AB ，然后分类讨论确定(2)f x -、()f x 和()2f x -的表达式，判断CD ．【详解】作出函数()f x 的图象，如图实线部分．由图可知其图象关于y 轴对称，函数为偶函数，A 正确；(1)(1)1f f -==，再计算得(3)(3)1f f -==，()1f x <解集为(3,1)(1,1)(1,3)--- ，B 错；12x ≤≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(1)(2)0x x --≤，成立23x <≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(2)(3)0x x --≤，成立，34x <≤时，(2)()f x f x -≤即为42x x -≤-，即3x ≥，成立，4x >时，22x ->，2x x -<，由()f x 在[1,)+∞上递增，得(2)()f x f x -≤成立．C 正确；由B 选项知33x -≤≤时，0()1f x ≤≤，()2()f x f x -≥成立，34x <≤时，()2224f x x x -=--=-，()2f x x =-，不等式|()2|()f x f x -≥为42x x -≥-，3x ≤，不成立．D 错误．故选：AC ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．【答案】-1【解析】【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可.【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.14.若34,23x y <<<<，则x y的取值范围是___________．【答案】(1,2)【解析】【分析】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，设x k y =，即100y k x -=-，结合斜率公式，即可求解.【详解】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，如图所示，可得(3,3),(4,2)A B ，设x k y =，即100y k x -=-，表示可行域内点(,)P x y 与原点(0,0)O 连线的斜率，当取点A 时，可得1OA k =，即k 的最小值为1；当取点B 时，可得12OB k =，即k 的最大值为2，即x y的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2).15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到21x m x ≤-+，求出21x x+-在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为(]0,2x ∈，所以，由210x mx ++≤得21x m x ≤-+，因为关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0，2]上有解，所以只需m 小于等于21x x+-的最大值，又2212x x x x-≤-=-+，当且仅当1x =时，等号成立，所以2m ≤-，即实数m 的取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】5[,2]2-【解析】【分析】原问题可转化为()()max min f x g x ≤，再根据a 与区间[1,4]分类讨论，求出对应范围内min ()g x ，()max f x ,建立不等式求解即可.【详解】因为1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，所以()()max min f x g x ≤，当(1,4)a ∈，则1(,2)22a ∈，所以2min ()()624a a g x g ==-，此时4,44()4,1x a a x x f x x a x a x x a x ⎧+-≤≤⎪⎪=-+=⎨⎪-+≤<⎪⎩，当4a x ≤≤时，最大值必为5a -与4a中较大者，当1x a <≤时，最大值为3a +因为35a a +≥-，所以()max 4max{3,}f x a a =+，而当(1,4)a ∈时，243430a a a a a+-+-=>，所以()max 3f x a =+所以只需2364a a +≤-，解得62a -≤≤，而(1,4)a ∈，故(1,2]a ∈当1a ≤时，122a ≤，所以min 125()()242a g x g ==-，此时44()||f x x a x a x x =-+=+-，当1x =或4x =时，()max 5f x a =-，所以只需25542a a -≤-，解得52a ≥-，由1a ≤，故5[,1]2a ∈-当4a ≥时，22a ≥，所以min ()(2)102g x g a ==-，此时44()||f x x a a x x x=-+=-+，函数在[1,4]上递减，当1x =时，()max 3f x a =+，所以只需3102a a +≤-，解得73a ≤，又4a ≥，故无解.综上，5[,2]2a ∈-故答案为：5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|04A B x x =<≤ ，(){}|02U A B x x ⋂=<<ð（2）01a <<【解析】【分析】（1）先求出B ，进而根据交并补的定义即可解得答案；（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，进而确定出两个集合的端点位置，最后解得答案.【小问1详解】2a =时，{}24B x x =≤≤，则{}|04A B x x =<≤ ，{|2U B x x =<ð或4}x >，所以(){}|02U A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，所以00123a a a >⎧⇒<<⎨+<⎩.18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．【答案】（1）()12-，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当12m =时，不等式化为()()2+10x x -<，由此可求得不等式的解集；（2）原不等式等价于()()20x m x --<，分2m <，2m =，>2m 讨论求解可得不等式的解集.【小问1详解】解：当12m =时，211()122f x x x =--，不等式()0f x <化为2111022x x --<，即220x x --<，即()()2+10x x -<，解得12x -<<，所以不等式的解集为：()12-，.【小问2详解】解：因为2()1f x mx mx =--，所以不等式化为221(1)221mx mx m x x m --<-+--，即()2+2+20x m x m -<，即()()20x m x --<，所以，当2m <时，不等式的解集为()2m ，；当2m =时，不等式的解集为∅；当>2m 时，不等式的解集为()2m ，；19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集.【答案】（1）()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）{}[]21,2- .【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得出()00f =，设[)3,0x ∈-，可得出(]0,3x -∈，求出()f x -的表达式，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)3,0-上的解析式，综合可得出函数()y f x =的解析式；（2）作出函数()y f x =的图象，可知函数()y f x =是定义在区间[]3,3-上的减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得出()()211f m f m -≤-，然后利用函数()y f x =的单调性和定义域列出关于实数m 的不等式组，解出即可.【详解】（1） 函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，满足()()1f x x x =-+.设[)3,0x ∈-，则(]0,3x -∈，所以，()()()()11f x x x x x -=--⋅-+=--，此时，()()()1f x f x x x =--=-.综上所述，()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在定义域[]3,3-上既为奇函数，又为减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得()()()22111f m f m f m -≥--=-，所以2211313313m m m m ⎧-≥-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2m =-或12m ≤≤，因此，关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集为{}[]21,2- .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中等题.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N*∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，从第3年开始盈利.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意写出()f n 关于n 的函数式，由()0f n >求得n 的范围，再由n ∈+N ，即可得答案；（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出()f n n的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．【小问1详解】由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-．由()0f n >，得25509002n n -+->，即220360n n -+<，解得218n <<．由于n ∈+N ，故设备企业从第3年开始盈利；【小问2详解】方案一：总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时()160max f n =．故方案一总利润16010170+=，此时10n =；方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯= ，当且仅当6n =时等号成立．故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4（2）182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据M 为空集，利用判别式法求得m 的范围，然后由2254()111m m f m m m m ++==++++，利用基本不等式求解；（2）根据M 不为空集，由[1,4]M ⊆，利用根的分布求解.【小问1详解】解：因为M 为空集，所以()24420m m ∆=-+<，即220m m --<，解得12m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,2-，则2254()1411m m f m m m m ++==++≥++，当且仅当411m m +=+，即1m =时，等号成立，所以225()1m m f m m ++=+的最小值是4；【小问2详解】当M 不为空集，由[1,4]M ⊆，得：()()0104014f f m ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，即()2442012201682014m m m m m m m ⎧-+≥⎪-++≥⎪⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩，解得1827m ≤≤，所以实数m 的取值范围是182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()24ax b f x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()24xf x x =+（2）增函数，证明见解析（3）(]{}[),202,-∞-+∞U U .【解析】【分析】（1）根据()00f =，()115f =求出1a =，0b =，再检验是否满足奇函数的定义即得解；（2）函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；（3）分析得到220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，解不等式组222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩即得解.【小问1详解】因为函数2()4ax b f x x +=+是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，即04b =，解得：0b =，又因为()114551a a f ===+，所以1a =，综上所述1a =，0b =，所以()24x f x x =+，因为定义域[]22-,关于原点对称，所以()()2244x x f x f x x x --==-=-++，所以()24x f x x =+为定义在[2,2]-的奇函数，所以()24x f x x =+.【小问2详解】函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，证明如下：任取1222x x -≤<≤，则()()()()22121212121222221212444444x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()122121211222221212444444x x x x x x x x x x x x x x -----==++++因为1222x x -≤<≤，所以210x x ->，1240x x -<，可得()()()()211222124044x x x x x x --<++，即()()12f x f x <，故()24x f x x =+在[]22-,上为增函数.【小问3详解】由（2）可知，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增，则()()max 124f x f ==，由于()2124f x m am ≤-+对[]2,2x ∀∈-恒成立，则211244m am -+≥，即220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，构造函数()22g a am m =-+，其中[]1,1a ∈-，所以()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩，解得：2m ≤-或0m =或2m ≥，所以实数m 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞U U .。
山东省菏泽市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题A卷 Word版含答案
高一数学试题（A ）（必修一）（满分150分 时间 120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数1()3f x x=-的定义域为M ，()1g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |－1 ≤ x ＜3}2．函数21()1f x x =+的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知f （x －1）＝x 2＋1 ，则f （x ）的表达式为 （ ）． A ．f （x ）＝x 2＋1B ．f （x ）＝（x ＋1）2＋1C ．f （x ）＝（x －1）2＋1D ．f （x ）＝x 24．下列图象是函数2, 01, 0x x y x x ⎧<=⎨-≥⎩的图象的是5．三个数60.70.530.3, 6, log 2a b c ===的大小关系为（ ）． A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b6．若偶函数f （x ）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[－2，－1]上（ ）． A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值07．函数223, 0()2ln x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>0⎩的零点个数为（ ）．A ． 3B ．2C ．1D ．08．函数31()log ()2x f x x =-若实数x 0是函数f （x ）的零点，且0＜x 1＜x 0，则f （x 1）的值为（ ）．A ．恒为正B ．等于零C ．恒为负D ．不小于零9．下列函数中，随x 的增大，其增大速度最快的是（ ）. A ．0.001x y e =B ．1000ln y x =C ．1000y x =D ．10002x y =10．某学校要召开同学代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）.A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．已知集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1|,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则集合A ∩B ＝__________．12．已知函数f （x ）＝x 2－2kx ＋8在区间 [5，20] 上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．13．现测得（x ，y ）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y =x 2＋1，乙：y =3x －1，若又测得（x ，y ）的一组对应值为（3，10.2），则应选用______作为函数模型．14．已知函数2()2x f x a -=-的图象恒过点P ，且对数函数()y g x =的图象过点P ，则()g x =__________． 15．已知函数22, 2()log , 2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数y ＝f （x ）－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{ x |－1 ≤ x ＜3}，B ＝{x | x －k ≤ 0}. （1）若k ＝1，求则集合A ∩ （B ）.（2）若A ∩B≠∅，求k 的取值范围.17．（12分）已知函数23, [1,2]()3, [2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩，（1）在直角坐标系内画出f （x ）的图像， （2）写出f （x ）的单调增区间， （3）写出f （x ）的值域．18．（12分）不用计算器求下列各式的值. （1）设11223x x-+=，求1x x -+的值；（2）若3log 41x =，求44x x -+的值； （3）26666[(1l g 3)log 2log 18]log 4o -+⋅÷ （4）00.544139(2)5421e -⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭19．（12分） 商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元／台，商场以高于成本价的统一价格（标价）出售．问：（1）商场要猎取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？（2）通常状况下，猎取最大利润只是一种“抱负结果”，假如商场要获得最大利润的75％，那么豆浆机的标价应为每台多少元？20．（13分）已知函数()log (1),()log (1),(0,1)a a f x x g x x a a =+=->≠. （1）求()()()F x f x g x =+的定义域，（2）设2a =，函数()f x 的定义域为[3，63]，求()f x 的最值， （3）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围.21．（14分）已知定义在实数集R 的偶函数f （x ）在区间 [0，＋∞）上是单调增函数． （1）求证：函数f （x ）在区间 （－∞，0]上是单调减函数； （2）若f （1） ＜f （ lg x ） ，求x 的取值范围.高一数学试题（A ）参考答案（必修一）一、DABCC ABCAB二、11．1(0,)2， 12．520k k ≤≥或， 13．甲 ， 14．12log x ， 15．（0，1）三、16．解：（1）当k ＝1时， B ＝{x | x －1 0}＝{x | x 1}，∴B ＝{x | x > 1}，…………………………………… 3分 ∴ A ∩（B ）＝{ x |1 ＜ x ＜3}；…………………………… … 6分（2） ∵A ＝{ x |－1 ≤ x ＜3}，B ＝{x | x k }且A ∩B≠∅ ∴k －1…………………………………… 12分17．解：（1）函数的图象如图所示：yxC(5,2)B(2,-1)A(-1,2)1234–1–112345O …………………………………… 6分（2）函数f （x ）的单调递增区间为 [－1，0] 和 [2，5]. … ….… 9分 （3）函数f （x ）的值域为[－1，3]. ……………………………… 12分 18．（1） 7 ， （2）103， （3） 1 ， （4）23e + . （每个结果3分） 19．解：设购买人数为z ，豆浆机的标价为每台x 元，则z 是x 的一次函数，有z =ax +b （a ＜0）， 又当x =300时，z =0，所以0=300a +b ，所以b =－300a ， 所以z = ax －300a . （1）设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x 元，此时所获利润为y. 则y ＝（x －100）（ax －300a ） ＝a （x 2－400x ＋30000），（100＜x ＜300）.又由于a ＜0，所以x =200时，y 最大，所以，豆浆机每台标价为每台200元时，所猎取的利润最大. （2）x =200时，y max =－10000a ，令y = －10000a ⨯ 75%，即a （x 2－400x ＋30000） = －10000a ⨯ 75%，解得x =150，或x =250. 所以豆浆机每台标价为每台150元或150元时，所获利润为最大利润的75%.20．解：（1）要使F （x ）有意义，须1010x x +>⎧⎨->⎩， ∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为（－1，1） …………………………………… 3分（2）当2a =时，()log (1)a f x x =+在[3，63]上为增函数，因此当3x =时，()f x 有最小值 为2，当63x =时，()f x 有最大值为6. ………………………………… 7分 （3） ()()0f x g x ->即()()f x g x >，当a ＞1时，log (1)log (1)a a x x +>-，满足11,10,10,x x x x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩所以0＜x ＜1，当a 0<<1时，log (1)log (1)a a x x +>-，满足11,10,10,x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩所以－1＜x ＜0，综上，1a >时，解集为｛x | 0＜x ＜1｝，01a <<时，解集为｛x | －1＜x ＜0｝. ………………………… 13分21．解：（1）设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f （x ）在区间[0，＋∞）上是单调增函数，∴ f （－x 1） ＞f （－x 2）. 又∵f （x ）是偶函数，∴f （－x 1） ＝f （x 1），f （－x 2） ＝f （x 2），∴f （x 1） ＞f （x 2），∴函数f （x ）在区间 （－∞，0]上是单调减函数. ……… 8分 （2） ∵f （x ）为偶函数且在区间[0，＋∞）上是单调增函数， 由f （1）＜f （ lg x ） 得 |lg x| ＞1 ，∴lg x ＞1 或lg x ＜－1∴x ＞10或0＜x ＜110 ∴不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………… 14分。
湖北省武汉市部分学校2021-2022学年高一上学期期中数学考试-解析版
湖北省武汉市部分学校2021-2022学年高一上学期期中数学考试-解析版1.已知集合A={1,2,3}，则A的子集的个数是( )答案：C。
4解析：集合A的子集包括空集、单元素集合、双元素集合和本身，共4个。
2.命题：“∃A∈A,A2+1<”的否定是( )答案：D。
∃A∈A,A2+1≥解析：命题的否定是“对于任意x∈R，x²+1≥0”，即存在x 使得x²+1≥0.3.设A,A为实数，则“A−A>”是“A²−A²>”的( )答案：B。
充分不必要条件解析：当a+b=0时，a-b=0，但a²-b²≠0，因此“a-b>”不是“a²-b²>”的必要条件。
当a-b>0时，a²-b²>0，因此“a-b>”是“a²-b²>”的充分条件。
4.若幂函数A(A)=(A²−5A−5)AA在(0,+∞)上单调递增，则A=( )答案：A。
3解析：当a=3时，f(x)的导数为a(a-1)x^(a-2)+(a^2-5a-5)x^(a-1)，当x>0时，导数恒大于0，因此f(x)在(0,+∞)上单调递增。
5.已知A(A)是定义在(−3,3)上的奇函数，当的解集是( )答案：C。
(−1,0)⋃(1,3)解析：由于f(x)为奇函数，因此在(-3,0)上f(x)0.因此，f(x)>0的解集为(-1,0)⋃(1,3)。
6.我们知道，函数A=A(A)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数A=A(A)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数A=A(A)的图象关于点A(A,A)成中心对称图形的充要条件是函数A=A(A+A)−A为奇函数。
根据以上推广，则函数A(A)=2A−1/A+1图象的对称中心是( )答案：A。
(−1,2)解析：将f(x)表示为f(x)=2-1/(x+1)，则f(x+a)-b=2-1/(x+a+1)-b=2-1/(x-a+1)=f(a-x)+b。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题附答案
9．（5 分）下列各组函数不能表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）
与 g（x）＝x
B．f（x）＝x 与 g（x）
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 与 g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x）
•
与 g（x） t
t
10．（5 分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a＞b，则
＞
t
t
B．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则 ＜
y 非奇非偶函数，不符合题意；
y＝﹣x2+3 为偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，符合题意．
故选：D．
6．（5 分）已知函数 f（x）满足 f（x﹣3）＝4x2+2，则（ ）
A．f（x）＝4x2+24x+38
B．f（x）＝4x2﹣24x+38
C．f（x）＝4x2﹣1
D．f（x）＝4x2+5
【解答】解：令 x﹣3＝t，则 x＝t+3，
a＞b
且 t
＞
，则 ab＜0
【解答】解：对于 A，若 a 为正数，b 为负数，显然结论不成立，故 A 为假命题；
对于 B，∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∴ ＞ ＞0，
t 又 a＞b＞0，∴
＞
＞0，∴t ＜ ，故 B 为真命题；
对于 C，若 a＞b＞0，则t ＜ ，又 c＜0，∴t ＞
对于 D，若t ＞
．
四．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17．（10 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．
（1）求 A∩（∁UB）；
（2）若集合 C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，满足 C∪A＝A，C∩B＝B，求实数 a 的取值范围．
2021-2022学年高一上学期第一次月考(10月)数学试卷(含答案)
2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷（时间120分钟，满分150分）题号一二三四五总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2-2x＞0}，B={-1，1，2，3}．则A∩B=（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {1，3}D. {-1.3}2.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则p的否定形式为()A. ∃x∈R,x< sin xB. ∃x∈R,x≤sin xC. ∀x∈R,x≤sin xD. ∀x∈R,x< sin x3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. 或D.4.以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②∅⊆{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈∅；⑤A∩∅=A，正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是（）A. ac＞bdB. ad＞bcC. ac＜bdD. ad＜bc6.已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},那么集合M的个数为( )A. 个B. 个C. 个D. 个7.若{a2，0，-1}={a，b，0}，则a2019+b2019的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28.已知,,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为( )A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列判断错误的是( )A. 若,,则B. {菱形}{矩形}={正方形}C. 方程组的解集为D. 如果,那么10.下列各不等式,其中不正确的是( )A.B.C.D.11.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．已知有限集A⊆R，设集合M={xy|x∈A，y∈A，x≠y}，N={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，则下列说法正确的是（）A. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）可能是10B. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）不可能是12C. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）可能是20D. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）不可能是912.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A. a2+b2≥B. 2a﹣b＞C. log2a+log2b≥﹣2D.三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cos x+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是______ ．（写出所有正确的编号）14.设集合A={x|1< x<4}, B={x|2x5},则A(B) .15.将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}B={b1，b2，b3，b4}C={c1，c2，c3，c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则集合C为：______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知a,b都是正数,且ab+a+b=3,则ab的最大值是 ,的最小值是 .五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:(1)对任意x R,+x+20都成立;(2)x R,使.18.记函数f（x）=+log2（x+1）的定义域M，函数g（x）=2x的值域为N，求：（1）M，N．（2）M∩N，M∪N，∁R M．19.已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．20.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值:(2)已知常数a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求的值.21.用作差法比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．22.(1)已知命题:“对于任意x R,f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题“x R，+ax-4a0”为真命题,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}；∴A∩B={-1，3}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p:x∈R,x≤sin x.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件，属于基础题.先求出的解集，考虑该解集与各选项中的集合的包含关系后可得不等式成立的充分不必要条件.【解答】解：因为1+>0>0x(x+1)>0,所以x>0或x<-1,需要是不等式1+>0成立的一个充分不必要条件则需要满足是(-,-1)(0,+)的真子集的只有A,故选项为：A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．根据“∈”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④⑤的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．【解答】解：“∈”用于表示集合与元素的关系，故：①{0}∈{0，1，2}错误；空集是任一集合的子集，故②∅⊆{1，2}正确；根据集合元素的无序性，可得③{0，1，2}={2，0，1}正确；空集不包含任何元素，故④0∈∅错误；空集与任一集合的交集均为空集，故⑤A∩∅=A错误故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴ac＜bc，bc＜bd，∴ac＜bd，故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的关系，属于基础题.由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集, 由此可得答案.【解答】解：由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集,因为{3,4,5}的真子集有-1=7个,所以集合M的个数为7个.故选:C.7.【答案】B【解析】解：由{a2，0，-1}={a，b，0}，得①或②解①，得a=0（舍去）或1，b=-1，解②，得a=-1，b=1，所以a=-1，b=1或a=1，b=-1．所以a2019+b2019=（-1）2019+12109=0或a2019+b2019=12109+（-1）2019=0．故选：B．由集合相等的概念求出a，b的值，然后代入要计算的式子求值．本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，属于基础题.先求出命题p和命题q对应的集合，再利用集合包含关系求出m的取值范围即可.【解答】解：由4x-m<0,得,所以,由,得,所以,若p是q的必要不充分条件,所以[-1,2]是的真子集,所以,解得m>8.故选项为：B.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质、集合的运算，属基础题.根据不等式的性质判断AD，由集合的运算和表示法判断BC.【解答】解：对A,若a>b,c>d,如a=1,b=-1,c=1,d=-1,则ac=bd,故A错误;对B,因为既是菱形又是矩形的图形是正方形,故B正确;对C,方程组的解集为{(2,1)},故C错误;对D,若a< b<0,则,则,故D正确.所以错误的选项为AC.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．对于A：验证当a=1时即可判断；对于B：利用基本不等式进行计算即可;对于C：当a<0,b<0时,<0，即可判断；对于D：当x=0时,+=1，即可判断.【解答】解：对A项,当a=1时,+1=2a,则A错误;对B项,当x>0时,|x+|=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立，当x<0时,|x+|=-x+2=2,当且仅当x=-1时,等号成立, 则B正确;对C项,当a<0,b<0时,<0,则C错误;对D项,当x=0时,+=1,则D错误;故选:ACD11.【答案】AC【解析】解：由题意可知，若不出现重复元素，则当card（A）=4时，card（M）+card （N）=12，而当card（A）=5时，card（M）+card（N）=20，故B错误，C正确；若A={1，2，3，5}，则M={2，3，5，6，10，15}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=10，故A正确；若A={-2，-1，0，1，2}，则M={-4，-2，-1，0，2}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=9，故D错误；故选：AC．根据新定义对应各个选项逐个判断即可．本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2=a2+b2+2ab ≤2a2+2b2，则，当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确．②由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a＞0＞b-1，即a-b＞-1，则，故B正确．③，当且仅当a=b=时，等号成立，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，，故，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD．13.【答案】⑤【解析】解：①中当a=b时才有最小值2ab，故错误；②中当a=b时才有最大值，故错误；③中=时，x无解，故最小值是不是2，故错误；④中需cos x为正值时成立，故错误；⑤根据均值不等式可得不等式成立，故正确．故答案为⑤．根据均值定理等号成立的条件可判断①②③，根据均值定理要求为正值可判断④，根据均值定理可证明⑤．考查了均值定理的应用和均值定理成立的条件，属于基础题型，应熟练掌握．14.【答案】{x|1< x<2}.【解析】【分析】本题考查集合的运算，属于基础题.直接根据补集和交集的运算律运算即可.【解答】解：A={x|1< x<4}, B={x|2x5},B={x|x<2或x>5}, A(B)={x|1< x<2}.故答案为:{x|1< x<2}.15.【答案】{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}【解析】解：由，得，所以，先不考虑搭配情况，设c1＜c2＜c3＜c4，则c4=12，c1+c2+c3=27，故3c3＞27，10≤c3≤11，且c2≤9；若c3=10，则c1+c2=17，c2≥9，所以c2=9，c1=8；于是C={8，9，10，12}；若c3=11，则c1+c2=16，c2≤10，得c2＞8，故c2只能取9或10，c1只能取7与6；分别得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：因此子集C的三种情况都合条件．故答案为：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．由，得，所以，由此入手能够求出集合C．本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16.【答案】14-3【解析】【分析】本题考查了基本不等式，由3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30可得ab的最大值，再由b=代入式子，结合基本不等式可得答案【解答】解：因为3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30,解得01,当且仅当a=b=1时取等号,所以ab的最大值是1 .因为ab+a+b=3,所以b=,结合,得到.所以a+2b=a+2=a+2(-1+)=a+1+-34-3,当且仅当a+1=,即时取等号，则a+2b的最小值是4-3 .故答案为1；4-3.17.【答案】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+2=0成立，即“∃x∈R，使x2+x+2=0．”因为△=-7＜0，所以方程x2+x+2=0无实数解，此命题为假命题．（2）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+20成立．即“∀x∈R，有x2+3x+20”．因为△=1>0，所以对∀：x∈R，x2+3x+20总成立错误，此命题是假命题．【解析】本题考查命题的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解能力，属于基础题．(1)全称量词命题否定是存在量词命题，然后由一元二次方程根的判别式判断真假.(2)存在量词命题否定是全称量词命题，然后利用一元二次不等式恒成立的条件判断真假.18.【答案】解：（1）解得，-1＜x≤3，∴M=（-1，3]，且N=（0，+∞）；（2）M∩N=（0，3]，M∪N=（-1，+∞），∁R M=（-∞，-1]∪（3，+∞）．【解析】（1）容易得出f（x）的定义域M=（-1，3]，g（x）的值域N=（0，+∞）；（2）进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2…（1分）当且仅当x=时，即x=等号成立，∴A=[2，+∞）…（3分）所以，C U A=（-∞，2）…（4分）（2）由题得a≥-（x+）…（5分）函数y=-（x+）在（0，]的最大值为-…（9分）∴a≥-…（10分）（3）设P（x0，x0+），则直线PA的方程为y-（x0+）=-（x-x0），即y=-x+2x0+…（11分）由得A（x0+，2x0+）…（13分）又B（0，x0+），…（14分）所以=（，-），=（-x0，0），故=（-x0）=-1 …（16分）【解析】（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；（2）由题得a≥-（x+），只须求出a大于等于函数y=-（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；（3）先设P（x0，x0+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为x>0,y>0,x+2y=8,所以xy=x2y=8,当且仅当x=2y=4时,等号成立,所以xy的最大值是8.(2)因为a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,所以,当且仅当=时,等号成立,又因为x+y的最小值为18, 所以a+b+2=18,因为a+b=10, 解得ab=16,∴ a=2,b=8或a=8,b=2.【解析】本题主要考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）通过基本不等式中的和为定值积有最大值，进行配凑进行求解即可；（2）根据基本不等式中1的代换，先求出最值，然后根据通过两方程联立进行求解即可21.【答案】解：∵2x2+5x+3-（x2+4x+2）=x2+x+1=（x+）2+＞0，∴2x2+5x+3＞x2+4x+2.【解析】本题采用作差法比较大小，解题的关键是正确配方．作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论．22.【答案】（1）解：命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，所以=-4>0，解得a<-1或a>1；（2）解：因为命题“x R，+ax-4a0”为真命题，所以=-4(-4a)0，解得：-16a0.【解析】本题以命题的真假判断为载体考查二次不等式恒成立问题，属于中档题. （1）命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，结合二次函数的图象和性质，可求出实数a的取值范围．（2）将条件转化为+ax-4a0恒成立，必须0，从而解出实数a的取值范围.。
2021-2022学年深圳实验学校高一上学期第二阶段考试数学试题含答案
深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试高一数学时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“1a =”是“函数()2()lg 1f x x ax =+-为奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2.已知函数()y f x =的定义域为{}|1x x ≤，则()ln f x 的定义域为（ ） A ．(]e -∞，B ．(]0e ，C ．(]0，10D ．[]0e ，3．已知函数()232xaf x x =++有唯一的零点，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．0D ．－24．函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数()y f x =的图象关于原点对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．同一个直角坐标系下，函数a y x =，x y a =，(log 0a y x a =>且1a ≠）图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()120,1x y aa a +=->≠的图像恒过定点P ，若(){},10,0P x y mx ny mn ∈++=>，则14m n+的最小值是（ ） A ．4B ．3C ．9D ．167.若函数()(),1,423,1x a x f x a x x ⎧⎪=⎨--<⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,2C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知,αβ满足10100,(lg 1)1000ααββ=-=，则αβ的值为（ ） A ．20B ．1000C ．100D ．410二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．终边在y 轴上的角的集合为{|2,}2k k Z πθθπ=+∈B ．0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tan x x x << C ．三角形的内角必是第一或第二象限角 D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角 10．函数()()2()lg 111f x k x k x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数k 可能的取值有（ ） A ．5B ．1C ．2021D ．311．由x y e =与ln y x =的图像判断下列结论，其中正确的有（ ） A ．1x e x ≥+ B ．ln 1(0)x x x ≤-> C ．1ln 1(0)x x x≥+> D ．x e ex ≥12．已知函数()2x a f x -=，()2,x b g x a b -=≠，则下列四个结论中正确的是（ ）． A ．()y f x =的图象可由()y g x =的图象平移得到 B ．函数()()f x g x +的图象关于直线2a bx +=对称 C ．函数()()f x g x -的图象关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．不等式()()f x g x >的解集是,2a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数0a >，且满足324155,a a ++>则不等式()()log 32log 85a a x x +<-的解集为______.14．已知37,2a b A a b ab ==+=且，则A =___________.15．已知函数()()217log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x ，21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________.16．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()4f =______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17．已知()()0,1xf x aa a =>≠ ，且11522f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()()11f f +-的值；（2）求()()22f f +-的值. 18．已知集合1484x A x R ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，集合{131}B x m x m =-<≤+． （1）当1m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围． 19．已知函数1()f x x x=+． （1）判断函数()f x 在[)1+∞上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当[]0,1x ∈时，不等式()()420xxf f k --≤恒成立，求实数k 的取值范围．20． 已知函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在区间[],m n ，使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称函数()f x 为“成功函数”．（1）判断函数()2,f x x x R =∈是否为“成功函数”;（2）函数()()log xa f t a x =+（0a >，且1a ≠）是“成功函数”，求实数t 的取值范围. 21．“金山银山，不如绿水青山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度()f x （单位：米）与生长年限x （单位：年）满足关系()()41=0,13kx bf x x x N +≥∈+,树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米. （1）求()f x 的解析式；（2）问从种植起，第几年树木生长最快？ 22．已知函数()x f x e =，()ln g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明0x e 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求证：2212498x x +>.高一数学答案一、选择题1. A2.B3. D4. D5. B6. C7. C8. B8【详解】因为10100αα=，(lg 1)1000ββ-=， 所以lg 2αα+=，lg lg(lg 1)3ββ+-=， 即lg 3αα+=，lg 1lg(lg 1)3ββ-+-=，所以lg 12lg lg 1lg lg 31000αβαβαβαβ=-⇔-=-⇔+=⇔=. 二、多选题9. BD 10. AC 11.ABD 12. ABC 三、填空题13. 38,45⎛⎫⎪⎝⎭14. 1 15. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. 4 四、解答题 17．（满分10分）已知()()0,1xf x aa a =>≠ ，且1122f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()()11f f +-的值； （2）求()()22f f +-的值. 【答案】（1）3（2）7解：（1）由11221122f f a a -⎛⎫⎛⎫+-=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111f f a a -+-=+------2分 2111222523a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭--------------------------5分（2）()()2222f f a a -+-=+ --------------------------7分()22212927a a a a --+=+-=-= --------------------------10分18．（满分12分）已知集合1484x A x R ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，集合{131}B x m x m =-<≤+． （1）当1m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）3=02A B x x ⎧⎫⋂<≤⎨⎬⎩⎭（2）61m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解（1）当1m =时，{}04B x x =<≤， --------------------------1分 由1484x A x R⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭得：3=12A x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭--------------------------3分 所以3=02A B x x ⎧⎫⋂<≤⎨⎬⎩⎭， --------------------------5分（2）由已知有B A ⊆.①若B =∅时，则131m m -≥+，解得0m ≤； --------------------------7分②若B ≠∅，则由B A ⊆，得131113312m m m m ⎧⎪-<+⎪-≥-⎨⎪⎪+≤⎩解得106m <≤，--------------------------10分综上：m 的取值范围为16m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭--------------------------12分 19．（满分12分）已知函数1()f x x x=+． （1）判断函数()f x 在[)1+∞上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当[]0,1x ∈时，不等式()()420xxf f k --≤恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是[)1+∞上的增函数，证明见详解；（2）6k ≥解：（1）任取[)12,1x x ∈+∞，，且12x x < ， --------------------------2分 ()()()()212121212121212111111x x f x f x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，--------------------------4分[)12,1x x ∈+∞，，且12x x <，21210,1,x x x x ->>()()210f x f x ∴-> --------------------------5分即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. --------------------------6分（2）()()1142042042x x x x x x f f k k ⎛⎫--≤⇒+-+-≤ ⎪⎝⎭---------------------7分114242xx x xk ⎛⎫⇔+-+≤ ⎪⎝⎭[]152,0,12,22xx t x t ⎡⎤=+∈⇒∈⎢⎥⎣⎦令原问题等价于22t t k --≤令()()2max 572,2,24h t t t t h t ⎡⎤=--∈⇒=⎢⎥⎣⎦---------------------11分74k ∴≥. --------------------------12分 20． （满分12分）已知函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在区间[],m n ，使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称函数()f x 为“成功函数”． （1）判断函数()2,f x x x R =∈是否为“成功函数”;（2）若函数()()log xa f t a x =+（0a >，且1a ≠）是“成功函数”，求实数t 的取值范围. 【详解】（1）()2,f x x x R =∈不是单调函数，函数()2,f x x x R =∈不是“成功函数” --------------------------4分（2）由题意，函数()()log =+xc f x c t （0c >，且1c ≠）是“成功函数”，可得函数()()log =+xc f x c t 在其定义域内为增函数， --------------------------6分且()f x 在[,]a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()2()2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()()log 2log 2ac b ca c tbc t ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， --------------------------7分所以方程()2=xf x 必有两个不相等的实数根． 又由()log 2xe xc t +=，即20x x c c t -+=， --------------------------10分 令20xm c =>，所以关于m 的方程20m m t -+=有两个不相等的正实数根，可得140010t t ∆=->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． --------------------------12分 21．（满分12分）“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度()f x （单位：米）与生长年限x （单位：年）满足关系()()41=013kx bf x x +≥+，树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米. （1）求()f x 的解析式；（2）问从种植起，第几年树木生长最快？ 【答案】（1）()441()013x f x x -+=≥+；（2）第3年与第4年.【详解】（1）由已知得1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41113241411328b k b+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以381327b k b +⎧=⎨=⎩，解得1k =-，4b =，所以，()441()013x f x x x N -+=≥∈+，. --------------------------5分（2）令x ∈N ，()()()()334344141823()113131313x x x x x g x f x f x -+-+-+-+-+⋅=+-=-=++++. 问题化为，当x ∈N 时，求函数()g x 的最大值.而()3273782382()1343133427x x x x x g x -+-+-+-⋅==+⋅+++(8241224≤=. --------------------------8分当且仅当733x x -=，即72x =，上式取等号，但x ∈N ，()()41344g g ==，--------------------------10分答：种植之日起，第3年与第4年树木生长最快. --------------------------12分 22．（满分12分）已知函数()x f x e =，()ln g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明0x e 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求证：2212498x x +>.【答案】（1）证明见解析（2）72【详解】：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根， 所以0032x x e=-，即00322x x =- --------------------------1分()0003ln 2x x x g e e x e ===- --------------------------2分所以，0x e 是方程3()2g x x =-的根. --------------------------4分 （2）法一：由题意知，方程152x ex -=-，5ln(1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程13(1)2x e x -=--，3ln(1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-设方程32te t =-，3ln 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，----------------6分 由（1）知1t 是方程32te t =-的根，则1t e 是方程3ln 2t t =-的根.令3()ln 2h t t t =+-，则1t e 是()h t 的零点，又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，1t e 是()h t 的唯一零点，即1t e 是方程3ln 2t t =-的唯一根. 所以12te t =， ---------------8分 所以112132tt t t e +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+=，- --------------10分()()()222222212121212494922,48x x x x x x x x +≥+⇒+≥⇒+≥ 22121249,8x x x x ≠∴+>. --------------12分 法二：由题意知，方程152x e x -=-，5ln(1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程13(1)2x e x -=--，3ln(1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， ln x y e y x ==与互为反函数，()12,t t 在直线32y x =-上，1232t t +=， 以下同.。
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2021-2022年高一数学上学期周考试题
一、选择题（每小题5分）
1.0000cos(35)cos(25)sin(35)sin cos(25)αααα-++-+的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 的值是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知,则角终边所在的象限是 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知是第三象限角，且，则等于 （ ）
A. B. C. D.
5.已知角的终边在函数的图象上，则的值为
（ ）
A. B.－ C.或－ D. 6.已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值为 （ ）
A. B. C. D.
7.如果函数)0(cos sin >⋅=ωωωx x y 的最小正周期为，那么常数为
（ ） A. B. C. D.
8.函数)cos[2()]y x x ππ=-+是 （ ）
A.周期为的奇函数
B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
9.函数的单调减区间为
（ ）
A. B.)(]8,8(Z k k k ∈+-π
πππ
C.)(]8,83(Z k k k ∈+-π
πππ D.)(]83
,8(Z k k k ∈++πππ
π
10.已知则的值为（ ）
A. B. C. D.
11.设为钝角，且sin 510αβ==-，则的值为 （
）
A. B. C. D.或
12.函数2sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分）
13.0000cos 42sin 78cos 48sin12+=___________
14.已知,则
15.已知方程有解，那么的取值范围是 .
16.一元二次方程2(23)20mx m x m +-+-=的两根为，则的最小值为____
三、解答题
17.(10分)求值（1）202000cos 75cos 15cos75cos15++ (2)
18.(12分)设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2
x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 求)4
3()65()31()41(f g f g +++的值.
19.(12分)已知. (1) 求的值 ；(2) 求的值
20.(12分)设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为．
（1）求的最小正周期．
（2）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．
21.(12分)
(1)2tan x
=-,求角的取值范围. (2)已知、是方程的两根，且、终边互相垂直. 求的值.
22.(12分)已知函数21()cos ,()1sin 22
f x x
g x x ==+. （1）若点()为函数与的图象的公共点，试求实数的值；
（2）设是函数的图象的一条对称轴，求的值;
(3)求函数()()(),[0,]4
h x f x g x x π
=+∈的值域。
一． 选择题：B D D C C C A C B D C B 、、、、、、、、、、、
二． 填空题：13. 14. 15. 16.
三． 解答题
17. 18.
19.
20. 解（1）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++
sin 2cos 22)24x x x π
ωωω=++=++
依题意得，故的最小正周期为.（2）依题意得:
5
()3()2)2244g x x x π
ππ
⎡⎤
=-++=-+⎢⎥⎣⎦ 由5232()242k x k k Z π
π
π
ππ--+∈≤≤ 解得227()34312k x k k Z ππ
ππ++∈≤≤
故的单调增区间为: 2
2
7[,]()34312k k k Z π
π
ππ++∈
21. (1)(2,22)()k k k Z ππππ++∈；
22. .解(1)∵点()为函数与的图象的公共点 ∴111cos 21sin 2222
αα⇒
+=+ 22()44k k Z π
π
απ⇒+=±∈
∵∴
(2)∵211()cos cos 222
f x x x ==+ ∴ ∴=0111sin 41sin 2122
x k π+=+= (3) ∵ ∴21()cos 1sin 22h x x x =++111cos 21sin 2222
x x =+++
3(22)2222
x x =
++ ∵ ∴
∴ ∴332)2422x π≤
++≤. 即函数的值域为. 26977 6961 楡XY31527 7B27 笧X24021 5DD5 巕_S23405 5B6D 孭28848 70B0 炰37331 91D3 釓20280 4F38 伸 33675 838B 莋。