(完整)高中数列经典习题(含答案),推荐文档

5、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn
1
n(n＋1)(n＋2),试求数列{
3
1 an
}的前 n 项和.
6、已知数列{ an }是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设
ai x 2 2ai1x ai2 =0(i=1,2,3,…)是关于 x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;
a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由 Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)
(2)－(1),得 Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1
即 an+2=3an+1
3,当n 1时, 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= 2 3n1,当n 2时.
9、有两个各项都是正数的数列{ an },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 an , bn , an1 成等差数列,
bn , an1 , bn1 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.
10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n，第 n 项等于 m(其中 mn)，求数列{xn}的前 m＋n 项的和。
2 3(3n1 1)
此数列的前 n 项和为 Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋
31
=3n.
1
1
5、 an = Sn － Sn1 = 3 n(n＋1)(n＋2)－ 3 (n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当 n=1 时，
13、设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项的为 6560，且前 n 项中数值 最大的项为 54，求此数列的首项和公比．
14、设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且存在正数 t，使得对所有正整数 n，t 与 an 的等差
中项和 t 与 Sn 的等比中项相等，求证数列{ Sn }为等差数列，并求{an}通项公式及前 n 项
3、 (1)由 a6=23＋5d＞0 和 a7=23＋6d＜0,得公差 d=－4.(2)由 a6＞0,a7＜0,∴S6 最大, S6=8.(3)
1 由 a1=23,d=－4,则 Sn = 2 n(50－4n),设 Sn ＞0，得 n＜12.5,整数 n 的最大值为 12.
4、∵a1=3,
∴S1=a1=3.在 Sn+1＋Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2＋S1=2a2.而 S2=a1＋a2.即
2、解：
(Ⅰ)依题意,有
S12
12a1
12 (12 1) 2
d
0
S13
13a1
13 (13 1) 2
d
0 ，即 2aa11
11d 0 6d 0
(1) (2)
由 a3=12,得 a1=12－2d (3)
将(3)式分别代入(1),(2)式,得
24
3
7d 0 d 0
，∴
24wk.baidu.com7
3、数列{ an }是首项为 23，公差为整数的等差数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始变为负 的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的最大值;(3)当 Sn 是正数时,求 n 的最大值.
4、设数列{ an }的前 n 项和 Sn .已知首项 a1=3,且 Sn1 + Sn =2 an1 ,试求此数列的通项公式 an 及前 n 项和 Sn .
同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}.
b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140
其公差 d′=－98－(－112)=14. 由 140=－112+(n′－1)14, 解得 n′=19
∴{bn}的前 19 项之和 S 19 (112) 19 18 14 266 . 2
和．
15、已知数列an 是公差不为零的等差数列，数列 abn 是公比为 q 的等比数列，且
b1 1, b2 5, b3 17.
①求 q 的值；
②求数列bn 前 n 项和.
16、 值．
若 a、b、c 成等差数列，且 a＋1、b、c 与 a、b、c＋2 都成等比数列，求 b 的
答案：
1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252
11、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的 前 10 项的和 S10 及 T10．
12、已知等差数列{an}的前项和为 Sn，且 S13＞S6＞S14,a2=24． (1)求公差 d 的取值范围；（2）问数列{Sn}是否成存在最大项，若存在求,出最大时的 n，若 不存在,请说明理由．
d
3 .
(Ⅱ)由 d＜0 可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an＞0,an+1＜0,则 Sn 就是 S1,S2,…,S12 中的最大值.
由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.
由此得 a6＞－a7＞0.因为 a6＞0, a7＜0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 的值最大.
1、在等差数列{an}中,a1=－250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除. 2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差 d 的取值范围； (Ⅱ)指出 S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.
1
1
1
1
(2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证 m1
,
1 m2
,
1 m3
,…,
1
mn
,…也成等差数列.
1
7、如果数列{ an }中,相邻两项 an 和 an1 是二次方程 xn2 3nxn cn =0(n=1,2,3…)的两个根,
当 a1=2 时,试求 c100 的值.
8、有两个无穷的等比数列{ an }和{ an },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是 1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有 an1 ,试求这两个数列的首项和公比.