锐角三角比经典练习题附带答案(2套)
锐角三角变换经典练习题附带答案
锐角三角变换经典练习题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
2. 计算 $\cos(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cos(90° - x) = \sin x$。
3. 计算 $\tan(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\tan(90° - x) = \cot x$。
4. 计算 $\cot(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cot(90° - x) = \tan x$。
5. 计算 $\sec(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sec(90° - x) = \csc x$。
6. 计算 $\csc(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\csc(90° - x) = \sec x$。
以上是锐角三角变换的经典练题及答案。
通过这些练，可以更好地理解锐角三角变换的概念，并熟练运用余角公式进行计算。
锐角三角变换在解决三角函数计算问题中起到了重要的作用，值得深入研究和掌握。
注意：以上答案中的角度单位均为度。
锐角三角变换经典练题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
沪教版九年级上册数学第二十五章 锐角的三角比含答案(必刷题)
沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度（坡的竖直高度与水平宽度的比）是，坝高，则坡面的长度是（）A. B. C. D.2、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米3、已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，则cos∠BCD的值是（）A. B. C. D.4、如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB与AD的长度之比为A. B. C. D.5、如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）A. B. C. D.6、如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A.2个B.3个C.6个D.7个7、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.70°B.110°C.120°D.141°8、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进50米，则他上升的最大高度为（）A.25米B.25 米C.20 米D.25 米9、下列计算结果正确的是（）A. （﹣a3）2=a9B. a2•a3=a6C. ﹣22=﹣2D.-=110、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A.sinA=sinBB.sinA=cosBC.tanA=tanBD.cosA=tanB11、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A. B. C. D.12、国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE ＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米13、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。
初三锐角三角比练习题
初三锐角三角比练习题
1. 已知角A为锐角，sinA = 0.75，求cosA和tanA的值。
解析：根据三角恒等式 sin^2A + cos^2A = 1，可以得到 cos^2A = 1 - sin^2A = 1 - 0.75^2 = 1 - 0.5625 = 0.4375。
因为角A为锐角，所以cosA>0，所以cosA = √0.4375 ≈ 0.661。
又根据 tanA = sinA / cosA，可以得到tanA = 0.75 / 0.661 ≈ 1.134。
2. 已知角B为锐角，cosB = 0.6，求sinB和tanB的值。
解析：根据三角恒等式 sin^2B + cos^2B = 1，可以得到 sin^2B = 1 - cos^2B = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64。
因为角B为锐角，所以sinB>0，所以sinB = √0.64 ≈ 0.8。
又根据 tanB = sinB / cosB，可以得到 tanB = 0.8 / 0.6 = 4/3。
3. 若角C为锐角，sinC = 0.8，求cosC和tanC的值。
解析：根据三角恒等式 sin^2C + cos^2C = 1，可以得到 cos^2C = 1 - sin^2C = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36。
因为角C为锐角，所以cosC>0，所以cosC = √0.36 = 0.6。
又根据 tanC = sinC / cosC，可以得到 tanC = 0.8 / 0.6 = 4/3。
综上所述，对于角为锐角的三角函数值，可以通过给定的sin值或cos值来求出其他两个三角函数值。
沪教版九年级上册数学第二十五章 锐角的三角比含答案(通用)
沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.2、如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，过B作BE⊥AD，则BE的长为（）A. B. C.2 D.13、在△ABC中，若三边BC ,CA,AB满足 BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（）A. B. C. D.4、如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A 与点B之间的距离为( )A. rB. rC.rD.2r5、某小区打算在一块长80m，宽7.5m的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计）.已知规划的倾斜式停车位每个车位长6 m，宽2.5m，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于4.5m，那么最多可以设置停车位（）A.16个B.15个C.14个D.13个6、如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A. B. C. D.7、如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A.60（+1)米B.30（+1)米C.（90-30 )米D.30（-1)米8、某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（ ）A.19.5B.19.7C.21.3D.22.19、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，连结CD与AB相交于点P，则tan∠APD的值是( )A.2B.C.D.10、在高为h的山顶上，测得山脚一建筑物的顶端与底部的俯角分别为30°、60°，那么建筑物的高度是（）A. hB. hC. hD. h11、在△ABC中，∠C 90°．若AB 3，BC 1，则的值为（）A. B. C. D.12、在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是等腰直角三角形C.△ABC是直角三角形D.△ABC是一般锐角三角形13、是（）A. B. C. D.14、若α是锐角，且cosα=0.7，则（）A.0°＜α＜30°B.30°≤α＜45°C.45°＜α＜60° D.60°≤α＜90°15、把cos12°、sin21°、cos67°、sin69°排列大小正确的是（）A.cos12°＜sin21°＜cos67°＜sin69°B.sin21°＜cos12°＜cos67°＜sin69°C.sin21°＜cos67°＜sin69°＜cos12°D.cos67°＜cos12°＜sin21°＜sin69°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B 重合），则cosC的值为________．17、如图，在圆 O 中有折线 ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，则弦 AB 的长为________.18、计算：+（﹣3）0﹣|﹣|﹣2﹣1﹣cos60°=________．19、如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为________．20、如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P是AC边上不与端点重合的一动点，将△BPC沿着BP对折，得对应△BPD，在点P的移动过程中，若PD平行于△ABC的一边，则CP的长度为________.21、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里（结果保留根号）．22、已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是________．23、 +（2﹣π）0﹣sin60°=________．24、在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cosB= ，则BC的长是________．25、如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE=30°，高DE=2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是________ m ．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：tan30°-（π-2019）0；27、为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）28、某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．29、如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，co s80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）30、如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（≈1.732，结果保留三个有效数字）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A4、B5、C6、D7、B8、C9、A10、B11、A12、B13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。
锐角的三角比测试题及答案
锐角的三角比测试题及答案（三）一、填空题（每小题2分，共40分）1、Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则sinA＝__________。
2、Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA＝__________。
3、Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tgB＝__________。
4、若α为锐角，cosα＝，则α＝__________度。
5、计算sin230°十cos230°＝__________。
6、Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC＝__________。
7、如图：厂房屋顶的人字架为等腰三角形，若跨度AB＝12米，∠A＝30°，则中柱CD等于__________米。
8、Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，a＝6，则最小角正切值为__________。
9、计算＝__________。
10、Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，那么cosA的值为__________。
11、等腰三角形腰长、底边长分别为6和8，则底角正弦值为__________。
12、已知：α为锐角，tgα一1＝0，则α为__________度。
13、等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则cosA·tgA＝__________。
14、等腰三角形底边长为2，底边上高为，则它的顶角为__________度。
15、如图，等腰梯形的铁路路基高6米，斜面与地平面倾斜角30°，路基上底宽10米，则下底宽为__________米。
16、△ABC中，∠C∶∠B∶∠A＝1∶2∶3，则三边之比a∶b∶c＝__________。
17、等腰三角形顶角为12O°，底边上高为4cm，则此三角形面积为__________。
18、等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则sinA＝__________。
锐角的三角比 巩固练习
锐角的三角比巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则cotB＝ ( )A．43B．34C．35D．452．若∠A是锐角，且cosA＝34，则( )A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25° B．55° C．65° D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )A．12B．34C．32D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余切值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC5，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )A ．53 B ．253 C ．52 D ． 23二、填空题9． (1)锐角∠A 满足2sin(∠A-15°)＝3，则∠A ＝________； (2)已知α为锐角，tan(90)3α-=°，则α=________． 10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC 中，若223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________．第12题 第15题14．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为________．15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为112y x =-，则tanA 的值是________． 16. 已知a ＝3-tan60°，则代数式2269111a a a a -+⎛⎫-÷= ⎪--⎝⎭________．三、解答题17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°， 求∠CDA 的正弦值、余弦值、正切值和余切值．18. 计算下列各式的值．(1) sin30°•cos30°-tan30°cot 45•° (结果保留根号)；(2) 242(2cos 45sin 60)4-+°° 19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．(1)求证：AB ＝DF ；(2)若AD ＝10，AB ＝6，求tan ∠EDF 的值．20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值． (参考数据：3sin 602=°，3cos302=°，3tan 30,cot 303)3==°°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】如图所示．4sin 5BC A AB ==，可设BC ＝4k ，AB ＝5k ，用勾股定理可求22(5)(4)3AC k k k =-=．∴ 44cot 33BC k B AC k ===． 2.【答案】B ；【解析】 ∵ 2cos 452=°，3cos302=°，且233242<< cos45°＜cosA ＜cos30°．又∵ 在锐角的范围内余弦值大的角反而较小．∴ 30°＜∠A ＜45°，故应选B ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°． 4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos cos 102OD BOC ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°， 又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关． 7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 3330333BC AC ===8. 【答案】A ； 【解析】 ∵ 223AB AC BC +=，∴ 5sin sin AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9．【答案】 (1)75°；(2)30°；【解析】(1)将∠A-15°当作一个角来看待，由已知可得3sin(15)2A ∠-=°， 故锐角1560A ∠-=°°，∴ ∠A ＝75°．(2)将90°-α当作一个角来看待，由tan(90°-α)＝3，∴ 90°-α＝60°，∴ α＝30°． 10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，所以 cos50°＜cos20°； 当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，所以 tan18°＜tan21°． 11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=，3cos 02B -= 即2sin 2A =，3cos 2B =． 又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．【答案】55； 【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得224225AC =+=，∴ 25sin 525CH A AC ===． 13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上， 当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3223122-=，∴ 最小角A 的正切值为2tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13； 【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°， 易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】 33-； 【解析】原式23111(3)3a a a a a --=⨯=---，将3tan 6033a =-=°3=.三、解答题17.【答案与解析】过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵ AD ＝BD ，∴ CE ＝EB ，∴ AC ＝2DE ． 又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴ DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵ ∠BCD ＝30°，∴ EC ＝2DE ，DC 3DE ． 设DE ＝k ，则CD 3k ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，227AD AC CD k +．∴ 27sin 77AC CDA AD k ∠===，321cos 77CD k CDA AD k∠===． 23tan 3AC CDA CD k∠===．33cot 22CD k CDA AC k ∠===.18.【答案与解析】(1)sin30°•cos30°-tan30°•cot45°＝13333312234312⨯-⨯=-=-． (2) 242(2cos 45sin 60)4-+°°2326222224⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭． 19.【答案与解析】(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC ∴ ∠DAF ＝∠AEB 又∵ AE ＝BC ， ∴ AE ＝AD又∵ ∠B-∠DFA ＝90°， ∴ △EAB ≌△ADF ． ∴ AB ＝DF ． (2)解：在Rt △ABE 中，22221068BE AE AB =-=-=∵ △EAB ≌△ADF ，∴ DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8， ∴ EF ＝AE-AF ＝10-8＝2．∴ 21tan 63EF EDF DF ∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ． ∵ BD 是直径，∴ BD ＝4，∠DCB ＝90°．在Rt △DBC 中，233sin 42BC BDC BD ∠===， ∴ ∠BDC ＝60°，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝60°．(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧BC 的中点处．过O 作OE ⊥BC 于点E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优孤BC 的中点．连结AB ，AC ，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE=BAE＝30°，∴3tan30BEAE===°，∴12ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是。
锐角三角比的练习题
锐角三角比的练习题一、填空题：1、对锐角α，有tan α = 5，则cotα = .2、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AB = 5，BC = 4，tan A = .3、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 5，BC = 12，sinB = .4、Rt△MNP中，∠M = 90°，cosP = 45，那么tan P = .5、矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，DE⊥AC于E，则sin∠CDE = .6、已知sin A = 1213，cos A =513，那么tan B = .7、sin60° + tan 60° = .8、2 sin30°– 3 cos30° + 3 cot 60° = .9、Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，tan A = 14，那么AC = .10、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°, CD ⊥ AB，BC =12, AC = 5，则sin A = ，cos A = ，tan ∠BCD = ，cot ∠ ACD = .11、在等腰三角形中，如果腰长与底边长的比为5∶6，那么底角的正弦值为.12、在Rt △ ABC 中，如果斜边AB是直角边BC的3倍，则cot B = .13、点P的坐标是（tan 60°，– tan 45°），那么P关于x轴对称的点的坐标是.二、选择题：14、在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，BC = 8，则sin B等于（）（A）45（B）35（C）215（D）211015、△ABC中，∠C = 90°，cos B = 45，那么·sin A 等于（）（A）23（B）56（C）45（D）3516、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，tan A= 1，则cos B等于（）（A）1 （B）22（C）32（D）1217、在直角△ ABC 中，∠ C = 90°，下列式子中恒正确的是（）(A) sin A = sinB (B) sin A = cos B (C) tan A = tan B (D) cot A = cot B18、在R t △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 2, AB = 6, 则tan A =（）(A) 223(B) 2 (C) 2 2 (D)32419、在△ABC 中，∠A和∠B为锐角, 若sin A =32, cos B =12, 则△ ABC 为( )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D) 等腰直角三角形三、计算：20、3 tan 45°· tan 60°– cot 60°21、（cot 30°– sin 60°）（tan 60° +·cos 30°）三、解下列各题：22、△ ABC 中，AD⊥BC于D，AB = 17cm，AC = 10cm，cos ∠ABD = 1517，求△ABC的面积.23、在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC，tan ∠BCD = 13，求∠A的正弦、余弦、正切值.24、若A、B是△ABC中的两个锐角，且sinA的值是过点（–12，34）和（3，–1）的一次函数y = kx + b在y轴上的截距，cos B是方程2 2 x 2– 4 x + 2 = 0的根，若AC = 2，试求AB的长.。
2023-2024学年数学九年级下册人教版 第二十八章 锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)
2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P 不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q，再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S 平方单位，点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；（2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PF⊥AB，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1）DE的长为 ；（2）当点F在AC边上，且DE=3PF时，求t的值；（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为13时，直接写出t的值.3．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）4．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E 处，入射角∠ACM′=60°，折射角∠ECN′=40.5°.DE//BC，MN、M′N′为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0 .93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)5．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．6．如图，抛物线y=m x2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．（1）请直接写出：m= ；抛物线的解析式 ；直线BC的解析式 ；tan∠OCA= ；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）如图2，Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，请求出点Q的坐标．7．综合与实践如图，正方形ACBF与正方形CDGE有公共顶点C，AC=3，CD=2，连接AD，BE．（1）如图①，当点E，G在正方形ACBF内时，线段BE与AD的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）把正方形CDGE绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）把正方形CDGE绕点C在平面内自由旋转．①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是 ；②旋转过程中，|AE−AD|的最大值为 ．8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE．（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．（2）在第（1）题的前提下，求证：BE=EF．（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．9．如图（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若DE =1，BD =32，求BC 的长；②试探究AB AD −BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF =2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3.若S 1⋅S 3=916S 22，求cos∠CBD 的值．10．如图（1），E ，F ，H 是正方形ABCD 边上的点，连接BE ，CF 交于点G 、连接AG ，GH ，CE =DF .（1）判断BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =CH ，求证：∠BAG =∠CHG ；（3）如图（2），E ，F 是菱形ABCD 边AB ，AD 上的点，连接DE ，点G 在DE 上，连接AG ，FG ，CG ，∠AGD =∠BAD ，AF =AE ，DF =GF ，CD =10，CG =6，直接写出DF 的长及cos ∠ADC 的值.11．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上.分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC.（1）求点A，B，C的坐标.（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF.（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式.12．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB=16cm，宽AD=12cm，圆弧盖板侧面DC所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.（1）求DC所在⊙O的半径长及DC所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC从起始位置DC绕点D旋转90°时，求DC在这个旋转过程中扫过的的面积.参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14.13．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A 处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）14．已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧.（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；（2）如图2，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2AE+2FH=BD （3）如图3，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.答案解析部分1．【答案】（1）解：PQ ＝t（2）解：当0＜t≤2时，S ＝34t 2；当2＜t ＜3时，S ＝－23t 2＋93t －93．（3）解：①如图①3t ＝332，解得t ＝32；②如图②，3[3－（t －3）]＝32∙（t －3），解得t ＝5综上所述，满足条件的t 的值为32或5.2．【答案】（1）52（2）解：t =524（3）解：当点E 落在GH 上时，∵AP =3t ，PF =4t ，四边形PFGH 是正方形，∴PH =GH =PF =4t ，∠PHG =∠BHE =90°，∴BH =AB−AP−PH =5−3t−4t =5−7t . ∵cos B =BH BE =BC AB ，∴5−7t 2=45，解得t =1735；当点E 落在PF 上时，∵AP =3t ，∴BP =5−3t ，∵cos B =BP BE =BC AB ，∴5−3t 2=45，解得t =1715.综上所述，t 的取值范围是1735<t <1715.（4）解：t 的值为25或4345.3．【答案】（1）解：如下图，过点C 作 CH ⊥AB 交AB 于点H ，设 CH =x在 Rt △ACH 中， ∠A =45° ， AH =CH =x在 Rt △BCH 中， ∠B =30° ， BH =3x∴AB =(3+1)x =400+4003∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，在Rt△PCH中，CP=600，CH=400∴PH=CP2−CH2=2005∴PQ=2PH=4005=205≈45（小时）则时间：t=400520答：台风影响该海港持续的时间有45小时.4．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//MN//M′N′，∴∠ABM=∠BAF，∠ACM′=∠CAF，∵∠ABM=30°，∠ACM′=60°，∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×3=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，3∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，即BC的长为43米；（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN′=x米，由题意可知：∠DBN =22°，∠ECN′=40.5°.DE =8.72米，∴DN =BN ⋅tan22°≈0.4x (米)，N′E =CN′⋅tan40.5°≈0.85x (米)，∵DN +DE =BC +N′E ，∴0.4x +8.72=43+0.85x ，解得x ≈4，即水池的深约为4米．5．【答案】（1）解：如图，连接OC ，∵∠ABD =2∠BAC ，∠COB =2∠BAC ，∴∠ABD =∠COB ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥BD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是 ⊙O 的切线.（2）解：如图，作OF ⊥BD ，设BE =x ，∵OF ⊥BD ，BD =7，∴∠OFB =90°，BF =12BD =72，∴EF =BF +BE =72+x ，O B 2=O F 2+B F 2，∵CE ⊥BD ，CE ⊥OC ，∴∠E =∠OCE =90°，∴四边形OCEF 是矩形，C E 2=B C 2−B E 2=9−x 2，∴OF =CE ，OC =EF =72+x ，∴OB =OC =72+x ，∴(72+x )2=9−x 2+(72)2，x 1=−92(舍去)，x 2=1，∴BE =1.（3）解：由(2)得x =1，∴OB =92，∴AB =2OB =9，∵∠ADB =90°，BD =7，∴cos ∠ABD =BD AB =79，∵∠DCA =∠ABD ，∴cos ∠DCA =cos ∠ABD =79.6．【答案】（1）m =−1；y =−x 2+4x−3；y =x−3；13（2）解：如图1，过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设P(t ，−t 2+4t−3)，则H(t ，t−3)，∴PH =−t 2+4t−3−(t−3)=−t 2+3t ，∵OB =OC =3，∴∠BCO =∠CBO =45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHG =45°∵∠PGH =90°∴PG =PH ⋅sin ∠PHG =(−t 2+3t)×sin45°=−22(t−32)2+928，∴当t =32时，PG 的最大值为928；（3）解：如图2，过点B 作BE ⊥CB 交CQ 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则∠BFE =∠CBE =90°，∵∠CBO =45°，∴∠EBF =45°，∴BF =EF =22BE ，∵∠BCO =∠ACQ =45°，∴∠BCE =∠OCA ，∴tan ∠BCE =tan ∠OCA∴BE CB =OA OC，又可知A(1，0)，∴OA =1，C(0，−3)∴OC =3由OB =OC =3，得BC =32∴BE 32=13，∴BE =2，∴BF =EF =22×2=1，∴OF =OB +BF =3+1=4∴E(4，−1)，又C(0，−3)∴直线CE 的解析式为y =12x−3，联立方程组{y =12x−3y =−x 2+4x−3，解得：{x 1=0y 1=−3，{x 2=72y 2=−54，∴点Q 的坐标为(72，−54)．7．【答案】（1）BE=AD ；BE⊥AD（2）解：成立，理由如下：如图，∵正方形ACBF，正方形CDGE，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA，即∠BCE=∠DCA，∴△BCE≅△ACD(SAS)，∴BE=AD、∠CBO=∠CAD，∵∠BOC=∠AOE，∠OBC+∠BOC=90°∴∠OAD+∠AOE=90°，∴BE⊥AD；（3）7−2；228．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∴AD=CD，∠DAE=∠DCF=60°，∵CF=AE，∴△ADE≌△CDF(SAS)（2）证明：∵△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=60°，∴∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴EF=DE，∵AD=AB，∠DAE=∠BAE=60°，AE是公共边，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE，∴BE=EF．（3）解：过A作AH⊥BF，∵BE ∥AF ，∴△BCE ∽△FCA ，∴CE AC =BC CF，设AC =1，CE =x ，可得方程x 2+x−1=0(x >0)，解得，x =5−12，∵CH =12，AH =32，∴tan ∠AFC =32：(5−12+32)=15−239．【答案】（1）解：①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB =2∠B ，∴∠ACD =∠DCB =∠B ，∴CD =BD =32，∵DE //AC ，∴∠ACD =∠EDC ，∴∠EDC =∠DCB =∠B ，∴CE =DE =1，∴△CED∽△CDB ，∴CE CD =CD CB，∴132=32CB ，解得BC =94；②∵DE //AC ，∴AB AD =BC CE，同①可得，CE =DE ，∴AB AD =BC DE，∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1，∴AB AD −BEDE是定值，定值为1（2）解：∵DE//AC，∴S1S2=ACDE=BCBE，∵S3S2=BECE，∴S1⋅S3S22=BCCE，又∵S1⋅S3=916S22，∴BC CE =9 16，设BC=9x，则CE=16x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，∴BD=CD，∵DE//AC，∴∠EDC=∠FCD，∴∠EDC=∠CBD=∠ECD，∴CE=DE，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CD CE =CB CD，∴C D2=CB⋅CE=144x2，∴CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD =CD =12x ，∴BH =12BC =92x ，∴cos∠CBD =BH BD =92x 12x =38．10．【答案】（1）解：BE ⊥CF ，理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°.∵CE =DF ，∴△BCE≌△CDF (SAS )，∴∠CBE =∠DCF .∵∠CBE +∠CEB =90°，∴∠DCF +∠CEB =90°，∴∠CGE =90°，即BE ⊥CF（2）证明：∵∠CBG =∠EBC ，∠CGB =∠ECB =90°，∴△CGB ∽△ECB ，∴CG CE =BG BC. ∵CE =CH ，BC =AB ，∴CG CH =BG AB，即CG BG =CH AB .∵∠CBG +∠BCG =90°，∠ABG +∠CBG =90°，∴∠BCG =∠ABG ，即∠HCG =∠ABG ，∴△HCG ∽△ABG ，∴∠BAG =∠CHG ；（3）解：DF =154，cos ∠ADC =81511．【答案】（1）解：令x =0，则y =10；令y =0，则0=−2x +10，解得x =5； ∴A(5，0)，B(0，10)，∴OA =5，OB =10，AB =52+52=55，作CG ⊥OB 于点G ，∵以OB 为直径的⊙M 交AB 于另一点C ，∴∠BCO =90°，∵sin ∠CBO =OA AB =OC OB ，即555=OC 10，∴OC =25，∵cos ∠BOC =OG OC =OC OB ，即OG 25=2510，∴OG =2，∴CG =OC 2−OG 2=4，∴C(4，2)；（2）证明：①∵∠BCO =90°，BF ⊥CD ，OE ⊥CD ，即∠BCO =∠BFC =∠CEO =90°， ∴∠OCE =∠CBF ，∴△OCE ∽△CBF ，∴CE BF =OE FC ，即EC ⋅CF =OE ⋅BF ；②作MN ⊥CD 于点M ，则OE ∥MN ∥BF ，且OM =BM ，∴OM BM =EN NF，∴EN =NF ，∵MN ⊥CD ，∴CN =DN ，∴EN−CN =NF−DN ，即EC =DF ；（3）解：CD 与EF 的距离和不是定值；直线CD 的解析式为y =43x−103.12．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，为矩形ABCD 的中心，∵AB =16，AD =12，∠BAD =90°，∴BD =AB 2+AD 2=256+144=20，∴⊙O 半径长为：OD =12BD =12×20=10.0cm ，∵tan ∠ADB =AB AD =1612≈1.33，∴∠ADB ≈53.06°，∴∠DOC =2∠ADB =2×53.06°≈106.1°；（2）解：如图，∵S 弓形DmC =S 弓形Dn C ′，∴DC 扫过的的面积：S 阴=S 扇形CD C ′=90π×162360≈201.0(c m 2).13．【答案】（1）解：过点P 作PD ⊥AB 于D 点，∴∠BDP =∠ADP =90°，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°−45°=45°，BP =20海里，∴DP =BP·sin45°=102（海里）， BD =BP·cos45°=102（海里），在Rt △PAD 中，∠PAD =90°−60°=30°，∴AD =DP tan30°=106（海里）， ∴AB =BD +AD =(102+106)海里，∴观测站A ，B 之间的距离为(102+106)海里；（2）解：补给船能在82分钟之内到达C 处，理由：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFB =∠CFB =90°，由题意得：∠ABC =90°+15°=105°，∠PAD =90°−60°=30°，∴∠C =180°−∠ABC−∠PAD =45°，在Rt △ABF 中，∠BAF =30°，∴BF =12AB =(52+56)海里， 在Rt △BCF 中，∠C =45°，∴BC =BF sin45°=2(52+56)=(10+103)海里， ∴补给船从B 到C 处的航行时间=10+10320×60=30+303≈81.9（分钟）<83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C 处.14．【答案】（1）解：∵△BEF为等边三角形，∴∠BEF=60°=∠AED，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=4，∴tan∠AED=ADAE=3，∴AE=433，∴BE=AB−AE=4−433；（2）证明：如图，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠ABC=∠ABG=90°，∴BD=AB2+AD2=2AB，∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90°，∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH，∴∠BAG=∠BCH，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴BE=BG，∠G=∠BEC，∵△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AF，∴∠HFE=∠HEF=45°，∴EH =FH ，∴EF =2FH ，∴BE =2FH ，∴BD =2AB =2AE +2BE =2AE +2FH ；（3）解：当点E 在线段AB 上时，如图，取AB 的中点N ，连接NQ ，∵将△ABF 沿AB 翻折得到△ABP ，∴∠ABF =∠ABP =60°，∵点Q 为AP 的中点，∴NQ ∥BP ，∴∠ANQ =∠ABP =60°，∴点Q 在过线段AB 的中点，且与AB 成60°角的直线上移动，∴当CQ ⊥NQ 时，CQ 有最小值，如图，延长QN ，CB 交于点H ，连接AQ ，∵点N 是线段AB 的中点，∴BN =AN =2，∵∠ANQ =60°=∠BNH ，∴tan ∠BNH =BH BN =3，∴BH =23，∴CH =23+4，∵∠H =90°−∠BNH =30°，∴CQ =12CH =2+3，HN =2BN =4，HQ =3CQ =23+3，∴NQ =23−1>2，∴∠NAQ>60°，∴此时点E不在线段AB上，∴点E在线段AB上时，CQ>2+3，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=120°，∵点Q为AP的中点，点N是线段AB的中点，∴NQ∥BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴点Q在过线段AB的中点，且与AB成60°角的直线上移动，∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，同理：CQ=2−3；综上所述，CQ的最小值为2−3.。
锐角三角比经典练习题附带问题详解(2套)
练习一一、选择题〔6×4/=24/〕1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，如此B sin 的值是〔 〕〔A 〕21； 〔B 〕22； 〔C 〕23； 〔D 〕2. 2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值〔 〕 〔A 〕 都扩大到原来的2倍； 〔B 〕 都缩小到原来的一半； 〔C 〕 没有变化； 〔D 〕 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，如此底角的余弦值为……〔 〕 (A )125； (B )512； (C )135； (D )1312. 4．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，31sin =B ，如此A tan 的值为……〔 〕 〔A 〕113； 〔B 〕33； 〔C 〕22； 〔D 〕31010. 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为a ，∠A 和边a ，求边c ，如此如下关系中正确的答案是…………………………………………………………………( ) 〔A 〕A a c sin =； 〔B 〕A a c sin =； 〔C 〕a=b ⋅tan A ； 〔D 〕Aac cos =． 6．在△ABC 中，假如22cos =A ，3tan =B ，如此这个三角形一定是……〔 〕〔A 〕锐角三角形; 〔B 〕直角三角形; 〔C 〕钝角三角形; 〔C 〕等腰三角形. 二、填空题〔12×4/=48/〕7．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 假如AB =5,BC =3,，如此A sin =，=A cos ，=A tan ， 8．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,如此BC =. 9. 在△ABC 中，∠C =90°，52sin =A ，如此sinB 的值是________. 10．有一个坡角，坡度3:1=i ，如此坡角=α 11．在ABC Rt ∆中，∠090=C ,21cos =A ,如此∠=B . 12．P 〔2，3〕，OP 与x 轴所夹锐角为α，如此tan α=_______ .13．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，假如AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________.14．如图，假如人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，如此塔高BC =______〔米精确到1.0,732.13≈〕AB15．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_________m .16．一个楼梯的面与地面所成的坡角是30︒，两层楼之间的层高3米，假如在楼梯上铺地毯，地毯的长度是 米〔3=1.732，准确到0.1米〕.17．如图，正方形ABCD 的边长为1．如果将对角线BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB的延长线上的D '点处，联结D A '，那么cot ∠BAD /__________．13题图_18．矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，如此对角线长为 .三、解答题〔3×10/=30/〕19．计算： ︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan .20．直线443y x =+交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正弦值．21．如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使CE=AC ，AE 与CD 相交于点F .求∠E 的余切值.四、解答题〔4×12/=48/〕22．某人要测河对岸的树高，在河边A 处测得树顶仰角是60︒，然后沿与河垂直的方向后退10米到Ｂ处，再测仰角是30︒，求河对岸的树高。
青岛版九年级第一学期数学上册《锐角三角比》同步练习及答案--分层练习+同步训练
九年级数学上册《锐角三角比》同步练习及答案分层练习 + 同步练习分层练习基础扫描1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝34，c＝4，则a＝_______．3．如果a∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）A．12B．2C．1D．24．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若56AC=，65AB=，则tan∠ACD的值为（）A．5B．5C．30D．66．已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．能力拓展7．若α为锐角，试证明：sintancosααα=．8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=12，求ab的值．αyxP(2,3)OAb aE DCBA（第8题图）创新学习9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，cosA 与tanA 的值．参考答案1．13 2．． B 4．13，13，325． A6． 解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，∵ 3cos 4AC AB α== ∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ．∴sin tan BC AB αα=== 7． 证明：如图，Rt ABC ∆中，∠C=90°，设∠A=α，则sin ,cos BC AC AB AB αα== ∴sin cos BCACαα=又 ∵ tan BC AC α= ∴sin tan cos ααα=.8． 解：如图，∵1tanDE DCE DC ∠==，∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则CE=.又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴tan BD BCD CD∠== ∵ A BCD ∠=∠ ∴tan tan A BCD ∠=∠∴12a b = 9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°， ∴tan 3DC DBC BC ∠== C B AD CBAbaE D CBA CBAB∴可设DC=k ，BC=3k （k ＞0）．在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=． ∴()()223319kk ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1．∴BC=3，CA=4．∴4193cos ,tan A A ==．同步练习1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A ＝_____，cos A ＝_____，sin B ＝_____，cos B ＝_____。
锐角三角比经典练习题附带问题详解(2套)
练习一一、选择题（6×4/=24/）1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ）（A ）21； （B ）22； （C ）23； （D ）2.2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ） （A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）(A )125； (B)512； (C)135； (D)1312. 4．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，31sin =B ，则A tan 的值为……（ ）（A ）113； （B ）33； （C ）22； （D ）31010.5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为a ，已知∠A 和边a ，求边c ，则下列关系中正确的是…………………………………………………………………( ) （A ）A a c sin =； （B ）A a c sin =； （C ）a=b ⋅tan A ； （D ）Aac cos =． 6．在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是……（ ）（A ）锐角三角形; （B ） 直角三角形; （C ）钝角三角形; （C ）等腰三角形.二、填空题（12×4/ =48/）7．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，=A cos ，=A tan ，8．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .9. 在△ABC 中，∠C =90°，52sin =A ，则sinB 的值是________. 10．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α 11．在ABC Rt ∆中，∠090=C ,21cos =A ,则∠=B . 12．已知P （2，3），OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_______ .13．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________.18题图14．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）15．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_________m.16．一个楼梯的面与地面所成的坡角是30︒，两层楼之间的层高3米，若在楼梯上铺地毯，地毯的长度是 米（3=1.732，精确到0.1米）.17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1．如果将对角线BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D '点处，联结D A '，那么cot ∠BAD /__________．18．矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，则对角线长为 .三、解答题（3×10/ =30/）19．计算： ︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan .20．已知直线443y x =+交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正弦值．21．如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使CE=AC ，AE 与CD 相交于点F . 求∠E 的余切值.A_ C_14题图B15题图13题图_D ' A D C B 17题图FD A四、解答题（4×12/=48/）22．某人要测河对岸的树高，在河边A 处测得树顶仰角是60︒，然后沿与河垂直的方向后退10米到Ｂ处，再测仰角是30︒，求河对岸的树高。
第03讲 锐角三角比(3种题型)(原卷版)
第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N 加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=斜边2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小; ②若ZA+ZB=90°,贝IJtan A=cotB;sin A=cos B ；③tanA∙cotA=1.3.特殊角的三角比4.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春•浦东新区校级期中）在RtZkABC 中，ZC=90o ,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.cotB=AC.sinB=AD.cosB=A4355余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边NAfi 勺对边 '已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.2. （2023秋•浦东新区校级期末）已知在Rt4A5C 中，NC=90°,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确 的是（ ） λ.λ4A.SinA=-5B.cosA=-⅛-5C.tanA=A D. 5CotA=A53.（2023秋•崇明区期末）在RtZkABC 中， ZC=90o , AB=2,AC=I,那么CosB 的值是（A.√ΣB.近c.1D. 22224. （2023秋•青浦区期末）在4A5C 中，ZC=90o ,如果tan∕A=2,AC=3,那么5C=5. （2023秋•宝山区期末）在RtZkABC 中，ZC=90o ,如果空那么SinA 的值是.BC46. （2023秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy 中，点尸的坐标为（3,4）,射线。
锐角三角比练习题及答案
锐角三角比练习题及答案
1. 已知一个锐角三角形的两个锐角分别为30度和60度，求第三个角的度数。
答案：第三个角的度数为90度。
2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为5。
3. 已知一个锐角三角形的两个角的正弦值分别为0.5和0.866，求这两个角的度数。
答案：这两个角的度数分别为30度和60度。
4. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为8。
5. 已知一个锐角三角形的余弦值为0.6，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为53度。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为13。
7. 已知一个锐角三角形的正切值为1.732，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为45度。
8. 一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为15。
9. 已知一个锐角三角形的正弦值为0.3，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为19.47度。
10. 一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为10，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为10√3。
第二十五章 锐角的三角比数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)
第二十五章锐角的三角比数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A. B. C. D.3、已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.4、如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）A. B. C. D.5、sin30°的值为（）A. B. C. D.6、如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为l，则tan∠BAC为（）A. B. C. D.17、如图，在平面直角坐标系中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是等边三角形，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为（）A. B. C. D.8、在Rt△ABC中，若各边的长度同时扩大5倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A.都不变B.都扩大5倍C.正弦扩大5倍、余弦缩小5倍D.不能确定9、如图，AB切⊙O于点B，OA＝2 、，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A. B. C.π D.10、3月20日，深圳市民中心及周边楼宇为当日返回深圳的援鄂医疗队员亮灯，欢迎最美逆行者回家．小洪在欢迎英雄回家现场，如图，若他观测到英雄画像电子屏顶端A和底端C的仰角分别为∠α和∠β，小洪所站位置E到电子屏边缘AC垂直地面的B点距离为m 米，那么英雄画像电子屏高AC为（）A. 米B. m•tan（α﹣β）米C. m（tanα﹣tanβ）米D. 米11、如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD 的面积S的最大值是（）A.s=B. s=C. s=D. s=12、已知sin = ，且是锐角，则等于（）A.75°B.60°C.45°D.30°13、已知锐角满足关系式，则的值为（）A. 或B.C.D.14、如图，在矩形ABCD中，AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则DM的长为（）A.3B.C.D.115、如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点。
锐角的三角比测试题及答案(三)
锐角的三角比测试题及答案（三）一、填空题（每小题2分，共40分）1、Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则sinA＝__________。
2、Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA＝__________。
3、Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tgB＝__________。
4、若α为锐角，cosα＝，则α＝__________度。
5、计算sin230°十cos230°＝__________。
6、Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC＝__________。
7、如图：厂房屋顶的人字架为等腰三角形，若跨度AB＝12米，∠A＝30°，则中柱CD等于__________米。
8、Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，a＝6，则最小角正切值为__________。
9、计算＝__________。
10、Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，那么cosA的值为__________。
11、等腰三角形腰长、底边长分别为6和8，则底角正弦值为__________。
12、已知：α为锐角，tgα一1＝0，则α为__________度。
13、等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则cosA·tgA＝__________。
14、等腰三角形底边长为2，底边上高为，则它的顶角为__________度。
15、如图，等腰梯形的铁路路基高6米，斜面与地平面倾斜角30°，路基上底宽10米，则下底宽为__________米。
16、△ABC中，∠C∶∠B∶∠A＝1∶2∶3，则三边之比a∶b∶c＝__________。
17、等腰三角形顶角为12O°，底边上高为4cm，则此三角形面积为__________。
18、等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则sinA＝__________。
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练习一一、选择题（6×4/=24/）1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ）（A ）21； （B ）22； （C ）23； （D ）2.2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ） （A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）(A )125； (B )512； (C )135； (D )1312. 4．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，31sin =B ，则A tan 的值为……（ ）（A ）113； （B ）33； （C ）22； （D ）31010.5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为a ，已知∠A 和边a ，求边c ，则下列关系中正确的是…………………………………………………………………( ) （A ）A a c sin =； （B ）A a c sin =； （C ）a=b ⋅tan A ； （D ）Aac cos =． 6．在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是……（ ）（A ）锐角三角形; （B ） 直角三角形; （C ）钝角三角形; （C ）等腰三角形.二、填空题（12×4/ =48/）7．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，=A cos ，=A tan ，8．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .9. 在△ABC 中，∠C =90°，52sin =A ，则sinB 的值是________. 10．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α 11．在ABC Rt ∆中，∠090=C ,21cos =A ,则∠=B . 12．已知P （2，3），OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_______ . 13．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________.14．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）6m15m18题图15．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_________m .16．一个楼梯的面与地面所成的坡角是30︒，两层楼之间的层高3米，若在楼梯上铺地毯，地毯的长度是 米（3=1.732，精确到0.1米）.17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1．如果将对角线BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D '点处，联结D A '，那么cot ∠BAD /__________．18．矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，则对角线长为 .三、解答题（3×10/ =30/）19．计算： ︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan .20．已知直线443y x =+交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正弦值．21．如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使CE=AC ，AE 与CD 相交于点F . 求∠E 的余切值.四、解答题（4×12/=48/）22．某人要测河对岸的树高，在河边A 处测得树顶仰角是60︒，然后沿与河垂直的方向后退10米到Ｂ处，再测仰角是30︒，求河对岸的树高。
（精确到0.1米）．23．如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：︒53sin ≈0.8,︒53cos ≈0.6)24．某风景区内有一古塔AB ，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 有15米的距离（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）． CAB_ C_ 14题图B15题图13题图_D 'A D C B17题图 EFB C D A 21题图 A BC 0.5m ︒533m25．如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN .（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值.锐角的三角比参考答案1． A ； 2． C ； 3． C ； 4． C ； 5． B ； 6． A ． 7．35；45；34； 8．3； 9. 22110．30°； 11．30︒； 12．32； 13．34； 14．115.5米； 1510 16．8.2； 172 18．10或3310． 19．解：原式＝1313+- …………………………………………4分＝432+- ……………………………4分 ＝－２－3 …………………2分20． 解：令x =0 ，得y =4. 令y=0 ，得x = —3．则A （- 3，0），B （0，4）……………………………2分 ∴OA =3，OB =4. ∵∠AOB =90°.∴AB =5…………………………2分 ∴ sin ∠ABO =OAAB……………………………………4分 =35.………………………2分21．解： 设正方形边长为a ,则AB=BC= a ………………………………………1分∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠B =90° ∴AC =2 a …………………4分∴CE=AC 2 a …………………………………2分 ∴cot ∠E =BEAB2+1 ………………………3分B AE D C45°30°24题图D AE 第25题图N B22． 解：如图，由题意得∠CAD =60°，∠CBD =30°，AB =10米，设AD =x 米, ………2分 在Rt ΔACD 中CD=AD ·tan ∠CAD =3x …………………………………4分 在Rt ΔACD 中BD=CD·cot ∠CBD=3x …………………………………3分 ∴AB=2x =10∴x =5 ∴CD =3x =53≈8.7…………………………2分 答：河对岸的树高约为8.7米． …………………………１分23．解：过Ｃ作CD ⊥AB 于Ｄ则∠ADC =90°……………………………1分在Rt △ACD 中∵cos ∠DAC =ADAC…………………………………………4分 ∴AD =3·cos530≈1.8…………………………………2分 ∴BD=BA-AD =3-1.8=1.2…………………………………2分 ∴1.2+0.5=1.7(m) …………………………………………2分答：秋千踏板与地面的最大距离约为1.7米……………………………………1分 24．解：过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ．…………………………………………1分∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴四边形BCDF 是矩形，∴BC ＝DF ，CD ＝BF ．……2分 设AB ＝x 米，在Rt △ABE 中，∠AEB ＝∠BAE ＝45°，∴BE ＝AB ＝x ．……2分 在Rt △ADF 中，∠ADF ＝30°．AF ＝AB －BF ＝x －3，∴DF ＝AF ·cot30°＝3（x －3）．……4分 ∵DF ＝BC ＝BE ＋EC ，∴3（x －3）＝x ＋15， ∴x ＝12＋93 ……………………………2分． 答：塔AB 的高度是（12＋93）米．…1分25．解：∵31tan tan =∠=∠EAN AEN ----------------------1分∴ 设 BE=a ，AB=3a ，则CE=2a∵ DC+CE =10, 3a+2a =10，∴a =2. ----------------------2分∴BE =2，AB =6，CE =4. ∵10,102364=∴=+=AG AE .----------------------1分又310,31=∴=NG AG NG .----------------------1分D 45°F∴ ()3103101022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AN ----------------------2分 ∴ 310231021=⨯⨯=∆ANE S ----------------------2分 sin .533102===∠NE EB ENB ----------------------3分 练习二一、填空题（每小题4分，共40分） 1、已知：为锐角，，则____________度。
2、已知：为锐角，，则____________。
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，，则AC ＝____________。
4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB 是直角边BC 的4倍，则____________。
5、计算____________。
6、计算____________。
7、等边三角形一边长为a ，则这边上的高为____________；面积为____________。
8、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，CD 为斜边AB 上的高，BD ＝4，CD ＝2，则____________。
9、为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则为____________度。
10、在Rt△ABC 中，两条直角边之比为7∶24，则最小角的正弦值为____________。
二、选择题（每小题4分，共12分）1、已知：是锐角，，则等于（）。
（A）30°；（B）45°；（C）60°；（D）90°2、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，那么等于（）。
（A）1；（B）；（C）；（D）。
3、已知：是△ABC的三边，并且关于的方程有两个相等实根，则△C形状是（）。
（A）锐角三角形；（B）直角三角形；（C）钝角三角形；（D）不能确定。
三、（每小题8分，共24分）1、如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝4＋2，求边AB、AC长。