3.5群的自同构群
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。
它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。
首先，我们需要了解什么是循环群。
循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。
换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。
例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。
循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。
循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。
换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。
循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。
首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。
其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。
在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。
循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。
平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。
换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。
而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。
在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。
对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。
而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。
这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。
总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
有限自动机的同态
有限自动机的同态黄飞丹;邓培民;易忠【摘要】循环有限自动机是由单个状态生成的有限自动机，任何有限自动机都是有限个循环有限自动机的并。
为了进一步探讨循环有限自动机的性质和揭示一般有限自动机和循环有限自动机的关系，本文利用代数的方法，讨论了循环有限自动机的自同态，得出了计算循环有限自动机自同态半群和自同构群的算法；并讨论了一般有限自动机的同态，证明了每一个有限自动机都是有限个循环有限自动机的直和的同态象。
%A cyclic finite automaton is a finite automaton which is generated by one single state, and each finite automata is the union of some cyclic finite automata. In this paper, in order to further investigate more insightful properties underlying cyclic finite automata and reveal the relationship between general finite automata and cyclic finite automata, by using the algebraic fashion we analyze the endomorphisms of cyclic finite automata, and propose an algorithm for finding the endomorphism semigroup and the automorphism group of a cyclic finite automaton. Moreover, the homomorphisms of general finite automata are discussed, and it is proved that every finite automaton is a homomorphism image of a direct sum of cyclic finite automata.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】13页(P44-56)【关键词】循环有限自动机;同态;自同态;直和【作者】黄飞丹;邓培民;易忠【作者单位】毕节学院数学系，贵州毕节 551700;广西师范大学数学科学学院，桂林 541004;广西师范大学数学科学学院，桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】TP301.11 引言有限自动机是一个离散的数字系统，它在通信领域，特别在公钥密码和数字签名方面有重要的应用．学者陶仁骥提出一种基于有限自动机的公钥密码体制和数字签名，并对有限自动机的结构和性质做了深入的研究[1-6]，使得有限自动机成为人们研究的热点．代数的方法是研究自动机的另一个方法[7-15]．学者沈虹在文献[9]中从循环状态机出发讨论了状态机的同态，得出了计算状态机自同态半群和自同构群的算法，以及任意两个状态机的同态的算法．循环有限自动机是由单个状态生成的有限自动机，文献[16]讨论了循环有限自动机的可逆性及其分解等性质，文献[17]讨论了循环自动机的等价性．我们利用代数的方法讨论有限自动机，把文献[9]中的方法推广到循环有限自动机，得出了计算循环有限自动机自同态半群和自同构群的算法；并讨论了一般有限自动机的同态性质，证明了每一个有限自动机都是有限个循环有限自动机的直和的同态象．2 基本概念和记号定义2.1[1]设X,Y和S是三个非空有限集，δ是S×X到S的映射，λ是S×X到Y 的映射，则称系统M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨为一个有限自动机．称X为M的输入字母表，Y为M的输出字母表，S为M的状态字母表，δ为M的下一状态函数，λ为M的输出函数．若X,Y和S分别是域GF(q)上l,m和n维向量空间，且δ和λ是线性映射，则称有限自动机M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨为一个GF(q)上的线性有限自动机，并称l,m,n为M的结构参数．设X是任意集合，用X+表示由集合X生成的自由半群，其元素是有限长的字符串，即α=a1a2···an,ai∈X，n称为字α的长度，记X∗=X+∪{Λ}，其中Λ表示空字符，长度为0．X∗关于字的连接做成一个有单位元的半群，即幺半群，Λ是这个半群的单位元．δ可以扩充为S × X∗到S的映射：δ(s,Λ)=s, δ(s,αx)= δ(δ(s,α),x)；同样，λ可以扩充为S ×X∗到Y∗的映射：λ(s,Λ)= Λ, λ(s,xα)= λ(s,x)λ(δ(s,x),α)，其中s∈S,α∈X∗,x∈X．定义2.2[1] 设M1= ⟨X,Y,S1,δ1,λ1⟨和M2= ⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨是有限自动机．对s1∈ S1,s2∈ S2，若对任意α ∈ X∗，都有λ1(s1,α)= λ2(s2,α)，则称s1与s2等价，记作s1∼ s2．若对任意的s1∈S1，都存在于s2∈S2，使得s1∼s2，且对任意的s2∈S2，都存在于s1∈S1，使得s1∼s2，则称M1与M2等价，记为M1∼M2．定义2.3[1] 设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，若S中的任意两个状态都不等价，则称M是极小有限自动机．设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，称三元组A= ⟨X,S,δ⟨为M的状态机．定义2.4 设M1= ⟨X,Y,S1,δ1,λ1⟨和M2= ⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨为有限自动机，f 为S1到S2的映射．1) 若对任何s1∈S1,x∈X，有f(δ1(s1,x))=δ2(f(s1),x)，则称f为M1到M2的状态机同态或δ-同态；若f还是一个双射，则称f为δ-同构．2) 若对任何s1∈S1,x∈X，有则称f为M1到M2的自动机同态(简称同态)．此时，若f还是一个满射，则称f为满同态；若f是同态且是双射，则称f为同构，此时称有限自动机M1与M2同构，记为 M1 ∼=M2．3) 若f是有限自动机M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨到自身的δ-同态，则称f是M的自δ-同态；若f是有限自动机M到自身的同态，则称f是M的自同态．显然集合S的恒等映射是M的自δ-同态也是M的自同态，称为恒等同态，记为1M．易证，若f为M1到M2的同态，则对任意s1∈S1,α∈X∗，有此时s1∼f(s1)．记有限自动机M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨的自δ-同态的集合为Eδ(M)，自δ-同构的集合为Gδ(M)．记M的自同态的集合为E(M)，自同构的集合为G(M)．由文献[15]知Eδ(M)是一个半群，Gδ(M)是一个群．易证，E(M)也是一个半群，G(M)是一个群，并且E(M)是Eδ(M)的子半群，G(M)是Gδ(M)的子群，分别记为E(M)≤Eδ(M)和G(M)≤ Gδ(M)．定义2.5 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，若存在s0∈S，使得对任意的s∈S，有s= δ(s0,α),α∈X∗，则称M是由s0生成的循环有限自动机，s0称为M 的一个生成子．称有限自动机M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是强连通的，如果对任意s,s′∈S，存在α∈X∗，使得s=δ(s′,α)．显然M是强连通有限自动机当且仅当M是任何状态都是生成子的循环有限自动机．定义2.6[18]设S是一个半群，ρ是S上的一个等价关系，若对任意的(a,b)∈ρ,c∈S，都有(ac,bc)∈ρ，则称ρ是S上的一个右同余；若对任意的(a,b)∈ρ,c∈S，都有(ca,cb)∈ρ，则称ρ是S上的一个左同余；若ρ既是右同余又是左同余，则称ρ为同余．本文中|A|表示集合A中元素的个数．3 循环有限自动机的自同态命题3.1 设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个生成子为s0的循环有限自动机，则其中设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，s0∈S，在X∗上定义关系：π0显然为X∗上的等价关系．又因为对任意(α,β)∈π0,x∈X，由π0的定义有从而(αx,βx)∈π0，所以π0为一个右同余，称为X∗关于s0的右同余．设∈X∗/π0且满足δ(s0,α0)= α0(这样的α0一定存在，如空字符Λ)，则左乘X∗/π0中的元素有意义，其中乘法为由于故称是X∗/π0的左恒等元．以下左恒等元均指满足这样条件的元．命题3.2 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个循环有限自动机，s0∈S是M的一个生成子，π0为X∗关于s0的右同余，则f:S → X∗/π0;s 7→(其中δ(s0,α)=s)是一个S与X∗/π0之间的一一映射．由命题3.2可得：推论3.1 设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个循环有限自动机，s0∈S是M的一个生成子，π0为X∗关于s0的右同余，则集合X∗/π0为有限集．由于当M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是循环有限自动机时，X∗/π0是一个有限集合，故可以用X∗/π0作为状态集来构造有限自动机M(X∗/π0)= ⟨X,Y,X∗/π0,δ0,λ0⟨，其中δ0和λ0定义为：δ0(,x)=,λ0,x)= λ(δ(s0,α),x),∈X∗/π0,x∈X．这样的构造是合理的，因为：若=，则对任意x∈X，由π0是右同余知从而故δ0和λ0的定义与等价类的代表元的选取无关，从而δ0是X∗/π0×X到X∗/π0的映射，λ0是X∗/π0×X到Y的映射．所以这样定义的M(X∗/π0)是一个有限自动机．以下讨论中，M(X∗/π0)均指这样构造得到的有限自动机．对有限自动机M(X∗/π0)，可证明：对任意β ∈X∗，有λ0(,β)= λ0(δ(s0,α),β)．定理3.1 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是以s0为生成子的循环有限自动机，π0为X∗关于s0的右同余，则M ∼=M(X∗/π0)．证明令φ :S → X∗/π0;s 7→，其中s=δ(s0,α)．由上面的讨论知φ是双射，易证φ是同构．把定理3.1中的同构映射φ称为M与M(X∗/π0)之间的自然同构映射．命题3.3 有限自动机M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是循环有限自动机当且仅当X∗上有一个右同余π0，使X∗/π0有左恒等元，且 M ∼=M(X∗/π0)．证明必要性：设M的生成子为s0，由定理3.1知，存在X∗上关于s0的右同余π0，使M ∼=M(X∗/π0)，且存在满足δ(s0,α)=s0的为X∗/π0的左恒等元．充分性：因为对任意的故M(X∗/π0) 是以为生成子的循环有限自动机，而M∼=M(X∗/π0)，从而M为循环有限自动机．定理3.2 设M1= ⟨X,Y,S1,δ1,λ1⟨是一个生成子为s0∈ S1的循环有限自动机，M2=⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨是一个有限自动机，∈S2,π0和分别为X∗关于s0和s′0的右同余，则存在M1到M2的同态f，使得f(s0)=当且仅当π0⊆，且s0∼．证明必要性：设f为M1到M2的同态，使得f(s0)=，则有s0∼ s′0．设(α,β)∈π0，则从而(α,β)∈，所以π0⊆．充分性：令f:S1 → S2;s 7→ δ2(,α)，其中s= δ1(s0,α)．对任意的s ∈ S1，因为M1是循环有限自动机，故可设s= δ1(s0,α)= δ1(s0,β),α,β∈ X∗，由于π0⊆从而f是一个映射．因为s0=δ1(s0,∧)，所以f(s0)=对任意的s∈S1(设s=δ1(s0,α),α∈X∗)，对任意的x∈X，有由于，故有而λ1(s0,α)= λ1,α)，从而λ1(s,x)= λ2(f(s),x)，故f 为M1到M2的同态．定义3.1[9] 设π是半群I上的一个右同余，令N(π)={y∈I|∀(x1,x2)∈π⇒(yx1,yx2)∈π}，称N(π)为π的同余化子．N(π)是I的子半群，且易证N(π)是一些π-右同余类的并[15]．又对任意y1,y2∈N(π)，设(y1,y2)∈π，则对任意的y∈ N(π)，由N(π)的定义，(yy1,yy2)∈π，故π是子半群N(π)中的左同余关系，从而π是N(π)的同余关系．于是有商半群N(π)/π，由N(π)的定义知N(π)/π中的元素左乘I/π中的元素有意义，其中乘法为：定义3.2[9] 把N(π)/π称为半群I上右同余π的商半群．命题3.4 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是s0生成的循环有限自动机，π0是X∗关于s0的右同余，则N(π0)/π0为以为单位元的幺半群，其中满足δ(s0,α0)=s0．证明已知N(π0)/π0为商半群，且由定义∈ N(π0)/π0为N(π0)/π0的左单位元．对任意的∈ N(π0)/π0，由于δ(s0,α0)=s0= δ(s0,∧)，所以从而故是N(π0)/π0的右单位元，所以N(π0)/π0是幺半群．引理3.1[9] 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是生成子为s0的循环有限自动机，π0为X∗关于s0的右同余，则M(X∗/π0)的每一个自δ-同态都是N(π0)/π0中的元素对X∗/π0的左乘变换；反之，每一个N(π0)/π0中的元素对X∗/π0的左乘变换都是M(X∗/π0)的一个自δ-同态．对有限自动机M(X∗/π0)，记价．其中∼表示状态等定理3.3 M(X∗/π0)的每一个自同态为φ()中的元素对X∗/π0的左乘变换；反之，每一个φ()中的元素对X∗/π0的左乘变换都是M(X∗/π0)的自同态．证明设f ∈ E(M(X∗/π0))，由E(M(X∗/π0))≤ Eδ(M(X∗/π0))及引理3.1，f为N(π0)/π0中的元素对X∗/π0的左乘变换．设f=fy(记左乘的变换为fy)∈N(π0)/π0．下证对任意的α∈X∗，由于f为M(X∗/π0)的自同态(从而为X∗/π0的左恒等元且为N(π0)/π0的单位元，故所以从而反之，设下证fy ∈ E(M(X∗/π0))．由于fy ∈ Eδ(M(X∗/π0))，故对任意∈X∗/π0,x ∈ X，有由于故，即从而故fy ∈ E(M(X∗/π0))．推论3.2推论3.3 当且仅当推论3.4 设M为循环极小有限自动机，则E(M)={1M}，即M的自同态只有恒等同态．对商半群N(π0)/π0，记所在的Green关系的等价类为H．引理3.2[9] 有限自动机M(X∗/π0)的自δ-同构由H中的元素对X∗/π0的左乘变换给出．定理3.4 有限自动机M(X∗/π0)的自同构为H∩中的元素对X∗/π0的左乘变换；反之，H中的元素对X∗/π0的左乘变换为M(X∗/π0)的自同构．证明对任意f ∈ G(M(X∗/π0))，有f ∈ Gδ(M(X∗/π0))，由引理3.2，存在H，使得f=fy(fy表示左乘y的变换)，由定理3.3故反之，对任意，由引理3.2及定理3.3，fy∈ G(M(X∗/π0))．下面给出求循环有限自动机自同态半群和自同构群的算法．定理3.5 对生成子为s0的循环有限自动机M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨，可按下列步骤计算M的自动机自同态半群和自同构群：1) 按文献[9]的方法计算出Eδ(M)和Gδ(M)；2) 找出s0所在的状态等价类[s0]={s∈S|s∼s0}；3) 对任意f∈Eδ(M)，若f(s0)∈[s0]，则f∈E(M)；若由此可求出M的自同态半群E(M)；4) 在3)中，若f为双射，则f∈G(M)，由此可求出M 的自同构群G(M)．证明因为E(M) ≤ Eδ(M),M ∼=M(X∗/π0)，且s0与M(X∗/π0)的生成子在同构映射下相互对应，所以对f∈Eδ(M)，可看成f∈Eδ(M(X∗/π0))，从而f(s0)∈[s0]可看成f设，则f=fy，由定理3.3，f ∈ E(M(X∗/π0))，故可看成f∈E(M)．若f(s0)[s0]，则fE(M(X∗/π0))，即fE(M)．由此可找出E(M),E(M)中所有的双射做成G(M)．对于循环线性有限自动机，也可按上述方法找出其自同态和自同构．由于线性有限自动机结构的特殊性，其自同态可能是线性的．以下讨论线性有限自动机的同态映射的性质．命题3.5 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨为由零状态生成的域GF(q)上线性有限自动机，则M 有唯一的线性自同态，即恒等同态．证明设f为M的线性自同态，从而f为S的线性变换，故f(0)=0．因为对任意s∈ S(设s= δ(0,α), α ∈ X∗)，有所以f为恒等同态．命题3.6 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨为域GF(q)上循环线性有限自动机，s0为M的生成子，f为M的自同态，则f是线性的当且仅当对任意k∈GF(q)，有f(ks0)=kf(s0)．设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨为域GF(q)上循环线性有限自动机，s0为生成子，π0为X∗关于s0的右同余，由前面的讨论知在X∗/π0上定义“+”：其中由于由s1+s2唯一确定，故这样定义的“+”是X∗/π0上的代数运算．定义数乘“·”：k其中δ(s0,α′)=kδ(s0,α),∈ X∗/π0．设则δ(s0,α)= δ(s0,β)，从而kδ(s0,α)=kδ(s0,β)，则k其中δ(s0,α′)=kδ(s0,α)=kδ(s0,β)，所以“·”为数乘运算．易验证，X∗/π0关于“+”和“·”可做成GF(q)上的向量空间．由于M ∼=M(X∗/π0)，故δ0,λ0为线性映射，M(X∗/π0)为线性有限自动机．考虑M与M(X∗/π0)之间的自然同构映射φ :S → X∗/π0,s 7→，其中s=δ(s0,α)．对这个自然同构，有下面的命题．命题3.7 设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨为域GF(q)上循环线性有限自动机，s0为M的生成子，则M与M(X∗/π0)之间的自然同构是线性的．证明对任意s1= δ(s0,α1),s2=δ(s0,α2)∈ S，设φ(s1+s2)=α，其中δ(s0,α)=s1+s2，由定义知故又对任意k∈GF(q),s∈S，设φ(ks)=，其中δ(s0,α)=ks．设δ(s0,α′)=s，由定义知故所以φ是线性的．4 一般有限自动机同态的一些性质定义4.1[1] 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨,M1= ⟨X,Y1,S1,δ1,λ1⟨为有限自动机，若S1⊆S,Y1⊆Y，且对任意s∈S1,x∈X，有δ1(s,x)=δ(s,x),λ1(s,x)=λ(s,x)，则称M1为M的子有限自动机，记为M1≤M．命题4.1 设M1= ⟨X,Y,S1,δ1,λ1⟨,M2= ⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨为有限自动机，f是M1到M2的一个同态，则：1)以为状态集可做成M2的子有限自动机；2)以为状态集可做成M1的子有限自动机，其中表示集合在映射f之下的逆象．证明1)对任意fx∈X，由于且故从而以f()为状态集可做成M2的子有限自动机⟨X,Y,f其中δ2|f(S′1)×X,λ2|f(S′1)×X分别表示映射δ2,λ2在f(×X下的限制．2)对任意由于f(s)且故f(δ1(s,x))=从而所以以f←(为状态集可做成M1的子有限自动机其中分别表示映射δ1,λ1在×X下的限制．称以f(为状态集的M2的子有限自动机为的同态象，记为f()；称以f为状态集的M1的子有限自动机为的f原象，记为f←()．易知，若命题4.1中M1,,均为线性有限自动机，f为线性同态，则f(),均为线性有限自动机．容易得到下面的命题．命题4.2 设f为有限自动机M1到M2的同态，若M1是循环有限自动机，则f(M1)是循环有限自动机；若M1是强连通有限自动机，则f(M1)是强连通有限自动机．设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是有限自动机，π是S上的等价关系，若π满足则称π为S上的同余．由有限自动机状态等价的定义可知如下结论：状态等价∼是状态集上的一个同余．设π为S上的同余，以商集S/π作为状态集可做成有限自动机M/π=⟨X,Y,S/π,，其中定义为这样定义是合理的，因为：若x∈X，则由于π为S上的同余，有即从而是一个映射．由π为S上的同余的定义知，显然是一个映射．易证M ∼M/π，且存在M到M/π的满同态η:s 7→s．设f 为M1= 到M2= 的同态，称集合{(s,s′)∈S1×S1|f(s)=f(s′)}为f的核，记为kerf．由有限自动机同态的定义，kerf为S1上的同余．定理4.1 设f 为M1=到M2= ⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨的同态，π是S1上的同余且π⊆kerf，则存在唯一同态g:M1/π→ M2，使得f=gη，其中η:s 7→为M1到M1/π的满同态．若π=kerf，则g为单同态，若f还是满的，则g为同构．证明设M1/π =，令g:M1/π → M2,s 7→ f(s)．由π ⊆kerf可知g为映射．对任意s∈S1/π和x∈X，有又由于s∼f(s)，故所以g为M1/π到M2的同态．因为对任意s∈S1，有f(s)=g()=g(η(s))=gη(s)，故f=gη．若存在M1/π 到M2的同态g′，满足f=g′η，则对任意s ∈ S1/π，有g′)=g′(η(s))=g′η(s)=f(s)=g(η(s))=g()，故g=g′，从而g是唯一的．若π=kerf，则易证g为单同态，且若f还是满的，则g为同构．设M=⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，对任一取定的状态s，令S′={δ(s,α)|α∈ X∗}，由于对任意s′∈ S′,x ∈ X，有δ(s′,x)= δ(δ(s,α),x)= δ(s,αx) ∈ S′，其中s′= δ(s,α)．所以可得M 的由s生成的循环子有限自动机M′= ⟨X,Y,S′,δ′,λ′⟨，其中δ′(s′,x)= δ(s′,α), λ′(s′,x)= λ(s′,x),s′∈ S′,x ∈ X．把M的由s生成的循环子有限自动机记为M(s)．定义4.2 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，M1为M的循环子有限自动机，如果除了M1以外，M没有包含M1的循环子有限自动机，即若M1≤M(s)，则必有M1=M(s)，则称M1为M的极大循环子有限自动机．定义4.3[2] 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，s1,s2∈S1，若存在α∈X∗，使得s2= δ(s1,α)，则记s1≤Xs2．设T ⊆ S，令[T]={s∈ S|∃s1∈ T,s1≤X s}，称[T]为T的闭包．以[T]为状态集可以做成M的一个子有限自动机，称为由T生成的有限自动机，记为M(T)．对任何B⊆T，若[B]=T，且不存在B中不同的两个状态s1和s2，使得s1≤Xs2，则称B为T的反向底或基底．定理4.2 任意一个有限自动机M可唯一分解为它的极大循环子有限自动机的并，且这样的极大循环子有限自动机的个数等于M 的反向底中所含状态的个数．证明设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨，则显然有M= ∪s∈SM(s)．对任意的M(s)，若M(s)不是极大循环子有限自动机，则存在极大循环子有限自动机M(s′)，使得M(s)≤M(s′)．故M可分解为它的极大循环子有限自动机的并．设M=Mi,Mi为M的极大循环子有限自动机，并设si分别为Mi的生成子(i=1,2,···,n)，由极大循环子有限自动机的定义知，对任意si,sj ∈{s1,s2,···,sn}，若s i⟨=sj，则si,sj不满足si≤Xsj，即不存在α ∈ X∗，使得sj= δ(si,α)，由反向底的定义，{s1,s2,···,sn}为M的一组反向底．由于M的反向底的状态个数唯一确定[2]，故M分解为极大循环子有限自动机的分解中，极大循环子有限自动机的个数唯一确定，即与M的反向底的状态个数相等．设M=Mi为M=Mi′的两个分解，其中Mi和′均为M的极大循环子有限自动机．设si为Mi的生成子，为的生成子．由于{s1,s2,···,sn}和{,···,s′n}均为 M 的反向底，故对任意si ∈ {s1,s2,···,sn}，存在∈ {,···,}，使得≤Xsi，而 M(si)和 M()均为极大循环子有限自动机，故 M(si)=M()，所以,···,是M1,M2,···,Mn的一个排列．所以M分解为极大循环子有限自动机的并的分解是唯一的．把定理4.2的分解称为准素分解．设M=Mi为M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨的准素分解，其中Mi= ⟨X,Y,Si,δi,λi⟨．为了区分准素分解中子有限自动机的相同状态，我们利用每一个子有限自动机Mi的状态集Si来构造集合={si|s∈Si}，即对每一个s∈S，在s右上角加一个上标i，得到si，所有这样的si构成集合 eSi．由此构造知|Si|=||，且当i=j时，对称s为si在S中的原形，记为o(si)=s．以eSi为状态集构造新的有限自动机其中定义为由于δi(s,x)∈Si，故(δi(s,x))i∈，从而是一个有限自动机．这种构造方法适用于任一个有限自动机．令η:Si→,s 7→si，由的构造知η为双射．又因为对任意s∈S 和x∈X，有所以η是Mi到的同构映射，即Mi与同构．由Mi是循环有限自动机知是循环有限自动机．令其中表示的不交并，即的不交并．eδ,定义为其中t=易证令φ:→S;si7→s，由于对任意t∈，t在S中的原形是唯一的，故φ是映射．又对任意的t∈eS(设t=si)，对任意的x∈X，有所以φ是到M同态，且是满同态．定义4.4 设{Mi|i∈I}为一族有限自动机，有限自动机M叫做{Mi|i∈I}的直和，如果：1) 对任意i∈I，存在同态εi:Mi−→M；2) 对任意有限自动机M′，若存在同态ψi:Mi−→ M′,i∈I，则存在唯一同态ψ :M −→ M′，使得ψεi= ψi．由范畴论可知，如果直和存在，则它在同构意义下是唯一的．定理4.3 设M1,M2,···,Mn为有限自动机，其中Mi= ⟨X,Y,Si,δi,λi⟨，则如前面构造所得的有限自动机的直和．证明设对每一Mi，存在同态εi:若存在有限自动机M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨，且对每一Mi，存在同态ψi:Mi→ M，则令ψ:fM →M,si7→ψi(s)，则ψ为映射．因为对任意si∈eS 和x∈X，有所以ψ为同态，且对任意i∈ {1,2,···,n}，有ψεi= ψi．若存在ψ′:使得对任意i∈ {1,2,···,n}，有ψ′εi= ψi，则对任意的si∈ eS，有故ψ′=ψ．所以 fM为{M1,M2,···,Mn}的直和．定理4.4 任意有限自动机都是有限个循环有限自动机的直和的同态象．证明设M是一个有限自动机，为M的准素分解，由前面的讨论，存在到M的满同态．由定理4.3，为M 的直和，而M1,M2,···,Mn均为循环有限自动机，故M为有限个循环有限自动机的直和的同态象．例4.1 设M= ⟨X,Y,S,δ,λ⟨是一个有限自动机，其中S={s1,s2,s3},X={x,y},Y={a,b},δ,λ的定义如下M不是循环有限自动机，M的极大循环子有限自动机共有两个：M1=⟨X,Y,S1,δ1,λ1⟨和M2= ⟨X,Y,S2,δ2,λ2⟨，其中S1={s1,s2},S2={s1,s3}．分别以为状态集构造有限自动机则M就是与的直和的同态象．参考文献：[1]陶仁骥.自动机引论[M].北京：科学出版社，1986 Tao R J.Introduction to Finite Automata[M].Beijing:Science Press,1986[2]陶仁骥.有限自动机的可逆性[M].北京：科学出版社，1979 Tao RJ.Invertibility of Finite Automata[M].Beijing:Science Press,1979[3]Tao R J,Chen S H.Constructing fi nite automata with invertibility by transformation method[J].Journal of Computer Science and Technology,2000,15(1):10-26[4]Tao R J,Chen S H.Input-trees of fi nite automata and application to cryptanalysis[J].Journal of Computer Science andTechnology,2000,15(4):305-325[5]Tao R J,Chen S H.Structure of weakly invertible semi-input-memory fi nite automata with delay 1[J].Journal of Computer Science and Technology,2002,17(4):369-376[6]Tao R J,Chen S H.Structure of weakly invertible semi-input-memory fi nite automata with delay 2[J].Journal of Computer Science and Technology,2002,17(6):682-688[7]Holcombe W M L.Algebraic Automata Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1982[8]周广福.求有穷自动机同态的一个算法[J].计算机学报，1982,5(2):93-100 ZhouG F.An algorithm for fi nding homomorphisms of fi niteautomata[J].Chinese Journal of 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Mathematics,2009,26(5):936-940[14]黄飞丹，邓培民，易忠.路代数与有限自动机[J].数学学报，2009,52(6):1239-1248 Huang F D,Deng P M,Yi Z.Path algebras and fi nite automata[J].ACTA Mathematica Sinica(Chinese Series),2009,52(6):1239-1248[15]黄飞丹，邓培民，易忠.有限自动机的积与路代数的张量积[J].纯粹数学与应用数学，2010,26(2):300-305 Huang F D,Deng P M,Yi Z.Products of fi nite automata and tensor products of path algebras[J].Pure and AppliedMathematics,2010,26(2):300-305[16]黄飞丹，蒙春凤，邓培民，等.由单个状态生成的有限自动机的一些性质[J].工程数学学报，2011,28(1):56-60 Huang F D,Meng C F,Deng P M,et al.Some characteristics of fi nite automata generated by single state[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2011,28(1):56-60[17]黄飞丹，曹发生.循环自动机的等价性[J].计算机工程与应用，2011,47(7):34-35 Huang F D,Cao F S.Equivalence of cyclic automata[J].Computer Engineering and Applications,2011,47(7):34-35[18]Howie J W.An Introduction to Semigroup Theory[M].London:Academic Press,1976。
p^3阶群的自同构群的构造和性质
在数学中，p^3阶群是指由p^3个元素组成的群。
其中，p是质数。
p^3阶群的自同构群是指该群的子群，它们具有相同的元素个数和结构。
构造p^3阶群的自同构群的方法如下：
1.定义一个p^3阶群G，其中G的元素为
(a,b,c)，其中a、b、c均为0~p-1之间的整
数。
2.定义G的结合律（即G的二元运算）为：
(a,b,c) * (d,e,f) = (ad+be,ae+bf+c,cf)。
3.定义G的单位元为(1,0,0)。
4.定义G的逆元（即G的反元素）为(a,b,c)^(-
1) = (a,-b,-c)。
满足以上条件的群即为p^3阶群的自同构群。
p^3阶群的自同构群具有以下性质：
1.元素个数为p^3。
2.是群。
3.具有单位元和逆元。
4.是自同构群。
p^3阶群的自同构群在数学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来表示群的结构，并且可以用来分析群的性质。
此外，p^3阶群的自同构群还可以用来研究群的
同构关系，并且在密码学中有着广泛的应用。
齐次循环群的自同构群
齐次循环群的自同构群
自同构群是一种由拓扑结构中的网络、空间和序列组成的结构。
它们表现出鲜明的稳定性，并具有许多优秀的结构性能。
齐次循环群也是这样一类自同构群，它们是由环节组成的图形，在拓扑上呈现出完全的单一环节结构。
一般的齐次循环群具有以下特点：1、它们拥有完美的对称性结构，其分散式体系结构下的所有节点具有相同的空间结构特征；2、在模型上，节点之间相互联系，结构代表了网络节点之间的交互关系；3、它们的位置相对均衡，充分利用空间，从而极大地减少距离误差；4、它们可以通过简单的方式快速搜索，搞定复杂的信息处理任务。
此外，齐次循环群的应用场景十分广泛，在软件和系统的架构中，可以使用齐次循环群来组织系统各层的架构结构，以及优化系统的性能。
相应地，在计算机网络的组织中，齐次循环群也可以提供更为高效率的传输方式，缩短网络数据传输的时延。
总之，齐次循环群是一类具有自身独特结构性特征的自同构群，由于其具有良好的位置特征、可靠的数据传输特性以及出色的空间利用效率等优势，因而日益受到重视，并发挥着重要的应用作用。
自同构和直积-概述说明以及解释
自同构和直积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:自同构和直积是群论和代数学中重要的概念。
自同构指的是一个群与其自身之间存在一一对应的同构映射关系，直积则是将两个群的元素按照一定规则组合在一起得到一个新的群。
自同构和直积的研究在代数学和离散数学中具有重要的地位，它们不仅有着理论上的意义，也在实际中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对自同构和直积这两个概念进行详细的介绍，并探讨它们之间的关系。
通过对这些概念的深入理解，我们可以更好地理解群论和代数结构中的各种问题，从而为进一步的研究和应用提供坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括本文的主要章节和内容概述。
在这里，我们可以简要介绍本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中将概述自同构和直积的概念，同时阐明本文的目的和意义。
在正文部分将详细介绍自同构和直积的定义、性质和相关定理，以及它们之间的关系。
最后在结论部分将总结自同构和直积在数学领域的重要性，并展望未来可能的研究方向。
整篇文章将围绕这些内容展开，希望可以为读者提供清晰的理解和启发。
1.3 目的本文旨在探讨自同构和直积在数学领域中的重要性和应用。
通过对自同构和直积的定义、性质和特点进行详细分析，我们希望读者能够深入了解这两个概念在代数学、几何学、拓扑学等领域中的重要作用。
通过对自同构和直积的关系进行讨论，我们将展示它们之间的联系和相互影响。
最终，我们将总结自同构和直积的重要性，并探讨它们在未来研究方向中的潜力应用，以期为数学领域的进一步发展提供启示。
2.正文2.1 自同构自同构是指一个结构与自身的同构映射。
在数学领域中，自同构通常指的是一个映射，它将一个结构映射到自身并保持结构的基本特征不变。
自同构在代数、拓扑、几何等领域都有重要应用。
在代数学中，自同构常常用来研究群、环、域等代数结构的性质。
一个群的自同构映射可以帮助我们理解群的对称性质，而一个环的自同构映射则可以揭示环的结构特征。
3-5群的自同构群.ppt
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
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(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
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群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
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小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
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2 ,因此, G的中心 1
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例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
准确到同构1-10阶群的类型及乘法表
准确到同构1-10阶群的类型及乘法表
张丽娟
【期刊名称】《呼伦贝尔学院学报》
【年(卷),期】2012(020)005
【摘要】介绍群表示的若干基本概念(包括定义和性质)之后,只局限于介绍准确到同构1-10阶群的类型及其乘法表的计算方法.
【总页数】5页(P33-36,28)
【作者】张丽娟
【作者单位】呼伦贝尔学院数学科学学院内蒙古海拉尔区 021008
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
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5.Sylow p-子群为循环群的10pn阶非交换群的 Coleman自同构群 [J], 依火阿呷;海进科
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第9讲 群的同构与同态
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
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同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
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题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
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群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
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同态映射的性质1
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同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
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小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
第三章 正规子群和群的同态与同构
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
第三章正规子群和群的同态与同构
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抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
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定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
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三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
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但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
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定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
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证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
上半平面的全纯自同构群
上半平面的全纯自同构群
摘要：
1.引言
2.上半平面的全纯自同构群的定义
3.上半平面的全纯自同构群的性质
4.上半平面的全纯自同构群的例子
5.结论
正文：
【引言】
在数学领域，自同构群是一种重要的代数结构，广泛应用于各个数学分支。
全纯自同构群是自同构群中的一种特殊类型，具有一些独特的性质。
本文将介绍上半平面的全纯自同构群，包括其定义、性质和例子。
【上半平面的全纯自同构群的定义】
上半平面的全纯自同构群，是指由上半平面的解析函数构成的一个群，该群中的元素满足解析函数的自同构性。
具体而言，设f(z) 是上半平面的一个解析函数，如果存在另一个解析函数g(z)，使得对于上半平面内的任意z，有g(f(z))=f(g(z))，则称f(z) 是上半平面的全纯自同构群中的一个元素。
【上半平面的全纯自同构群的性质】
上半平面的全纯自同构群具有以下性质：
1.封闭性：全纯自同构群中的元素都是上半平面的解析函数，因此它们构成了一个封闭的集合。
2.齐次性：对于全纯自同构群中的任意元素f(z)，都有f(0)=0。
3.传递性：如果f(z) 和g(z) 都是全纯自同构群中的元素，那么f(g(z)) 也是全纯自同构群中的元素。
【上半平面的全纯自同构群的例子】
一个典型的上半平面的全纯自同构群的例子是Mbius 群。
Mbius 群是由上半平面的单位解析函数构成的一个群，满足上述的定义和性质。
Mbius 群在复分析、微分几何等领域都有广泛的应用。
【结论】
综上所述，上半平面的全纯自同构群是一种具有独特性质的数学结构，它在数学领域具有广泛的应用。
群同态定义,单、满同态,同构
群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。
3.5群的自同构群
>§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。
比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。
本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。
1. 自同构群的定义： ！定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====，即στ也是M 的一个自同构。
这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
·另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。
所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。
定理1表明M 的自同构群是()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群，记作Aut G 。
由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。
`例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。
解 4Aut K σ∀∈。
由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。
又由于σ是双射，因此()()()ea b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。
50阶以下群分类
1.主要用半直积的方法。
p群要按中心非平凡逐渐归纳。
需要用到的会说出自同构群。
未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。
为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。
元素的幂次记为x^n。
每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。
2.2阶群C2，自同构群平凡群1。
3.3阶群，素数阶。
C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。
4.4阶群，素数平方阶，交换。
C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。
S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。
5.5阶群，素数阶。
C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。
6.6阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。
平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。
7.7阶群，p型。
C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。
8.8阶群，素数幂型或p群。
A) 若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。
B) 若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。
BA) 若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。
Aut(C4)≌C2。
考察同态C2→C2。
BAA) 若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。
自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。
Aut(C2xC4)≌D4。
BAB) 若y在N上非平凡作用，则G≌D4。
计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。
两类p-群族的自同构群的阶
两类p-群族的自同构群的阶
蓝永红
【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(010)004
【摘要】本文把群论和数论的知识结合起来,通过分析群的定义关系特征和自同构的性质,得出了文[1]中p5阶群的Φ6至Φ7族的所有p-群的自同构群的阶,其中p 是奇素数.
【总页数】5页(P49-53)
【作者】蓝永红
【作者单位】广西民族学院,计算机与信息科学学院,广西,南宁,530006
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.自同构群的阶等于其阶两倍的有限p-群 [J], 伍星;马玉龙;刘海林
2.自同构群的阶等于其阶p倍的有限p-群 [J], 马玉龙;伍星;刘海林;
3.自同构群的阶等于其阶两倍的有限p-群 [J], 伍星;马玉龙;刘海林;
4.一类特殊p-群的自同构群的阶 [J], 张中健;班桂宁;戴琳
5.两族p6阶群的自同构群的阶 [J], 苏翃;赵振华;邱利琼
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
关于有限p—群自同构群的一个猜想
关于有限p—群自同构群的一个猜想
陈贵云
【期刊名称】《西南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1991(016)002
【摘要】在本篇短文中,我们证明了定理设G为p^n阶的非Abel p-
群,|G/φ(G)|=p^(?) ,Z(G)是p^(?)阶初等Abel群,r≥n-2/s,则|G|||AutG|.
【总页数】4页(P149-152)
【作者】陈贵云
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.从有限Abel群自同构群A(G)的阶确定群G类型的研究与发展 [J], 吴爱燕
2.有限群的Coleman外自同构群是p'-群的一些充分条件 [J], 海进科;王玉雷
3.关于导群循环的有限p-群的整群环的自同构群 [J], 崔艳敏;海进科
4.关于有限群的Coleman自同构群的一个注记 [J], 李正兴;海晶晶;海进科
5.关于允许一个无不动点自同构群的有限群的可解性 [J], 王燕鸣
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>§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。
比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。
本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。
1. 自同构群的定义： ！定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====，即στ也是M 的一个自同构。
这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
·另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。
所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。
定理1表明M 的自同构群是()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群，记作Aut G 。
由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。
`例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。
解 4Aut K σ∀∈。
由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。
又由于σ是双射，因此()()()ea b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。
每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。
例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====,()()()()ac b a bc a c σσσσ====,.由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ≅。
{2.循环群的自同构群定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个ϕ阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。
证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。
例如， |设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的正整数时，ka 也是G 的生成元，即k G a =<>。
此时，令:k G G σ→，()k k a a σ=，则有()i ik k a a σ=，且i j a a ≠时，()()i j k k a a σσ≠，()()()()()i j i j i j k ik jk i j k k k k a a a a a a a a σσσσ++⋅====，即k σ是G 的自同构。
由于无限循环群只有2个生成元，n 阶循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。
例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。
解 (4)2ϕ=，两个生成元为3,a a ，从而{},Aut G εσ=，其中2323ea a a e aa a ε⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换，2332e a a a e a a a σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭。
…（2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。
(5)4ϕ=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,Aut G εσσσ=，其中，ε是恒等置换，2341243ea a a a ea a a a σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭， 2342342e aa a a ea aa a σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，2343432e a a a a e a a a a σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭。
推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。
证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。
《注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可以相同。
3. 内自同构群定理3 设G 是一个群，a G ∈，则（1）1:,()ax axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构；（2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为Inn G ； （（3）Inn Aut G G 。
证明 （1）易知a σ是G 的一个双射变换。
又111()()()()()()aa a xy a xy a axa aya x y σσσ---===，所以a σ是G 的一个自同构。
（2）设a σ与b σ是G 的任何两个自同构，则x G ∀∈，1111()(())()()()()()a b a b aab x x bxb a bxb a ab x ab x σσσσσσ----=====， 即有a b ab σσσ=仍是一个内自同构，此表明Inn G 关于变换的乘法封闭。
又易知()11Inn a a G σσ--=∈，且e σε=是幺元，结合律显然成立，所以Inn G 关于变换的乘法作成一个群。
·（3）,Aut Inn a G G τσ∀∈∀∈，x G ∀∈。
令1()x y τ-=，即()y x τ=，则1111()()()()()()()()()()a a a x y aya a y a a x a x ττσττσττττττσ----=====，由x 的任意性有1()Inn a a G ττστσ-=∈，所以Inn Aut G G 。
注意：设NG ，则a G ∀∈有1aNa N -⊆，即()a N N σ⊆，亦即N 对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子群有此性质，则它必是G 的正规子群。
这就是说，G 的正规子群就是对的任何内自同构都保持不变的子群：,()Inn NG G N N σσ⇔∀∈⊆。
因此，也常称正规子群为不变子群。
'群的中心： 称(){|,}C G a ax xa x G ==∀∈为群的中心，即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。
根据中心的定义，显然有()C G G 。
定理4. .()Inn G G C G ≅证明 利用同态基本定理。
令:Inn G G ϕ→，()()a a a G ϕσ=∀∈，显然，这样定义的ϕ是满射。
由定理3知a b ab σσσ=，即 ()()()ab a b ϕϕϕ=，所以ϕ是满同态。
又 【{}{}{}(),,(),,Ker a a a a a G a a G a x x a G x G ϕϕεσεσ==∈==∈==∈∀∈ {}{}1,,,,()a axa x a G x G a ax xa a G x G C G -==∈∀∈==∈∀∈=。
由同态基本定理，有.()Inn G G C G ≅注意：定理4表明，要求G 的内自同构群Inn G ，只需求出G 的中心()C G ，再作商群()G C G ,即得Inn G ，所以求一个群的内自同构群相对容易些。
但是要求出一个群的自同构群Aut G ，一般来说是非常困难的。
这是因为，在大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。
例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，43Aut K S ≅；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。
但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。
定理4. 设G a =<>是由a 生成的p 阶循环群，p 是素数，则 ；Aut G 是1p -阶的群，且*,Aut G p Z ≅<⋅>。
这里{}*1,2,,1p Z p =-，乘法指模p 乘法。
证明 略。
4。
正规子群的推广前面有，正规子群就是对G 的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：（1）特征子群：对群G 的所有自同构都保持不变的子群叫做G 的一个特征子群，即Aut G σ∀∈都有()N N σ⊆。
、例3，任何群G 的中心都是G 的特征子群。
证明 只需证明Aut G σ∀∈都有(())()C G C G σ⊆，亦即Aut G σ∀∈，()x C G ∀∈都有()()x C G σ∈。
验证：a G ∀∈，111()()(())(())(())x a x a x a a x σσσσσσσσ---=== 11(())(())()()a x a x a x σσσσσσ--===，所以()()x C G σ∈，结论成立。
注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立， 即正规子群不一定是特征子群。
例如，取4{,,,}G K e a b c ==，{,}N e a =，则NG （4K 是交换群）。
取44:K K σ→，(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则前面例1已验证σ是4K 的一个自同构，对此自同构 ！(){,}{,}N e b N e a σ=⊄=，所以4K 不是特征子群。
（2）全特征子群：设H G ≤。
如果H 对G 的所有自同态都保持不变，即对G 的每个自同态ϕ都有()H H ϕ⊆，则称H 为G 的一个全特征子群。
例4 证明：循环群G a =<>的子群都是全特征子群。
证明 由于循环群的子群还是循环群，所以可设sH a =<>。
例:G G ϕ→是任何自同态，则存在t ，使得 ()ta a ϕ=。
于是sk a H ∀∈，有()()()sk sk t s kta a a H ϕ==∈，所以H 是G 的一个全特征子群。
注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。
{例如，群的中心总是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。
例5 有理数域Q 上的2阶线性群2()G GL Q =的中心{}(),,0,C G A A G A aI a a Q =∈=≠∈（高等代数结论），则()C G 不是全特征子群。