3.5群的自同构群

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§8 群的自同构群

给定一个群,可以有各种方式产生新的群。比如,给定 群G 的任何一个正规子群N ,就可以产生一个商群G H ,它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。

1. 自同构群的定义: !

定理1 设M 是一个有代数运算的集合(不必是群),则M 的

全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M 的自同构

群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构,则,a b M ∀∈,有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====,

即στ也是M 的一个自同构。这表明,全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有

11

()()x x x σσσσ--==,故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==

即1

σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。

·

另外,变换的乘法显然满足结合律,且恒等变换就是单位元,

群的定义的第1、2条也成立。所以,M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意:前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群,记为()S M ,称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是

()S M 的一个子群。

推论1 群G (在定理1中取M G =)的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群,记作

Aut G 。由上面,如果||G n =,则Aut n G S ≤。

`

例1 求Klein 四元群

{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。

解 4Aut K σ∀∈。由于σ是自同构,必有()e e σ=(幺元变成幺元)。又由于σ

是双射,因此()()()e

a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭

,其中

(),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构,但根据4K 的运算特点,可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如,设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====,则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====,

()()()()ac b a bc a c σσσσ====,

.

由于,,a b c 的全排列共有6 个,与3S 同构,因此4K 的全体自同构也有6 个,43Aut K S ≅。

{

2.循环群的自同构群

定理2 (1)无限循环群的自同构群是一个2阶循环群; (2)n 阶循环群的自同构群是一个ϕ阶的群,其中()n ϕ 是欧拉函数(即小于n 且与n 互素的正整数的个数)。 证明 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成元相对应, 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。 因此,一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如, |

设G a =<>是由a 生成的循环群,则当k 是小于n 且与n 互素的

正整数时,k

a 也是G 的生成元,即k G a =<>。此时,令

:k G G σ→,()k k a a σ=,则有()i ik k a a σ=,且i j a a ≠时,()()i j k k a a σσ≠,

()()()()()i j i j i j k ik jk i j k k k k a a a a a a a a σσσσ++⋅====,

即k σ是G 的自同构。由于无限循环群只有2个生成元,n 阶循环群只有()n ϕ个生成元,所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。

例2 (1)求G a =<>,||4a =,4阶循环群的自同构群。

解 (4)2ϕ=,两个生成元为3

,a a ,从而{},Aut G εσ=,其中

232

3e

a a a e a

a a ε⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝

⎭是恒等置换,233

2

e a a a e a a a σ⎛⎫

⎪= ⎪⎝

。 …

(2)求G a =<>,||5a =,5阶循环群的自同构群。

(5)4ϕ=,4个生成元为234,,,a a a a ,从而{}123,,,Aut G εσσσ=,

其中,ε

是恒等置换,23412

4

3e

a a a a e

a a a a σ⎛⎫

⎪= ⎪⎝⎭, 23423

4

2e a

a a a e

a a

a a σ⎛⎫

⎪= ⎪⎝

⎭,23434

3

2

e a a a a e a a a a σ⎛⎫

⎪= ⎪⎝

推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。

证明 由定理2知,这两种群的自同构群都是2阶群,2是素数,所有2阶群都彼此同构,都与2次单位根群同构。

注意:定理2说明一件事实,即不同的循环群其自同构群可

以相同。

3. 内自同构群

定理3 设G 是一个群,a G ∈,则

(1)1

:,()a

x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构,称为G 的内自同构;

(2)G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群,称为 G 的内自同构群,记为Inn G ; (

(3)Inn Aut G G 。

证明 (1)易知a σ是G 的一个双射变换。又

111

()()()()()()a

a a xy a xy a axa aya x y σσσ---===,

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