圆的参数方程练习题有答案教学教材

圆的参数方程

1.已知曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ

y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，

B ⎝

⎛⎭⎫－3，3

2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩

⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.

由于0≤θ<2π，

解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.

将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，

得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，

32

＝3sin θ，

即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝1

2.

由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π

6

，

所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π

6

. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t

y ＝3t 2

－1，(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．

[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．

[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t

－1＝3t 2

－1，∴t ＝0.

即点M 1(0，－1)在曲线C 上．

把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t

10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，

∴⎩

⎪⎨⎪

⎧2＝2t ，a ＝3t 2

－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.

3.已知曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2

＋1

y ＝2t ，(t 为参数)．

①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．

把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．

把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪

⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.

故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.

4.(1)曲线C ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t

y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．

解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)

(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1

y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：

⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝

π

2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，

所以32＝±a .又a >0，所以a ＝3

2.

答案：32

5.已知某条曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t

y ＝at 2

，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．

解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，

∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧t ＝2，

a ＝1.∴a 的值为1. 答案：1

6.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．

解析：令x ＋12＝cos θ，y －1

2＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．

答案：⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)

7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．

解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.

令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ

y ＝3＋sin θ，(θ为参数)．

答案：⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)

8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ

y ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ

，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)

∴圆(x ＋2)2

＋(y －3)2

＝16的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θ

y ＝3＋4sin θ，(θ为参数)

9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．

解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的

一个参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ

y ＝sin θ(θ为参数)．

答案：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ

y ＝sin θ(θ为参数)

10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θ

y ＝－3＋10sin θ

，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )

A ．P (1，3)，r ＝10

B ．P (1，3)，r ＝10

C ．P (1，－3)，r ＝10

D ．P (1，－3)，r ＝10

解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.

11.圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ

y ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )

A ．(0，2)

B ．(0，－2)